Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Резонанс в контурах с емкостной связью: Лабораторный практикум по общей физике (электричество и магнетизм)

Голосов: 0

Изучаются установившиеся вынужденные колебания в связанных линейных колебательных системах с двумя степенями свободы на примере электрических контуров с емкостной связью. Экспериментально определяются нормальные частоты колебаний по резонансным частотам. Изучается зависимость резонансных частот от коэффициента связи. Работа входит в лабораторный практикум по общей физике (электричество и магнетизм) кафедры общей физики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Описание работы размещено на сайте кафедры общей физики МГУ.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
      Московский государственный университет
           им. М.В.Ломоносова
              Физический факультет

             Кафедра общей физики

Лабораторный практикум по общей физике
          (электричество и магнетизм)


      В.И.Козлов, П.В.Полевой, А.П.Штыркова


           Лабораторная работа № 37-С


РЕЗОНАНС В КОНТУРАХ С ЕМКОСТНОЙ СВЯЗЬЮ




                     С св




              М О С К В А 2001


                                                    3
                                Лабораторная работа 37-С

                  РЕЗОНАНС В КОНТУРАХ С ЕМКОСТНОЙ СВЯЗЬЮ.


            Изучаются установившиеся вынужденные колебания в
        связанных линейных колебательных системах с двумя степенями
        свободы на примере электрических контуров с емкостной связью.
        Экспериментально определяются нормальные частоты колебаний
        по резонансным частотам. Изучается зависимость резонансных
        частот от коэффициента связи.

                                                    ТЕОРИЯ

     Изучение явлений, происходящих в сложных электрических цепях, обычно вызывает
затруднения. Существенную помощь в понимании процессов в связанных электрических
контурах может оказать принцип аналогии, поскольку механические колебательные
системы являются наиболее наглядными для изучения колебаний. Как известно,
вынужденные механические колебания линейного гармонического осциллятора
описываются дифференциальным уравнением следующего вида:
             d2x    dx
          m 2 + η      + kx = F0 cos ω t .                                     (1)
             dt     dt

     Используя правила Кирхгофа для последовательного LCR-контура, подключенного к
источнику ЭДС, можно получить уравнение:

              d 2q     dq 1
          L
              dt 2 + R   + q=
                       dt C
                                ε   0   cos ω t .                               (2)


     Как видно из (1) и (2), уравнения механических и электрических вынужденных
колебаний подобны. Решение уравнения вынужденных механических колебаний хорошо
известно, поэтому оно полностью может быть перенесено на случай электрических
колебаний. Сравнивая уравнения (1) и (2), легко проследить аналогию между
механическими и электрическими величинами.
     В отсутствие внешней ЭДС в электрическом контуре возникают свободные
собственные гармонические колебания, частота которых ω0 определяется параметрами
контура.
     Если в электрическом колебательном контуре действует переменная ЭДС, то в
контуре устанавливаются вынужденные колебания с частотой этой вынуждающей силы ω,
а собственные колебания затухают. При приближении частоты внешней силы ω к
собственной частоте ω0 амплитуда колебаний возрастает, и наблюдается явление
резонанса. Таким образом, получив резонансную кривую, можно определить собственную
частоту системы, а значит, и параметры колебательного контура.
     Рассмотрим два колебательных контура, связанных между собой посредством
общего конденсатора CCB (рис.1). В данном случае говорят, что два контура имеют
емкостную связь. Наряду с емкостной связью возможна индуктивная связь контуров
посредством общего магнитного потока. Электрические колебания, возникающие в
системе связанных контуров, в общем случае являются негармоническими, так же как не
являются гармоническими в общем случае и колебания в механических связанных
системах.


                                              4
     Однако      известно,      что                          L 1 L      2



сложное     движение,      которое                         C
                                                           1   C   C
                                                                   CB       2


совершает механическая система,
может быть представлено в виде
суперпозиции          нормальных
колебаний.          Нормальными           Рис.1. Емкостная связь колебательных
колебаниями,      или      модами,        контуров.
называются     такие    колебания
связанных систем, при которых все их составные части колеблются по гармоническому
закону с одинаковой частотой. Частоты нормальных колебаний называются нормальными
частотами. Нормальные колебания можно рассматривать как независимые друг от друга,
поэтому энергия не переходит от одной моды к другой, в то время как отдельные части
сложной системы обмениваются энергией в процессе колебаний. Например, в системе
связанных механических маятников такой обмен осуществляется через пружину связи. В
электрических колебательных контурах с емкостной связью обмен энергией
осуществляется через общий конденсатор, а все переменные величины - сила тока,
напряжение на элементах контура - изменяются с одной из нормальных частот по
гармоническому закону.
     Известно, что система, имеющая две степени свободы, имеет две нормальные
частоты. Так, двум модам системы, состоящей из двух связанных гармонических
осцилляторов, соответствуют две нормальные частоты.
     Нормальные колебания в системе из двух одинаковых связанных электрических
контуров (L1=L2, C1=C2) и в ее механическом аналоге показаны на рис.2.




                                          2       1
                                                                                          С2
  1
                           СВ                                                        СВ




                      СВ                                                        СВ




                 СВ                                                             СВ




      Рис.2. Две моды колебаний для связанных электрических контуров и
             механических маятников:
             а, б, б' – синфазная мода;          в, г, г' – противофазная мода.



     Рассмотрим первую моду (рис.2абб'). В этом случае, токи I1, I2 (рис.2а) находятся в
фазе и текут в одном направлении - по часовой стрелке. В одинаковых контурах через


                                                          5
общий элемент - конденсатор CCB - навстречу друг другу текут одинаковые токи I1=I2. Ток
через конденсатор CCB равен I1 - I2=0, поэтому конденсатор CCB остается незаряженным.
Электрические колебания в этом случае аналогичны механическим, когда пружина связи
не деформируется в процессе колебаний (рис.2бб').
     Рассмотрим вторую моду, когда в контурах (рис.2в) токи I1 и I2 находятся в
противофазе. Через общий конденсатор CCB текут одинаковые токи I1 и I2 в одном
направлении, поэтому появляется заряд на конденсаторе CCB. Электрические колебания в
этом случае аналогичны механическим, когда пружина связи меняет свою длину в ходе
колебаний (рис.2гг').
     Рассчитаем теперь частоты нормальных колебаний системы двух электрических
контуров, связанных через общий конденсатор CCB (рис.1). Гармонические незатухающие
колебания в системе возможны, если активное сопротивление контуров отсутствует,
поэтому положим R1=R2=0. Воспользуемся правилами Кирхгофа. Тогда свободные
электрические колебания в связанных контурах описываются следующей системой
дифференциальных уравнений:

         dI 1    1              1
       L1     +
          dt C1     ∫ I 1dt + C CB ∫ ( I 1 − I 2 ) dt = 0 ,
        dI      1              1
      L2 2 +
         dt     C2 ∫ I 2 dt − C CB ∫ ( I 1 − I 2 ) dt = 0 .                              (3)


     При написании системы уравнений (3) мы предполагаем, что в данный момент
времени токи I1 и I2 текут в положительном направлении обхода контуров - по часовой
стрелке. Поэтому при обходе каждого из контуров падение напряжения на элементах L1,
L2, C1, C2 пишем со знаком «+». Падение напряжения на ССВ зависит от величины
разностного тока ∆I = I1 - I2. Если, например, этот ток (I1 - I2) течет вниз (рис.3), то при
обходе первого контура падение напряжения на ССВ надо взять со знаком «+», а при
обходе второго контура - со знаком «-». Естественно, что со временем изменятся величины
и направления этих токов, однако, в уравнениях (3) это будет учитываться автоматически.
     Рассмотрим случай одинаковых контуров, когда L1=L2=L, C1=C2=C. Сложим первое
и второе уравнения системы (3), а затем вычтем второе уравнение из первого. Учитывая,
что заряды q1 и q2 на конденсаторах C1 и C2 равны q1,2 = ∫ I 1,2 dt , после преобразований
получим следующую систему уравнений:

                  d2            1
                       [
                 L 2 q1 + q 2 +
                  dt
                                ]    [
                                  q + q2 = 0 ,
                                C 1
                                                ]
                d2               1   2 
            L
                dt
                   [        ]
                   2 q1 − q 2 +    +       [         ]
                                          q − q2 = 0 .
                                 C С СВ  1
                                                                                         (4)


     Введем новые функции:
                        A = q1 + q2 ,
                            B = q1 - q2                       .                          (5)

     Тогда система уравнений (4) преобразуется в систему двух независимых уравнений
     гармонических колебаний:

                 d2A                                          d2B
                      + ω H1 A = 0 ,
                          2
                                                                   +ω   2
                                                                        H2   B= 0        (6)
                 dt 2                                         dt 2
     Здесь введены обозначения:


                                                                                           6
                                                                     1                                                        2                         2C
                              ω       H1               = ω   0   =      ,                      ω   H2   =        ω   2
                                                                                                                     0   +         = ω         0   1+        .   (7)
                                                                     LC                                                      LC CB                      С CB

      Уравнения (6) описывают нормальные колебания в связанных контурах,
рассмотренные на рис.2. Поэтому введенные нами функции A и B (5) называются
нормальными координатами, а частоты, определяемые формулами (7), суть нормальные
частоты. Заряды, а следовательно, и токи, возникающие в связанных контурах, могут быть
представлены как суперпозиция величин A и B, которые, как следует из уравнений (6),
изменяются по гармоническому закону. Таким образом, мы видим, что любое колебание в
связанных контурах можно представить как суперпозицию двух нормальных колебаний с
нормальными частотами (7).
      Для возбуждения нормальных колебаний в контурах с емкостной связью, по
аналогии с           механическими связанными системами, необходимо выполнение
определенных начальных условий. Однако, в общем случае имеют место биения, а не
нормальные колебания.
      Поскольку система двух связанных контуров имеет две нормальные частоты, то при
подключении внешней ЭДС она должна иметь две резонансные частоты. Резонанс
наступает, когда частота внешней ЭДС будет близка к нормальной частоте системы.
Покажем это.
                                                  Рассмотрим схему, изображенную на
                    L R L R
                          1       1        2
                                            рис.3, где система двух связанных контуров
                                                   2




                  C   1 C   C         CB    подключена к генератору переменного тока.
                                                       2

              Г I    I    I
                                            Генератором тока называется устройство,
              I
                  0           1                2




                                            обладающее        высоким       внутренним
                                            сопротивлением, которое много больше
Рис.3. Два конура с емкостной связью,
                                            сопротивления подключаемой нагрузки, что
подключенные к генератору тока.
                                            обеспечивает постоянство амплитуды тока,
                                            текущего через генератор. Рассмотрим
установившиеся вынужденные колебания в системе контуров с емкостной связью.
Применим метод комплексных амплитуд для двух одинаковых контуров, когда L1=L2=L,
R1=R2=R, C1=C2=C. Пусть ток, текущий через генератор, изменяется с частотой ω и
имеет амплитуду I0. Исходя из правил Кирхгофа, для комплексных амплитуд токов I10 и I20
можно получить следующую систему уравнений:

                                                                  1              1
              iω LI 10 + RI 10 +
                                                                iω C
                                                                       I 10 +
                                                                              iω CCB
                                                                                      ( I 10 − I 20 ) = I 0 iω1C ≡                ε   0
                                                                                                                                       *
                                                                                                                                           ,
                                                               1               1
           iω LI 20 + RI 20                                +
                                                             iω C
                                                                   I 20 −          ( I − I 20 ) = 0 .
                                                                            iω C CB 10
                                                                                                                                                                 (8)


     Как видно из системы уравнений (8), действие генератора тока эквивалентно
действию ЭДС с амплитудой ε0*=I0/iωC, включенной последовательно в первый
колебательный контур. Сложим первое и второе уравнения системы (8), а затем вычтем
второе уравнение из первого, тогда получим следующую систему уравнений:




                                                             1 
                                                R + i ω L −
                                                     
                                                                 
                                                              ω C 
                                                                               [I   10         ] ε
                                                                                         + I 20 =       0
                                                                                                         *
                                                                                                             ,


                                                                 7
                                   1    2 
                      R + i ω L −
                            
                                       −      
                                    ω C ω CCB  
                                                             [I   10   − I 20 ] =   ε   0
                                                                                         *
                                                                                             .                              (9)
                     

     В системе двух связанных контуров возможен резонанс, который связан с
возбуждением одной из двух мод, проиллюстрированных на рис.2. При резонансе
увеличиваются амплитуды токов I01, I02, а следовательно, и величина I01 ± I02. Также
увеличивается и напряжение на элементах колебательного контура. Как следует из
системы уравнений (9), при постоянной правой части амплитуда тока будет максимальной,
если модуль импеданса принимает минимальное значение. Это имеет место, когда
реактивная часть полного сопротивления равна нулю. Используя это условие, найдем
резонансные частоты из системы уравнений (9).

                                        1                                                     2                   2C
                 ω   P1   = ω   0   =      ,                     ω     P2   =   ω   2
                                                                                    0   +          = ω   0   1+        .   (10)
                                        LC                                                   LC CB                С CB

     Если сравнить формулы (10) для резонансных частот с формулами (7) для
нормальных частот, то можно сделать важный вывод: резонансные частоты совпадают с
нормальными частотами системы. При этом для двух одинаковых контуров с емкостной
связью первая резонансная частота совпадает не только с первой нормальной, но и с
собственной частотой одиночного колебательного контура.
     Далее следует обсудить вопрос о том, всегда ли возможно отчетливое наблюдение
двух резонансных пиков.
     Степень влияния контуров друг на друга количественно оценивается
коэффициентом связи К, который можно выразить следующим образом:

                                                     XСВ
                                         K=                  ,                                                             (11)
                                                     X1 X2
             1                                                                  1
где XСВ = ω C    – сопротивление связи; X1 =        – реактивное сопротивление в
              CB                              ω CA
первом контуре, имеющее тот же характер, что и сопротивление связи, причем
      C1CCB              1
CA =          ;   X2 =        – реактивное сопротивление во втором контуре, где
     C1 + CCB          ω CB
      C2 CCB
CB =          .
     C2 + CCB
     Коэффициент связи К для двух одинаковых контуров с емкостной связью,
выраженной по формуле (11), записывается так:

                                        C AC B           С
                                K=               =            .                                                            (12)
                                        CCB           С + ССВ

     Условно связь контуров оценивается по коэффициенту (12) таким образом:
               очень слабая связь            К < 0.001 ,
               слабая связь                  К = 0.01ч0.05 (1ч5 % ),
               сильная связь                 К = 0.05ч0.90 (5ч90 %),
               очень сильная (жесткая) связь К > 0.90.


                                                         8
     Учитывая (12), полученные выше соотношения (10) можно переписать следующим
образом:

                              1                                          2C             1+ К
                ω        =       = ω 0,         ω        = ω        1+        = ω            .   (13)
                    P1
                              LC
                                                    P2         P1
                                                                         С CB       0
                                                                                        1− К

     Как видно из формул (13), увеличение коэффициента связи приводит к тому, что
разница между резонансными частотами ωР1 - ωР2 увеличивается.
     Поскольку в контурах имеются омические потери (активное сопротивление катушки,
соединительных проводов ...), то каждый резонансный пик обладает определенной
шириной ∆ω. Ширина резонансной кривой связана с добротностью Q известным
соотношением: ∆ω1,2 =ωР1,2 / Q1,2. На резонансной кривой пики будут различимы, когда
разность между резонансными частотами будет больше, чем ширина резонансных пиков

                             ωР2 - ωР1 > ∆ω1 , ∆ω2 .                                             (14)

     Более детальный анализ уравнений (9) показывает, что условию (14) эквивалентно
условие:

                                    Q2K > 1,                                                     (15)

где Q2 – добротность второго контура.
     При Q2K < 1 два связанных контура ведут себя как один контур, у которого имеется
только одна резонансная частота.


                             ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА

     Экспериментальная установка включает в себя специальную монтажную плату,
генератор Г и вольтметр В (Рис.4).




         Рис.4. Схема установки для изучения резонанса в системе с емкостной
                      связью.

     На монтажной плате размещены два колебательных контура L1 С1 и L2 С2 и набор
конденсаторов связи CCB. Коэффициенты самоиндукции катушек равны (L1 = L2). Оси
катушек индуктивности взаимно перпендикулярны для исключения индуктивной связи
между ними. Конденсаторы С1 и С2 в контуре имеют одинаковую емкость, равную
0,577 мкФ. Величины емкостей конденсаторов связи CCB указаны в таблице, прилагаемой к
описанию.
     Генератор синусоидальных сигналов Г с последовательно включенным резистором R
представляет собой генератор тока. Резистор R с большим сопротивлением введен для


                                              9
постоянства амплитуды тока в цепи генератора при изменении его частоты. Второй контур
подключается к первому через конденсатор CCB. Напряжение измеряется вольтметром В,
который для одиночного контура подключается к гнездам В1В⊥, а для связанных
контуров — к В2 В⊥.

            Упражнение 1. Резонансная кривая для одиночного контура.

      Из элементов на монтажной плате собирается одиночный колебательный контур.
      Для этого необходимо соединить контакты А1 и А ⊥. Генератор подключается к
гнездам Г и Г⊥ , а вольтметр — к гнездам В1 и В⊥ . Включив приборы тумблером “СЕТЬ”,
дать им прогреться в течение 5ч10 минут. Установить на генераторе напряжение 4-5 В.
                                                                ω
     Изменяя последовательно частоту генератора f = 2 π , обнаружить резонанс по
показаниям вольтметра. Снять зависимость Uс1(f), занести данные в таблицу.

            Упражнение 2. Резонансная кривая для связанных контуров.


     Собрать электрическую схему, состоящую из двух связанных колебательных
контуров.
     Для этого надо соединить контакты А1 и А2, а также D с одним из гнезд любого
конденсатора связи CCB. Вольтметр следует подключить к гнездам В2 и В⊥.
     Изменяя частоту генератора f , необходимо найти по показаниям вольтметра два
резонансных максимума, характерных для случая емкостной связи двух контуров. Если
два резонансных пика хорошо выражены, то следует снять зависимость Uс2(f), занести
результаты в таблицу.

       Упражнение 3. Нормальные частоты для системы связанных контуров
                       при различных коэффициентах связи.
     В схеме Упр. 2 следует поочередно включать в качестве элемента связи
конденсаторы из набора CCB.
     Для каждого конденсатора связи определить две нормальных частоты по
резонансным пикам и занести результаты измерений в таблицу.


                 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

1. Построить резонансную кривую для одиночного контура (упр.1) и для двух связанных
   контуров (упр.2). Две кривые построить на одной координатной сетке графика.
                                                            2
2. Построить график зависимости    (ω   2
                                        Р2   − ω   2
                                                        )
                                                 от С . Используя формулы (10),
                                                   Р1
                                                      СВ

   определить с помощью графика неизвестный коэффициент самоиндукции катушек L,
   считая их одинаковыми.
3. Построить график зависимости нормальных (резонансных) частот от коэффициента
   связи, который следует рассчитать, используя формулу (12). Построить теоретическую
   зависимость, используя формулу (13). Две кривые построить на одной координатной
   сетке графика.
4. Рассчитать коэффициент самоиндукции L из упр.1 и сравнить его с коэффициентом
   самоиндукции, определенным по графику.


                                            10




                                 Контрольные вопросы

     1. Какова модель линейного гармонического осциллятора с сосредоточенными
         параметрами для описания механических и электрических колебаний ?
     2. Что такое собственные и вынужденные колебания в электрическом контуре ?
     3. Как можно связать два электрических контура ?
     4. Что такое нормальные колебания ?
     5. Опишите нормальные колебания в двух контурах с емкостной связью.
     6. Определить частоты нормальных колебаний для двух одинаковых контуров с
         емкостной связью.
     7. Рассчитать коэффициент связи для двух контуров с емкостной связью.
     8. Нарисовать резонансную кривую для одиночного контура и для двух контуров с
         емкостной связью.
     9. При каких частотах имеются резонансные максимумы для одиночного контура и для
         двух контуров с емкостной связью ?
     10. Всегда ли два связанных контура могут иметь две резонансные частоты ?


                                       Литература

1.   С.Г. Калашников. Электричество. М., ”Наука”, 1985, §§ 207, 209, 217-222, 227-228.
2.   А.Н. Матвеев. Электричество и магнетизм. М., “Высшая школа”, 1983, с.356-365.
3.   А. Портис. Физическая лаборатория. М., “Наука”, 1972, с.125-130.
4.   Г. Пейн. Физика колебаний и волн. М., “Мир”, 1979, с.84-109.



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика