Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Физика фононов: Учебное пособие

Голосов: 2

Учебное пособие по физике фононов включает рассмотрение следующих тем: атомные силы в кристаллах и упругие свойства, упругие свойства кристаллов, колебания периодических цепочек, колебания кристаллической решетки, колебательные состояния кристаллов, ангармонизм колебаний.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    Рис.47. Процент механической энергии в реальном возбуждении кристалла (в поляритоне) в зависимости
от величины волнового вектора k.



При малых волновых векторах нижняя ветвь I представляет собой в основном
поперечное электромагнитное колебание, и по мере увеличения k процент
механической энергии в колебании этого типа растет, а частота приближается к частоте
поперечной механической волны. В верхней ветви II, наоборот, при малых k волна
представляет на 70% механическое возбуждение с частотой вблизи ωLO, а при больших
значения вектора k это в основном поперечная электромагнитная волна с
дисперсионной зависимостью (ck/ω)2=ε∞..

       Таким образом, реальное возбуждение в кристаллической решетке представляет
собой смешанное механическое и электромагнитное возбуждение, которое называется
поляритоном, а каждому значению волнового вектора в кристалле соответствует три
волны: одна продольная механическая волна и две смешанные поперечные волны с
различным значением механических и электромагнитных вкладов.




4.5. Нормальные колебания. Фононы.


    Рассмотрение решений колебательной задачи трехмерного кристалла указывает,
что каждый атом (n,l) может участвовать в колебаниях, отличающихся волновым
вектором k, амплитудой A и частотой ωj(k):
                                         i ( ω j ( k ) t + ( k . r ))
               U nα (k ) = A ljα (k )e
                 l
                                                                        ; n = 1,2...N ;            l = 1, 2....s ;             α = x, y , z .




  Произвольное движение атомов может быть представлено как линейная
    суперпозиция отдельных гармонических движений, отличающихся
   волновым вектором k (а значит и частотой ωj(k)) и номером ветви j :




                                3 sN                                                               3 sN
                           1                                                                  1
                U nα =
                  l

                            N
                                ∑ a j (k ) Aljα (k ) e i [ω ( k )t +( k ,rn )] =
                                j ,k                                                              N
                                                                                                    ∑Q
                                                                                                   j ,k
                                                                                                          j   (k , t ) A ljα (k ) e i ( k ,rn ) ,




где величины
                                                                                   iω j ( k ) t
                                                 Q j (k , t ) = a j (k ) ⋅ e

– весовые множители, характеризующие относительный вклад в амплитуду движения
атома с номером (n,l) конкретной моды с волновым вектором k и частотой ωj(k).
Суммированиe в этом выражении производится по всем N возможным дискетным
значениям волнового вектора k=(2π/Na)p и по 3s ветвям с номером j.
   Полная энергия E (кинетическая T и потенциальная V) колеблющейся решетки имеет
   вид


                                    1                    1
                    E = T +V =        ∑ ml (U nl α ) 2 + 2 nm,lpФαβ ( ln,−pm ) U nl α U mpβ .
                                    2 n , lα
                                             &              ∑

      Член, отвечающий кинетической энергии достаточно прост – это сумма
  кинетических энергий определенных частиц кристалла. Поэтому суммирования
  происходит по всем точкам физического пространства кристалла. Член,
  описывающий потенциальную энергию имеет другой вид, – это сумма перекрестных
  членов, относящихся к разным точкам реального пространства. Это связано с тем,
  что потенциальная энергия зависит от взаимных смещений атомов, находящихся в
  разных узлах решетки.
      Ясно, что подходящим преобразованием исходных координат Ulnα можно
  перейти к новым координатам Qj(k), в которых и кинетическая и потенциальная
  энергия кристалла будет представлена в виде суммы квадратов, т.е. будет
  отсутствовать перекрестные члены. Физический смысл преобразования,
  приводящего к диагональному виду сразу две квадратичные формы, достаточно ясен.
  Первым шагом нужно выбрать такое преобразование исходных координат, которое
  диагонализирует первую квадратичную форму. Это всегда можно сделать, поскольку
  в координатах, совпадающих с главными полуосями поверхности второго порядка
  (гиперэллипсоида), с которой ассоциируется квадратичная форма, она будет
  диагонализирована. При этом вторая квадратичная форма изменится, но в общем
  случае диагональной не станет. Вторым шагом можно проделать преобразование,
  при котором гиперэллипсоид первой формы преобразуется в гиперсферу, а вторая
  квадратичная форма опять останется недиагональной. Последним шагом явится
  такое преобразование координат, при котором координаты могут быть выбраны
  совпадающими с главными полуосями гиперповерхности второго порядка,
  соответствующей второй квадратичной форме. В этих координатах вторая
  квадратичная форма будет диагонализирована, в то же время первая квадратичная
  форма останется квадратичной, поскольку была гиперсферой.
      Выбранные таким образом координаты называются нормальными координатами.
  Они являются линейными комбинациями исходных декартовых координат,
  изменяются по косинусоидальному (или синусоидальному) закону и описывают
  движение всех частиц системы с одной частотой и различной амплитудой.
  Нормальные координаты определяются преобразованием, обратным к (*)


                                           {                   }
                                                                                       s
                               1
                                    ∑ ml Aljα (k ) e i ( k ,rn ) U nl α ;     M = ∑ ml .
                                                                ∗
              Q j (k , t ) =
                               NM   nlα                                               l =1



                   Используя эти координаты, можно получить
выражение для энергии колебаний кристалла, которое не будет содержать
перекрестных членов, относящимся к разным точкам пространства:


                               3 sN
                                    ⎧1 •       1                 ⎫
                           E = ∑ ⎨ M Q j (k ) + Mω 2 (k )Q 2 (k )⎬ .
                                                   j
                               k, j ⎩2         2                 ⎭




Суммирование в этом выражении происходит по N значениям волнового вектора k и 3s
ветвям j. Таким образом, полная энергия кристалла может быть представлена в виде
суммы энергий независимых осцилляторов, характеризуемых волновым вектором k и
частотой ωj(k). В отличии от выражения энергии в координатах смещений, данное
выражение содержит сумму по аргументам, относящимся к одной точке пространства
волновых векторов k (т.е. обратного пространства). Используя выражение для
обобщенного импульса

                                          dE         •
                              Pj (k ) =    •
                                                = M Q j (k ) ,
                                          dQj

полную энергию кристалла можно записать в виде :

                          3 sN
                                ⎡ 1 2         1                 ⎤
                       E =∑ ⎢        Pj (k ) + Mω 2 (k )Q 2 (k )⎥ .
                                                  j       j
                          k , j ⎣ 2M          2                 ⎦

    Квантовые возбуждения нормальных координат или осцилляторов называются
фононами. Связь между нормальной модой механического колебания и фононом такая
же как между электромагнитной волной и фотоном. Это, естественно, не может служить
основой для квантования механической волны по аналогии с электромагнитной.
Однако, механические возбуждения в определенных условиях ведут себя как
квазичастицы с энергией hω и импульсом hk и во многих разделах физики твердого тела
можно найти аргументы в пользу концепции фонона.
       Переход к квантовомеханическому описанию производится обычным путем
    перехода к оператору импульса Pj и сопряженной ему координаты Qj:

                              )    h d             )
                              Pj =        ;        Qj = Qj .
                                   i dQ j
Тогда уравнение Шредингера Ĥψ=Eψ с гамильтонианом


                       )        ⎛ − h2 d 2    1                   ⎞
                       H =∑ ⎜                + Mω 2 (k ) Q 2 (k ) ⎟
                                ⎜
                          k , j ⎝ 2 M dQ j
                                           2
                                              2
                                                  j        j
                                                                  ⎟
                                                                  ⎠


распадается на 3sN отдельных независимых уравнений для каждой из координат Qj(k).
Волновая функция ψ(Qj), описывающая возбуждение кристалла, равна произведению
волновых функций каждого независимого осциллятора


                                  ψ = ∏ψ V (Q j (k )) ,     kj
                                             k, j




    где Vk,j – колебательное квантовое число осциллятора с координатой Qj(k), а ψVkj –
волновая функция этого осциллятора с энергией

                                   ε V = hω V (Vkj + 1 ) .
                                        kj           2     kj




    Уровни энергии гармонического квантового осциллятора и собственные функции
для этих квантовых состояний показаны на рис.XX. Полная энергия кристалла равна
сумме энергий независимых осцилляторов

                            E = ∑ ε kj = ∑ hω j (k )(Vkj + 1 ) .
                                                           2
                                 k, j               k, j



    Минимальное значение энергии квантового кристалла 1/2Σhωj(k) носит название
энергии нулевых колебаний. До тех пор, пока тепловая энергия кристалла невелика, и
колебания атомов остаются гармоническими, энергию можно представить в виде
квадратичной формы (нормальных координат). Это означает, что энергия
механического возбуждеия кристалла может быть представлена в виде суммы энергий
невзаимодейстующих частиц. Поэтому в гармоническом приближении фононы ведут
себя подобно идеальному газу – они могут сталкиваться упруго без передачи энергии
(но при выполнении закона сохранения квазиимпульса). Состояние кристалла можно
задать, используя числа, указывающие сколько фононов каждого сорта, существует при
данной температуре. Эти числа носят название чисел заполнения. Набор чисел
заполнения |n> указывает, сколько фононов соответствует каждой из возможных мод с
имульсом k из ветви j:

                           |n>=|n(k1,j1),n(k2,j2)....n(kN,j3s)>.


Основное состояние кристалла с энергией 1/2Σhωj(k).Когда в нем нет фононов,
характеризуется набором чисел заполнения |0>=|0,0,0...0>. Состояние кристалла, в
котором возбужден лишь один фонон из ветви j с импульсом k можно записать так
|0,0,.....1(k,j)...0,0>.


                       5. АНГАРМОНИЗМ КОЛЕБАНИЙ




    В рамках модели гармонического кристалла нельзя объяснить некоторые
экспериментальные факты, такие как тепловое расширение кристалла, конечное
значение коэффициента теплопроводности, зависимость упругих постоянных кристалла
от давления и температуры. Серьезным доказательством наличия ангармонических
эффектов являются также эксперименты, указывающие на наличие взаимодействия
между фононами, в результате чего появляется новый фонон.



5.1 Гармонический осциллятор

В гармоническом приближении колебательные движения атомов кристалла удобно
рассматривать, вводя нормальные координаты, как колебания 3Ns независимых
осцилляторов. При квантовомеханическом рассмотрении энергии этих осцилляторов
квантуются, а квант энергии осциллятора носит названия фонона. Таким образом,
задача анализа колебательных возбуждений кристалла сводится к рассмотрению
механики одномерного осциллятора. Гамильтониан одномерного гармонического
осциллятора имеет вид:

                             )    h2 d 2       2 x
                                                   2
                             H =−         + mω
                                  2m dx 2        2

               Решение стационарного уравнения Шредингера
                                    )
                                    Hψ = Eψ

с таким гамильтонианом переводит его в стандартное дифференциальное уравнение, а
именно в уравнение Эрмита. Требование физической реальности - убывание волновой
функции на бесконечности, т.е. условие, чтобы волновые функции имели
интегрируемый квадрат (условие нормировки) – приводит к тому, что энергетические
уровни квантового осциллятора принимают только некоторые дискретные значения

                                 ЕV = hω (V + 1 )
                                              2



где V – колебательное квантовое число. Основное состояние имеет энергию hω/2 и
называется нулевой энергией осциллятора, а энергетические уровни представляют
собой эквидистантные уровни энергии. Волновые функции состояний с квантовым
числом V выражаются через полиномы Чебышева-Эрмита и имеют вид


                                                                              mω
                                            1                      mω 1 2 − 2 h x 2
                     ψ V ( x) = ℜ                       H V [ x(      ) ]e
                                    (V ! 2 ln 2)1   2
                                                                    h

где HV[x(mω/h)1/2] – полиномы Эрмита. Вид первых нескольких уровней и волновых
функций этих возбужденных состояний показаны на рис.*.

Из этих выражений ясно, что энергия осциллятора равномерно распределена по
уровням, и он может принимать энергию только в количестве, кратном hω. Степень
вырождения каждого состояния линейного гармонического осциллятора равна единице.
    Гармонический осциллятор в трехмерном пространстве можно представить как
совокупность трех линейных гармонических осцилляторов с энергией, зависящей от
трех квантовых чисел n1, n2, n3

   En1+En2+En3= hω (n1+n2+n+3/2) = hω (n+3/2)

     Здесь n=n1+n2+n3. Поскольку есть много возможностей выбрать три целых числа
n1, n2, n3 так, чтобы получить данное целое число n, то уровни энергии трехмерного
осциллятора вырождены. Например, для первого возбужденного состояния с n=1
можно выбрать три варианта: n1=1, n2=n3=0, или n2=1, n1=n3=0 или n3=1, n1=n2=0. Эти
три различных колебательных состояния отвечают движению вдоль направлений x,y,z и
соответственно имеют одну и ту же энергию. Для более высоких возбужденных
состояний имеется еще больше комбинаций из трех чисел, сумма которых определяет
энергию данного уровня. Поэтому при суммировании по состояниям нужно вводить
соответствующий весовой множитель g, который учитывает это обстоятельство и
называется кратностью вырождения состояния. Легко можно найти всевозможные
комбинации трех чисел, составляющие в сумме заданное число и в общем случае.
Очевидно, имеется n+1 возможность выбора первого числа, скажем r(=0,1...,n); второе
число можно выбрать между 0 и n–r, следовательно, для него имеется n–r+1
возможность; третье квантовое число определится уже точно. Поэтому степень
вырождения g уровня с квантовым числом n равна

                                    n
                           g = ∑ (n − r + 1) = 1 (n + 1)(n + 2) .
                                               2
                                r =0


    Кратность вырождения состояний трехмерного осциллятора для первых нескольких
уровней показана на рис.*. Кристалл, содержащий s атомов в элементарной ячейке и
имеющий N элементарных ячеек, можно рассматривать как совокупность 3sN линейных
осцилляторов, а не как sN трехмерных осцилляторов, поскольку уравнения движения
этих осцилляторов полностью разделяются.
    Квант энергии колебаний кристаллической решетки – фонон – отличается
величиной энергии hωj(к), волновым вектора k ,а. значит импульсом hk, и номером
ветви j. Число колебательных ветвей равно 3s, число различных значений волнового
вектора k – N, так что в кристалле может существовать 3sN различных фононов. В
гармоническом приближении фононы по многим свойствам ведут себя подобно
идеальному газу. Все они движутся независимо друг от друга и не взаимодействуют


друг с другом. Поэтому кристалл можно рассматривать как сосуд, а фононы – как
точечные частицы в k-пространстве. Отличие подобной системы от идеального газа
заключается лишь в том, что число фононов, вообще говоря, не сохраняется. При
повышении температуры, когда кристалл получает тепловую энергию, появляются
новые фононы, а при охлаждении число фононов уменьшается.
    Фононы – частицы без спина и поэтому подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.
Действительно, относительная вероятность найти систему (осциллятор) при
температуре T в состоянии с энергией Ej равна Wj=gjexp(–Ej/kT), где gj – степень
вырождения состояния j. Поскольку полная вероятность найти систему в любом из
возможных состояний равна единице, то абсолютная вероятность pj найти ее в
состоянии с энергией Ej равна
                                                                   Ej
                                                               −
                                                      g je         kT
                                      pj =                              Ej
                                                                             .
                                                                   −
                                                  ∑g  j
                                                           j   e        kT




Тогда среднее значение энергии E системы с набором стационарных состояний Ej
можно вычислить следующим образом.
                                                      Ej
                                                  −
                                                                                      E
                           ∞         E j g je         kT
                                                                      −1            −
                                                                                       j

                     E = ∑Ej pj =                          =              ln ∑ g j e kT
                                                                   d( 1 )
                                                      Ej
                                                  −
                                     ∑g e
                          j =1                                               j
                                              i
                                                      kT               kT
                                          j



Здесь суммирование ведется по всем состояниям системы от j=1 до j=∞. Для
гармонического осциллятора с энергией En=hω(n+1/2) это выражение можно записать
следующим образом


                         hω          hω                                          hω
               −1      −        ∞    −  n     −1      −         1       hω    hω
       E=          ln e 2 kT ⋅ ∑1 ⋅ e kT =        ln e 2 kT        hω
                                                                      =    + hω      .
            d( 1 )             n =0        d( 1 )                −       2
                kT                             kT           1 − e kT        e kT − 1


Поэтому среднее значение энергии осциллятора при температуре T равно энергии
нулевых колебаний плюс величине кванта hω, домноженного на величину
n=1/[exp(hω/kT)-1], называемую фактором Бозе-Эйнштейна, который показывает
среднее число фононов hω в кристалле при температуре Т. При низких температурах,
когда kT<<hω, число фононов n(Т)∝ exp(–hω/kT), т.е. растет экспоненциально с
увеличением температуры. В то же время при высоких температурах, когда kT>>hω,
число фононов в кристалле n(T)∝ kT/hω и изменяется пропорционально температуре T.
Поэтому увеличение тепловой энергии в кристалле можно рассматривать как процесс
рождения новых фононов. С другой стороны, если кристалл охлаждается и отдает
энергию, это означает, что фононы уничтожаются или аннигилируют.


    Процесс рождения и уничтожения фононов удобно представить с помощью
квантовомеханических операторов рождения и уничтожения, действующих на функцию
состояния системы. Гамильтониан одиночного гармонического осциллятора,
записанный через сопряженные координату x и импульс p, имеет следующий вид:

                                     ) p2         x2
                                     H=    + mω 2
                                        2m        2

 Сопряженные операторы координаты x и импульса p подчиняются соотношению
коммутации (скобки Пуассона) такого типа [x,p]=ih.

 Можно выбрать новые операторы рождения a+ и уничтожения а возбуждения,
введенные как линейные комбинации операторов координаты и импульса с помощью
простого преобразования
                                 1                         1

                     ) ⎛ h ⎞2 ⊕                 ) ⎛ mωh ⎞ 2 ⊕
                     x =⎜     ⎟ (a + a) ;       p=⎜     ⎟ (a − a)
                        ⎝ 2mω ⎠                   ⎝ 2 ⎠

Коммутационные соотношения для этих операторов проще и имеют вид

                                         [a,a+]=1



Выражая теперь H через эти операторы, получаем



       )   1 ⎛ mωh ⎞ + +                           h
                   ⎟(a a + aa − a a − aa ) + mω
                                 +      +
       H=    ⎜
                                                2
                                                      (a + a + + aa + a + a + aa + )
          2m ⎝ 2 ⎠                                2mω




   Таким образом, гамильтониан имеет вид
                ) hω +               hω +
               H=    (a a + aa + ) =    (a a + 1) = hω (a + a + 1 )
                                                                2
                   2                  2

 Квантовые свойства системы определены этим гамильтонианом и операторами
рождения а+ и уничтожения a возбуждения. Поскольку произведение вида а+а
встречается довольно часто и играет важную роль, часто определяют оператор

                                         Х=а+а.

Скобки Пуассона оператора Х с оператором a и a+ выглядят так

                      [Х,а] = Ха-аХ = а+аа-аа+а = (а+а-аа+)а = -а


 Аналогично находим

                                    [Х,a+] = a+

 Как легко видеть из выражения для гамильтониана, его собственные значения
определяются собственными значениями оператора Х=а+а. Эти собственные значения -
целые положительные числа, поскольку решение для гармонического осциллятора
хорошо известно. Пусть собственные вектора или волновые функции Ψ (собственные
состояния) обозначаются по Дираку как | >. Это - "кет-вектор". Вектор, комплексно
сопряженный кет-вектору, т.е. Ψ* записывается < | и называется "бра-вектор". Запись
<|A|> означает интеграл вида
                                  ∫ψAψ dτ = A
                                       ∗




и называется "бра-кет". Это удобные обозначения для работы с операторами рождения
и уничтожения возбуждений. Для оператора Х можно написать


                                     Х|>=n|>




  Здесь n - натуральное положительное число. Легко проверить, что действие
операторов Ха и Хa+ на состояние |> дает



             Ха|>=а(Х–1)|>=а(n–1)|>=(n–1)а|> ;       Ха+|>=(n+1)a+|>



  Поэтому а|> и a+|> можно рассматривать как собственные состояния оператора Х,
имеющие собственные значения n–1 и n+1 соответственно. Тогда, если рассматривать
наинизшее состояние |0>, то собственному состоянию a+|0>, согласно написанному
уравнению, соответствует собственное значение n=1. Следовательно, состояние a+|0>
можно записать так:

                                 a+|0>=|1> const.

   Повторяя этот процесс n раз, получим

                                a+|n>=|n+1>const.

  Аналогично действие оператора а на систему выглядит так:



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика