Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Физика фононов: Учебное пособие

Голосов: 2

Учебное пособие по физике фононов включает рассмотрение следующих тем: атомные силы в кристаллах и упругие свойства, упругие свойства кристаллов, колебания периодических цепочек, колебания кристаллической решетки, колебательные состояния кристаллов, ангармонизм колебаний.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                          6⋅ 1       12 ⋅ 1       8⋅ 1
                  −      2
                             +        4
                                          −      8
                                                     = −3.000 + 2.121 − 0.577 = −1.458 .
                        1           2           3

 Учет следующего объема с длиной ребра 2a’ даст значение постоянной Маделунга –
1.75, значение, которое близко к точному значению –1.747558. Значение постоянной
Маделунга для некоторых структур приведены в табл.10.



                                                                                           Таблица 10.

                                  ПОСТОЯННАЯ МАДЕЛУНГА




            Решетка                       αRo                     αao              αv


             NaCl                    1.747558                 3.495129           2.2018
             CsCl                    1.762670                  2.0354            2.0354
           Сфалерит                  1.63810                   3.7828            2.3831
            Вюрцит                    1.6410                      –              2.3861


       R – расстояние анион-катион; а – постоянная решетки; V– объем элементарной ячейки.




 Знание постоянной Маделунга α позволяет определить полный кулоновский вклад в
энергию связи α⋅e2N/R. Истинная энергия связи меньше кулоновской на величину
порядка 1/n от кулоновской, где n – показатель в выражении для энергии отталкивания

                                                       α Ne 2 ⎡     1⎤
                                               Uo =            ⎢1 − n ⎥
                                                         Ro    ⎣      ⎦

 Отличие теоретической кулоновской энергии от реальной составляет около 10%, так
что показатель n близок к 10. Точное значение коэффициента n в потенциале
отталкивания можно получить из экспериментальных значений коэффициента
объемной сжимаемости

                                                 γ = –1/V(dV/dp),

который можно выразить через энергию связи кристалла U. Действительно,


                              dU          dp    d 2U           1   ⎛ d 2U ⎞
        dU = pdV ;        p=−    ;           =−      ; так что   =V⎜
                                                                   ⎜ dV 2 ⎟
                                                                          ⎟
                              dW          dV    dV 2           γ   ⎝      ⎠

 Для структуры типа NaCl с полным числом ионов 2N (N ионов каждого типа) и
расстоянием анион-катион Ro полный объем кристалла равен V=2NRо3, а вторая
производная полной энергии U по объему V равна:

                                                                         2
                    dU dU dR             d 2U dU d 2 R d 2U ⎛ dR ⎞
                       =   ⋅   ;              =   ⋅    +     ⋅⎜   ⎟
                    dV   dR dV           dV 2   dR dV 2 dR 2 ⎝ dV ⎠

     Важно, что при равновесии R = Ro и (dU/dR)R=Ro=0. Поэтому сжимаемость при
  R=Ro равна:


                                             2
       1   ⎛ d 2U   ⎞    ⎛ d 2U ⎞ ⎛ dR ⎞       Nα e 2 (n − 1)       1        α e 2 (n − 1)
         =V⎜
           ⎜ dV 2   ⎟ =V⎜
                    ⎟    ⎜ dR 2 ⎟ ⋅ ⎜ dV ⎟ = V
                                ⎟                             ⋅            =
       γ   ⎝        ⎠ Ro ⎝      ⎠ RO ⎝   ⎠ Ro      Ro 3
                                                                36 Ro4 N 2     18Ro4


 и выражена через постоянную Mаделунга и равновесные постоянные кристалла.
 Таким образом, показатель степени короткодействующих сил отталкивания равен:


                                                 18Ro4
                                       n = 1+           .
                                                 γ e 2α

Здесь e – заряд электрона, γ – сжимаемость при T≈0K (γ≈3⋅10–12см2/дн), α – постоянная
Маделунга.

      Значения n для некоторых кристаллов, а также величины кулоновской энергии
  связи (энергия Маделунга), вклада отталкивания, энергии Bан-дер-Ваальсовых сил
  (дипольных и квадрупольных), а также вклада в энергию связи тепловых колебаний
  решетки (нулевых колебаний) приведены в табл.11.


                                                                     Таблица 11.

       ВКЛАДЫ В ЭНЕРГИЮ СВЯЗИ ИОННЫХ КРИСТАЛЛОВ (в ккал/моль)

                                  Силы Ван-
Веще   n      Энергия  Отталк-   дер-Ваальса    Нулевые    Полная    Опыт
ство         Маделунга ивание                  колебания   энергия
                                 Дип-   Квадр.
                                                решетки
                                 дип.   квадр.

NaF    7.0     248.1     –35.3    4.5    0.1      –2.9      214.5      –

NaCl   9.1     204.3     –23.5    5.2    0.1      –1.7      184.4     182.8

NaBr   8.5     192.9     –20.6    5.5    0.1      –1.4      176.5     173.3

NaI    9.5     178.0     –17.1    6.3    0.1      –1.2      166.1     166.4




      Следует сказать, что вклад в энергию связи в ионном кристалле Ван-дер-
  Ваальсовых сил определяются также как и для молекулярных кристаллов и равен
  приблизительно C/R6m[ω1ω2/(ω1+ω2]α1α2, где ω1 и ω2 – предельные частоты
  дискретных колебательных спектров, а α1 и α2 – поляризуемости ионов. Энергия
  нулевых колебаний уменьшает энергию связи на величину приблизительно 2Nhω/2,
  где ω – частота нулевых колебаний. Наибольшая поправка к энергии связи поэтому
  будет в случае наиболее легкого иона.


                   II. УПРУГИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ



2.1 Тензор напряжений и деформаций


   Если какая-либо часть твердого тела действует на соседнюю с некоторой силой, то
тело находится в напряженном состоянии. Механическим напряжением называется
отношение поверхностной силы к площади, к которой эта сила приложена. Нормальная
составляющая напряжения – это давление. При однородном напряжении силы,
действующие на любой элемент тела, не зависят от положения этого элемента внутри
тела. Это означает, что напряжение в любой точке тела одинаково, все части тела
находятся в статическом равновесии и объемные силы и моменты равны нулю. Если
рассмотреть элементарный кубический элемент объема тела, на стороны которого
действуют поверхностные силы σ, то составляющие этих сил σxx, σxy, σxz, σyx, σyy, σyz,
σzx, σzy, σzz (См. рис.11).




       Рис.11. Силы, действующие на грани единичного куба в однородно напряженном состоянии.
Величины σij – элементы тензора механического напряжения.


Из условия равновесия объема тела σxy=σyx, σzx=σxz, σyz=σzy. Более того, 9 компонент
напряжения составляют симметричный тензор II ранга, т.е. связывают между собой два
вектора: силу P, действующую на единичную площадку dS и нормаль l к этой площадке
(рис.12): Pi=σijlj или в подробной записи


                                     Px=σxxlx+σxyly+σxzlz


                                      Py=σyxlx+σyyly+σyzlz




                                      Pz=σzxlz+σzyly+σzzlz .




       Рис.12. Связь между силой P, действующей на грань тетраэдра, нормалью l и элементами тензора
напряжения. Компоненты силы P и направляющие косинусы единичной нормали l связаны тензором
механического напряжения σij.


Частные формы тензора напряжений описывают часто встречающиеся в приложениях
случаи:

                            ⎛ σ xx     0     0⎞
                            ⎜                 ⎟
двуосное         напряжение ⎜ 0       σ yy   0⎟ ,      объемно-напряженной              состояние
                            ⎜ 0        0     0⎟
                            ⎝                 ⎠


⎛ σ xxч              ⎞                            ⎛σ    ⎞
⎜                    ⎟                            ⎜     ⎟
⎜        σ yy        ⎟ , гидростатичское давление ⎜  σ  ⎟ , напряжение чистого сдвига
⎜               σ zz ⎟                            ⎜    σ⎟
⎝                    ⎠                            ⎝     ⎠
⎛0 σ         ⎞
⎜            ⎟
⎜σ 0         ⎟ . Легко убедиться, что этот тензор, описывающий напряжение чистого
⎜          0⎟
⎝            ⎠
сдвига, в осях, повернутых на 45о вокруг направления Z, имеет другой
      ⎛σ      0 0⎞
      ⎜              ⎟
вид: ⎜ 0 − σ 0 ⎟ .
      ⎜0      0 0⎟
      ⎝              ⎠

    При приложении механического напряжения к телу в нем возникает локальная
деформация, которую также можно охарактеризовать числами. Это изменения
постоянных решетки ∆a, ∆b, ∆c и углов между ними ∆α, ∆β, ∆γ. Этот способ физически
нагляден, но неудобен, если углы между векторами трансляции a, b, c не прямые.
Поэтому в общем случае можно выбрать три единичных ортогональных вектора f,g,h и
следить, как они преобразуются в вектора f′, g′, h′ при малой деформации тела:

                                f′ =(1+εxx)f+ εxyg + εxzh
                               g′ = εyxf +(1+εyy)g+ εyzh
                              h′ = εzxf + εzyg +(1+εzz)h .

    Очевидно, что εxx, εyy, εzz – удлинения соответствующих векторов f, g и h , а
остальные элементы εxy, εxz,.... характеризуют изменения углов между этими векторами.
Действительно, угол между векторами f′ и g′ равен


                     (f′,g′) = (1+εxx)εyx+εxy(1+εyy)+εxzεyz = εxy+εyx .


    Ясно, что при чистом вращении тела, углы между векторами f′′, g′ и h′ не
изменяются, т.е. для недиагональных элементов должно быть εxy=εyx и т.д.. Таким
образом, деформация твердого тела может быть охарактеризована симметричной
матрицей εij. Вообще говоря, шесть компонент εij представляют собой тензор второго
ранга, физический смысл элементов которого ясен, однако связь с обычным понятием
деформации не очевидна.
    В одномерном случае деформация в точке P характеризуется величиной e, которая
определяется как предел e=lim∆u/∆x при условии ∆x→0, где ∆u – приращение длины
отрезка ∆x при растяжении или сжатии (Рис.13).


Рис.13. Деформация растяжимой струны. а) до деформации, б) после деформации.


В двумерном случае деформацию в точке Р(x,y) с координатами x и y характеризуют
уже четыре величины (рис.14):

                                    e11=dux/dx, e22=duy/dy,
                                    e12=dux/dy, е21=duy/dx .




       Рис.14. Деформация растяжимой плоскости: а) определение компонент деформации eij, б)
выражение произвольной деформации εij через истинную деформацию eij и чистый поворот ϕij.




    Первые две характеризуют величину растяжения (или сжатия) на единицу длины
вдоль направлений x и y, а две другие – величину угла, на который происходит малый


поворот направления x и y. Аналогично можно ввести девять компонент тензора
деформации в трехмерном случае

                                         eij=dui/dxj


    Необходимо отметить, что простой поворот тела при таком описании дает
ненулевые компоненты тензора. В двумерном случае, например, тензор будет иметь вид
⎛0 ϕ⎞
⎜
⎜ϕ 0 ⎟ .
      ⎟
⎝     ⎠
    Однако, поскольку любой тензор второго ранга может быть представлен как сумма
симметричного eijs и антисимметричного eijas тензоров, то

                                 eij= eijs+eijas=εij+ωij;
                                     εij=(eij+eji)/2;
                                     ωij=(eij–eji)/2

        Симметричная часть этого тензора, т.e. eijs описывает деформацию и полностью
совпадает с ранее введенным другим способом тензором σij. Антисимметричная часть
eijas=ωij описывает поворот тела на некоторый угол. Двумерный чертеж,
соответствующий деформации совместно с поворотом, показан на рис.14.
      Любая точка в твердом теле может быть задана с помощью трех ортогональных
единичных векторов f, g, h следующим образом: до деформации r = x⋅f+y⋅g+z⋅ħ , после
деформации r′ = x⋅f′+y⋅g′+z⋅h′ , так что вектор смещения точки ρ = r′–r можно записать
в виде ρ = u⋅f+v⋅g+w⋅h, где


                                   u=σxxx+σxyy+σxzz
                                   v=σyxx+σyyy+σyzz
                                   w=σxzx+σyzy+σzzz

или


                                          u i=σij xj


Это выражение показывает, что σij действительно есть тензор второго ранга, поскольку
связывает между собой компоненты двух векторов ρ и r. Поскольку тензор σij есть
симметричная часть еij=(dui/dxj), то



                                       1 ⎡⎛ du i   ⎞ ⎛ du j   ⎞⎤
                               eij =    ⋅ ⎢⎜       ⎟+⎜        ⎟⎥
                                       2 ⎢⎜ dx j   ⎟ ⎜ du     ⎟
                                          ⎣⎝       ⎠ ⎝ i      ⎠⎥⎦


или в развернутом виде

               ⎛ σ xx   σ xy σ xz ⎞ ⎛         e xx         1
                                                               (e xy + e yx )   1
                                                                                    (e xz + e zx ) ⎞
               ⎜                  ⎟ ⎜                      2                    2
                                                                                                   ⎟
               ⎜ σ yx   σ yy σ yz ⎟ = ⎜ 2 (e xy + e yx )
                                        1
                                                                 e yy           1
                                                                                2   (e yz + e zy ) ⎟ .
               ⎜σ       σ xy σ zz ⎟ ⎜ 1 (e xz + e zx )     1
                                                             (e zy + e yz )             e zz       ⎟
               ⎝ zx               ⎠ ⎝2                     2                                       ⎠


    Следует иметь в виду, что иногда эту матрицу записывают без коэффициентов 1/2
при недиагональных элементах. Это т.н. "тензор" технической деформации. Нужно
подчеркнуть, что матрица технической деформации не образует тензор
Трансформационные свойства ее элементов более громоздки, чем у тензора второго
ранга.

2.2 Тензорные свойства кристаллов


    Поскольку тензор деформации – симметричный тензор второго ранга, его можно
привести к диагональному виду, т.е. выбрать такие ортогональные оси, которые
остаются ортогональными при данной деформации. Важно, что деформация тела не
является определенным свойством тела, таким как диэлектрическая проницаемость εij,
поляризуемость αij и т.д. Величина элементов тензора деформации σij зависит от
приложенной силы (механического напряжения), и поэтому направления главных осей
тензора деформации никак не связаны с симметрией кристалла. Исключение составляет
лишь деформация, возникающая в кристалле при нагревании, т.е. деформация при
тепловом расширении кристалла. Внешнее воздействие в этом случае является
ненаправленным (температура T – скаляр), и результирующая деформация согласуется с
симметрией кристалла.
    Действительно, если при однородном нагреве температура кристалла возрастает на
Т, то в кристалле появляется деформация eij=κijТ, где κij – симметричные тензор
теплового расширения (второго ранга). Он может быть приведен к главным осям, так
что существуют три главных направления и три главных коэффициента теплового
расширения: e1=κ1Т, e2=κ2Т, е3=κ3Т.
   Симметричным тензором II ранга описываются также такие свойства кристаллов, как
диэлектрическая проницаемость, магнитная проницаемость, диэлектрическая и
магнитная восприимчивость. Во всех этих случаях идет речь о тензоре II ранга,
связывающем между собою два вектора:

•   диэлектрическая проницаемость εi: Di=εijEj
•   диэлектрическая восприимчивость χij: Pi=χijEj
•   магнитная проницаемость µi: Bi=µijHj
•   магнитная восприимчивость ηi: Mi=ηijHj
•   удельная электропроводность σi: Ii=σijEj

   Тензор третьего ранга связывает вектор и тензор второго ранга и может описывать
такие свойства кристаллов как прямой пироэлектрический эффект – появление


поляризации Pi под действием механического напряжения σjk : Pi=dijkσjk, обратный
пьезоэлектрический эффект – появление деформации σjk в кристалле под действием
электрического поля Ej : σjk=d–1ijkEi. В этих выражениях dijk и d–1ijk – так называемый
прямой (и обратный) тензор пьзоэлектрических констант, а в выражениях
подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.
   Тензор четвертого ранга связывает два тензора второго ранга и может описывать
такие физические свойства как упругость, фотоупругость, электрострикцию. Вид
тензора 4-го ранга, число отличных от нуля констант, сокращенную форму записи
удобно будет продемонстрировать в следующем разделе на примере тензора упругости.
    Вид и ориентация тензора второго ранга κij, εij, µij, χij и других зависит от
симметрии кристалла и должен согласовываться с симметрией кристалла (см. рис.15).
Этот факт позволяет определять число независимых, отличимых от нуля компонент
любого тензора второго ранга с помощью методов теории групп.




Рис.15. Поверхность второго порядка является характеристической для тензора второго ранга, поскольку
компоненты тензора второго ранга при преобразовании координат преобразуются как коэффициенты
квадратичной формы Sijxixj=1. Всегда можно найти систему координат, в которой характеристическая
поверхность второго порядка будет иметь вид S1x12+S2x22+S3x32 = 1 и представляет собой: a) при S1,S2,S3>0
– эллипсоид, б) при S1,S2>0, S3<0 – однополостный гиперболоид, в) при S1,S2<0, S3>0 – двуполостный
гиперболоид.



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика