Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Динамика атмосферы: Учебное пособие

Голосов: 3

Излагаются общие принципы теоретической метеорологии. Основное внимание уделяется первоначальному ознакомлению с количественным анализом атмосферных процессов и со специфическими преобразованиями уравнений гидромеханики и термодинамики применительно к атмосфере.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
         Федеральное агентство по образованию
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ




              Аргучинцев В.К.



        ДИНАМИКА АТМОСФЕРЫ


               Учебное пособие




                Иркутск 2006


       Представлено по решению редакционно-издательского совета Иркутского государственно-
го университета.
      Рецензенты:
      старший научный сотрудник Института солнечно-земной физики, доктор физ.-мат. наук
П. Г. Ковадло,
      доцент кафедры метеорологии и охраны атмосферы Иркутского госуниверситета, канд.
геогр. наук А.А. Кречетов


      Излагаются общие принципы теоретической метеорологии. Основное внимание уделяется
первоначальному ознакомлению с количественным анализом атмосферных процессов и со специ-
фическими преобразованиями уравнений гидромеханики и термодинамики применительно к ат-
мосфере.




                                               2


                                             ВВЕДЕНИЕ


         Динамическая метеорология является одной из метеорологических дисциплин, которая
изучает атмосферные процессы на основе общих законов физики (гидромеханики и термодинами-
ки).
         Движение воздуха возникает под влиянием неравномерного распределения давления. Не-
равномерность же распределения давления обусловлена процессами теплообмена в атмосфере и
на ее границе с землей. Возникающие при этом атмосферные движения оказывают обратное влия-
ние на процессы тепло- и влагообмена. Таким образом, атмосферные движения в совокупности с
тепло- и влагообменом представляют собой основные факторы, определяющие погоду и климат.
         Динамическая метеорология, изучая атмосферные движения во взаимосвязи с термодина-
мическими процессами, вскрывает основные закономерности погоды и климата, а затем использу-
ет эти закономерности для решения различных практических задач, важнейшими среди которых
являются разработка объективных методов прогноза погоды и развитие теории воздействий на
погоду и климат.
         Основным методом исследования в динамической метеорологии является преобразование и
решение общих уравнений гидротермодинамики применительно к физическим условиям в атмо-
сфере.
         Исходные уравнения динамической метеорологии представляют собой выражение основ-
ных законов физики: закона сохранения импульса движения (второго закона Ньютона), закона со-
хранения энергии, закона сохранения массы.
         Особенности атмосферных процессов, в соответствии с которыми осуществляется преобра-
зование общих уравнений гидротермодинамики применительно к решению метеорологических
задач, познаются путем обобщения фактических данных, полученных из наблюдений, а также на
основании специальных экспериментальных исследований. При этом теоретические выводы про-
веряются путем сопоставления их с фактическими данными наблюдений и только после опытной
проверки выводы теории используются для решения практических задач.
         Таким образом, метеорологическая практика служит как источником, так и критерием пра-
вильности теории, которая указывает наиболее важные направления дальнейших эксперименталь-
ных исследований. Отсюда следует, что развитие динамической метеорологии тесно связано с си-
ноптической метеорологией, климатологией, аэрологией и экспериментальной метеорологией.
         Предлагаемое учебное пособие написано с целью первоначального ознакомления студен-
тов-метеорологов с основами количественного анализа атмосферных процессов, исходя из законов
гидротермодинамики.



                                                  3


             1. ПОЛЯ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
                                    1.1. Общие понятия

         Атмосферные движения, процессы тепло- и влагообмена и связанные с ними изменения по-
годы определяются характером пространственного распределения в атмосфере метеорологических
величин: давления, температуры, влажности воздуха, ветра и т.д.
         Часть пространства, каждой точке которого соответствует определенное значение какой-
либо метеорологической величины, называется полем этой величины.
         Поля различных метеорологических величин, как и сами величины, подразделяются на ска-
лярные и векторные. К скалярным полям относятся поля температуры, давления, влажности воз-
духа. К векторным полям относятся поле ветра, т.е. поле воздушных течений, поля силы тяжести,
силы Кориолиса и других векторных величин.
         Наряду с распределением метеорологических величин в трехмерном пространстве, при ре-
шении ряда задач анализируется распределение величин на горизонтальной поверхности или вер-
тикальной плоскости, т.е. рассматриваются плоские и поверхностные поля метеорологических ве-
личин.

                         1.2. Скалярное поле и его градиент

         Предположим, что в определенный момент времени нам дано поле некоторой скалярной
величины ϕ , т.е. даны значения ϕ во всех точках пространства (или некоторой его части). Следо-
вательно, в данный момент времени t, ϕ есть функция координат. В случае декартовых координат
в общем виде

                                          ϕ = f ( x, y , z ) .                           (1.2.1)

         Для наглядного представления о пространственном распределении величины ϕ поле этой
величины изображают в виде семейства поверхностей, каждая из которых проходит через точки
поля с одинаковым значением ϕ .
         Поверхности равных значений величины ϕ называются изоповерхностями или эквиска-
лярными поверхностями.
         В зависимости от характера пространственного распределения данной величины ϕ изопо-
верхности ϕ = const могут иметь различную форму, пересекаясь с горизонтальными и вертикаль-
ными плоскостями и с поверхностями уровня (рис.1). Линии пересечения изоповерхностей с ка-
кой-либо плоскостью или поверхностью являются линиями равных значений или изолиниями ве-



                                                        4


личины ϕ (изотермами, изобарами, изогипсами и т.д.), изображающими двумерное поле распре-
деления величины ϕ на данной плоскости или поверхности.
      Hа одной и той же изоповерхности или изолинии значение величины ϕ одинаково. Наи-
большие разности скалярной величины ϕ , приходящиеся на единицу расстояния, получаются при
переходе от одной поверхности к другой по кратчайшему расстоянию между ними, т.е. в направ-
лениях нормалей n к изоповерхностям. Вектор, показывающий направление наибольшего роста
ϕ и по величине равный производной по этому направлению, называется градиентом скалярной
величины ϕ .




                                            Рис.1

      Обозначая единичный вектор нормали к изоповерхности, направленный в сторону роста ϕ ,
      →
через no , градиент величины ϕ выразится формулой

                                               →     →   ∂ϕ
                                     grad ϕ = G = no        .                         (1.2.2)
                                                         ∂n

      Абсолютная величина этого вектора определяется выражением

                                                    ∆ϕ ∂ϕ
                                   grad ϕ = lim       =   ,
                                            ∆ n→0
                                                    ∆n ∂n

      Следовательно, градиент есть вектор, направленный по нормали к изоповерхности ϕ в сто-
рону роста данной величины и численно равный производной от этой величины по нормали к изо-
поверхности. Градиент скалярной величины образует векторное поле.
      Градиент ϕ как и любой другой вектор, можно спроектировать на оси координат и пред-
                                                                                           →

ставить в виде векторной суммы его составляющих по осям координат. Проекции градиента G
некоторой величины ϕ на оси координат определяют изменения величины ϕ в направлениях, со-
ответствующих координатных осей и равняются частным производным от величины ϕ по коор-
динатам. Например, проекции градиента на оси декартовой системы координат равны:


                                                    5


                                       ∂ϕ                  ∂ϕ                  ∂ϕ
                               Gx =       ,      Gy =         ,       Gz =        .                            (1.2.3)
                                       ∂x                  ∂y                  ∂z


                                                                                    →       →   →

      Обозначая единичные векторы координатных осей через i , j , k градиент ϕ можно пред-
ставить в виде векторной суммы его составляющих (рис.2):

                                            ∂ϕ
                                   G = no        = i ∂ϕ + j ∂ϕ + k ∂ϕ .
                                   →   →           →              →        →
                                                                                                               (1.2.4)
                                            ∂n         ∂x             ∂y       ∂z

      Абсолютная величина градиента определяется как длина диагонали прямоугольного парал-
лелепипеда, ребра которого равняются проекциям градиента на оси координат

                                                       2               2            2
                               →
                                  ∂ϕ    ∂ϕ   ∂ϕ   ∂ϕ 
                              G =    =      +
                                                   +
                                                                                      .                      (1.2.5)
                                  ∂n    ∂x   ∂y   ∂z 




                                                   Рис.2

      Направление градиента относительно осей координат определяется направляющими коси-
нусами углов α , β , γ между градиентом и осями X , Y , Z (рис.2):


                        ∂ϕ                               ∂ϕ                                             ∂ϕ
                                                         ∂y
                cos α = ∂x                       cos β =                                        cos γ = ∂z .   (1.2.6)
                        ∂ϕ                               ∂ϕ                                             ∂ϕ
                        ∂n                               ∂n                                             ∂n

      Для записи градиента в векторной форме пользуются символическим вектором "набла" ∇,
или так называемым дифференциальным оператором Гамильтона, обозначающим векторную опе-
рацию образования градиента от какой-либо величины
                                                             6


                                            →   ∂ →∂ → ∂
                                    ∇=i            + j +k .                             (1.2.7)
                                                ∂x    ∂y ∂z

      Это выражение рассматривается как символический вектор ∇, проекции которого на оси
координат равны:

                                        ∂        ∂      ∂
                                 ∇x =      ; ∇y = ; ∇z = ;                              (1.2.8)
                                        ∂x       ∂y     ∂z

                                                → ∂ϕ
                                        gradϕ = no    = ∇ϕ .                            (1.2.9)
                                                   ∂n


      В случае двумерного поля, например, при распределении скалярной величины ϕ в плоско-
сти XOY символический вектор ∇ имеет вид

                                                 →   ∂    → ∂
                                         ∇=i            + j .
                                                     ∂x    ∂y

      Соответственно этому градиент плоского поля величины ϕ равен

                                        →   ∂ϕ        → ∂ϕ   → ∂ϕ
                              gradϕ = no       = ∇ϕ = i    + j    .
                                            ∂n          ∂x     ∂y

      Модуль градиента ϕ в плоскости XOY выразится формулой

                                                                2
                                        ∂ϕ    ∂ϕ   ∂ϕ 
                                                            2

                                gradϕ =    =      +
                                                        
                                                         
                                        ∂n    ∂x   ∂y 

               1.3. Линии тока и траектории частиц воздуха

      Поля различных векторов имеют ряд общих характеристик. Рассмотрим векторное поле
ветра, т.е. поле воздушных течений в атмосфере. Векторное поле ветра наглядно представляется
семейством линий тока, воспроизводящих общую картину воздушных течений в данный момент
времени. Под линией тока понимается такая линия, касательная к которой в каждой точке совпа-
дает с направлением скорости движения соответствующей частицы в данный момент времени
(рис.3). Если движение является установившимся, т.е. в каждой точке поля скорость ветра не ме-
няется с течением времени, то линии тока совпадают с траекториями движения частиц воздуха. В
общем же случае, при неустановившемся движении, когда скорость ветра изменяется с течением
времени, линии тока в различные моменты времени не совпадают с траекториями частиц.

                                                        7


                                           Рис.3

       Дифференциальные уравнения линий тока в декартовых координатах, как известно из гид-
родинамики, выражаются равенствами

                                       dx dy   dz
                                         =   =                                        (1.3.1)
                                       u   v   w

где u, v, w - составляющие скорости ветра по осям координат.

              1.4. Поток вектора скорости через поверхность

       Для количественной оценки мощности воздушных течений в заданном направлении
→                                                                                →
n пользуются понятием потока вектора через поверхность. Потоком вектора скорости V через по-
верхность S называется скалярная величина P равная объему воздуха, протекающего через дан-
ную поверхность в единицу времени.
       Элементарный поток вектора скорости через бесконечно малый элемент поверхности dS
будет равен объему цилиндра с основанием dS и с образующей, равной модулю скорости V
(рис.4).

                                       dP = VdS cos α                                 (1.4.1)




                                           Рис.4




                                                   8


                                                                               →     →
      Элемент поверхности будем рассматривать как вектор dS = n o dS , тогда элементарный по-
                                                                                          →
ток вектора можно представить в виде скалярного произведения вектора скорости V на элемент
              →

поверхности d S как вектор

                                    r r                 ∧           ∧             ∧
                             dP = ( V , dS ) = udS cos(nx)+ vdS cos(ny) + wdS cos(nz) .       (1.4.2)

      Поток вектора скорости через заданную поверхность S будет равен сумме потоков через
все элементы dS и в пределе выразится поверхностным интегралом

                                                     r r
                                          P = ∫∫ (V , dS ) = ∫∫ Vn dS ,                       (1.4.3)
                                                 s             s



                   →               →
где Vn - проекция V на нормаль n к поверхности dS .


      Если S - замкнутая поверхность, то

                                                           →   →

                                                P = ∫∫ (V , dS ) .                            (1.4.4)
                                                      s



      В случае замкнутой поверхности за положительное направление нормали к ней примем
внешнюю нормаль. Поток вектора скорости через замкнутую поверхность будет положительным,
если из объема, ограниченного данной поверхностью, вытекает воздуха больше, чем в него втека-
ет.

                        1.5. Дивергенция вектора скорости

      Рассмотрим общее понятие дивергенции какого-либо вектора на примере поля скорости.
      Воздух, как сжимаемая среда, в процессе своего движения может расширяться или сжи-
маться, что сопровождается увеличением или уменьшением его удельного объема. Относительное
изменение объема данной массы воздуха за единицу времени или изменение его плотности зави-
сит от распределения в пространстве скорости движения, т.е. связано с потоком вектора скорости,
и выражается скалярной величиной, называемой дивергенцией (расхождением) вектора скорости.
      Дивергенцией вектора скорости в данной точке поля называется предел отношения потока
вектора скорости через замкнутую поверхность, к величине объема, ограниченного этой поверх-
ностью, при стягивании ее к точке.


                                                               9


                                                             →              ∫∫V dS
                                                                                 n
                                                      div V = lim           s
                                                                                                                          (1.5.1)
                                                                     τ →0        τ

      Понятие дивергенции векторного поля, как и потока, определено независимо от выбора
системы координат. Однако формула (1.5.1) мало пригодна для вычисления дивергенции. Поэтому
получим выражение дивергенции в декартовых координатах. На основании формулы (1.4.2)



                              →
                                          s
                                              [
                                          ∫∫ u cos( n, x) + v cos(n, y) + w cos(n, z )
                                                         →                          →                 →
                                                                                                               ]
                                                                                                               dS
                          div V = lim                                                                                .    (1.5.2)
                                   τ →0
                                                                                τ

      Согласно теореме Остроградского-Гаусса о переходе от двойного интеграла по поверхно-
сти к тройному интегралам по объему, ограниченному этой поверхностью, имеем


                                                                                              ∂u       ∂v       ∂w 
                  ∫∫ u cos(n, x) + v cos(n, y) + w cos(n, z) dS = ∫∫∫  ∂x + ∂y + ∂z  dτ .
                              →                   →                     →
                                                                                                                          (1.5.3)
                  s                                                τ                

      На основании этой формулы, выражение для дивергенции (1.5.2) можно переписать в сле-
дующем виде:

                                                                      ∂u       ∂v      ∂w 
                                              →
                                                             ∫∫∫  ∂x + ∂y + ∂z dτ
                                                              τ                
                                      div V = lim                                                .                        (1.5.4)
                                                      τ →0                      τ

      Пользуясь теоремой, о среднем и переходя к пределу, получим выражение дивергенции
скорости в декартовых координатах

                                                        →
                                                                 ∂u ∂v ∂w
                                                  div V =          +  +                                                   (1.5.5)
                                                                 ∂x ∂y ∂z

      В соответствии с формулой (1.5.5) дивергенция скорости может быть представлена как ска-
лярное произведение символического вектора "набла" на вектор скорости

                                                                 →          →   →

                                                        div V = (∇,V ) .

      Пользуясь понятием потока и дивергенции векторного поля, формулу Остроградского-
Гаусса (1.5.3) можно переписать в следующем виде:




                                                                            10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика