Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Физика фононов: Учебное пособие

Голосов: 2

Учебное пособие по физике фононов включает рассмотрение следующих тем: атомные силы в кристаллах и упругие свойства, упругие свойства кристаллов, колебания периодических цепочек, колебания кристаллической решетки, колебательные состояния кристаллов, ангармонизм колебаний.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                            а|n>=|n-1> const.

Константы, входящие в эти выражения, можно получить, так что
         действие операторов рождения и уничтожения возбуждения
                       выглядит следующим образом:




                                        a+|n>=(n+1)1/2|n+1>

                                          a|n>=(n)1/2|n–1>

           Таким образом, действие оператора a+ переводит систему в ближайшее более
        высокое состояние. Отсюда термин "оператор рождения". Оператор a, действуя на
        собственное состояние системы, переводит ее в ближайшее более низкое состояние;
        отсюда термин "оператор уничтожения".




        5.2 Ангармонический осциллятор и кристалл


           Ангармонизм колебаний легко учесть, рассматривая более высокие члены
        разложения потенциальной энергии по смещениям атомов. (К ангармоническим членам
        относятся члены порядка выше второго в этом разложении). Для отдельного
        осциллятора полный гамильтониан H можно тогда представить как сумму
        гармонической части гамильтониана Hо и ангармонической поправки H′:

                    )   )    )     )      h2 2        x2              )
                    H = Ho + H ′ ; Ho = −    ∇ + mω 2               ; H ′ = a3 x 3 + a 4 x 4
                                          2m          2

         Ангармоническая поправка учитывает кубический член и член четвертого порядка по
        смещению в разложении потенциальной энергии кристалла. Если возмущение H′ мало,
        то на основании теории возмущений можно найти, что поправка ∆εn второго порядка
        теории возмущений к энергетическому уровню εn0 гармонического осциллятора равна:

                                                          ′ ′
                                                        H mn H nm
                                     ∆ε n = H nn − ∑
                                              ′
                                                  n≠m   εn −εm
                                                         0      0



         Матричные злементы Hnn и H′nm в, входящие в это выражение, равны:

                        Hnn=<n|H′|n>;   H′nm=<m|H′|n>;        H′nm=<n|H′|nm>


 Они вычисляются при использовании невозмущенных (гармонических) волновых
функций |n> и |n′>.
 Оператор x3 (и x4), входящий в возмущение H′, может быть выражен через операторы
рождения a+ и уничтожения a и может, следовательно, повышать, либо понижать
квантовый уровень осциллятора, либо оставлять возбуждение осциллятора без
изменений. В последнем случае любой переход в более высокое (или более низкое)
состояние должен "одновременно" сопровождаться переходом в более низкое (высокое)
состояние. Поскольку действие оператора рождения a+ и оператора уничтожения a
известно, то можно вычислить член первого порядка H′nn и члены второго порядка H′nm
и H′mn диаграмным методом, используя следующие правила:

       1. Нарисовать горизонтальные линии – уровни энергии невозмущенного
осциллятора (поскольку в приближении рассматриваются невозмущенные волновые
функции);
 2. Невозмущенные состояния можно соединять наклонными стрелками вверх и вниз,
представляющими переходы между уровнями, описываемыми операторами рождения
а+ и уничтожения а возбуждения. Стрелка вверх ↑ соответствует вкладу в матричный
элемент величины [(h/2mω)(n+1)]1/2, а стрелка вниз ↓ – вкладу [(h/2mω)(n)]1/2 ;

3. Необходимо нарисовать столько переходов, каков порядок p возмущения:


                 x3=(a++a)3= a+3+....; x4=(a++a)4= a+4+....;   и т.д.;


4. Следует нарисовать все возможные переходы из данного состояния n в конечное
состояние m , используя число переходов, соответствующее порядку возмущения p. Это
отбирает из члена типа (а++а–)p разрешенные для данного перехода комбинации;

5. От каждой диаграммы получается член, состоящий из p вкладов (по одному от
каждой линии). Необходимо учесть, что могут существовать разные варианты
переходов из n в m , причем промежуточные состояния могут быть виртуальны.


 В нашем случае член первого порядка теории возмущений описывается матричным
элементом <n|H′|n>= H′nn , содержит два слагаемых (a3x3)nn и (a4x4)nn, и вызывает
смещение энергетического уровня на величину ∆ε1n(куб)       и ∆ε1n(четв). Очевидно
невозможно нарисовать три перехода так, чтобы начальное и конечное состояние было
бы одним и тем же состоянием n. Поэтому ∆ε1n(куб)=(a3x3)nn=0. Диаграммы,
представляющие член (a4x4)nn, показаны на следующей схеме:

                                Вклад в Hnn                       n2 n 1 n0
1.        n+2     -----------
          n+1     -----------     a+a+aa (n+1)(n+2)               1 3 2
                  -----------
2.       n+1      -----------     a+aa+a (n+1)(n+1)               1 2 1


          N       -----------
3.        n+1     -----------
         n        -----------          a+aaa+ (n+1)(n)                     1 1 0
          n–1     -----------

4.        n+1      -----------
          n         -----------        aa+a+a (n)(n+1)                     1 1 0
          n–-1     -----------
5.        n       -----------         a+aa+a    (n)(n)                     1 1 0
         n–1      -----------
6.       n       -----------
         n-1     -----------          aaa+a+ (n)(n-1)                      1 3 2
         n-2      -----------
                                                               Сумма 6n2+6n+3



    Таким образом, общий вклад члена четвертого порядка, вызывающего сдвиг
энергетического уровня осциллятора равен



          ∆ε1n(четв)=(a4x4)nn=a4(6n2+6n+6).



    Член второго порядка по возмущению H′nmH′mn включает и a3x3 и a4x4. Вклад члена
a4x имеет более высокий порядок, чем члена a3x3. Поэтому имеет смысл рассматривать
     4

только вклад, связанный с кубическим членом. Составляя подобные диаграммы для
каждого члена ряда и учитывая весовой множитель каждого члена [∆ε0n–∆ε0n]–1, можно
выполнить суммирование по всем разрешенным промежуточным состояниям и найти
вклад в сдвиг энергетического уровня осциллятора:



                                  ∆ε(2)n(куб) = –a23(30n2+30n+11).



Поэтому энергетические            уровни    ангармонического         осциллятора   определяется
следующим выражением:

                                   εn=(n+1/2)hω+A(n2+n)+A0

            A0=(h/mω)2(3a4/4–11a32/8mω2); A=(h/mω)2(3a4/2–15a32/4mω2).


Положение этих уровней показано на рис.48.




       Рис.48. Ангармонический осциллятор. а) Кривая потенциальной энергии ангармонического
осциллятора и аппроксимация ее параболической кривой (гармоническое приближение) Для
гармонического осциллятора собственные значения энергии En известны из решения уравнения
Шрёдингера En=ћω(n+1/2) и указаны на рисунке. В ангармоническом случае поправку к энергиям ∆En
можно рассчитать с помощью теории возмущений. б) Вычисление поправок к энергии диаграммным
способом. Поправка первого и второго порядка по теории возмущений выражается через матричные
элементы переходов Hnn,, Hn′n,, Hnn′ при использовании невозмущенных волновых функций |n> и |n′> и
может быть вычислена диаграммным методом, если использовать операторы рождения a+ и уничтожения


a возбуждений, которые либо увеличивают квантовое число на единицу, либо уменьшают его на единицу.
На диаграмме горизонтальными линиями указаны энергетические состояния гармонического
осциллятора с квантовыми числами …n-1, n, n+1… и т.д. Член первого порядка ∆E(1)n содержит вклады
(a3x3)nn и (a4x4)nn и вызывает смещение уровня на величину ∆En(куб) и ∆En(четв). Поскольку невозможно
нарисовать три перехода, чтобы и начальное и конечное состояние было бы одинаковым, член ∆En(куб)=0.
Вычисление члена четвертого порядка ∆En(четв) в первом приближении теории возмущений дает шесть
вариантов переходов с рождением и уничтожением возбуждения. Поскольку каждый акт рождения из
состояния n дает вклад, пропорциональный (n+1)1/2, а акт уничтожения из состояния n – вклад,
пропорциональный n1/2, суммарная поправка к энергии может быть вычислена как это показано на
диаграмме. В первой колонке показаны возможные переходы, во второй – последовательность действия
операторов, в третьей - вклады соответствующих процессов, а в четвертой колонке указаны раздельно
вклады в энергию при степенях квантового числа n: n2, n1, n0. Поправка во втором порядке теории
возмущений (сумма по всем возможным состояниям системы) обычно рассматривается только для
кубического ангармонического члена.




5.3. Фонон-фононные взаимодействия
    Учет ангармонизма при рассмотрении отдельного осциллятора приводит только к
перенормировке собственных значений системы (и, естественно, к изменению правил
отбора). При рассмотрении же набора ангармонических осцилляторов, которые имею
место в кристалле, задача становится более сложной. Набор ангармонических
осцилляторов никаким выбором новых координат невозможно свести к совокупности
независимых (невзаимодействующих) мод. Перекрестные члены в гамильтониане,
которые были исключены в случае набора гармонических осцилляторов выбором
нормальных осцилляторов и тем самым вводят взаимодействие между отдельными
осцилляторами (фононами). Вид матричных элементов в обоих случаях выглядит
следующим образом:


 H 11 )
   (0                                      (0
                                                     ′
                                         Н 11 ) + ∆H 11
          H 22 )
            (0
                       нули                                 (0
                                                                      ′
                                                          H 22 ) + ∆H 22        не нули
                   O                 и                                     O
          нули         H   (0)
                           nn                              не нули               (0
                                                                                           ′
                                                                               H nn ) + ∆H nn
                                 O                                                              O

    Поскольку в ангармоническом случае точно диаганализировать гамильтониан
невозможно, используют нормальные координаты, полученные в гармоническом
приближении. Это позволяет выделить основные несвязанные члены, входящие в
матричные элементы. Добавки ∆Hnn на диагонали фактически указывают на
перенормировку собственных значений (т.е. энергий фононов). Однако, в случае набора
ангармонических осцилляторов эта поправка комплексна. Действительная ее часть
характеризует изменение энергии реального физического фонона, а мнимая часть –
указывает на конечное время жизни. Недиагональные члены матричных элементов
характеризуют взаимодействие с другими фононами.
    Гамильтониан набора ангармонических осцилляторов имеет вид H=Ho+H , где Ho


– гармоническая часть, а H′ представляет собой кубический член и член четвертого
порядка при разложении потенциальной энергии в ряд по смещениям:



H ′ = H3 + H4 =
       ′    ′
                                1
                                   ∑ Фαβγ
                                3! nml ,
                                                       ( )U
                                                        nml
                                                        pqr
                                                                 p
                                                                nα   U mβ U lrγ +
                                                                       q            1
                                                                                       ∑ Фαβγδ
                                                                                    4! nmlk ,
                                                                                                                ( )U
                                                                                                                  nmlk
                                                                                                                  pqrs
                                                                                                                                 p
                                                                                                                                nα    U mβ U lrγ U ksδ
                                                                                                                                        q


                                      pqr ,                                             pqrs ,
                                      αβγ                                               αβλδ




Если использовать при учете ангармонизма нормальные (т.е. гармонические )
координаты Qj(k), то гамильтониан Ho будет иметь квадратичную форму, а добавка H′
вид:



H′ =
       1
           ∑B
       3! k1k2 k3
                      (   k1k 2 k 3
                          j1 j 2 j3   )Q    j1   (k1 )Q j 2 (k 2 )Q j 3 (k 3 ) +
                                                                                    1
                                                                                         ∑B
                                                                                    4! k1k2 k3k 4
                                                                                                      (   k1k 2 k 3 k 4
                                                                                                          j1 j 2 j3 j4    )Q   j1   (k1 )Q j 2 (k 2 )Q j 3 (k 3 )Q j 4 (k 4 )
          j1 j 2 j3                                                                    j1 j 2 j3 j4




Ясно, что в этом случае кубический ангармонический член связывает три нормальные
координаты и, следовательно, характеризует процесс взаимодействия трех фононов
Qj1(k1), Qj2(k2), Qj3(k3) с волновыми векторами k1, k2, k3 , принадлежащие ветвям j1, j2, j3
соответственно. Член четвертой степени описывает взаимодействие четырех фононов
Qj1(k1), Qj2(k2), Qj3(k3), Qj4(k4).
 Поскольку общий вид нормального колебания представляет собой функцию Блоха с
множителем exp[i(krn)], то в произведении Qj1(k1)*Qj2(k2)*Qj3(k3) для трехфононного
процесса будет входить множитель exp[i(k1rn)]*exp[i(k2rn)]*exp[i(k3rn)], который из-за
условий периодичности кристалла должен быть инвариантен относительно добавлению
к вектору rn произвольного вектора ri:



                                            exp[i(k1+k2+k3,ai)]=1 и, значит, k 1+k2+k3=K m ,



где Km=b1m1+b2m2+b3m3 – целочисленный вектор обратной решетки. Аналогично
сказанному, для четырехфононных процессов будет выполнено


                                                                         k1+k2+k3+k4=Km


 Эти выражения представляют собой закон сохранения импульса k фонона: при
взаимодействии сумма импульсов взаимодействующих фононов сохраняется с
точностью до целочисленного вектора обратной решетки Km. Отличие этого закона


сохранения от классического связано с наличием трансляционной симметрии
кристалла. Именно поэтому импульс фонона (как и других частиц) называется
квазиимпульсом, а сами частицы носят название квазичастиц). В частном случае, когда
Km =0, процесс носит название N-процесса (normal), в случае Km≠0 – U-процесса (
umklap).
 Члены, описывающие взаимодействия трех и четырех фононов, можно записать через
оператора рождения и уничтожения фононов и использовать формализм, развитый для
отдельного ангармонического осциллятора. Для представления взаимодействия
фононов часто используются диаграммы, указывающие временное развитие процесса
взаимодействия. Помимо выполнения закона сохранения квазиимпульса должен быть
выполнен закон сохранения энергии.

                              hω(k1)=hω (k2)+hω (k3)


     Первый процесс на рис.49 представляет собой процесс ангармонического распада
фона с энергией hω(k) и квазиимпульсом hk на два других фонона с импульсами hk1 и
hk2. Возможен также и обратный процесс аннигиляции двух фононов с образованием
третьего. Эти процессы определяются кубическим членом гамильтониана H′3 и
описываются первым порядком в теории возмущения - член <n′|H′3|n>. Возможно
рассмотреть вклад в фонон-фононное взаимодействие и члена второго порядка теории
возмущения, включающего все виртуальные процессы, в результате которых при
распаде одного фонона появляются два (рис.49). Очевидно, имеется бесконечное число
таких процессов. Там же показаны некоторые из возможных четырехфононных
процессов. Они классифицируются как по порядку взаимодействия (число фононов),
так и по величине вкладов. Кроме того, необходимо указание на относительную
величину параметра κ, появляющегося в разложении ангармонического потенциала
H′=κH′3+κ2H′4+κ3H′5. На рисунке указаны также некоторые многофононные процессы
высоких порядков и указан порядок вклада этих процессов по возмущению и по
параметру κ. При учете взаимодействия во втором порядке теории возмущения
необходим правильно суммировать по всем промежуточным (виртуальным)
состояниям, приводящим к конечному результату. Для учета членов 2-го порядка в 4-х
фононном процессе (рис.49) нужно просуммировать следующие матричные элементы:



                                        ′         ′
                                  ⎛ m H 3 k1 k1 H 3 n ⎞
                               ∑⎜ ⎜
                               л1 ⎝     En − Em
                                                      ⎟
                                                      ⎟
                                                      ⎠



где k1 - промежуточное виртуальное состояние, для которого не требуется выполнения
закона сохранения энергии. Выполнение же закона сохранения квазиимпульса
требуется в каждом взаимодействии (т.е. в каждой точке диаграммы).


        Рис. 49. Трехфононные процессы, которые могут давать вклад в изменение числа фононов n(k,j).
Km – целочисленный вектор обратной решетки. Процессы 1б и 2б не отличаются от процессов 1a и 2a.
Процессы 1 и 4 увеличивают число n(k,j) фононов, а процессы 2 и 3 – уменьшают его.


       Рис. 50. Некоторыечетырехфононные процессы, которые могут давать вклад в изменение числа
фононов n(k,j). Km – целочисленный вектор обратной решетки



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика