Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Интегральное исчисление функции одной переменной: Учебное пособие

Голосов: 1

Пособие по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной" подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    §3. оЕУПВУФЧЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ                                                                                 51

ЖХОЛГЙС f (x) ЙОФЕЗТЙТХЕНБ, ФПЗДБ
                          b                            c−ε1                           b

                              f (x) dx = lim                 f (x) dx + lim               f (x) dx.        (4)
                                               ε1 →0                          ε2 →0
                     a                                 a                           c+ε2

                         0
  рТЙНЕТ 6.                   √ dx ,        x = −1 ¡ ПУПВБС ФПЮЛБ.
                               1−x2
                     −1


      0                             0
                                                                               0
            dx                                dx
          √      = lim                      √      = lim arcsin x                     =
           1 − x2 ε→0                        1 − x2 ε→0                        −1+ε
 −1                            −1+ε
                                                                                                          π
                                        = lim(arcsin 0 − arcsin(−1 + ε)) = − arcsin(−1) =                   .
                                             ε→0                                                          2
йОФЕЗТБМ УИПДЙФУС Й ЕЗП ЧЕМЙЮЙОБ ТБЧОБ π .
                                       2
                      1
  рТЙНЕТ 7.                   √ dx ,        x = 1 ¡ ПУПВБС ФПЮЛБ.
                               1−x2
                      0

      1                         1−ε
            dx                            dx
          √      = lim                  √       =
           1 − x2 ε→0                    1 − x2
  0                             0
                                                              1−ε
                                                                                                          π
                                        = lim arcsin x                = lim(arcsin(1 − ε) − arcsin 0) =     .
                                             ε→0
                                                              0
                                                                        ε→0                               2

йОФЕЗТБМ УИПДЙФУС Й ЕЗП ЧЕМЙЮЙОБ ТБЧОБ π .
                                       2
                         8
                              dx
                              √ ,
  рТЙНЕТ 8.                   3x    x = 0 ¡ ПУПВБС ФПЮЛБ.
                     −1


      8          0                  8                      0−ε1
          dx         dx                 dx                        dx
          √ =        √ +                √ = lim                   √ +
          3
            x        3
                       x                3
                                          x ε1 →0                 3
                                                                    x
 −1             −1              0                       −1
                                        8
                                                                        −ε1                     8
                                            dx        3                               3
                     + lim                  √ = lim · x2/3                    + lim x2/3             =
                          ε2 →0             3
                                              x ε1 →0 2                 −1
                                                                                ε2 →0 2
                                                                                                ε2
                               0+ε2
                                                                      3 2/3            3           9
                                                                  =     (8 − (−1)2/3) = · (4 − 1) = .
                                                                      2                2           2


52                                                                ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС
                           2
                                   2x dx
     рТЙНЕТ 9.                     x2 −1
                                         ,    x = −1, x = 1 ¡ ПУПВЩЕ ФПЮЛЙ.
                          −2

     2                    −1                       1                           2
         2x dx                 2x dx                    2x                          2x
                =                     +                     dx +                        dx =
         x2 − 1                x2 − 1                  x2−1                        x2−1
 −2                   −2                          −1                       1
                                   −1−ε1                          1−ε3                               2
                                              dx2                           dx2                           dx2
                 = lim                             + lim                         + lim                          =
                     ε1 →0                   x2 − 1 ε2 →0                  x2 − 1 ε4 →0                  x2 − 1
                                   −2                       ε3 →0−1+ε2                            1+ε4
                                           −1−ε1                                   1−ε3                         2
                          2                                           2                                   2
         = lim ln |x − 1|                          + lim ln |x − 1|                        + lim ln |x − 1|            = ∞.
           ε1 →0                                       ε2 →0                                 ε4 →0
                                           −2          ε3 →0                       −1+ε2                        1+ε4

йОФЕЗТБМ ТБУИПДЙФУС.
                               a
                                         dx
     рТЙНЕТ 10.                        (a−x)p ,   x = a ¡ ПУПВБС ФПЮЛБ.
                               0
     a                                 a−ε                            a
                                                                                             1
            dx                                  dx                        dt                1−p (a1−p − ε1−p), p = 1
                 = lim                               = lim                   = lim
         (a − x)p ε→0                        (a − x)p ε→0                 tp   ε→0          (ln a − ln ε),     p = 1,
 0                                     0                          ε
                                   a
                                        dx
ПФУÀДБ ЙОФЕЗТБМ                         dx (a   − x)p УИПДЙФУС, ЕУМЙ p < 1, Й ТБУИПДЙФУС, ЕУМЙ p                          1.
                                   0
   ъБНЕЮБОЙЕ. оЕУПВУФЧЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ ПФ ОЕПЗТБОЙЮЕООЩИ ЖХОЛГЙК
ПВМБДБÀФ ФЕНЙ ЦЕ УЧПКУФЧБНЙ, ЮФП Й ОЕУПВУФЧЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ ОБ ВЕУЛП-
ОЕЮОПН РТПНЕЦХФЛЕ. рТЙ ЙИ ЖПТНХМЙТПЧЛЕ РТПНЕЦХФПЛ [a; +∞) ЪБНЕОСЕФУС
ОБ РТПНЕЦХФПЛ [a, b].

ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС

чЩЮЙУМЙФШ:
             +∞
     361.          e−x dx;
             0
             +∞
                   dx
     362.          xα ;
             1
             +∞
                     dx
     363.          x2 −4x ;
             6
             +∞
     364.          arcctg x dx;
             0


ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС   53
         +∞
                 1+ln x
  365.             x
                          dx;
         1
         +∞
  366.          sin x dx;
          0
           0
  367.          xex dx;
         −∞
          1
            dx
  368.      xα
               ;
         0
          3
  369.      √ dx ;
              9−x2
         0
          1
  370.        ln x dx;
         0
          1
  371.        ln2 x dx;
         0
         π
         4
  372.        ctg x dx;
         0
          2
  373.         √dx ;
               3
                 1−x
         0
          3
                 dx
  374.         (x−3)2 ;
         0
          6
  375.         √ dx
               3
                           ;
                  (4−x)2
         2
         π
         2
                dx
  376.         sin x ;
         0
         +∞
                 dx
  377.           xα ;
         0
         +∞
  378.          e−x sin x dx.
          0


                                               пФЧЕФЩ
                   3        4   2           5
                                                  5 √         √
       1. x + 3x + x + x.             2. x + 6 x 5 x + 2x x − x − ln |x| + 5x.
                                                                      1
     √    3√    4    2
                              1
                                           5 √
3. 2 x − 4 4 x.     4. x5 − 3x3 .        5. 5 5 x (x − 6).
                                             6 x
                                                                              1    1
                                                                  6. ln |x| − x − 2x2 .
   2  √           √                   2x      3            x
7. 3 x x − 3x + 6 x − ln |x|.     8. ln 2 + ln 3 .   9. 3·44 − √x .
                                                        ln
                                                                2                  1
                                                                        10. 2ex + 2x2 .
                                                                ?
11. 2 arctg x − 3 arcsin x.        12. x − x + arctg x.
                                         3                            13. ex + tg x.
14. 5 sin x − cos x. 15. −(tg x + ctg x). 16. tg x − ctg x. 17. 3 tg x − 4 ctg x.
18. 3 tg x + 2 ctg x.   19. cos x − ctg x.      20. tg x − x.      21. −(x + ctg x).
    1                                                                          (2e)x
22. 2 (x − sin x).       23. 1 (x + sin x).
                             2                     24. x + cos x.         25. ln 2+1 .
                       √
26. arcsin x − ln |x + 1 + x2 |.      27. sin55x .     28. − cos 7x .
                                                               7         29. 4 sin x .
                                                                                    4
                                                                                                                         10
                                                                               34. (2+5x) .
                                x          x
30.   −e−x .      31. 2(e 2 − e− 2 ).      32. tg33x .     33. −3 ctg x .
                                                                        3              50
        2
          √                  1          3               3            4        1
35.   − 3 2 − 3x.        36. 3 (2x − 5) 2 .    37. − 28 (3 − 7x) 3 .      38. 5 ln |5x + 2|.
        1                        1    2
39.   − 3 ln |2 − 3x|.      40. 2 ln(x + 3).           41. ln | sin x|.    42. − ln | cos x|.
        1                              1                1
43.   − 3 ln |1 + 3 cos x|. 44. − 4(ln x+1)4 . 45. 3 ln |3 + sin 3x|. 46. ln | sin 2x|.
           3                        4                                                             3
                                                                                                                         √
47. sin3 x .        48. − cos x .
                             4
                                             49. −ecos x .                   1
                                                                    50. − 3 e−x .               51. 2e x .
        1                          1                 3               4                 2                 3
52. − 2 cosec2 x.          53. 4 cos4 x .       54. 4 (2 + ln x) 3 .         55. − 15 (3 + cos 5x) 2 .
                         6                                                3                              4
     7
56. 90 (3 + 5 sin 3x) 7        57. 1 ln(5 + 2e4x ).
                                       8                       58. arctg x .
                                                                        3            59. 3 (arcsin x) 3 .
                                                                                            4
    sin x−2                                                                                   5          6
60. cos x . 61. 2 ln | sin x| − ctg x. 62. e . 63. e . 64. 18 (x3 − 8) 5 .
                                                          sin x             tg x

         2             5
                                           √
                                          2 x+1                   3
                                                                    1                           √
65. − 75 (1 − 6x ) . 5 4
                                  66. ln 2 .             67. − lnx3 .            68. 2x+9 · 4x + 1.
                                                                                          4
    2(44−15x) √                           4(17−14x) √
69.       27     · 1 − 3x.        70.        147       7x − 1.         71. e arctg x
                                                                                     .      72. 1 cos x2 .
                                                                                                 2
                                                                                                        1
          1−3x                       2                                                   2       √
73. − 4 ln 4 .         74. − arccos x .           75. −e− tg x .            76. arcsin x − 1 − x2.
     1
         3
             x−4               1
                                  2
                                           x                       x
                                                                                       2        √
77. 8 ln x+4 .            78. 2 arctg 2 .           79. arcsin 2 .             80. ln |x + 4 + x2 |.
               √                                 √                                                 √
81. ln |x + x     2 − 3|.   82. 2√5 ln x+ 5 . 83. √3 arctg √3 . 84. 2√2 ln √2+x .
                                    1         x−√5              1           x               1
                                                                                                     2−x
       1           2x                    1         2x                     1
                                                                                  √            √
85. 2√5 arctg √5 .               86. 2 arcsin 5 .                 87. √2 ln | 2 x + 3 + 2x2|.
                                                                    √                                               √ √
88.   1
      6    ln    3x−1
                  .
                 3x+1        89. √3 arcsin 15 x .
                                  1
                                            5                                              90.         √1
                                                                                                      2 15
                                                                                                              ln    √3+√5x .

      1
                  √                   1        x2                                             1           4
                                                                                                                   √ 3− 5x
91.   3   ln |3x + 9x2 − 5|.     92. 2 arcsin √2 .                                      93.   4   ln |x +           x8 − 3|.
                   x
                                                    √
           e
94. arcsin √5 .             1
                      95. 4√5 ln         .          √5−cos 2x
                                                       1
                                                   96. 4 ln |(x − 2)(x + 2)7|.
                                                      5+cos 2x
          √         √                      √                        √
97. ln |x+ x2 + 1|+ x2 + 1. 98. arcsin x− 1 − x2 . 99. 5 ln |ex + e2x − 4|.
        1
                √                       1      2 cos x                       5
100. 5√3 arcsin( 3 sin 5x).      101. − 2 arctg 3 3 .         102. 1 arcsin x .
                                                                   5        2
                        7
          1
          arctg √5 . 104. − √2 arctg e 2 . 105. arctg(x + 2). 106. 2 arctg x−3 .
                x            1                                     1
                                                           −x
103. 7 5
          √                          √
                                                                            2
                  √                                 x−2                    x+1
107. ln |x + 1 + x   2 + 2x + 3|.        108. arcsin 2 .       109. arcsin 2 .
           1
110.      √
            2
                arcsin 4x−3 .
                         5          111.   1
                                           4   ln   x−1
                                                    x+ 1
                                                            .           112.   3
                                                                               2   ln(x2 − 2x + 5) + 2 arctg x−1 .
                                                                                                              2
                                                       3

                                                            54


пФЧЕФЩ                                                                                                          55
                                                                                                            √
113. 5      2           17
     2 ln(x + 3x + 3) − 3 arctg
                        √         2x+3
                                   √ . 114. 1
                                    3         2                   ln |x2 + x − 1| + 2√5 ln 2x+1+√5 .
                                                                                     1     2x+1−
                                                                                                  5
      4       x+2   1      2
                                                                                    √
115. 5 arctg 5 − 2 ln(x + 4x + 29).                                       116. −3 5 − 4x − x     2 −
                                                                                     √
− 8 arcsin x+2 .
            3
                                         1
                             117. ln x + 2 +                      x2 + x + 3 − 1 4x2 + 4x + 3.
                       √                                                  √4       2
118. 26 arcsin x−3 − 5 6x − x2 − 5.
                 2                                                119. 3 6x − x2 − 8 arcsin x−3 . 3
        √                                                                           √
      2
                      9
120. 1 3x + 2x2 + 4√2 ln x + 4 + x2 + 2 x
                                 3          3
                                                                   .        121. 4 x2 + 8x + 7 −
                       √                                 7                                5
                                                                                                     √
                                                                                                x−3−2√2
− 5 ln |x + 4 +         x2 + 8x + 7|.             122.   2
                                                              ln |x2 − 6x + 1| +         √
                                                                                           2
                                                                                                ln
                                                                                                x−3+2 2
                                                                                                         .
        3                                                                            3
123. x +x2 +4x+8 ln |x−2|. 124. 2 x2 −3x+8 ln |x+1|. 125. x −a
     3
                                  3
                                                          3
                                                                                           x+a3 arctg x .
                                                                                           2
                                                                                                       a
        (x−2)2             (x+4)2     (x−1)8              3                                5
126. ln |x−3| .       127. 2 + ln |x| .              128. 2 x −                            4 ln |2x + 1|.
                                                                   x4       3    2
129. 2x + ln(x2 − x + 1) − √3 arctg 2x−1 .
                            4        √
                                       3
                                                         130.      4    + x + 3x + 9x + 27 ln |x − 3|.
                                                                          3    2
                                                                                                            2
     3
131. 2 x2 + 16x + 33 ln(x2 − 6x + 10) + 38 arctg(x − 3).    132. (x+8) +
                                                                   2
  55     2            82   x−7               3     2        √ arctg 2x−1 .
                                                             1
+ 2 ln |x − 8x + 7| + 3 ln x−1 . 133. 3x + 2 ln(x − x + 1) − 3       √
                                                                       3
       1                                                          x4
134.   2    ln(x2 + 7x + 13) − √3 arctg 2x+7 .
                                1        √
                                           3
                                                     135.         4    + x3 + 3x2 + 18x + 54 ln |x − 3|.
                                                   √
          5            2            27         x+4−√23                                         x2
136.   x− 2    ln |x       +8x−7|+ 2√23   ln   x+4+ 23
                                                         . 137. x(ln x−1). 138.                4    (2 ln x−1).
            x2   2                   2
                                                             x3                                 3       2
139.        2 − 9    ln(3x + 2) − x + x .
                                  4   3          140.        3    + 2 x2 + 2x ln x − x − 3x − 2x.
                                                                    3
                                                                                     9    4
                                          5x
              −x
141. −e (x + 1).           142. e (5x − 1).
                                  25
                                                    143. −e−x (x3 + 3x2 + 6x + 6).
            x
144. −2e− 2 (x2 + 4x + 8).             145. e2x (x + 1).         146. x sin x + cos x.
                                x+1          cos 3x            2
147. sin x − x cos x.    148. 3 sin 3x + 9 .           149. (x − 2) sin x + 2x cos x.
     x2   x           1
150. 4 + 4 sin 2x + 8 cos 2x. 151. ln | sin x| − x ctg x. 152. x tg x + ln | cos x|.
                                                    √                 2
153. x arctg x − 2 ln(1 + x2). 154. x arcsin x + 1 − x2. 155. x 2 arctg x − x .
                 1                                                      +1
                                                                                     2
     x2                  x    1      2
                                                         √                    √
156. 2 arcctg(1 − x) − 2 − 2 ln(x − 2x + 2). 157. 2 1 + x arcsin x + 4 1 − x.
              √                √                                     2
158. x arctg 7x − 1 − 1 7x − 1.
                            7                                159. x 2 ln 1+x + x.
                                                                       −1
                                                                             1−x
     1 x                           1 x                        e2x
160. 2 e (sin x − cos x). 161. 2 e (sin x + cos x). 162. 13 (3 sin 3x + 2 cos 3x).
                                                                     √
163. 5 ex 2 sin x − cos x .
     2
                2        2
                                 164. x[1 + (ln x − 1)2].    165. 4 x4 ln x − 5 .
                                                                    5 5
                                                                                   4
              2                 4         x                 x
166. x ln x(x + 2) − 2x + 2     √ arctg √ .
                                           2
                                                      167. 2 [cos(ln x) + sin(ln x)].
                                                     2
168. − 2 sin2 x − 2 ctg x. 169. ln | cos x|− x +x tg x. 170. − arctg x − 1 ln 1 + x2 .
           x      1
                                              2                    x      2
                                                                                      1
        √            √       √
171. 2 x arcsin x + 2 1 − x.                             172. 2 ln x+2 − ln(x+2) .
                                                                 1       x
                                                                                    x
       √            √                     −3
                                                                √
173. 2 x arctg x−ln |1+x|. 174. 3 x       √ (3+ln x). 175. x     7−x 2  2 + 7 arcsin √ .
                                                                                       x
                                                             2                          7
      x
        √                       √                            √
176. 2 x     2 − 5 − 5 ln |x +    x 2 − 5|.                x
                                                     177. 2 3 − x     2 + 3 arcsin √ . x
                       2                                                     2          3
        √                    √                       √                             √
178. x x2 + 2 + ln |x + x2 + 2|.
      2                                         179. 23 x 2 − x2 + 2 arcsin x√23 .
                                                              3          3
     √                                                     √
180. 22 x x2 − 1 − 1 ln x + x2 − 2 . 181. x−3 6x − x2 + 9 arcsin x−3 .
                      2    2
                                             1
                                                         2                 2          3


56                                                                                                                     пФЧЕФЩ
           √                          √                                   √
182. x−2 x2 − 4x − 2 ln |x − 2 + x2 − 4x|.                    183. 2x+5 x2 + 5x + 4 −
       2          √                                       √           4
− 9 ln x + 5 + x2 + 5x + 4 .                 184. x+1 3 − 2x − x2 + 2 arcsin x+1 .
  8       √2                                         2 √                               2
185. x−2 5 + 4x − x2 + 9 arcsin x−2 .
       2                    2         3       186. x−1 2x − x2 + 2 arcsin(x − 1).
                                                      2
                                                                          1

         1
             √
              3 cos x
                      √                      √
                                               3√ x
                                                 cos                        x √
187. − √3       2      2 − 3 cos2 x + arcsin      2
                                                       .             188. e2 e2x + 3 +
  3
             √
+ 2 ln(ex + e2x + 3).          189. sin x sin2 x + 3 + 3 ln | sin x + sin2 x + 3|.
                                        2                     2
        x√
                               x
190. e 2 4 − ex + 4 arcsin 2 .e2
                                                191. 2   ln x
                                                                ln2 x + 1 + 1 ln | ln x +
                                                                              2
       2                         9        2x−3            3
                                                              √                          3
+ ln x + 1|.              192. 4 arcsin 3 + x − 2               3x − x  2 − 2 (3x − x2 ) 2 .
                                                                            3
          1                          3        7               5       5                  25               5            5
                                  2 2                                            2                                                2 .
193.      6 (5x + 2x )                   + 4 √2 x + 4                 2 x + x − 16 ln x + 4 +                          2x+x
                                   3                  √
194.   − 1 (−6x − x2) 2 − 2 (x + 3) −6x − x2 + 9 arcsin x+3 . 195. x − 1 sin 2x.
           3                                                                                  3                     2     4
       x 1                               x   1                            x      1                                             cos3 x
196.   2 + 4 sin 2x. 197. 2 − 4m sin 2mx. 198. 2 + 4m sin 2mx. 199. − cos x+ 3 .
                            3                                                                                         5
200.   sin x − sin3 x .                  201. 3x + sin42x + sin 4x .
                                                8                     32             202. 3 cos3 x − cos x − cos x.
                                                                                               2
                                                                                                                     5
        x                                            cos3 x        cos x                                                          3
203.    8   − sin 4x .
                     32                    204. 12 2 − 4 2 .                                205. 16 − sin 4x + sin482x .
                                                                                                      x
                                                                                                                   64
        x                      sin3 2x              cos5 x      cos3 x                                 3          3 sin5 x          7
206.   16   − 64 − 48 . 207. 5 − 3 . 208. sin x − sin x + 5 − sin7 x .
                 sin 4x
                                                                 6           8
        3x
209.   128     − sin 4x + sin 8x .
                      128          1024            210. sin6 x − sin8 x .                     211. 3 x − sin x + sin 2x .
                                                                                                        8              2          16
                                                                           2 sin3 x       sin5 x                       1
212.   3x + 4 sin x + sin 2x.                        213. sin x − 3 + 5 .                                  214. 2 ln | tg x|.
                         π       x                           1            9x
215.   3 ln tg 4 + 6 .                            216. 9 ln tg 2 .                             217. 5 ln tg π + 5x .
                                                                                                        1
                                                                                                                         4       2
         1
218.     2     ln tg x + ln tg π + x .
                           2                4      2
                                                                                                  1
                                                                                     219. − 8 (cos 4x + 2 cos 2x).
                                                  1 sin(m−n)x
220.   1                     1
       4 sin 2x− 16 sin 8x. 221. 2                         m−n        − sin(m+n)x . 222. 1 (2 sin 2x−sin 4x).
                                                                              m+n                     8
              1                      π       1                   π
223.    − 12 cos 6x − 4 − 8 cos 4x − 4 .                                                     224. 3 cos x − 1 cos x.
                                                                                                        2          3        2
                                                                                                              2
225.           1
       − sin x − sin x.                                    1
                                               226. cos x + cos x.                           227. − ctg x − ln | sin x|.
                                                                                                             2
            ctg4 x                         1                                cos2 x                     1
228.   − 4 .                    229. 2 cos2 x + 2 ln | cos x| − 2 .                          230. 3 tg3 x − tg x + x.
                 3
231.   − ctg x − ctg x.
                3                                 232. 1 arctg tg x .
                                                              2            2                     233. 2 arctg 1 tg x .
                                                                                                           1
                                                                                                                            2       2
       1           2 tg x +1                        1                tg x                       tg4 x      tg2 x
234.   5 ln tg x −2 .                    235. − √2 arctg √2 .                         236. 4 − 2 − ln | cos x|.
                        2                                               2
                       2                                                                                                          √
       1               x        1      2 x               ctg3 x                       1                     1          tg x +1− 2
237.   4 ln tg 2 + 8 tg 2 .                   238. − 3 − ctg x − 3 sin3 x . 239. √2 ln tg x +1+√2 .                       2

                                 √                                      √                                                 2     √
         1           tg x −1+ 2                       1                   3 tg x                       1            2 tg x+3−√13
240.   √ ln              2       √ .        241. √15 arctg                 √        .       242. √13 ln 2 tg x+3+ 13 .
          2          tg x −1− 2
                         2                                                   5
       1                                              tg x −5
243.   5
           ln |1 − 5 ctg x|. 244. ln tg x −3 . 245. − tg x+1 . 246. − 1 arctg cos x .
                                                          2                            1
                                                                                                                b                b
                                                          2
            2
       sin x              1                                                               1
247.       2 − 2 sin2 x − 2 ln | sin x|.                248. tg2 x. 249. 2 ln(e2x + 1) − 2 arctg(ex ).
       e2x                                                3x       2x                                                           x
250.         −2ex +4 ln(ex +2). 251. e3 + e2 +ex +ln |ex −1|. 252. ex + 2 ln ex −1 .                                  1
        2                                                                                                     √                e +1
                                                                                                                                  x
253.   2 ln |ex − 1| − x.                            254. ex − 2 ln(e2x + ex + 1) + 3 arctg 2e√+1 .
                                                                        1
                                                                                                                                    3
        3           2x                          ex                           e4x        e3x      e2x          x              x
255.    2 ln(e           + 4) − 2 arctg 2 .                         256. 4 − 3 + 2 − e + ln(e + 1).
                           3                                 3
257.    tg x − tg3 x .                          258. tg3 x + tg x.                               259. arctg tg x + 1 .       2


пФЧЕФЩ                                                                                                            57

260. 1 (tg x + ln | tg x|). 261. sin12 x − 4 sin4 x + ln | sin x|. 262.
     2
                                               1                                                   1
                                                                                                   2
                                                                                                       arctg(2 tg x).
                     3              √
263. −(−x2 − 8x) 2 − 13 (x + 4) −x2 − 8x + 16 arcsin x+4 .
                           2                                       4                                    264. 3 x2 −
                                                                                                              2
                                                                                      √
                                                                              2ex −1−
− 17x + 36 ln(x2 + 6x + 10) − 46 arctg(x + 3).                    √ 1
                                                                 2 17
                                                                          ln 2ex−1+√17 −
                                                                                     265.
                                                                                       17
    5                                                          5                         3
           x             2x                                         2
− 2 ln |e + 4 − e |.
                √                              √       266. 3 (x + 3x + 5) 2 −
−9 x + 3
  4          2   x2 + 3x + 5 + 11 ln x + 2 + x2 + 3x + 5 . 267. ln a arctg(ax ).
                                  4
                                           3                                  1

                         3
268. − 9 (3x2 + 8x) 2 + 2113 x + 3
         2                     √        4
                                              x2 + 8 x − 16 ln x + 4 + x2 + 3 x .
                                                   3       9            3
                                                                                       8
                   √                                             5
                                                                         √
269.              6 x2 + 5x + 17           −          25 ln x + 2 + x2 + 5x + 17 .
                                                                                  √
       1
270. √2 (x + 1) x2 + 2x + 2 − 2 ln x + 1 + x2 + 2x + 1 . 271. 4 2 − x−
                                  1   1
                                                                  2
     √                                                                                   √
− 2 2 − x arcsin x . 2                272. 3 ln |x2 + 10x + 1| − 2√6 ln x+5+2√6 .
                                            2
                                                                           7       x+5−2
                                                                                           6
               √                                             x
273. x − 1 − x        2 arcsin x.                    274. 2 (sin(ln x) − cos(ln x)).
             √                                                                         2
275. x−1 3 + 2x − x2 + 2 arcsin x−1 .
         2                               2                                   276. tg2 x +
                              x3                          2
+ ln | cos x|.        277. 3 − 12 arctg(2x + 1) − x + x − 24 ln x2 + x + 1 .
                                    1
                                                         12    6
                                                                      1
                                                                                           2
        1    sin(m+n)x         sin(m−n)x
278.    2       m+n
                          .+      m−n
                                                                             279. − ctg x ln(cos x) − x.
      √            √           √                                                    √         √
280. 2 x − 3 ln(x + x2 − 9) − 4 x + 3.                                     √
                                                                               281. 32 arctg 2 tg 3x .
                                                                                                     2
                       3 tg 5x +1                                tg   3x
                                                                       2 −2+√5
282.    1
        √
       5 2
              arctg        √
                          2 2
                             2
                                  .          283.    1
                                                     √
                                                    3 5
                                                           ln    tg   3x         .          284.   √1
                                                                                                         arctg tg√2 .
                                                                                                                 x−1
                                                                       2 −2− 5                       2
                        √                                        √2
        2         tg x + 5                    1         tg 3x−                        10
285.   √
         5
             ln      4 √
                  tg x − 5
                              .       286.    √
                                             6 6
                                                   ln            √3 .
                                                                  2
                                                                            287.       3.    288. 1 .
                                                                                                  3          289. 2.
                     4                                  tg 3x+    3
                                                                                1    4              5
290. 0.           291. 5π.            292. 1.           293. arctg 2.           4 ln e .
                                                                                     294.  295. 6√2 .
                               298. 3(e−1) .
                                                                            2
      2              2
296. 3 .     297. 15 .                  e           299. 0.        300. e e . −5             π
                                                                                      301. √3 − ln 2.
                                             √
302. 15 R5 . 303. e − 2. 304. π 9 3 . 305. 1. 306. 4 . 307. 8 . 308. 4 .
       2
      2            1              1               1             π−2
                                                                             3      √ 3           √ 3
309. 3 . 310. 3 . 311. 6 . 312. 2 . 313. 4 . 314. 2 3 − ln(2 + 3).
315. 3 . 316. 2(e−1) . 317. 32 . 318. 8 . 319. 12 − 5 ln 5. 320. 2 − 2 ln 2.
      4
                     √
                       e               3              3
                                                                                            3
                                                                                               2 4π
321. 4 ln(4e). 322. 3π a2 . 323. πa . 324. πa . 325. 9π . 326. a (e 4 −1) .
                                                  2               2

                             2                  4               4                 2
      πa2                πa2                                     πa2                   2
327. 4 .        328. 4 .           329. 3πa .   2
                                                         330. 4 .             331. πa .       332. 19 ,
2e−1    2     3πa2 4π
                             √                  256
                                                                                     4
                                                                              π π π 5π 11         19
                                                                                                      3
  3 , a , 2, 8 , 3 −           3.       333. 15 π, 8π.               334. 30 , 6 , 2 , 6 , 30 π, 30 π.
           2
335. π(e 2−1) , 2π.          336. 128 π, 8π.
                                     5                     337. 178 π, 21 π.
                                                                    15       2           338. 6π , 3π .
                                                                                                7     5
      4πab2                            π(e2 +1)         π(e2 −3) π(e2 +5)                            π2
339. 3 .          340. π(e − 2), 2 , πe, 2 , 2 , π(4 − e).                                    341. 2 ,
                                         π(8−π) π(π+16)                          √
   2     2
2π , 6π , 2π(π + 2), 2π(π + 4), 2 ,                   2    . 342. 3 (2 2 − 1). 343. 2π ,
                                                                         32π
                                                                                                     15
π            π2 π                           π2       2       2 π(π+16)                8π 16π 16π 8π
6.    344. 8 , 4 (π − 2).           345. 2 , 10π , 6π ,             2 √  .     346. 3 , 15 , 3 , 5 .
                                π(π+2)                          2
347. 12π, 24π.           348. 4 , π ln 2.               349. 27 (13 13 − 8).             350. 1 ln 3.
                                                                                                2
      670              28              a(e2 −1)               √        1
                                                                                   √
351. 27 .      352. 3 .         353. 2e .             354. 5 + 2 ln(2 + 5).                355. ln 3.


58                                                                      пФЧЕФЩ
                                                √                    √
356.   6a.       357. 8a.    358. 32.    359. πa 1 + 4π 2 + a ln(2π + 1 + 4π 2 ).
                                                            2
       e2 +1                              1
360.     4
             .       361. 1.       362. α−1 РТЙ α > 1; ТБУИПДЙФУС РТЙ α        1.
       1
363.   4
          ln 3.     364. тБУИПДЙФУС.      365. тБУИПДЙФУС.     366. тБУИПДЙФУС.
367.   −1. 368. 1−α РТЙ α < 1; ТБУИПДЙФУС РТЙ α 1. 369. π . 370. −1.
                       1
                                                                   2        √
371.   2.       372. тБУИПДЙФУС.      373. 0.    374. тБУИПДЙФУС.     375. 6 3 2.
                                                    1
376.   тБУИПДЙФУС.        377. тБУИПДЙФУС.     378. 2 .



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика