Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Физика фононов: Учебное пособие

Голосов: 2

Учебное пособие по физике фононов включает рассмотрение следующих тем: атомные силы в кристаллах и упругие свойства, упругие свойства кристаллов, колебания периодических цепочек, колебания кристаллической решетки, колебательные состояния кристаллов, ангармонизм колебаний.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
        Вид функции плотности частот вблизи этих точек показан на рис.38a. Существует

важная теорема Ван-Хова, утверждающая, что в трехмерном случае спектр частот

колебаний каждой ветви должен содержать по крайней мере точки минимума (P0) и

максимума (P3) и по трем критическим седловым точкам каждого типа (P1 и P2). Важно,

что производная на высокочастотном конце спектра должна стремиться к -∞

(критическая точка P3).




    Существование особенностей функции g(ω) является следствием дискретности
кристаллической решетки. В трехмерном случае изолированная критическая точка
приводит к разрыву лишь производной g(ω), а не самой функции. Кроме аналитических
критических точек существует другие критические точки, которые могут давать более
сильные особенности на функции распределения плотности частот. Это относится к тем
случаям, когда в критической точке вторая производная по волновому вектору равна
нулю. В частности, критические точки объемо-центрированной кубической решетки,
для которой дисперсионная формула имеет вид

                          ω 2 (k ) = 1 2 ω o [1 − cos φ1 cos φ 2 cos φ 3 ]
                                           2




где φi=1/2aoki, и a – постоянная решетки. Уравнения, определяющие критические точки,
имеют вид

                                    cosφ1 cosφ2 sinφ3 = 0
                                    cosφ1 sinφ2 cosφ3 = 0


                                      sinφ1 cosφ2 cosφ3 = 0.

    Решение этой системы показывает, что точки (0,0,0), (π,π,π), (π/2,π/2,π/2) являются
критическими, причем первые две из них аналитические, последняя - неаналитическая.
Эта точка (π/2,π/2,π/2) является точкой пересечения трех взаимно-перпендикулярных
плоскостей постоянной частоты φ1=π/2, φ2=π/2, φ3=π/2 и обуславливает появление у
функции g(ω) особенности вида ln2|ω2-1/2ωo2|.




Рис.39. Появление особенностей Ван-Хова в простой кубической решетке. а) зона Бриллюэна простой
кубической решетки и симметричные точки зоны Г, X, M и R. б) дисперсионные зависимости одной
ветви, нарисованные для случая направлений (100), (110) и (111), и имеющие приблизительный вид 1-
cos(kiai) для каждого направления ki. Справа показана получающаяся для этого случая функция плотности
состояний g(ω).

    На рис. 40 показан спектр собственных частот кристалла меди отдельно для трех
ветвей. Он получен путем решения векового уравнения для 5600 значений волнового
вектора k, равномерно распределенных по неприводимой 1/48 части зоны Бриллюэна
для различных отношений силовых постоянных взаимодействий между атомами.
Очевидно, что такое большое количество вычисленных частот дает спектр, в котором
отчетливо видны особенности Ван-Хова. Однако в ряде случаев возможна компенсация
особенностей функции плотности частот. В трехмерном случае, например, возможна
компенсация особенностей, обусловленных минимумом и седловой точкой P2, а также


максимумом и седловой точкой P1 в различных ветвях.




        Рис.40. а) Спектр трех ветвей собственных частот кристалла меди, вычисленный для модели с
центральным взаимодействием между ближайшими и следующими за ними соседями. б) Спектр
кристалла натрия, рассчитанный для 24.576.000 значений волнового вектора в первой зоне Бриллюэна.


    Существование особенностей функции распределения собственных частот было
показано в расчетных спектрах для определенны моделей кристаллов. Однако,
окончательно было не ясно, присуще ли наличие критических точек только
рассмотренным частным моделям или их наличие носит общий характер. Ответ на этот
вопрос дал Ван-Хов, который показал, что существование критических точек в
семействе плоскостей постоянной частоты в k-пространстве, а следовательно, и


существование особенностей функции распределения частот является необходимым
следствием периодичности решетки в обычном пространстве.
       Топологическое обоснование существования аналитических критических точек в
двумерном случае состоит в следующем. На рис.38 показано несколько элементарных
ячеек обратного k-пространства. Поскольку дисперсионная зависимость ω(k1,k2)
непрерывна и периодична в пространстве волновых векторов k, то в каждой ячейке она
должна иметь по крайней мере один максимум и один минимум. Пусть расположение
максимума в каждой ячейке отмечено знаком ⊕, а положение минимума функции ω(k)
– черными кружками. Если максимумы A и B в соседних ячейках соединить
произвольной кривой, то на ней будет по крайней мере один минимум, т.е. точка, в
которой значение функции ω(k) принимает меньшее значение, чем в соседних точках.
Аналогичные точки есть и на любых других кривых, соединяющих рассматриваемые
максимумы A и B. Геометрическое место всех таких точек образует непрерывную
кривую, проходящую через абсолютные минимумы C и D в элементарно ячейке
обратного пространства. Ясно, что на этой кривой минимумов будет точка, в которой
функция ω(k) принимает наибольшее значение. Эта точка должна быть седловой.
Действительно, если двигаться вдоль кривой 4 от C к D, то она будет соответствовать
относительному максимуму, а если двигаться по кривой 2 от A к B – относительному
минимуму. В двумерной случае в элементарной ячейке обратного пространства имеется
две таких седловых точки. Аналогично эвристическое рассмотрение можно провести и
в случае трехмерной решетки что приводит к результатам, установленным Ван-Ховом.
В трехмерном случае седловые точки будут двух типов, а дисперсионная функция будет
иметь по три точки каждого типа.


4. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ КРИСТАЛЛОВ


4.2. Продольные и поперечные акустические колебания

     В плоской поперечной акустической волне, распространяющейся вдоль оси x
вектор смещения частиц Ut перпендикулярен направлению распространения волны, т.е.
волновому вектору k. Для такой волны три ортогональные компоненты вектора
смещения таковы, что продольная компонента Utx=0, а поперечные компоненты Uty и
Utz не зависят от y и z, поскольку плоскость yz является плоскостью постоянной фазы.
Таким образом,
                      dU tx dU ty dU tz
                            =     =      =0;      или    divU = 0
                        dx     dy    dz
     С другой стороны, поперечные смещения есть функции x Uty=f(x) и Utz=f(x),
поскольку эти смещения представляют собой волну, распространяющуюся вдоль
направления x:

                         U tx = Atx e i (ωt + kx ) ;   U tz = Atz e i (ωt + kx )



                                                Поэтому




                       ⎛ dU ty dU tz ⎞ ⎛ dU tx dU tz ⎞ ⎛ dU tx dU ty ⎞
             rotU t = i⎜
                       ⎜ dz − dy ⎟ + j ⎜ dz − dx ⎟ + k ⎜ dy − dx ⎟ ≠ 0
                                     ⎟                 ⎜             ⎟
                       ⎝             ⎠ ⎝             ⎠ ⎝             ⎠


    Итак, поле смещений Ut для поперечной волны таково, что

                                        divUt=0, а rot Ut≠0.

Такое поле называется соленоидальным и подобно магнитному полю. Условие
равенства нулю дивергенции вектора Ut означает, что при распространении поперечной
волны не меняется макроскопический объем среды. Наблюдается только смещение
объемов среды друг относительно друга, так что среда испытывает деформацию сдвига,
которая определяется модулем сдвига G. Поэтому частота поперечной акустической
волны и ее скорость связана с величиной модуля сдвига: ω2∼G.
Для продольной волны вектор смещения Ul=Alexp[i(ωt–kx)] имеет только проекцию на
направление x, т.е. Ul(Ulx,0,0), а сама величина Ulx зависит лишь от координаты x, но не
зависит от координат y и z. Поэтому дивергенция вектора продольного смещения


divUl≠0, что означает, что среда меняет свой объем при распространении волны. Легко
показать, что в этом случае rotUl=0. Итак, для поля продольной волны
                                   divUt≠0, а rotUt=0

    Такое поле называется потенциальным (консервативным) полем и описывается
градиентом (grad) некоторой скалярной величины. Поскольку при распространении
волны возникает волна сжатия и разряжения, частота продольной акустической волны,
а значит и скорость, определяется модулем упругости среды Е (модулем Юнга). Связь
между модулем сдвига G и модулем Юнга Е дается соотношением

                    E
            G=             ;   γ − коэффициент Пуассона       0 ≤ γ ≤1
                 2(1 + γ )

   Поэтому G<E и ωl>ωt.

Следует отметить, что для высокосимметричных кристаллов существует вырождение
двух поперечных волн для большинства направлений в кристалле. В кубических
кристаллах, например, направления x, y и z переходят друг в друга при применении
операции поворота на угол 120о вокруг направления (111). Поэтому скорости
поперечных звуковых волн имеют одинаковые величины в направлениях x, y и z. В
других направлениях скорости двух поперечных волн могут и различаться, а в более
низкосимметричных кристаллах волны могут и не разделяться на чисто продольные и
чисто поперечные. Особенности вырождения поперечных волн в кубическом кристалле
представлены в следующей таблице.


                                       Таблица 8




ВЫРОЖДЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ
        Направление   ωt1 ωt2 ωl      вектор k

                 (100)           ωt1 = ωt2   ωl     Г-X
                 (111)           ωt1 = ωt2   ωl     Г-L
                 (101)           ωt1 = ωt2   ωl     Г-K
                 (102)           ωt1 = ωt2   ωl     Г-?




4.3 Поперечные и продольные оптические колебания


    Оптические колебания при k→0 соответствуют движению соседних (различных)
частиц в противофазе, причем центр тяжести при колебаниях покоится на одном месте,
поскольку можно показать, что уравнение движения ΣmkAk=0. Отсюда следует, что если
кристалл содержит две частицы с противоположными зарядами (как в NaCl), то при
оптических колебаниях в каждой элементарной ячейке может возникать дипольный
момент, и такое колебание будет взаимодействовать со светом. Именно поэтому такие
колебания называются оптическими. В приближении бесконечно длинных волн (k≈0)
кристалл поляризуется однородно и, следовательно, поляризация кристалла может быть
описана макроскопически. В акустической ветви в волне с k=0 все частицы движутся в
фазе, и эффективная масса единицы объема равна плотности среды. Для оптический
колебаний необходимо использовать приведенную массу. Если два атома имеют массу
m+ и m–, приведенная масса равна µ = m+m–/m++m–, а величина µ/V, где V – объем
элементарной ячейки, является аналогом плотности при оптических колебаниях. Пусть
относительные смещения положительных и отрицательных ионов друг относительно
друга будут W

                                                           1
                                                  ⎛ µ ⎞2
                                              W = ⎜ ⎟ ⋅ (U + − U − )
                                                  ⎝V ⎠

где U+ и U- смещения положительных и отрицательных ионов. Вообще говоря, если
учесть, что вектор смещения атомов W в волне может быть продольным или
поперечным, вклад в поляризацию среды должен учитываться отдельно, т.е. надо
учитывать, что W=Wt+Wl. Более того, в не кубических кристаллах есть два типа
поперечных волн Wt=Wt1+Wt2, однако здесь будут рассмотрены только кубические
кристаллы.
    При макроскопическом описании можно написать следующие уравнения для
вектора смещения W и поляризации P:

                                                   ••
                                                  W = b11W + b12 P
                                                  P = b21W + b22 E

    Здесь E – электрическое поле, возникающее из-за колебательного движения
заряженных частиц; P – поляризация образца; bij – некоторые коэффициенты,
физический смысл которых будет ясен из дальнейшего. Это строгие макроскопические
уравнения, справедливые для k ≈ 0, т.е. для длин волн возбуждений λ>>a значительно
больших постоянной ячейки кристалла. Первое уравнение – просто уравнение движения
частиц: член b11W – упругая механическая сила; член b12Е – электрическая сила (сила
Кулона ), действующая на движущиеся заряды. Второе уравнение выражает
поляризацию при распространении в среде волн с k ≈ 0.
Решение этой системы уравнений нужно искать в виде функций Блоха, поскольку речь идет о решении задачи в периодическом
потенциале:

            E = E o exp i (ω t + kr );        W = Wo exp i (ω t + kr );           P = Po exp i (ω t + kr )


Подстановка этих решений в систему уравнений дает:


                                               − ω 2W = b11W + b12 E
                                                          P = b21W + b22 E




Из первого уравнения
                                       b12 E                        ⎡        b21b12 ⎤
                             W =                ;               P = ⎢b22 +             ⎥⋅E
                                    − b11 − ω 2                     ⎣      − b11 − ω 2 ⎦


Поскольку D=E+4πP=εE, то

                                                      ⎛           b b         ⎞
                                              ε = ⎜1 + 4π
                                                  ⎜
                                                             12 21
                                                                      ⎟
                                                  ⎝       − b11 − ω 2 ⎟
                                                                      ⎠



    Из соображений размерности величина –b11=ωо2 представляет собой константу,
описывающую резонансную частоту среды. Действительно, поперечные частоты
системы находятся как полюсы диэлектрической проницаемости среды ε (т.е. ε→ ∞).
Таким образом, –b11=ωТО2.
    Для очень высоких частот, когда ω>>ωTO, поляризация решетки определяется
только электронной поляризацией среды и ε = ε∞ = n2. Поэтому

                                                                              ε ∞ −1
                                        ε ∞ = 1 + 4π b22 ;          b22 =
                                                                                4π

    При низких частотах, когда ω<<ωTO , поляризация среды определяется как
электронной, так и ионной частью. При этом диэлектрическая постоянная ε =εо.
Поэтому

                                            4π b12 b21                        εo − ε∞ 2
                               εo = ε∞ +                    ;     b12 b21 =          ⋅ ω TO
                                               ω     2
                                                     TO                         4π

   Используя выражение для b12b21, выражение для диэлектрической проницаемости
можно записать следующим образом:


                                                 εo − ε∞
                                    εo = ε∞ +                2
                                                    ⎛ω ⎞
                                                1 − ⎜ TO ⎟
                                                    ⎝ ω ⎠


    Это дисперсионная формула для диэлектрической проницаемости (рис.42).




        Рис.42. Диэлектрическая проницаемость ε(ω) и коэффициент отражения R(ω) кристалла вблизи
одиночного резонанса на частоте ωTO без учета затухания (сплошная кривая) и при учете конечного
затухания (пунктирная кривая).

Она хорошо описывает поведение ε в широкой области частот. Исключением является
только область ω ≈ ωTO, поскольку при ω =ωTO диэлектрическая проницаемость
стремится к бесконечности ε→ ∞ . Чтобы это исключить, необходимо учесть затухание.
В этом случае уравнение для смещения W выглядит так:

                                     ••             •
                                    W = b11W + γ W + b12 E


Это приводит к дополнительному члену в знаменателе выражения для диэлектрической
проницаемости:


                                                           εo −ε∞
                                           ε = ε∞ +              2
                                                         ⎛ ω    ⎞    ⎛γ ω ⎞
                                                      1− ⎜
                                                         ⎜ω     ⎟ + i⎜ 2 ⎟
                                                                ⎟
                                                         ⎝ TO   ⎠    ⎝ω ⎠

                    Комплексность ε означает поглощение энергии при ω→ωTO. Данная формула,
                конечно, справедлива не только для кристаллов, но и для жидкости. Например, для
                кристалла NaCl: εo=5.62, ε∞=2.25=n2; для воды Н2О: εо=81, ε∞=n2=1.3222.


                4.4. Соотношения Лиддейна-Сакса-Теллера




                     Поскольку кристалл состоит из равного числа положительных и
                   отрицательных зарядов, так как кристалл электрически нейтрален, то
                     макроскопическая плотность зарядов в нем равна нулю. Поэтому
                                              выполнено:




                                        divD = div ( E + 4π P) ;      P = b21W + b22 E ;
                                           divE + 4π b21 divW + 4π b22 divE = 0




Следовательно



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика