Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Гармонический анализ: Лабораторный практикум по общей физике (электричество и магнетизм)

Голосов: 0

Известно, что всякую периодическую функцию, удовлетворяющую определенным условиям (условия Дирихле), можно разложить в ряд по гармоническим функциям аргумента с частотами, кратными основной частоте (ряд Фурье). В данной лабораторной работе исследуются функции, для которых подобное разложение выполнимо. Работа входит в лабораторный практикум по общей физике (электричество и магнетизм) кафедры общей физики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Описание работы размещено на сайте кафедры общей физики МГУ.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
     Московский государственный университет
           им. М.В.Ломоносова

             Физический факультет

            Кафедра общей физики

Лабораторный практикум по общей физике
          (электричество и магнетизм)

           Козлов В.И., Попова И.И.


           Лабораторная работа 29

           Гармонический анализ




       U




       0                              t




            МОСКВА          2006


                                                                           3
                                                     Лабораторная работа 29

                                                   ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

                                                                 Введение.

       Известно, что всякую периодическую функцию, удовлетворяющую определённым
условиям (условия Дирихле), можно разложить в ряд по гармоническим функциям
аргумента с частотами, кратными основной частоте (ряд Фурье). В данной лабораторной
работе встречаются такие функции, для которых подобное разложение выполнимо.
       Ряд Фурье имеет вид

                       a0
                f (t) =   + a 1cos ωt + a 2cos 2ωt +  + a n cos nωt +  +
                       2
                + b1sin ωt + b 2sin 2ωt +  + b n sin nωt + ...

                2π
где    ω=                 – угловая частота, а         Τ
                                                             – период изменения функции                        f(t)
                                                                                                                      . Коэффициенты
                Τ
этого ряда вычисляются по формулам:

            T                                                                        T
       2
            ∫
                                                                                 2
ak =
       T
                f ( t ) cos kω t dt     ,                                 bk =
                                                                                 T   ∫ f ( t ) sin kω t dt .
                                                                                     0
            0



(формулы Эйлера).
      Ряд Фурье может быть преобразован к следующему виду:

            a0
 f (t ) =
            2
               + A1 sin(ω t + ϕ 1 ) + A 2 sin( 2 ω t + ϕ 2 ) + ... + A n sin(nω t + ϕ n ) + ...                   ,
                                                                     ak
где          Ak =     a 2 + b2
                        k    k                 и           tgϕ k =          .
                                                                     bk

Члены разложения этого ряда принято называть гармоническими составляющими или
гармониками функции      . При этом величина A = a + b будет амплитудой
                                      f (t )
                                                                         k-ой            k
                                                                                                2
                                                                                                k
                                                                                                     2
                                                                                                     k



                                            ak
гармоники, а                 ϕ k = arctg(      )     – её начальной фазой. Определение амплитуд и фаз
                                            bk

гармоник данной периодической функции называется её гармоническим анализом.
Совокупность же амплитуд и фаз гармоник принято называть спектром данной функции.
Иными словами, гармонический анализ некоторой функции состоит в нахождении её
гармонического спектра.
       В настоящей лабораторной работе будут исследоваться напряжения, периодически
изменяющиеся со временем.
       Исходя из изложенного выше, мы можем рассматривать всякий периодический ток
как сумму синусоидальных переменных токов, а всякое периодическое напряжение как
сумму синусоидальных напряжение с кратными частотами. Амплитуды и фазы гармоник
этих токов и напряжений определяются по формулам нахождения амплитуд и фаз членов
разложения соответствующих рядов Фурье.



            Найдём ряды Фурье для некоторых периодических напряжений.


                                                                       4
1) Прямоугольное напряжение (рис. I). Напряжение                                       в первую половину периода
                                                                                            U


                                                                             U= U   , а во вторую половину периода
                 U
                                                                                        0



                                                                             U = −U   . Изменения напряжения
                                                                                            0


             U0
                                                                            происходят практически мгновенно.
                                                                            Процесс периодически повторяется.
                                                                            Вычислив коэффициенты a и b по               k          k




           − U0
                     0 T/2
                                                           t                формулам Эйлера и подставив их в ряд
                                                                            Фурье,
                                                                                                        ∞
                                                                                                          получим
                                                                                 U( t ) =
                                                                                                4U 0
                                                                                                 π     ∑ sin(2k − 1)ωt
                                                                                                       k =1
                                                                                                             2k − 1          .

                                                                            Начальные фазы всех гармоник равны
                        Рис. I
                                                                            нулю.

2) Пилообразное напряжение (рис. 2). Напряжение линейно спадает от значения                                                      U = U0


   при     до значения U = −U при
          t= 0
                                           по закону:
                                                  0            t = T




                                              U
                                          U0




                                         − U0
                                                  0                        T0                     t
                                                      Рис. 2
                                                      22
                   4t                   T0
              U 0 (− + 1) при 0 ≤ t ≤
             T                             ,
                    0                   2
    U(t ) = 
             U ( 4t − 3) при T0 ≤ t ≤   T0 .
             0 T0           2
   Далее процесс повторяется периодически. Находим, как и в предыдущем случае, ряд
   Фурье:
                                                                                ∞
                                                                                       cos( 2k − 1)ωt
                                                                            ∑
                 8A           cos 3ωt   cos 5ωt        8A
    U( t ) =
                 π2
                    (cos ωt +
                                32
                                      +
                                          52
                                                + ) =
                                                       π2                                ( 2 k − 1) 2
                                                                                                              .
                                                                                k =1


                                         2π
   Здесь, как и прежде,           ω=            . Начальные фазы всех гармоник равны нулю.
                                         T0


                                                                5
Пилообразное (однополярное) напряжение (рис. 3).
                   U
                  U0




                         0T / 2
                                                               t
                Рис. 3
Напряжение      половину периода равно нулю, затем линейно возрастает и при
                     U                                                                   t = T



скачком падает до нуля. Затее процесс повторяется. Такое изменение напряжения можно
представить в форме

                               T
          0             0≤ t≤ 0
                                 2
 U(t ) = 
                          T
           U 0 ( 2t − 1) 0 ≤ t ≤ T0
           T0            2

Соответствующий ряд Фурье имеет вид:

                            ∞                           ∞
                                  cos( 2k − 1)ωt
                          ∑                             ∑
            U0   2U 0                              U0          sin kωt
 U( t ) =
            2
               +
                  π2                ( 2k − 1) 2
                                                 −
                                                   π              k      .
                           k =1                         k =1




                                Описание экспериментальной установки.

         Блок-схема установки представлена на рис. 4.


     Частотомер
       Ч3-33


   Осциллограф                               Усилитель                       Генератор
      С1-68                                     У2-8                           Г6-15

                                           Рис. 4

       Исследуемое напряжение вырабатывается генератором сигналов специальной
формы Г6-15. Выделение гармоник выполняется с помощью селективного прибора
(усилителя У2-8 или микровольтметра В6-9, имеющего избирательный перестраиваемый
по частоте усилитель с гнездом «выход»). Наблюдение формы сигналов осуществляется на
экране осциллографа С1-68. Частота гармоник может быть измерена частотомером Ч3-33
(или с помощью осциллографа). Амплитуда гармоник измеряется по показаниям
селективного прибора (или с помощью осциллографа).
       Генератор Г6-15 вырабатывает напряжение синусоидальной, прямоугольной и
пилообразной (двух типов) формы с частотой 0,001 ч 2000 Гц и амплитудой 0 ч10 В. Все


                                         6
сигналы в ходе выполнения лабораторной работы снимаются с основного выхода
генератора.
       Усилитель У2-8 (микровольтметр В6-9) выполняет роль анализатора гармоник,
очень узкая полоса его пропускания может устанавливаться в пределах 0 ч 200 кГц.
Приборы У2-8 и В6-9 имеют нормированный выход, т.е. при максимальном отклонении их
стрелочного прибора напряжение на выходе составляет 1В при любом положении
переключателей их усиления. Поэтому не следует на вход этих приборов подавать
напряжение более 1В.
       При использовании осциллографа для измерения амплитуд гармоник его усиление
во всех случаях должно быть неизменным.
       При работе с частотомером Ч3-33 необходимо иметь в виду, что порог его
срабатывания составляет ≈ 0,1В.
       Установка работает следующим образом. С выхода генератора Г6-15 исследуемый
сигнал подаётся на вход селективного усилителя. В режиме «широкая полоса» и
коэффициенте усиления, равном единице, сигнал проходит через усилитель без изменения.
Форму сигнала можно оценить по изображению на экране осциллографа. В узкополосном
режиме через усилитель проходит только та гармоническая составляющая сигнала, на
которую настроено избирательное устройство усилителя. Точность настройки на частоты
гармоник определяется по максимуму показаний стрелочного прибора усилителя или по
максимальной амплитуде изображения гармоники на экране осциллографа.

      Включение установки. Основной выход генератора соединить с входом усилителя,
а выход усилителя – с входом Y осциллографа и с входом A частотомера.
      Включить тумблеры «сеть» приборов и дать прогреться 5-10 мин.

      Режим работы генератора. Установить величину выходного напряжения 2 В,
частоту – в пределах 500 Гц – 1 кГц.
      Нажать кнопку «    », кнопку «ВЫХ.СОПР. 600Ω», кнопку ослабление «0» ДБ.

      Режим работы частотомера. Установить: ручку «Выходы» - в положение F ,         A



ручку «внешний пуск» - выключить (вниз), ручку «Уровень» канала A – в среднее
положение, переключатель «запуск» - в произвольное. Время измерения установить 1с.
Время индикации – в среднее положение (удобное для отсчёта).

      Режим работы усилителя. Не трогать ручки, относящиеся к калибровке (          , ∆).

Кнопку 0 mV / 1 kHz – отжать, кнопку x 100/40 ДБ – нажать, переключатель «фазовый
детектор» установить в положение «выкл.». Постоянную времени установить 1с. Нажать
кнопку «широкая полоса» (при этом сигнал проходит через усилитель без изменения
формы). Переключатель «усиление» установить в положение «60 ДБ» (1 mV). На
показание стрелочного прибора внимания не обращать.

      Режим         работы         осциллографа.         Переключатель          /
      установить в положение «    ».
      Усиление установить таким., чтобы исследуемый сигнал помещался на экране
удобным образом (например, 0,5 В/см).
      Переключатель усиление x 10/ x 1 установить в положение x 1.
      Установить род синхронизации – «внутренняя», полярность синхронизирующего
напряжения «», уровень – обеспечивающий устойчивое изображение.
      Переключатель   X    x
                             1/ x 0,2 – в положение x 1.


                                         7
      Установить длительность развёртки, обеспечивающую удобное наблюдение
сигнала (например, 1 мс). (Переключатель «Время/см» - в положение « x 1»).
      Установить ручку «Стаб.» - в положение, обеспечивающее удобное наблюдение
сигнала.

            Упражнение 1. Исследование сигнала прямоугольной формы.

      На генераторе должна быть нажата кнопка «    », а на усилителе – кнопка
«широкая полоса». При этом сигнал прямоугольной формы проходит через усилитель без
искажения, и его можно наблюдать на экране осциллографа.
      Зарисовать наблюдаемый сигнал.
Для наблюдения гармоник сигнала отжать кнопку «широкая полоса» и нажать кнопку
диапазона, охватывающего частоту сигнала (200 Гц – 2 кГц). Подобрать положение
ступенчатого переключателя усилителя (например, 40 ДБ) и усиление выхода
осциллографа (ручка «усилитель У») так, чтобы наблюдаемый сигнал поместился на
экране осциллографа.
      Ручками “частота грубо” (∇) и “плавно” (∇∇) настроить усилитель на частоту
первой гармоники сигнала. При этом её изображение на экране осциллографа
максимально.
      Записать величину сигнала (на экране размер сигнала по вертикали составляет
удвоенную амплитуду), например, 2 А = 50 мм. Обратить внимание на положение
переключателя усиления , входа осциллографа (например, 0,5 В/см), и положение
переключателя усиления усилителя У2-8 (например, 40 ДБ – 10 мВ).
      Записать частоту наблюдаемой гармоники (по цифровом индикатору частотомера),
например, f = 0,499 кГц.
      Эти данные удобно заносить в таблицу вида:
                                                          Таблица 1
n
               1      3     5      7      9
гармоник
2A, см

2A, В

f, кГц

       Удвоенную амплитуду гармоник лучше сразу пересчитывать в «вольты», используя
чувствительность     осциллографа,   указанную    у   соответствующих      положений
переключателя усиления усилителя входа «Y» осциллографа. (Если при измерении
амплитуды следующих гармоник придётся менять положение переключателя усиления
усилителя У2-8, то это надо учесть).
       Записав данные, относящиеся к первой гармонике, можно перейти к поиску
следующей гармоники. Для этого необходимо изменить настройку усилителя по частоте –
ручками ∇ и ∇∇. При появлении изображения гармоники на экране осциллографа следует
аккуратно настроить усилитель, а также все регулировки, способствующие удобному
наблюдению сигнала на экране осциллографа.
       Результаты измерения амплитуды и частоты гармоники занести в таблицу.
       Зарегистрировать таким образом 3-4 гармоник (n = 2-7). В случае необходимости
отжать кнопку диапазона 200 Гц – 2 кГц усилителя У2-8 и нажать кнопку диапазона
2 – 20 кГц.


                                         8
       Если величина гармоники окажется недостаточной для срабатывания частотомера
(на его вход должно подаваться напряжение не менее 0,1 В), следует увеличить усиление
усилителя, учтя это в пересчёте амплитуды гармоники «от мм в В».


            Упражнение 2. Исследование сигнала пилообразной формы.

      На генераторе нажать кнопку            , на усилителе нажать кнопку «широкая
полоса», переключатель усиления установить в положение «60 ДБ».
      На экране осциллографа при этом должен наблюдаться исследуемый сигнал.
      Зарисовать наблюдаемый сигнал.
      Затем, так же как и в первом упражнении, найти гармоники исследуемого сигнала,
определить их амплитуды и частоты, занести данные в таблицу типа таблицы 1.
      Достаточно обнаружить три гармоники (n = 5).


            Упражнение 3. Исследование сигнала треугольной формы.
      На генераторе нажать кнопку        , на усилителе нажать кнопку «широкая


полоса», переключатель “усиление” поставить в положение «60 ДБ».
      На экране осциллографа при этом должен наблюдаться исследуемый сигнал.
      Зарисовать наблюдаемый сигнал.
      Затем, как и в первом упражнении, найти гармоники исследуемого сигнала,
определить их амплитуды и частоты, занося данные в таблицу типа таблицы 1. обратить
внимание , что этот сигнал содержит также и чётные гармоники.
      Достаточно обнаружить 3-4 гармоник (n = 5-7).

      После выполнения измерений выполнить синтез сигналов по гармоникам и затем
построить графики синтезированных сигналов.


                              Контрольные вопросы.

   1. В чём состоит гармонический анализ?
   2. Написать выражение, описывающее ряд Фурье в общем виде, для прямоугольного
       напряжения.
   3. В чём состоит предназначение каждого из приборов установки?
   4. Объяснить предназначение основных органов управления приборов.
   5. Каким образом устанавливается соотношение между амплитудами гармоник?
   6. Как определить соотношение между амплитудами гармоник и их частоты с
       помощью осциллографа?
   7. Для чего производится заземление приборов?
   8. Каким образом производится синтез сигнала по составляющим его гармоникам?
   9. Каким должно быть соотношение между амплитудами и частотами
       (соответственно) гармоник прямоугольного напряжения?
   10. Какую форму будет иметь «прямоугольное» напряжение, восстановленное по одной
       (двум, четырём, …) гармоникам?
   11. Какое значение при синтезе имеет число интервалов, на которые разбивают период
       первой гармоники?


                                      9

                                Литература.

1. Калашников С.Г. Электричество. М. 2004.
2. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. М. 2005.



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика