Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Теория рядов: Учебное пособие

Голосов: 8

Пособие по теме "Теория рядов" подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                                 ТЕОРИЯ РЯДОВ


  Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как
теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и
функциональные. Мы начнём с простейших, числовых рядов, а потом изучим два важнейших
примера функциональных рядов степенные ряды и ряды Фурье.


  1. Числовые ряды
  Пусть
                                    a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .
числовая последовательность. Символ вида
                                                                          ∞
                                    a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · =         an        (1)
                                                                          n=1
называется числовым рядом, а числа an              его членами. Выражения вида
                             A1 = a1 ,    A2 = a1 + a2 , A3 = a1 + a2 + a3 , . . . ,
                                            An = a1 + · · · + an , . . .
называются частичными суммами ряда (1).
  Определение 1. Конечный или бесконечны предел
                                                  A = lim An
                                                        n→∞
частичных сумм ряда (1) называется его суммой. Ряд называется сходящимся, если этот предел
конечен, и расходящимся в противном случае (т.е. если предел частичных сумм бесконечен или
не существует).
  Важнейшей задачей теории рядов является исследование их сходимости.
  Пример 1. Простейшим (и очень важным!) примером ряда является бесконечная геометриче-
ская прогрессия
                                  a + aq + aq 2 + · · · + aq n−1 + . . .            (2)
Её частичная сумма имеет вид
                                                 a − aq n
                                           sn =            .
                                                   1−q
При этом справедливо следующее:
                                                                 a
   1) если |q| < 1, то ряд (2) сходится и его сумма равна 1−q ;
   2) если q 1, то ряд расходится и его сумма равна ±∞ в зависимости от знака a;
   3) в остальных случаях ряд расходится и предела частичных сумм не существует.

Простейшие свойства рядов. Ряд вида
                                                                              ∞
                                am+1 + am+2 + · · · + am+k + · · · =                 an   (3)
                                                                          n=m+1

называется остатком ряда (1) после m-го члена.
  Предложение 1. Если сходится ряд (1), то сходится и любой его остаток. Обратно, если
сходится какой-либо остаток вида (3), то сходится и сам ряд.
                                                         1


2                                                   ТЕОРИЯ РЯДОВ

    Предложение 2. Пусть ряд (1) сходится и сумма остатка (3) есть αm . Тогда lim αm = 0.
                                                                                                              m→∞
                                   ∞                                                                                  ∞
  Предложение 3. Пусть             n=1 an         сходящийся ряд и c                        постоянная. Тогда ряд     n=1 can
также сходится и
                                                  ∞                  ∞
                                                         can = c         an .
                                                n=1                n=1
          ∞                                                                             ∞
Если      n=1 bn    другой сходящийся ряд, то сходится и ряд                            n=1 (an   ± bn ), причём
                                         ∞                       ∞              ∞
                                             (an ± bn ) =            an ±            bn .
                                        n=1                   n=1              n=1


  Предложение 4 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его общий
член стремится к нулю.
                                         ∞
Положительные ряды. Ряд                  n=1 an   называется положительным, если an                          0 для всех n    1.
  Теорема 1. Положительный ряд всегда имеет сумму. Эта сумма конечна, если все частичные
суммы ряда ограничены сверху, и равна бесконечности в противном случае.
    Пример 2. Сумма ряда
                                    ∞
                                         1         1   1         1
                                           s
                                             = 1 + s + s + ··· + s + ...                                                    (4)
                                         n        2   3         n
                                   n=1
конечна при s > 1 и бесконечна при s              1. При s = 1 ряд (4) называется гармоническим.

Теоремы сравнения. Пусть заданы два положительных ряда
                                              ∞                                     ∞
                                    (A)             an       и           (B)            bn .
                                              n=1                               n=1
  Теорема 2. Если начиная с некоторого n выполняется неравенство an bn , то из сходимости
ряда (B) вытекает сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (A) расходимость ряда (B).
    Теорема 3. Если существует предел
                                          lim an    = K,             0    K         ∞,
                                         n→∞ bn
то из сходимости ряда (B) при K < ∞ следует сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (A)
при K > 0      расходимость ряда (B). В частности, при 0 < K > ∞ оба ряда сходятся или
расходятся одновременно.
  Теорема 4. Если начиная с некоторого n выполняется неравенство
                                        an+1    bn+1
                                                     ,
                                         an      bn
то из сходимости ряда (B) вытекает сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (A)                                   расходи-
мость ряда (B).
  Теоремы сравнения позволяют устанавливать сходимость или расходимость достаточно слож-
ных рядов.
                                        ∞ (n!)2
    Пример 3. Рассмотрим ряд            n=1 (2n)! .   Имеем1
                                   (n!)2      n!         1
                                         = n           < n,
                                   (2n)!  2 (2n − 1)!!  2
и, значит, ряд сходится по теореме 2.
    1Символ (2n − 1)!! обозначает произведение всех нечётных чисел от единицы до 2n − 1.


                                               ТЕОРИЯ РЯДОВ                                                                3

  Пример 4. Рассмотрим ряд
                                         ∞
                                                x
                                             sin ,                 0 < x < π.
                                         n=1
                                                n
Поскольку
                                                     x             1
                                             lim sin n :           n   = x,
                                             n→∞
этот ряд расходится в силу теоремы 3 и примера 2.

Важнейшие признаки сходимости. К этим признакам относятся признаки Коши и Далам-
бера, а также интегральный признак сходимости. Пусть по-прежнему
                                                               ∞
                                                  (A)               an
                                                              n=1
  положительный ряд.
  Теорема 5 (признак Коши). Рассмотрим ряд (A) и предположим, что существует предел
                                            √
                                    C = lim n an .
                                                         n→∞
Тогда при C < 1 ряд сходится, а при C > 1                расходится.
                                   ∞              1    n2
  Пример 5. Рассмотрим ряд         n=1    1−      n         . Тогда
                                                      2
                                    n             1 n                         1 n       1
                         C = lim          1−      n          = lim 1 −        n     =   e   < 1.
                             n→∞                               n→∞
Следовательно, этот ряд сходится.
  Теорема 6 (признак Даламбера). Рассмотрим ряд (A) и предположим, что существует предел
                                                               an+1
                                               D = lim              .
                                                            n→∞ an
Тогда при D < 1 ряд сходится, а при D > 1                    расходится.
                                   ∞      x n
  Пример 6. Рассмотрим ряд         n=1 n! n .           Тогда
                                                             n+1
                                                       x
                                         (n+1)!                              x
                           D = lim                    n+1
                                                      x
                                                         n         = lim      1
                                                                                    n   = x.
                                                                                          e
                               n→∞           n!       n
                                                                       n→∞ 1+ n

Следовательно, ряд сходится при x < e и расходится при x > e.
  Теорема 7 (интегральный признак Коши–Маклорена). Предположим, что существует такая
функция f (x), определённая на множестве [1, +∞), что f (n) = an для всех натуральных n. Тогда
                                                                              +∞
ряд (A) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом 1 f (x) dx.
                                   ∞   1                                                 +∞ dx
  Пример 7. Рассмотрим ряд         n=1 ns . Поскольку интеграл                          1   xs     сходится тогда и только
тогда, когда s > 1, то и ряд сходится при тех же значениях s.

Произвольные числовые ряды. Теперь мы откажемся от условия положительности членов
ряда и рассмотрим ряды произвольного вида. Для таких рядов справедлив следующий критерий
сходимости:
  Теорема 8. Ряд ∞ an сходится тогда и только тогда, когда для любого числа ε > 0 найдётся
                     n=1
такой номер N , что для всех n > N и m > 0 выполняется неравенство
                                         |an+1 + · · · + an+m | < ε.
  На практике, однако, этим критерием пользоваться, как правило, затруднительно.
                          ∞                                                                                        ∞
  Определение 2. Ряд      n=1 an   называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд                              n=1 |an |.


4                                                   ТЕОРИЯ РЯДОВ

    Теорема 9 (Коши). Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

    Как мы увидим ниже, бывают ряды, которые сходятся, но не сходятся абсолютно.
    Ещё одним частным случаем рядов являются знакопеременные ряды.
                               ∞
    Определение 3. Ряд         n=1 an    называется знакопеременным, если an an+1 < 0 для всех n          1.

  Теорема 10 (Лейбница). Если члены знакопеременного ряда монотонно убывают по абсолют-
ной величине и стремятся к нулю, то этот ряд сходится.
                                                    ∞ (−1)n+1
    Пример 8. По теореме Лейбница ряд               n=1  n      сходится. Однако он не сходится абсолютно!


Свойства сходящихся рядов.
                                                               ∞
  Теорема 11 (сочетательное свойство). Пусть                   n=1 an      сходящийся ряд. Тогда любой ряд
вида
              (a1 + · · · + an1 ) + (an1 +1 + · · · + an2 ) + · · · + (ank +1 + · · · + ank+1 ) + . . .
также сходится и имеет ту же сумму.
  Таким образом, сходящиеся бесконечные суммы обладают тем же свойством ассоциативности,
что и конечные. В случае расходящихся рядов это не так.

    Пример 9. Ряд
                                           1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...
расходится, однако ряд
                                         (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . .
сходится, и его сумма равна нулю.

    Обратимся теперь к свойству коммутативности бесконечных сумм.

  Теорема 12 (Дирихле). Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный произвольной пе-
рестановкой его членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму.

    Абсолютная сходимость существенна в теореме Дирихле, и это показывает другая теорема.

 Теорема 13 (Римана). Пусть ряд сходится неабсолютно. Тогда для любого значения −∞
L +∞ найдётся такая перестановка его членов, что сумма ряда будет равна L.

    Последний результат связан с умножением рядов. Рассмотрим два ряда
                                              ∞                          ∞
                                     (A)            an   и      (B)           bn
                                              n=1                       n=1
                        ∞
и построим ряд (C)      n=1 cn ,   где

                                    cn = a1 bn−1 + a2 bn−2 + · · · + an−1 b1 .

  Теорема 14 (Коши). Если ряды (A) и (B) сходятся абсолютно, то ряд (C) также сходится
абсолютно и его сумма равна произведению сумм этих рядов.


                                               ТЕОРИЯ РЯДОВ                                     5

  2. Общие сведения о функциональных рядах
  Рассмотрим последовательность функций
                                        f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x), . . .
Символ вида
                             ∞
                                  fn (x) = f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x) + . . .           (5)
                            n=1
называется функциональным рядом, а функции fn (x)      его членами. При каждом конкретном
значении переменной x ряд (5) превращается в числовой, и этот ряд может сходиться или расхо-
диться. Множество X ⊂ R, при которых ряд сходится, называется областью его сходимости. На
области сходимости определена функция f (x) = ∞ fn (x) сумма функционального ряда.
                                                n=1

Равномерная сходимость. Вообще говоря, сумма ряда, состоящего из хороших (например,
непрерывных) функций, может оказаться как угодно плохой . Это связано с тем, что в раз-
ных точках области сходимости ряд сходится к своей сумме по-разному. Хорошие функции
получаются, когда ряд сходится равномерно.
  Определение 4. Если ряд (5) сходится к функции f (x) в области X и для любого ε > 0 можно
найти такое N , что для любого n > N и для любого x ∈ X выполняется неравенство
                                    |f1 (x) + · · · + fn (x) − f (x)| < ε,
то ряд называется равномерно сходящимся в области X .
  Теорема 15. Для того чтобы ряд (5) сходился равномерно в области X , необходимо и достаточ-
но, чтобы для любого ε > 0 существовал такой не зависящий от x номер N , что при любом m 1
неравенство
                                 |fn+1 (x) + · · · + fn+m (x)| < ε
выполняется для всех x ∈ X .
   Теорема 16 (признак Вейерштрасса). Если члены функционального ряда (5) удовлетворяют
в области X неравенствам
                              |fn (x)| cn ,   n = 1, 2, . . . ,
        ∞
где     n=1 cn   сходящийся числовой ряд, то ряд (5) сходится равномерно в X .

Свойства равномерно сходящихся рядов.
   Теорема 17. Пусть функции f1 (x), . . . , fn (x), . . . определены и непрерывны на отрезке X =
[a, b] и ряд ∞ fn (x) равномерно сходится к функции f (x) на этом отрезке. Тогда f (x) также
             n=1
непрерывна на X .
   Для положительных рядов верен и обратный результат.
  Теорема 18. Пусть члены ряда (5) непрерывны в области X = [a, b] и неотрицательны. Если
этот ряд имеет сумму f (x), также непрерывную на X , то ряд сходится в рассматриваемой области
равномерно.
  Теорема 19 (почленный переход к пределу). Пусть функции fn (x) определены в области X и
существуют конечные пределы lim fn (x) = cn . Предположим, то ряд сходится в рассматриваемой
                            x→a
области равномерно. Тогда
      1) числовой ряд ∞ cn сходится;
                      n=1
      2) lim ∞ fn (x) = ∞ lim fn (x).
               n=1        n=1
        x→a                      x→a


6                                                        ТЕОРИЯ РЯДОВ

   Теорема 20 (почленное интегрирование). Если функции fn (x) непрерывны на отрезке X =
[a, b] и ряд (5) сходится на этом отрезке равномерно, то
                                         b   ∞                        ∞              b
                                                   fn (x) dx =                           fn (x) dx .
                                     a       n=1                      n=1        a

  Теорема 21 (почленное дифференцирование). Пусть функции fn (x) определены на отрез-
ке X = [a, b] и имеют на этом отрезке непрерывные производные. Тогда, если ряд (5) сходится
равномерно, а также равномерно сходится ряд ∞ fn (x), то
                                               n=1
                                                   ′

                                                    ∞                      ∞
                                                                  ′
                                                                                 ′
                                                         fn (x)       =         fn (x).
                                                   n=1                    n=1



    3. Степенные ряды
    Степенным рядом называется функциональный ряд вида
              ∞
                   an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · · · + an (x − x0 )n + . . . ,
             n=0
где a1 , . . . , an , . . . (коэффициенты ряда) и x0 действительные числа. Без ограничения общности
можно считать, что x0 = 0, и мы будем рассматривать степенные ряды вида
                                ∞
                                     an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + . . .                              (6)
                               n=0

    Теорема 22. Для каждого степенного ряда вида (6) существует такое R, 0                             R   ∞, что
     1) при |x| < R ряд сходится абсолютно;
     2) при |x| > R ряд расходится.
  Интервал (−R, R) называется промежутком сходимости, а R радиусом сходимости степен-
ного ряда.
  На концах промежутка сходимости степенного ряда могут возникать разные ситуации.
    Пример 10. Ряд
                                                                  ∞
                                                                      xn
                                                            1+
                                                                  n=1
                                                                      n!
сходится абсолютно в промежутке (−∞, +∞), т.е. R = ∞.
    Пример 11. Для ряда
                                                                  ∞
                                                            1+            xn
                                                                  n=1
R = 1, промежутком сходимости является (−1, 1), на концах промежутка ряд расходится.
    Пример 12. У ряда
                                                        ∞
                                                                          x2n−1
                                                            (−1)n−1
                                                     n=1
                                                                          2n − 1
R = 1, но он сходится и на обоих концах промежутка сходимости, однако сходимость в этих
точках неабсолютная.
    Пример 13. Ряд
                                                            ∞
                                                                          xn
                                                                (−1)n
                                                            n=1
                                                                          n
сходится в полуинтервале [−1, 1); сходимость на левом конце неабсолютная.


                                                    ТЕОРИЯ РЯДОВ                             7

  Пример 14. Наконец, ряд
                                                           ∞
                                                               xn
                                                           n=1
                                                               n2
сходится на отрезке [−1, 1], причём на обоих концах имеет место абсолютная сходимость.

Основные свойства степенных рядов. Из теорем 17–22 вытекают следующие важнейшие свой-
ства степенных рядов:
   1) Если R       радиус сходимости ряда (6), то этот ряд сходится равномерно на любом отрез-
      ке [−r, r], где 0 < r < R.
   2) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией внутри его промежутка сходимо-
      сти.
   3) Если ряды
                                                ∞                   ∞
                                                          n
                                                    an x       и           bn xn
                                             n=0                    n=0
      имеют одну и ту же сумму в некоторой окрестности точки x = 0, то они почленно сов-
      падают, т.е. an = bn для всех n. Иными словами, разложение функции в степенной ряд
      единственно.
   4) В любом промежутке [0, r], |r| < R, степенной ряд можно почленно интегрировать:
                                        r   ∞                          ∞
                                                                         an n+1
                                                  an xn dx =                r   .
                                    0       n=0                     n=0
                                                                        n+1
   5) Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать:
                                            ∞                      ∞
                                                           ′
                                                      n
                                                  an x         =         nan xn−1 .
                                            n=0                    n=1
   6) Из последнего свойства следует, что если степенной ряд сходится к функции f (x), то эта
      функция имеет производные всех порядков, а коэффициенты этого ряда имеют вид
                                       f ′′ (0)        f ′′′ (0)                f (n) (0)
                a0 = f (0), a1 = f ′ (0), a2 =  , a3 =           , . . . , an =           ,...
                                          2!              3!                       n!
      Иначе говоря, любой степенной ряд является рядом Тейлора той функции, к которой он
      сходится.

Ряды Тейлора. Итак, если функция f (x) определена в окрестности нуля и сколько угодно раз
дифференцируема в нуле, то её рядом Тейлора называется степенной ряд
                                    f ′ (0)    f ′′ (0) 2        f (n) (0) n
                          f (0) +           x+         x + ··· +          x + ...          (7)
                                      1!          2!                n!
Разность
                                     f ′ (0)    f ′′ (0) 2        f (n) (0) n
                    rn (x) = f (x) − f (0) − x−         x − ··· −          x               (8)
                                       1!          2!                n!
называется дополнительным членом (порядка n).
  Теорема 23. Для того, чтобы ряд (7) сходился к функции f (x) в точке x, необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялось равенство
                                                    lim rn (x) = 0.                        (9)
                                                    n→∞
  Чтобы проверить выполнение условия (9) в предыдущей теореме, дополнительный член (8)
обычно представляют в одной из двух удобных форм
    • в форме Лагранжа
                                           f (n+1) (θx) n+1
                                  rn (x) =             x                          (10)
                                             (n + 1)!


8                                             ТЕОРИЯ РЯДОВ

     • и в форме Коши
                                              f (n+1) (θx)
                                   rn (x) =                (1 − θ)n xn+1                          (11)
                                                (n + 1)!
(здесь 0    θ   1).
Ряды Тейлора некоторых элементарных функций. Имеют место следующие разложения
                           x    x2 x3              xn
                  ex = 1 +    +     +      + ··· +     + ...,                                     (12)
                           1!   2!    3!           n!
                           x3 x5                         x2n−1
               sin x = x −    +     − · · · + (−1)n−1                + ...,                       (13)
                           3!    5!                    (2n − 1)!
                           x2 x4                     x2n
               cos x = 1 −    +     − · · · + (−1)n        + ...,                                 (14)
                           2!    4!                 (2n)!
                           x3 x5                       x2n−1
             arctg x = x −    +     − · · · + (−1)n−1            + ...,                           (15)
                            3    5                     2n − 1
                           1 x3 1 · 3 x5                1 · 3 · · · · · (2n − 1) x2n+1
            arcsin x = x + ·      +        ·    + ··· +                                + ...,     (16)
                           2 3       2·4 5                  2 · 4 · · · · · 2n 2n + 1
                                 m(m − 1) 2               m(m − 1) · · · · · (m − n + 1) n
           (1 + x)m = 1 + mx +               x + ··· +                                   x + ..., (17)
                                    1·2                                      n!
                           x2 x3                       xn
          ln(1 + x) = x −     +     − · · · + (−1)n−1      + ...                                  (18)
                            2    3                      n
    Эти формулы используются для приближённого вычисления значений указанных функций.
    Замечание 1. Из разложения (15) получается ряд Лейбница для числа π:
                   π                 1 1 1                    1
                     = arctg(1) = 1 − + − + · · · + (−1)n−1        + ...                          (19)
                   4                 3 5 7                  2n − 1

  Замечание 2. Для всех указанных функций справедлива теорема 23. Приведём пример, когда
ряд Тейлора почти нигде не сходится к исходной функции. Для этого положим
                                                       1
                                                   e− x2 , x = 0,
                                        f (x) =
                                                   0,      x = 0.
Можно показать, что эта функция имеет производные всех порядков в нуле и эти производные
равны нулю. Таким образом, ряд Тейлора функции f (x) нулевой и сходится к значению функции
только в нуле.


    4. Ряды Фурье
  Теория рядов Фурье, или гармонический анализ имеет дело с периодическими явлениями и
представлением их в виде суммы (суперпозиции) элементарных периодических функций (гармо-
ник ).
  Напомним, что функция f (x) называется периодической, если существует такое число T = 0,
что для любого x выполняется равенство
                                           f (x + T ) = f (x).                                    (20)
Поведение периодической функции на всей прямой полностью определяется ей поведением на
любом отрезке, длина которого кратна периоду. Поэтому любую функцию, удовлетворяющую
условию (20), достаточно, например, рассматривать на отрезке [− T , T ].
                                                                2 2
   Периодические функции возникают в школьной тригонометрии. Простейшие из них           sin x
и cos x. Период этих функций равен 2π, и, в силу сказанного выше, их достаточно рассматривать
на отрезке [−π, π].


                                                            ТЕОРИЯ РЯДОВ                                                      9

  Заметим также, что если функция f (x) имеет период T , то функция f ′ (x) = f ( T x ) является
                                                                                  T′
периодической с периодом T ′ . Поэтому простым преобразованием любую периодическую функ-
цию можно привести к функции с периодом 2π и рассматривать её на отрезке [−π, π], как и
простейшие периодические функции.
  Начнём с общих определений.
  Определение 5. Система функций
                                                        ϕ0 , ϕ1 , . . . , ϕn , . . .
называется ортонормированной на отрезке [a, b], если выполняются равенства
                                           b
                                                                               0, n = m,
                                               ϕn (x)ϕm (x) dx =
                                       a                                       1, n = m.

  Предположим, что на отрезке [a, b] задана функция f (x) и нам удалось представить её в виде
функционального ряда
                              f (x) = c0 ϕ0 (x) + c1 ϕ1 (x) + · · · + cn ϕn (x) + . . .
Тогда из определения ортонормированной системы следует, что коэффициенты этого ряда имеют
вид
                                                    b
                                    cn =                ϕn (x)f (x) dx,          n = 0, 1, . . .                           (21)
                                                a

  Определение 6. Функциональный ряд
                                 c0 ϕ0 (x) + c1 ϕ1 (x) + · · · + cn ϕn (x) + . . . ,
коэффициенты которого заданы равенствами (21), называется обобщённым рядом Фурье функ-
ции f (x), построенным по ортонормированной системе ϕ0 , ϕ1 , . . .
  Классическая теория рядов Фурье имеет дело с конкретной ортонормированной системой функ-
ций на отрезке [−π, π].
  Теорема 24. Система функций
             1   1        1        1         1                 1         1
            √ , √ cos x, √ sin x, √ cos 2x, √ sin 2x, . . . , √ cos nx, √ sin nx, . . .
             2π   π        π        π         π                 π         π
является ортонормированной на отрезке [−π, π].
  Обобщённый ряд Фурье, построенный по этой системе называется просто рядом Фурье функ-
ции f (x). Таким образом, этот ряд имеет вид
                                                        ∞
                                       a0 +                 (an cos nx + bn sin nx),
                                                    n=1

и его коэффициенты выражаются формулами
                        π                                    π                                     π
                    1                               1                                          1
            a0 =             f (x) dx, an =                      f (x) cos nx dx, nn =                  f (x) sin nx dx,
                   2π   −π                          π       −π                                 π   −π

где n = 1, 2, . . . Числа an и bn называются коэффициентами Фурье функции f (x).
  Основная задача теории рядов Фурье выяснить, когда ряд Фурье сходится к порождающей
его функции.
  Теорема 25. Если функция дифференцируема на отрезке [−π, π], то её ряд Фурье сходится к
значению функции в каждой точке этого отрезка.


10                                                 ТЕОРИЯ РЯДОВ

  Замечание 3. Условие теоремы 25 можно ослабить. Именно, скажем, что функция кусочно-
дифференцируема на отрезке, если она дифференцируема всюду, кроме конечного числа точек.
Такая функция не обязательно непрерывна, и в каждой точке можно рассмотреть правое и левое
значения
                        f (x + 0) = lim f (t), f (x − 0) = lim f (t).
                                              t→0+                                    t→0−
Ряд Фурье кусочно-дифференцируемой функции сходится к величине
                                                f (x + 0) + f (x − 0)
                                                                      .
                                                          2

Частные случаи. Существуют два случая, когда разложение функции в ряд Фурье упрощает-
ся.
     Предложение 5. Если функция чётна, то её ряд Фурье имеет вид
                                                           ∞
                                                 a0 +          an cos nx,
                                                        n=1

т.е. содержит только косинусы, а если она нечётна, то её ряд Фурье имеет вид
                                                       ∞
                                                            bn sin nx,
                                                      n=1
т.е. состоит из одних синусов.
  Замечание 4. Если функция определена на отрезке [0, π], то её можно продолжить до функции
на отрезке [−π, π], либо полагая
                                              f (−x) = f (x),            x > 0,
и тогда получится чётная функция, либо можно положить
                                            f (−x) = −f (x),             x > 0,
и получится нечётная функция. Значит, в силу теоремы 5, одну и ту же функцию, определённую
на [0, π], можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, так и по синусам.


Примеры.
     Пример 15. Рассмотрим функцию
                                                π−x
                                                     f (x) =
                                                  2
и разложим её в ряд Фурье на отрезке [0, 2π]. Имеем
                           2π
                   1            π−x
           a0 =                     dx = 0,
                  2π   0         2
                           2π                                               2π                   2π
                 1              π−x              1         sin nx                      1
           an =                     cos nx dx =    (π − x)                       +                    sin nx dx = 0,
                2π     0         2              2π            n             0         2πn    0
                           2π                                                    2π                   2π
                   1            π−x                1         cos nx                        1                             1
           bn =                     sin nx dx = −    (π − x)                          −                    cos nx dx =     .
                  2π   0         2                2π           n                 0        2πn     0                      n
Таким образом,
                                                  ∞
                                        π−x            sin nx
                                            =                 ,          0 < x < 2π.                                           (22)
                                         2                n
                                                 n=1



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика