Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Физика фононов: Учебное пособие

Голосов: 2

Учебное пособие по физике фононов включает рассмотрение следующих тем: атомные силы в кристаллах и упругие свойства, упругие свойства кристаллов, колебания периодических цепочек, колебания кристаллической решетки, колебательные состояния кристаллов, ангармонизм колебаний.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    Общий метод заключается в следующем: матрицы линейных преобразований шести
компонент симметричного тензора второго ранга образуют неприводимое
представление группы преобразований симметрии любого из 32 кристаллических
классов. Из этих шести компонент можно построить шесть новых (ортогональных и
независимых) комбинаций, которые распадаются на шесть или меньше число
совокупностей, члены которых преобразуются только друг через друга для всех
операций симметрии группы. Они образуют базис нового и притом вполне приводимого
представления группы кристалла. Характер любого преобразования в этом
представлении равен характеру в представлении, определяемом компонентами тензора,
поскольку оба представления эквиваленты.

   С помощью общей формулы

                                ni=1/g⋅Σ h⋅χ(R)⋅χ(i)(R)

можно найти сколько раз ni данное i-ое неприводимое представление (в данном случае
полносимметричное) с характерами χ(i)(R) встречается в представлении, определяемым
введенными переменными с характерами χ(R).
    В частности, в случае свойств, описываемых симметричным тензором II ранга,
должны быть отличны от нуля только такие линейные комбинации составляющих
тензора, которые обладают полной симметрией кристалла, т.е. преобразуются по
полносимметричному неприводимому представлению. Таким образом, задача состоит в
том, чтобы выяснить число таких комбинаций, т.е. сколько раз в данном приводимом
представлении, определяемом компонентами тензора, встречается полносимметричное
представление. В случае симметричных тензоров II, III и IY рангов характеры
представлений даются следующими формулами (здесь С=cosϕ, а ± относится к
правильной и неправильной операции симметрии):

                           II  ранг:     χ(R)= 4С2±2С
                         III ранг:     χ(R)= 8С3±8С2+2С
                       IY ранг:      χ(R)=16С4±8С3–4С2+1

Характеры полносимметричного представления для любой операции симметрии равны

                .
единице χ(o)(R)=1 В табл.12 показано вычисление числа независимых констант для
тензора II,III и IY ранга для класса D2h=Vh ромбической системы.


                                                                     Таблица 12.

ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ДЛЯ ТЕНЗОРОВ




    D2h             E     C2x    C2y   C2z   i     σx     σy    σz


    A1g             1     1      1     1     1     1      1     1


    ϕ               0     π      π     π     π     0      0     0


    2й ранг χ(R)    6     2      2     2     6     2      2     2


    3й ранг χ(R)    18    4      4     4     –18   –4     –4    –4


    4й ранг χ(R)    21    5      5     5     21    5      5     5




  Число независимых констант n для этих тензоров вычисляется следующим образом:

                     2 ранг: n=1/8*(6+2+2+2+6+2+2+2)=3
                    3 ранг: n=1/8*(18+4+4+4–18–4–4–4)=0
                   4 ранг: n=1/8*(21+5+5+5+21+5+5+5)=9



  Для разных кристаллических систем вид и тензоров второго ранга и число
 независимых констант для тензоров II,III и IY ранга приведены в табл. 13.


                                                              Таблица 13.
                  ЧИСЛО НЕНУЛЕВЫХ КОНСТАНТ В ТЕНЗОРАХ II, II и IУ РАНГА

                                           Число независимых констант
                     сингония              у тензоров 2, 3 и 4-го рангов
                                           2й ранг     3й ранг     4й ранг

             Моноклинная ii,yz,xz,xy             6       18,0        21
             Триклинная    xx,yy,zz,yz           4      10,8,0       13
             Тетрагональная xx=yy,zz             2      1,2,3,4      7,6
             Тригональная    xx=yy,zz            2      6,4,2,0      7,6
             Гексагональная xx=yy,zz             2      1,2,3,4       5
             Кубическая     xx=yy=zz             1         0          3


            Изотропная среда                     1         0          2




2.3 Закон Гука. Модули упругости и упругие константы.


  Если деформации εij, возникающие при приложении к твердому телу механического
напряжения σkl, малы, то они пропорциональны этим напряжениям (закон Гука):
                   εxx=sxxxxσxx+sxxyyσyy+sxxzzσzz+sxxzyσzy+sxxzxσzx+sxxxyσxy
                   εyy=syyxxσxx+syyyyσyy+syyzzσzz+syyzyσzy+syyzxσzx+syyxyσxy
                    εzz=szzxxσxx+szzyyσyy+szzzzσzz+szzzyσzy+szzzxσzx+szzxyσxy
                   εzy=szyxxσxx+szyyyσyy+szyzzσzz+szyzyσzy+szyzxσzx+szyxyσxy
                   εzx=szxxxσxx+szxyyσyy+szxzzσzz+szxzyσzy+szxzxσzx+szxxyσxy
                   εxy=sxyxxσxx+sxyyyσyy+sxyzzσzz+sxyzyσzy+sxyzxσzx+sxyxyσxy

или в краткой записи с учетом суммирования по повторяющимся индексам

                                    εi = sijkl σkl ,

где sijkl – модули упругости (постоянные упругости, постоянные упругой податливости),
Можно написать и обратное соотношение, связывающее механическое напряжение и
механическую деформацию:

                                    σkl = cklij εij ,

где cklij – упругие постоянные (константы жесткости).
   Модули упругости sijkl и упругие постоянные cklij являются элементами тензора IY
ранга, связывающего два тензора второго ранга. Полное число элементов тензора
четвертого ранга равно 34=81. Однако, поскольку тензор механического напряжения и


тензор деформации симметричные тензоры (т.е. инвариантны относительно
перестановки значков), компоненты тензора упругих постоянных также инвариантны
относительно перестановок двух пар индексов i⇔j и k⇔l , так что из 81 компонент
независимыми остаются только 36. Физический смысл отдельных компонент можно
понять, предполагая, что на кристалл действуют различные простые напряжения. При
приложении чистого сдвигового напряжения σ12=σ21 (σ12 не может быть в отсутствие
объемных моментов приложено без σ21) элемент ε11 тензора деформации был бы равен
(здесь использована замена x→1, y→2, z→3):

                           ε11=s1112σ12+s1121σ21=(s1112+s1121)σ12.

  Все сказанное для тензора модулей упругости sijkl справедливо также и для тензора
упругих постоянных cklij.

  Благодаря симметричности sijkl и cklij по первым двум и последним двум индексам,
можно применить более короткую запись с использованием так называемых матричных
обозначений. В этой записи пары первых и последних индексов заменяются одним
индексом, пробегающим значения от 1 до 6 по следующим правилам:

Тензорные обозначения 11 22 33 23,32 31,13 12,21
Матричные обозначения 1 2 3 4          5     6.

При этом для тензора упругой податливости sklij вводятся множители 2 и 4 следующим
образом:
                            sijkl = smn  при m,n=1,2,3
                            2sijkl = smn при m,n=4,5,6
                           4sijkl = smn при и m и n=4,5,6.

    Для тензора упругих постоянных cijkl множители 2 и 4 вводить не нужно, т.е. всегда
cijkl = cmn.
Тензор механических напряжений и деформаций в матричной записи выглядит так:

      ⎛ σ 11 σ 12   σ 13 ⎞ ⎛ σ 1 σ 6 σ 5 ⎞         ⎛ ε 11 ε 12   ε 13 ⎞ ⎛ ε 1   1
                                                                                 ε6   1
                                                                                       ε5 ⎞
      ⎜                  ⎟ ⎜             ⎟         ⎜                  ⎟ ⎜       2     2
                                                                                          ⎟
      ⎜ σ 21 σ 22   σ 23 ⎟ → ⎜   σ2 σ4 ⎟ ;         ⎜ ε 21 ε 22   ε 23 ⎟ → ⎜     ε2     ε4 ⎟
                                                                                      1
                                                                                      2
      ⎜σ
      ⎝ 31 σ 32     σ 33 ⎟ ⎜
                         ⎠ ⎝         σ3 ⎟⎠
                                                   ⎜ε
                                                   ⎝ 31 ε 32     ε 33 ⎟ ⎜
                                                                      ⎠ ⎝             ε3 ⎟⎠

Закон Гука, следовательно, более кратко можно записать следующим образом:

                        εI = sijσj   σI = cij εj      i, j=1,2,3,4,5,6.

   Таблицы |smn| и |сmn| представляют собой квадратные матрицы 6х6 и, разумеется, не
являются, несмотря на наличие двух индексов, тензорами II ранга. Поскольку матрицы
коэффициентов |smn| и |сmn| симметричны, число назависимых упругих констант может
быть только 21 (6 диагональных элементов и (36–6)/2=15 недиагональных).Это можно
показать, рассматривая энергию деформированного тела. Действительно, при упругой


деформации твердого тела, выполненная работа идет на увеличение свободной энергии
деформированного кристалла и должна выражаться через величину деформации εij и
упругие постоянные cijkl.
   Рассмотрим малый куб кристалла с единичным ребром, на который действуют
компоненты механического напряжения σij . Если в рассматриваемом кубе возникает
только деформация сжатия., т.е. компоненты деформации εxx, εyy, εzz изменяются
соответственно на δεxx, δεyy, δεzz,, то работа производится только нормальными
компонентами напряжений и поэтому равна:

                                   δW1=σxxδεxx+σyyδεyy+σzzδεzz

   Если же рассматриваемый куб претерпевает и деформацию сдвига, то
противоположные грани куба смещаются в противоположных направлениях на
величину δεxy, δεxz и δεyz , а компонента силы, действующая на грани равняется σxy, σxz
и σyz , так что работа этих сил равна:

                                  δW2=σxyδεxy+σxzδεxz+σyzδεyz .

  В итоге полная запасенная энергия деформации (или выполненная работа) на
единицу объема в тензорной свернутой записи равна:

              δW = σij δεij       i, j =1,2,3;        δW =σk δεk           k=1,2,3,4,5,6.

  Если выполняется закон Гука, это уравнение принимает вид:

                              δW = cijkl εij δεkl или δW =cmn εn δεm.

Следовательно,

                                dW                       d 2W
                                     = c kl ε l   и               = c kl
                                dε k                    dε k dε l

поскольку W есть функция состояния тела, определяемого компонентами деформации,
то порядок дифференцирования не имеет значения, так что левая сторона соотношения
симметрична по перестановке индексов k↔l. Поэтому ckl=clk и, разумеется, skl=slk, и
благодаря симметричности матриц число независимых констант жесткости и
податливости уменьшается до 21.


2.4 Упругие волны в кристалле

  Случайные флюктуации деформации в кристалле приводят к появлению
напряжений, вызывающих распространение деформаций в среде. Если ρ – плотность
кристалла, и на элементарный объем δxδyδz действуют силы, выраженные через
напряжения σij, то можно написать уравнения движения среды вдоль направления x (см.


рис.16):


           ⎛ d 2u ⎞                           ⎛ dσ   ⎞               ⎛ dσ yx   ⎞                ⎛ dσ ⎞
       ρ⎜
        ⎜         ⎟ ⋅ δ xδ yδ z = δ zδ y ⋅ δ x⎜ xx
                2 ⎟
                                                     ⎟ + δ xδ z ⋅ δ y⎜
                                                                     ⎜ dy      ⎟ + δ yδ x ⋅ δ z ⎜ zx ⎟ .
                                                                               ⎟
           ⎝ dt ⎠                             ⎝ dx   ⎠               ⎝         ⎠                ⎝ dz ⎠




Рис.16. Неравновесные напряжения в макроскопическом кубе кристалла, возникающие в результате
флюктуаций и вызывающие неравновесную деформацию среды и как следствие механические колебания
в кристалле. Показаны механические напряжения, действующие на все грани куба вдоль направления x.
Силы, действующие на эти грани, равны произведению величины напряжения на площадь грани, так что
легко написать уравнение движения среды вдоль оси x.
Аналогично для направлений y и z:


                              ρ(d2u/dt2)=(dσxx/dx)+(dσxy/dy)+(dσxz/dz)
                              ρ(d2v/dt2)=(dσyx/dx)+(dσyy/dy)+(dσyz/dz)
                              ρ(d2w/dt2)=(dσzx/dx)+(dσzy/dy)+(dσzz/dz)


В краткой матричной записи

                                   ρ(d2ui/dt2)=(dσij/dxj), i,j=1,2,3.

    Поскольку напряжения σij по закону Гука могут быть выражены через деформации
εkl, а деформации через смещения uk, то :


                                        σij=Cijklεkl ;

                               εkl=1/2[(duk/dxl)+(dul/dxk)]

                       (dσij/dxj)=Cijkld/dxi[1/2[(duk/dxl)+(dul/dxk)]]

  Уравнения движения тогда будут выглядеть так:


                                (dσij/dxj)=Cijkl (d2ul/dxidxj).


 Здесь необходимо иметь в виду суммирование в правой части по индексам
j,k,l. Это волновое уравнение, описывающее распространение упругих волн
          в анизотропной среде, называется уравнением Кристофеля.



             В частном случае кубического кристалла это уравнение можно записать для
                        компоненты u1=u, принимая во внимание вид тензор упругости.

                   εxx=|C11σxx+C12σyy+C13σzz|+C14σyz +C15σxz +C16σxy
                   εyy=|C21σxx+C22σyy+C23σzz|+C24σyz +C25σxz +C26σxy
                   εzz=|C31σxx+C32σyy+C33σzz|+C34σyz +C35σxz +C36σxy
                   εyz=C41σxx+C42σyy+C43σzz +|C44σyz|+C45σxz +C46σxy
                   εzx=C51σxx+C52σyy+C53σzz +C54σyz+|C55σxz|+C56σxy
                   εxy=C61σxx+C62σyy+C63σzz +C64σyz +C65σxz+|C66σxy|

    В рамочку взяты отличные от нуля (для кубического кристалла) компоненты
тензора упругости, причем связь между отдельными компонентами следующая:
C11=C22=C33; C44=C55=C66; C12=C13=C23. Уравнения движения среды можно
непосредственно получить из * :


         ρ(d2u/dt2)=C11(dσxx/dx)+C12[(dσyx/dx)+(dσzz/dx)]+2C44[(dσxy/dy)+(dσxz/dz)]

 Поскольку

                                           σxx=du/dx;

                                  σxy=1/2[(dv/dx)+(du/dy)];

                                σxy=1/2[(dw/dx)+(du/dy)]; то

   ρ(d2u/dt2)=C11(d2u/dx2)+C44[(d2u/dy2)+(d2u/dz2)]+(C12+C44)[(d2v/dxdy)+(d2w/dxdz)]


Разумеется, это уравнение можно получить, используя общее выражение уравнения
Кристофеля.
Одним из возможных решений может служить продольная волна u=А⋅exp[i(ω t–kx)] со
смещением вдоль x и распространяющаяся вдоль направления x. Подставляя это
решение в уравнение, получим

                                      –2ωρ = –k2C11 и

                                     vl =ω /k =(C11/ρ)1/2

– скорость волны сжатия и разряжения среды в направлении x. Другое возможное
решение u=A⋅exp[i(ω⋅t–ky)] – волна, распространяющаяся вдоль направления y.
Подстановка его в уравнение дает
                                 –2ωρ= –k2C44 и

                                     vt = ω/k =(C44/ρ)1/2 ,

                     где vt – скорость поперечной волны, или волны сдвига.
Существует еще одна волна, которая может распространяться с этой же скоростью в
направлении оси z.
    Для кристаллов кубической, гексагональной, тетрагональной и орторомбической
системы решения уравнения Кристофеля для волны, распространяющейся в единичном
направлении Q(Q1,Q2,0) в плоскостях ортогональной системы координат xyz, даются
следующим алгебраическим уравнением:


                                     (C55⋅ Q12+C44⋅ Q2 2– γ)⋅
              ⋅[γ
                2
                    –(C11⋅ Q1 +C22⋅ Q22+C66⋅γ+(C11⋅ Q12+C66⋅ Q22)⋅ (C66⋅
                              2
                                                                           Q22)⋅
                          ⋅ (C66⋅ Q12+C22⋅ Q22)–(C12+C66)⋅ Q1⋅ Q2]=0


Здесь Q1, Q2 – направляющие косинусы вектора распространения Q. Скорость
распространения волны равна v=(γ/ρ)1/2, где γ – линейная комбинация упругих констант
кристалла, а ρ – плотность кристалла. На рис.17 показана угловая зависимость скорости
продольной LA и поперечных TA1 и TA2 волн в плоскости xz и zy при 273oС в кристалле
ацетата лития, который относится к орторомбической системе Vh–mmm.


Рис.17. Индикатриса звуковых скоростей продольной LA и поперечной TA1 и TA2 волн в кристалле
ацетата лития: а) в плоскости (100), б) в плоскости (010). Она получена решением кубического уравнения
(полученного из уравнения Кристюфеля) для значения плотности кристалла ρ=1.38 г/см3 и для
следующих величин упругих постоянных (в 1012дн/см2): C11=2.5, C22=6.0, C33=5.6, С44=0.8, С55=0.35,
С66=0.4, C12=0.6, C13=0.4, C23=1.75. В произвольном направлении всегда имеется три значения скорости
звука для волн LA, TA1 и TA2, которые определяются тремя корнями этого кубического уравнения γ1,2,3:
Vзв1,2,3=(γ1,2,3/ρ)1/2. На рисунке а) показаны также элементы тензора упругих постоянных (четвертого
ранга), определяющих скорость звука для данного направления в кристалле. Симметрия кристалла
орторомбическая – D2h


3. КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ




    Кристаллическое тело представляет собой совокупность огромного числа атомных
ядер и электронов. Проблему определения собственных состояний такой системы легко
сформулировать, но, к сожалению, нельзя точно решить. Стационарные состояния
кристалла описываются уравнением Шредингера Hψ=Еψ с гамильтонианом




       )    h 2 3 Nn 2 h 2   3N
                                        1 N Zk Zle2        1 N ,n Z k e 2    1 Nn e 2
       H =−
            2m i
                ∑ ∇ i − 2M   ∑ ∇ 2k +
                             k
                                          ∑               − ∑               + ∑
                                        2 k ,l | Rk − Rl | 2 i.k | Rk − ri | 2 i , j | ri − r j |




Здесь первый член описывает кинетическую энергию электронов, второй –
кинетическую энергию ядер. Оператор ∇i действует только на координаты электронов
ri, а ∇k только на координаты ядер Rk). Третий член – потенциальная энергия
взаимодействия атомных остатков с зарядами Zke и Zle , а Rk и Rl – их координаты;
следующий член – потенциальная энергия притяжения ядер и электронов, а последний
член – энергия отталкивания электронов. Упрощение сформулированной задачи можно
получить, учитывая различие в массах ядер и электронов, т.к. (m/M)<<1. Решение
задачи ищется в виде ψ (R,r)=Ф(R,r)ϕ(R) (т.н. адиабатическое приближение), где Ф(R,r)
– волновая функция, описывающая движение быстрых электронов в медленно
меняющемся поле ядер, а ϕ(R) – волновая функция описывающая движение ядер в
ядерном поле, создаваемом электронами. Таким образом, квантово–механическая
задача о собственных состояниях кристалла распадается на две задачи, которые могут
быть рассмотрены раздельно.
     В настоящей главе будут рассмотрены собственные колебательные состояния
кристалла. Однако, поскольку атомы кристалла велики (по сравнению с электронами)
колебательную задачу можно рассматривать классически, т.е. рассматривать колебания
точечных масс, связанных между собой квазиупругими силами (Борн,Карман, 1912).
     Простейшим случаем такой задачи является линейная моноатомная цепочка, атомы
которой могут совершать малые колебания вблизи положения равновесия.
Рентгеноструктурные данные (рис.18) показывают, что при не очень высоких
температурах величина среднеквадратичного смещения атомов (U2)1/2 значительно
меньше межатомных расстояний в кристалле. В случае кристалла GaN при 300оC

                             [(U2)1/2/a]=(0.1Е/1.96Е)≈5%.



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика