Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Резонанс в цепях переменного тока: Лабораторный практикум по общей физике (электричество и магнетизм)

Голосов: 2

Изучаются установившиеся вынужденные колебания в цепях переменного тока в последовательном и параллельном колебательных контурах. Рассматриваются явления резонанса напряжений и резонанса токов. Работа входит в лабораторный практикум по общей физике (электричество и магнетизм) кафедры общей физики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Описание работы размещено на сайте кафедры общей физики МГУ.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
     Московский государственный университет
           им. М.В.Ломоносова

                  Физический факультет

                 Кафедра общей физики

Лабораторный практикум по общей физике
          (электричество и магнетизм)

         Козлов В.И. Полевой П.В. Штыркова А.П.


               Лабораторная работа 24

      Резонанс в цепях переменного тока




                         UC
                        U Срез
     C              L    рез
                        UC
                          2
                                      2∆ ω
                    R        0
                         U   С

                              0                 1    ω
                                  ω   рез   =
                                                LC




                    М О С К В А 2006


                                              3
                               Лабораторная работа 24
                           Резонанс в цепях переменного тока

            Изучаются установившиеся вынужденные колебания в цепях
        переменного тока: в последовательном и параллельном
        колебательных контурах. Рассматриваются явления резонанса
        напряжений и резонанса токов.

                                       Введение

     Последовательный колебательный контур.

      Рассмотрим цепь, в которой элементы L, C и R включены последовательно с
внешней ЭДС – такая цепь представляет собой последовательный колебательный контур
(рис.1).

                                        R

                    ε (t)                              L
                                              C


                 Рис. 1. Последовательный колебательный контур.


     Обычно считают, что ЭДС     ε    изменяется по гармоническому закону, а колебания
уже установились, т.е. амплитуды колебаний тока и напряжений на отдельных элементах
достигли постоянных значений к моменту измерений.
      Для цепи, изображенной на рис. 1, в соответствии со вторым правилом Кирхгофа
можно записать уравнение (оно называется уравнением вынужденных колебаний) [1]:
                                      
                         q           dI
                           + RI = − L    +        εˆ
                         C            dt
                                                                                  (1).

     Знак “∧” означает, что эти величины — комплексные; в дальнейшем этот знак можно
опустить.
     Уравнение (1) можно записать несколько иначе, если учесть, что I = dq/dt, а
 q=∫ Idt   :
                        dI        1
                    L      + RI +   ∫ Idt =   ε                                   (2).
                        dt        C


                                                       4
     Полагая, что переменный ток в контуре изменяется по гармоническому закону,
                        iωt                                                     dI                                  I0
подставим    I = I 0e             в формулу (2) и учитывая, что                 dt
                                                                                   = iω I 0       , а   ∫ I dt =   iω
                                                                                                                           ,
получим:

                                                                 i                      1 
                              ε   = I 0 R + I 0 iω L − I 0         = I0  R +   i ω L −
                                                                                           
                                                                ωC                     ωC
                                                                                            
                                                                                                                     (3).
     По закону Ома:
                                                    ε
                                                               = Z,
                                                     I
где величина Z оказывается комплексной:
                                                                 1 
                                                Z = R + i ω L −
                                                                   .
                                                                ωC

Она называется импедансом, или полным комплексным сопротивлением цепи для
переменного тока.
     Как известно, есть две формы записи комплексного числа Z:

                                          Z = X + iY                и       Z = Z e iϕ        .

     При этом модуль комплексного сопротивления последовательного колебательного
контура
                                                                                              2
                                                                                   1    
                                          Z =     X2 +Y2 =            R2 +  ω L −
                                                                                        
                                                                                                 ,
                                                                                  ωC    
а аргумент (или фазовый угол)
                                                                          1
                                                                   ω L−
                                             Y                           ωC.
                                   ϕ = arctg   = arctg
                                             X                          R

     Здесь угол ϕ показывает сдвиг фаз между током I и полным напряжением в цепи,
которое равно напряжению на генераторе             ε       .
     Если изменять частоту внешней электродвижущей силы, оставляя неизменными
параметры контура L, C, R, то при некоторой частоте мнимая часть комплексного
сопротивления Z обращается в нуль, т.е. оказывается, что контур обладает только
активным сопротивлением R. При этом будет наблюдаться возрастание тока, а когда ток
достигает максимального значения, то наступает резонанс. Частоту генератора,
соответствующую максимуму тока, называют резонансной частотой ωрез.
     Из уравнения (3) следует, что
                                                                    1
                                                   ω    рез    =       .                                                 (4)
                                                                    LC

     Как известно, такое же выражение получается для частоты собственных свободных
колебаний, т.е.
                                                               ωрез = ω0.
     При резонансе максимальных значений достигают также напряжения на
конденсаторе и катушке индуктивности, причем выражение для резонансной частоты для


                                           5
них несколько отличается от (4). Однако при малых потерях в контуре (малом R) можно
пренебречь этим отличием и считать, что амплитуды напряжения на конденсаторе и
катушке достигают резонансного максимального значения на одной и той же частоте (4).
При этом напряжения на конденсаторе и катушке противофазны, следовательно
компенсируют друг друга.
      Фазовые соотношения между током и напряжением на различных участках цепи
удобно анализировать с помощью векторной диаграммы (рис.2).
     При этом сами напряжения выражаются так:

                                                           i 
                                                       
                                             UC = I0  −      
                                                          ωC   ,
                                             U L = I 0 iω L



     Из диаграммы на рис.2 видно, что при резонансе, когда напряжения на конденсаторе
и катушке компенсируют друг друга, фазовый сдвиг между током и полным напряжением
равен нулю. При этом, как было указано ранее, напряжения UL и UC достигают
максимальных значений.

     Такая ситуация называется резонансом напряжений.


                       UL

                                                   UГEH

                                      ϕ
                                                                      I
                                                  UR
                       UC


       Рис.2.   Векторная диаграмма токов и напряжений для последовательного
                колебательного контура.




     Параллельный колебательный контур.

     Для изучения резонанса в параллельном колебательном контуре воспользуемся
методом комплексных амплитуд. Пусть генератор тока ГI дает ток, амплитуда которого
                               ˆ
остается неизменной и равной I 0 . Применим правило Кирхгофа для узла, тогда
получим:

                                    ˆ     ˆ     ˆ
                                    I 0 = I C + I LR ,                            (5)

     ˆ       ˆ
где I C и I LR - это комплексные амплитуды тока, проходящего через конденсатор и
катушку с резистором соответственно.


                                                    6




                                           C                                  L
                        ГI
                                                                              R




                     Рис. 3. Параллельный колебательный контур.




     Рассмотрим комплексную амплитуду напряжения на конденсаторе

                                                 1
                              ˆ    ˆ
                             U C = IC               = U LR = I LR ( R + i ω L )
                                                       ˆ     ˆ                    (6)
                                               iω C

     Выразим ток через конденсатор из соотношения (5) и, подставив его в (6), получим
         ˆ
величину I LR .
                                               ˆ      ˆ               ω   2
                                               I LR = I 0                 0
                                                                                  (7)
                                                            ω 0 − ω 2 + i 2δ ω
                                                              2



     Здесь были введены стандартные обозначения:
                                   2        1                   R
                               ω   0   =      ,         2δ =      .               (8)
                                           LC                   L

     Как видно из выражения (7), амплитуда тока, текущего через катушку и резистор,
имеет резонансный характер. Запишем модуль комплексной величины (7).
                                                  ω02
                                I LR = I 0                                      (9)
                                                    2
                                                        (
                                           ω 0 − ω 2 + 4 δ 2ω 2
                                             2
                                                                      )
     Исследуя выражение (9) на экстремум, легко получить выражение для резонансной
частоты:
                                    ω РЕЗ = ω 0 − 2δ 2 .
                                      2       2
                                                                               (10)

     Рассмотрим случай δ<<ω0 , тогда
                                                 ω0
                              I LR = I 0            = I0 Q ≈ IC
                                                 2δ


                                             7
      В случае, когда добротность колебательного контура велика (Q>>1), и частота тока ω
                         ˆ
≈ω0, амплитуда тока I LR в Q раз превосходит амплитуду тока, текущего через
генератор. Как видно из соотношения (5), вблизи частоты ω0 также происходит резкое
увеличение амплитуды тока, текущего через конденсатор. Таким образом, если амплитуду
полного тока в цепи поддерживать постоянной, то при изменении частоты генератора
амплитуды токов в индуктивной и емкостной ветвях будут изменяться по резонансному
закону и при резонансной частоте достигнут одинаковых максимальных значений. Вот
почему такая ситуация называется резонансом токов. При резонансе токов амплитуда
тока, циркулирующего в колебательном контуре в Q раз превосходит амплитуду тока,
текущего через контур.

     Вычислим сопротивление колебательного контура при резонансе, зная напряжение в
контуре и ток, текущий через контур.

                           UC   1       1         L R
                  rРЕЗ =      =    IC      = Q        = Q2R                         (11)
                           I0   I0    ω 0C        C R

     Несмотря на то, что при резонансе токов сопротивление колебательного контура
резко возрастает, амплитуду протекающего через контур тока поддерживает неизменной
генератор тока ГI.

     Воспользуемся методом векторных диаграмм для изучения резонанса в
параллельном колебательном контуре. Построение векторной диаграммы мы начнем с
самого сложного участка, содержащего катушку L и резистор R. Выделим величину,
являющуюся общей для элементов, и построим ее на комплексной плоскости. Нарисовав
ток ILR, построим напряжения на катушке UL =iωL ILR и резисторе UR =ILR R..
     Как следует из схемы, UL +UR =UC. Зная напряжение на конденсаторе UC, легко
построить ток через него: IC= iωC UC. Складывая токи IC + ILR, мы получим ток, текущий
через контур, – ток генератора I0.


                                                 UC=ULR
                      UL=ω L ILR

                                            IГ=ILR+IC
                IC

                                                              ILR
                                             UR=R ILR


     Рис.4 Векторная диаграмма токов и напряжений для параллельного контура


     Анализ векторной диаграммы показывает, что в параллельном колебательном
контуре возможен резонанс тока. При резонансе резко возрастают токи IC и ILR и
принимают свои максимальные значения. Приравнивая амплитуды токов, мы получим
следующее соотношение:


                                                      8
                                    1
                                       =            R 2 + ω 2 L2 ,
                                   ω С
откуда
                              ω04=ω4+4δ2ω2.                                                    (12)

     Выражая и раскладывая в ряд в случае малого затухания (8), мы получим
                             ω РЕЗ = ω 0 − 2δ 2 .
                               2       2
                                                                                               (13)

     Анализ показывает, что при резонансе токов в параллельном колебательном контуре
разность фаз между напряжением на контуре и током, текущим через контур, становится
равной нулю.
     Как видно из сравнения формул (10) и (13), метод комплексных амплитуд и метод
векторных диаграмм дают одинаковые результаты.

     При анализе процессов в колебательном контуре важнейшей характеристикой
является добротность контура Q. Физический смысл добротности легко понять из баланса
энергии для последовательного контура: добротность есть отношение средней
колебательной энергии к энергии, теряемой за период (с коэффициентом 2π):

                                          LI 2          L     1               L
                            Q = 2π             = 2π         =                   .              (14)
                                            2
                                         RI T       R 2π LC   R               C

Таким образом, добротность характеризует рассеяние (потери) энергии в колебательном
контуре, т.е. определяет степень затухания колебаний.
       С другой стороны, добротность показывает − во сколько раз напряжение на
конденсаторе (или на индуктивности) при резонансе превосходит напряжение, подаваемое
на контур от генератора, т.е.
                                            U C рез
                                   Q=
                                            U ген
                                                                                               (15).


      Отношение резонансного сопротивления контура                      Rрез    к   его   активному
сопротивлению R равно квадрату добротности контура Q:

                             Rконт . рез.
                                             = Q2 .                              (16)
                                 R
      Таким образом, для переменного тока с частотой ω0 параллельный колебательный
контур представляет собой большое сопротивление (обычно Rконт . рез. R ≈ 10 4 ). Это
позволяет использовать резонанс токов для выделения той или иной гармоники сигнала
сложной формы (резонансный усилитель).
     Для контуров, добротность которых Q >> 1, добротность рассчитывается по ширине
резонансной кривой для тока (или напряжения на любом элементе):
                                         ω
                                                                                               (17).
                                              рез
                                   Q =
                                         2∆ ω

Здесь 2∆ω — полоса пропускания, которая на графиках зависимостей тока или
напряжений в контуре от частоты определяется на уровне               1/  2    от соответствующих
резонансных значений.
      Добротность контура связана с декрементом затухания ν соотношением:
                                                          π
                                                    Q=
                                                          ν   .                                (18)


                                            9
     Для достаточно больших значений добротности все ее определения оказываются
эквивалентными.


                       Экспериментальная установка.

     Оборудование экспериментальной установки состоит из специальной монтажной
панели, генератора, вольтметра и осциллографа (рис.5). Из элементов на панели
собирается сначала последовательный колебательный контур, затем − параллельный.




                                       Сi
                           L




                           Rдоп        Ri




                          Рис. 5. Монтажная плата с элементами R, L, C.

       В качестве источника энергии для поддержания колебаний используется генератор
напряжения переменной частоты. Измерительная аппаратура состоит из вольтметра и
осциллографа.
       На монтажной панели расположена одна катушка индуктивности и набор
резисторов и конденсаторов. Здесь же имеется резистор Rдоп, включаемый
последовательно с параллельным контуром для сохранения постоянства тока через контур
при изменении частоты подводимого к нему напряжения.
     При выборе Ri и Ci из набора необходимо руководствоваться следующими
соображениями:
     − добротность контура должна быть достаточно большой (Q >> 1);
     − с другой стороны, для верхней части резонансной кривой должно быть возможно
экспериментальное определение количества точек, позволяющего уверенно измерить ее
ширину (т.е. резонансная кривая должна быть не слишком ”острой” и не слишком
”тупой”).



   Упражнение 1. Амплитудная резонансная кривая последовательного контура.

     Изучается зависимость напряжения на конденсаторе UC от частоты генератора f.
     Собрать схему в соответствии с рис. 6.
      Включить генератор и вольтметр и дать им прогреться. Удобно взять с генератора
напряжение Uген = 1 В (хотя можно взять и любое другое).


                                         10
     Подобрать значения Ri и Ci такими, чтобы резонансная кривая UC(f) была бы удобной
для измерений (см. рекомендации выше).
       Изменяя частоту генератора, получит зависимость UC(f), занося результаты
измерений в таблицу.




                                              R


                                              L


                   Γ                          C             V


                Рис.6.      Подключение      приборов      к     последовательному
                            колебательному контуру.

Обработка измерений.
Представить эту зависимость графически.
Определить по графику резонансную частоту.
Вычислить индуктивность контура (по ф-ле (4)).
Определить добротность исследованного контура по ф-ле (15) и по ширине резонансной
кривой (ф-ла (17)).
Вычислить общее сопротивление R контура (по ф-ле (14)) и активное сопротивление
катушки индуктивности RL как разность величин R и Ri.


         Упражнение 2. Фазовые соотношения в последовательном контуре.

      Изучается зависимость фазового сдвига между током в контуре и напряжением,
действующим на контуре, от частоты переменного напряжения f = ω/2π. Используется
осциллографический метод.
     Собрать схему в соответствии с рис. 7, оставив значения Ri и Ci, выбранные в
упражнении 1.


                                             11




                                       C


                                       L




             Γ                        R
                                                                Y X

                 Рис. 7. Электрическая схема для изучения фазовых соотношений
                                  в последовательном контуре.


     На вход Х осциллографа подать напряжение с резистора Ri, которое
пропорционально току I.
     На вход Y подать напряжение, действующее на всем контуре (Uген).
     На экране осциллографа при этом должен наблюдаться эллипс, который при
резонансе вырождается в прямую линию.
     Зарисовать вид эллипса для случаев: f < fрез ; f = fрез ; f > fрез.
     Для нескольких (5ч7) выбранных частот f ″ до″ и ″ после″ резонанса (но не слишком
далеко от резонансной частоты) измерить параметры эллипса 2y0 и 2y (см. рис. 8.).
Результаты измерений оформить в виде таблицы:


                                       y


                         2y                                    2y0
                                                                       x


     Рис. 8. Измеряемые параметры эллипса, наблюдаемого на экране осциллографа.

                                                          y
Обработка измерений. По формуле            ϕ = ± arcsin         вычислить значения фазового
                                                          y0

сдвига для частот f ″ до″ и ″ после″ резонанса. Построить график зависимости ϕ (f).

Обратить внимание на то, что “метод эллипса” (осциллографический метод) не позволяет
определить знак фазового сдвига ϕ. Знак ϕ можно определить из анализа теоретической
зависимости:



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика