Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Физика фононов: Учебное пособие

Голосов: 2

Учебное пособие по физике фононов включает рассмотрение следующих тем: атомные силы в кристаллах и упругие свойства, упругие свойства кристаллов, колебания периодических цепочек, колебания кристаллической решетки, колебательные состояния кристаллов, ангармонизм колебаний.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                                                   4π b12 b21
                                                    divE = −              ⋅ divW
                                                               1 − 4π b22




но W=Wt+Wl причем divWt=0, а divWl=0.


                                                 Отсюда следует, что




                                                           4π b12 b21
                                                divE = −              ⋅ divWl
                                                           1 − 4π b22




что, очевидно удовлетворяется при

                                                           4π b12 b21
                                                  E=−                 ⋅ Wl
                                                           1 − 4π b22


    При подстановке этого выражения в первое уравнение движения получим
уравнение

                                     ••    ••                          4π b12 b21
                                     W t + W l = b11Wt + b11Wl −                  ⋅ Wl ,
                                                                       1 − 4π b22

в котором можно разделить независимые выражения для соленоидальной Wt (divWt=0) и
потенциальной Wl (divWl≠0)составляющей смещений.

                                ••               4π b12 b21                   ••
                               W l = (b11 −                 ) ⋅ Wl ;          W t = b11Wt
                                                 1 − 4π b22

                       Решение второго уравнения действительно дает, что коэффициент –b11 в уравнении равен квадрату
поперечной оптической частоты –b11=ωTO2. Первое уравнение дает при этом связь между частотой поперечного и продольного
оптического колебания.


                              ••                       (ε o − ε ∞ ) ⋅ ω TO
                                                                        2
                              W l = (−ω TO −
                                        2
                                                                             ) ⋅ Wl
                                                                 ε∞
                              ••
                              W t = −ω TO ⋅ Wt
                                       2



   Эта связь дается выражением

                                                                                      2
                                           (ε o − ε ∞ ) ⋅ ω TO
                                                            2
                                                                             ⎛ ω LO   ⎞  ε
                    ω   2
                             =ω   2
                                       +                         ;           ⎜
                                                                             ⎜ω       ⎟ = o
                                                                                      ⎟
                        LO        TO
                                                  ε∞                         ⎝ TO     ⎠  ε∞

последнее соотношение называется соотношением Лиддейна-Сакса-Теллера (LST).
    Смысл полученного результата состоит в том, что при наличии зарядов на
колеблющихся частицах при оптических колебаниях кристалл происходит изменение
поляризации среды, и поэтому колебания можно разделить на продольные и
поперечные (относительно вектора поляризации), причем для k≈0 имеет место
соотношение Лиддейна-Сакса-Теллера. Существует два предельных случая, когда в
двухатомном кристалле заряды на атомах одинаковы и когда они сильно различаются.

A. Гомополярный кристалл – типичный представитель алмаз.
Атомы кристалла алмаза нейтральны и поэтому εo=ε∞=n2, а ωLO=ωTO. При движении
атомов в кристалле не возникает кулоновского электрического поля, и возвращающая
сила одинакова как для продольного, так и для поперечного смещения частиц. Поэтому
и частоты продольных и поперечных волн одинаковы.

B. Ионный кристалл, типичным представителем которого является хлористый натрий –
NaCl. В нем εo=5.62, ε∞=2.25 и ωLO>ωTO. Физическая причина различия частот в том,
что при продольных колебаниях заряженных частиц возникает электрическое поле
вдоль вектора k, которое увеличивает возвращающую силу, действующую на ион.
Поэтому частота продольной волны становится выше. Поперечная волна вообще не
создает электрического поля поскольк для нее divWt=0, а значит не происходит
макроскопического изменения объема среды и, следовательно, изменения
макроскопического объемного заряда.
   Справедливость соотношения LST подтверждается рядом экспериментальных
фактов, некоторые из которых приведены в таблице.


                                                       Таблица 11.
     ИЛЛЮСТРАЦИЯ СООТНОШЕНИЯ ЛИДДЕЙНА-САКСА-ТЕЛЛЕРА
ЧАСТОТЫ (в см-1) ПРОДОЛЬНЫХ И ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ В НЕКОТОРЫХ
                           КРИСТАЛЛАХ


          кристаллы          ωTO                 –εо                  ε∞        ωLOтеория      ωLOэксп

          CdTe           140.4              10.6             7.13              170.4          171.8
          CdS            241.2              9.2              5.24              314.6          306.5


               ZnSe              209.7          8.1             5.75           250.1          253.3
               AlAs              318            11.5            10.1           340            345
               GaAs              297            12.5            9.9            332            373
               GaSb              230            15              14             235            240.8
               GaP               366            10.2            8.5            404            404.3


    Соотношение LST справедливо для k≈0, ибо в выводе предполагалось наличие однородности поляризации кристалла на
протяжении многих элементарных ячеек, чтобы воспользоваться макроскопическим описанием. При больших k эти выводы не
справедливы, но продольное длинноволновое кулоновское поле должно сказываться на поведении ветвей и внутри зоны Бриллюэна.
В частности, теоретические соображения показывают, что даже в почти гомополярных кристаллах ветви LO и TO, вырожденные для
k=0, могут расщепляться при k→π/a. Важную роль в величине расщепления играет эффективный заряд иона Z (собственный плюс
индуцированный). Величина εо–ε∞ связана с величиной этого заряда Z формулой Сцигетти


                                                         4π (ε o + 2) 2 Z 2
                                            εo − ε∞ =
                                                            9VMω TO 2



где V – объем элементарной ячейки, а M – ее приведенная масса. Чем больше ионность
соединения, тем больше величина эффективного заряда Z. Например, для
полупроводникового кристалла ZnS эффективный заряд равен Z=(0.32±0.16)e от заряда
электрона, что указывает на частично ионный, частично ковалентный характер связи в
нем.




        Рис.43. Зависимость поведения продольных LO и поперечных TO ветвей в зоне Бриллюэна от
величины eэфф эффективного заряда на атомах двухатомного кристалла: 1 - eэфф=0; 2 - eэфф<0.7e; 3 -
eэфф~0.7e; 4 - eэфф>0.7e.


    Поведение оптических ветвей в зоне Бриллюэна в зависимости от эффективного
заряда схематически показано на рис.43. При увеличении степени ионности
двухкомпонентного соединения увеличивается величина LO-TO расщепления в центре
зоны Бриллюэна. При этом увеличивается величина расщепления частот между
акустическими и оптическими ветвями на границе зоны Бриллюэна, поскольку
увеличение степени ионности должно сопровождаться возрастанием разницы масс


между различными атомами (необходимо брать атомы, отстоящие дальше друг от друга
в таблице Менделеева). Эти общие закономерности подтверждаются экспериментально
и демонстрируются на рис.44. Соотношение LST ωLO=(εо/ε∞)1/2ωTO, полученное для
кубического кристалла, когда есть одна оптическая инфракрасная (ИК) активная мода,
можно распространить на кристаллы, имеющие большее число оптических ветвей.
Подобное обобщение можно сделать и для кристаллов более низкой симметрии. В
общем случае s частиц в элементарной ячейке кристалле будет 3s ветвей. Из них 3 ветви
- акустические, 3s-3 - оптические. Среди этих оптических ветвей 2(s-1)-поперечные и (s-
1) - продольные. Однако, отличие частот поперечных и продольных колебаний (TO-LO
расщепление) будет только для ИК активных колебаний. Обобщенное соотношение
Лиддейна, Сакса, Теллера для кристаллов не кубической сингонии выглядит так:

                                               2
                                 s −1
                                      ⎛ ω ( j) ⎞    ε
                                 ∏ ⎜ ω LO ( j ) ⎟ = ε o .
                                      ⎜
                                 j =1 ⎝
                                                ⎟
                                         TO     ⎠     ∞


       Рис.44. Зависимость частот LO и TO ветвей для разных точек зоны Бриллюэна, полученных из
экспериментов в бинарных кристаллах группы АIIBУI: a) - зависимость величины LO-TO расщепления в
центре зоны Бриллюэна (Г-точка) от величины эффективного заряда на атомах; б) - зависимость
отношения LO-TO частот на границе зоны от атомного номера Z для бинарных соединений; в) -
отношение частот LO-TO колебаний на границе зоны в зависимости от соотношения масс m1/m2. Нужно
иметь ввиду, что на границе зоны Бриллюэна в акустических колебаниях покоятся легкие атомы, а
тяжелые колеблются; в оптических колебаниях покоятся тяжелые атомы, а колеблются легкие.




    Здесь εо – статическая диэлектрическая проницаемость кристалла, а ε∞ –


высокочастотная диэлектрическая проницаемость, равная квадрату показателя
преломления n2. Для анизотропных кристаллов с симметрией выше орторомбической
диэлектрическая проницаемость представляется тензором с элементами εxx, εyy, εzz,
причем оси тензора совпадают с кристаллографическими направлениями в кристалле.
Тогда для каждого направления можно ввести LO и TO колебания, для которых
выполнено

                                                 2
                               s −1
                                    ⎛ ω LO ( j ) ⎞  ε ( xx )
                               ∏ ⎜ ω ( j) ⎟ ε (
                                    ⎜
                               j =1 ⎝
                                                 ⎟ = o xx )
                                        TO       ⎠    ∞


4.4. Эффект "запаздывания". Поляритон

    При рассмотрении длинноволновых оптических колебаний кристалла делалось
неявное допущение, что скорость распространения электрического поля, возникающего
при колебаниях зарядов и действующего на эти заряды, бесконечно велика, т.е. c=∞. На
самом деле, скорость распространения электромагнитного взаимодействия конечна, тем
более в области оптических частот, где n>1. Она может быть сравнима с групповой
скоростью распространения упругих волн. В таком случае колебания ионов кристалла
вызывает поле, которое воздействует на колебания решетки не мгновенно, но с
запаздыванием. Для учета этого эффекта к уравнениям движения необходимо добавить
уравнения Максвелла:

                                          ••
                                         W = b11W + b12 E
                                         P = b21W + b22 E
                                                1 dH
                                         rotE =   ⋅
                                                c dt
                                                   1 ⎛ dE      dP ⎞
                                         rotH = − ⎜       + 4π    ⎟
                                                   c ⎝ dt      dt ⎠
                                         divD = 0
                                         divH = 0
                                         D = E + 4π P

Уравнения Максвелла написаны для немагнитной среды (µ=1), и в случае отсутствия
свободных зарядов.
Если механические колебания решетки и электромагнитное поле, описываемое
уравнениями Максвелла, независимы друг от друга, дисперсионные зависимости
механических движений и электромагнитного поля друг с другом никак не связаны, и
дисперсионное уравнение для электромагнитного поля в кристалле будет иметь вид:
ω=ck/ε1/2 (см. рис 40.). Правда, здесь неясно, какую диэлектрическую проницаемость
использовать - εo или ε∞. Однако, если ионные движения и электромагнитное поле
связаны (как это имеет место в уравнениях (*), то дисперсионная зависимость окажется
сложнее, поскольку необходимо рассматривать одновременно механические колебания
и электромагнитную волну при учете их взаимодействия, т.е. решить систему
уравнений (*). Будем рассматривать решения лишь в области малых значений
волнового вектора k и искать решения системы в виде плоских волн:



        W = Wo e i (ω t + kr ) ;   P = Po e i (ω t + kr ) ;   E = E o e i (ω t + kr ) ;   H = H o e i (ω t + kr )



 Подстановка этих решений в систему (*) дает:


                                  − ω 2W = b11W + b12 E
                                        P = b21W + b22 E
                                               ω
                                  [k , E ] =       H
                                               c
                                                   ω
                                  [k , H ] = −         ( E + 4π P )
                                                   c
                                  (k , D) = 0
                                  (k , H ) = 0

 Поле E не равно нулю. В противном случае из условий [k,Е] = ω/cH магнитное поле
H=0; из [k,H]= –ω/c(E+4πP) следует, что поляризация P=0; а из первого уравнения
следует, что при этих условиях смещения W равны нулю W=0. Это тривиальный
случай.

                    Первые два уравнения, как известно, дают




                              b12                                          b12 b21
                    W =               ⋅ E;         P = [b22 +                        ]⋅ E
                          − b11 − ω 2                                    − b11 − ω 2


Поскольку D=E+4πP = εE, то


                                                       εo − ε∞
                                   εo = ε∞ +                         2
                                                      ⎛ ω        ⎞
                                                   1− ⎜
                                                      ⎜ω         ⎟
                                                                 ⎟
                                                      ⎝ TO       ⎠


 Далее, используя условие поперечности поля смещения D, (k,D)=0, получим
уравнение

                                         ⎛         εo − ε∞           ⎞
                              (k , E ) ⋅ ⎜ ε ∞ +
                                         ⎜
                                                                     ⎟=0
                                                                     ⎟
                                         ⎝       1 − ω 2 ω TO
                                                           2
                                                                     ⎠


которое имеет два решения: 1.ε=0 и 2.(k,E)=0/


 1 решение: ε=0; D=0; и E+4πP=0. Кроме того [k,H]=–ω/c(E+4πP)=0 и (k,H)=0.
Равенство нулю одновременно векторного и скалярного произведения означает, что
магнитное поле H равно нулю H=0. Однако, электрическое поле в волне нулю не равно
E= –4πP, так что вектора E, k, P и W параллельны друг другу: E║k, P║E, и W║P. Это
продольная волна, частота которой определяется равенством нулю диэлектрической
проницаемости ε и соотношением LST:

                                                            1
                                                     ⎛ε    ⎞2
                            ε = 0 ⇒ ω LO            =⎜ o
                                                     ⎜ε    ⎟ ⋅ ω TO
                                                           ⎟
                                                     ⎝ ∞   ⎠


 Эта та же самая волна, которая была получена ранее. Запаздывание на ее поведение не
влияет (рис.45).

 2 решение: (k,E)=0, но E=0, значит E⊥k. Кроме того [k,E]=ω/cH, поэтому три
вектора k, E, H ортогональны друг другу, и в выражениях для скалярного и векторного
произведения можно опустить и квадратные [] и круглые () скобки:


                                  ω                                 ω
                         kH = −       ⋅ ( E + 4π P) ;      kE =         ⋅H .
                                  c                                 c

    Исключая магнитное поле из эти выражений, получим дисперсионное соотношение


                                  c2k 2              εo − ε∞
                                          = ε∞ +                .
                                  ω   2
                                                   1 − ω 2 ω TO
                                                             2




    Это квадратное уравнение относительно частоты. Дисперсионная зависимость для
поперечной ветви также показана на рис.45. Каждому значению волнового вектора k
соответствует две волны с различными частотами.
    При k=0 имеется два решения с частотами ω1=0 и ω=ωLO. При k→∞ решения
соответствуют частотам ω1→ωTO и ω→ck/ε∞1/2. При k→∞ две асимптоты (1) и (2) имеют
вид ck/ε∞1/2 и ck/εо1/2. В области частот между продольной LO и поперечной TO частотой
решений системы (*) не существует, т.е. электромагнитные волны с такими частотами
не могут распространяться в кристалле. Процент механической энергии в поперечной
ветви меняется в зависимости от величины волнового вектора k (рис.46).


Рис.45. Поляритонные кривые. а) Схема дисперсионных зависимостей механических колебаний решетки (LO и TO
ветви) и электромагнитного поля с дисперсией ω=ck; 1 – продольная оптическая ветвь, 2 – нижняя и верхняя
поляритонная ветви. Таким образом, для каждого волнового вектора в кристалле в данном направлении могут
распространяться не две, а три волны, две из которых имеют всегда большой вес механической составляющей, а одна
близка по виду к электромагнитной волне. По мере увеличения волнового вектора вклады механической и
электромагнитной составляющих в каждой из волн меняются, а в области пересечения идеальных дисперсионных
кривых смешивание этих волн максимально, что позволяет рассматривать такое возбуждение как поляритон. б)
Используемые в теории приближения при рассмотрении поляритона: I – чисто механическое приближение,
рассматривающее колеблющиеся атомы как точечные массы без заряда (механический экситон), II – кулоновское
приближение, в котором учтены заряды на колеблющихся атомах, что приводит к появлению продольного полю
поляризации и расщеплению частот с k≈0 на продольные и поперечные колебания даже для кубических кристаллов
(кулоновский экситон), III – реальное возбуждение в кристалле, учитывающее запаздывающее взаимодействие
электрического поля на колебания заряженных частиц вследствие конечности скорости распространения света
(поляритон).



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика