Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Интегральное исчисление функции одной переменной: Учебное пособие

Голосов: 1

Пособие по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной" подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    §2. пРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ, ПУОПЧОЩЕ УЧПКУФЧБ. . .                                                                        41

  I.2. лТЙЧБС ЪБДБОБ РБТБНЕФТЙЮЕУЛЙ: x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β], ФПЗДБ
ДМЙОБ ЛТЙЧПК ЧЩЮЙУМСЕФУС РП ЖПТНХМЕ:
                                                   β

                                       l=                   [x (t)]2 + [y (t)]2 dt.
                                               α

   рТЙНЕТ 7. чЩЮЙУМЙФШ ДМЙОХ БУФТПЙДЩ x = 2 cos3 t, y = 2 sin3 t.
   фБЛ ЛБЛ ЛТЙЧБС УЙННЕФТЙЮОБ ПФОПУЙФЕМШОП ПВЕЙИ ЛППТДЙОБФОЩИ ПУЕК,
ФП ЧЩЮЙУМЙН УОБЮБМБ ДМЙОХ ЕЕ ЮЕФЧЕТФПК ЮБУФЙ l1, ТБУРПМПЦЕООПК Ч РЕТЧПН
                                π               2                     2
ЛЧБДТБОФЕ, Ч ЬФПН УМХЮБЕ 0 t     2 . xt = −6 cos t · sin t, yt = 6 sin t · cos t,
ПФУÀДБ
            π/2

 l1 =              36 cos4 t sin2 t + 36 sin4 t cos2 t dt =
            0
                              π/2                                       π/2
                                                                                                         π/2
                                                       2                                       sin2 t               6
                     =6              cos2 t sin t dt = 6                    sin t cos t dt = 6                 =      = 3.
                                                                                                 2       0          2
                              0                                         0

дМЙОБ ЧУЕК ЛТЙЧПК l = 4l1 = 4 · 3 = 12.
   рТЙНЕТ 8. чЩЮЙУМЙФШ ДМЙОХ ГЙЛМПЙДЩ: x = (t − sin t), y = (1 − cos t),
t ∈ [0, 2π].
   оБКДЕН РТПЙЪЧПДОЩЕ xt = 1 − cos t, yt = sin t, ФПЗДБ
        2π                                                   2π

 l=               (1 − cos t)2 + sin2 t dt =                           1 − 2 cos t + cos2 t + sin2 t dt =
        0                                                   0
                          2π                                      2π
                                                                                                2π
                                  √                                         t            t
                      =            2 − 2 cos t dt =                    2 sin dt = −4 cos             =
                                                                            2            2      0
                          0                                       0
                                                                      = −4(cos π − cos 0) = −4(−1 − 1) = 8.
  I.3. лТЙЧБС ЪБДБОБ Ч РПМСТОЩИ ЛППТДЙОБФБИ: r = r(ϕ), α                                                 ϕ      β, ФПЗДБ
ДМЙОБ ЛТЙЧПК ЧЩЮЙУМСЕФУС РП ЖПТНХМЕ:
                                               β

                                      l=                   (r (ϕ))2 + (r(ϕ))2 dϕ.
                                           α

   рТЙНЕТ 9. чЩЮЙУМЙФШ ДМЙОХ ЛТЙЧПК r = (1 + cos ϕ), 0                                               ϕ         π.


42                                 §2. пРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ, ПУОПЧОЩЕ УЧПКУФЧБ. . .

     оБКДЕН РТПЙЪЧПДОХÀ rϕ = (1 + cos ϕ) = − sin ϕ, ПФУÀДБ
           π                                                    π

 l=                (1 + cos ϕ)2 + sin2 ϕ dϕ =                       2 + 2 cos ϕ dϕ =
       0                                                    0
                                             π
                                                                            π
                                                    ϕ           ϕ                           π
                                    =2           cos dϕ = 4 sin                 = 4 · sin     − sin 0 = 4.
                                                    2           2           0               2
                                         0

  II. рМПЭБДЙ
  II.1. рХУФШ ЛТЙЧПМЙОЕКОБС ФТБРЕГЙС ПЗТБОЙЮЕООБ УЧЕТИХ Й УОЙЪХ ЛТЙЧЩ-
НЙ, ХТБЧОЕОЙС ЛПФПТЩИ y = y1 (x), y = y2 (x), x ∈ [a, b], y1 (x) y2 (x). фПЗДБ
РМПЭБДШ ЛТЙЧПМЙОЕКОПК ФТБРЕГЙЙ ЧЩЮЙУМСЕФУС РП ЖПТНХМЕ:
                                                     b

                                      S=                 [y1(x) − y2 (x)] dx.
                                                 a

                                                     2          2
  рТЙНЕТ 10. дБОЩ ЬММЙРУ x + y9 = 1 Й РТСНЩЕ x = 1, x = −1, y = 0,
                            4
ОБКФЙ РМПЭБДШ ЖЙЗХТЩ, ПЗТБОЙЮЕООПК√ РТСНЩНЙ Й ЬММЙРУПН.
                                  3
  йЪ ХТБЧОЕОЙС ЬММЙРУБ ЙНЕЕН: y = 2 4 − x2, ПФУÀДБ

           1
                                                                            1
               3                            x 3
 S=                  4−   x2 dx   = 3 arcsin + x 4 − x2                          =
               2                            2 4                             −1
       −1
                                  1 3√                   1                        3√
                    = 3 arcsin     +  4 − 1 − 3 arcsin −                         +  4−1=
                                  2 4                    2                        4
                                                                                            √
                                                                                 1 6√      3 3
                                                                       = 6 arcsin +   3=π+     .
                                                                                 2 4        2
  рТЙНЕТ 11. пРТЕДЕМЙФШ РМПЭБДШ ЖЙЗХТЩ, ЪБЛМÀЮЕООПК НЕЦДХ ДЧХНС
РБТБВПМБНЙ y 2 = 6x Й x2 = 6y.  √         2
  йЪ ХТБЧОЕОЙК ЛТЙЧЩИ ЙНЕЕН: y = 6x, y = x , x ∈ [0, 6].
                                         6

                              6
                                  √                                                    6
                                        x2                          2 √ 3/2 x3
                     S=            6x −                  dx =          6x −                = 12.
                                        6                           3       18         0
                          0

  II.2. рМПЭБДШ ЛТЙЧПМЙОЕКОПК ФТБРЕГЙЙ Ч УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ЛТЙЧБС ЪБДБОБ Ч
РБТБНЕФТЙЮЕУЛПК ЖПТНЕ: x = x(t), y = y(t), α t β, ϕ(α) = a, ϕ(β) = b,


§2. пРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ, ПУОПЧОЩЕ УЧПКУФЧБ. . .                                                             43

ЧЩЮЙУМСЕФУС РП ЖПТНХМЕ:
                                                    β

                                           S=           y(t) · x (t) dt.
                                                α
   рТЙНЕТ 12. чЩЮЙУМЙФШ РМПЭБДШ ПВМБУФЙ, ПЗТБОЙЮЕООПК ЬММЙРУПН x =
= 3 cos t, y = 2 sin t.
   чЩЮЙУМЙН РМПЭБДШ ЧЕТИОЕК РПМПЧЙОЩ Й ХДЧПЙН. ъДЕУШ x ∈ [−3, 3], РП-
ЬФПНХ t ЙЪНЕОСЕФУС ПФ π ДП 0,
             0                                        π

 S =2·           2 sin t(−3 sin t) dt = 12                  sin2 t dt =
         π                                        0
                                                        π
                                                                                                      π
                                                            1 − cos 2t         t sin 2t
                                           = 12                        dt = 12   −                        = 6π.
                                                                2              2   4                  0
                                                    0
   рТЙНЕТ 13. чЩЮЙУМЙФШ РМПЭБДШ ЖЙЗХТЩ, ПЗТБОЙЮЕООПК ГЙЛМПЙДПК x =
= t − sin t, y = 1 − cos t, t ∈ [0, 2π].
                        2π
                                                                                      2π
                                       2                3              1
             S=           (1 − cos t) dt =                t − 2 sin t + sin 2t             = 3π.
                                                        2              4              0
                      0

 II.3. рМПЭБДШ ЛТЙЧПМЙОЕКОПЗП УЕЛФПТБ Ч РПМСТОЩИ ЛППТДЙОБФБИ r = r(ϕ),
α ϕ β, ЧЩЮЙУМСЕФУС РП ЖПТНХМЕ:
                                                            β
                                              1
                                           S=                   (r(ϕ))2 dϕ.
                                              2
                                                        α

  рТЙНЕТ 14. оБКФЙ РМПЭБДШ ЛБТДЙПЙДЩ r = cos ϕ + 1, ϕ ∈ [0, 2π].
                   2π
                                                                                            2π
         1                        2    1                    3    1                                   3π
      S=              (cos ϕ + 1) dϕ =                        ϕ + sin 2ϕ = 2 sin ϕ               =      .
         2                             2                    2    4                          0         2
                  0

   рТЙНЕТ 15. оБКФЙ РМПЭБДШ МЕНОЙУЛБФЩ r 2 = 2 cos 2ϕ.
   дМС ЧЩЮЙУМЕОЙС ПВЭЕК РМПЭБДЙ ДПУФБФПЮОП ХДЧПЙФШ РМПЭБДШ РТБЧПЗП
ПЧБМБ, ЛПФПТПНХ ПФЧЕЮБЕФ ЙЪНЕОЕОЙЕ ХЗМБ − π ϕ π .
                                          4     4
                                 π/4
                                                                        π/4
                      1
                 S =2· ·2              cos 2ϕ dϕ = sin 2ϕ                      = 1 − (−1) = 2.
                      2                                                 −π/4
                               −π/4


44                                                      ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС

  III. пВЯЕН ФЕМБ ЧТБЭЕОЙС
  пВЯЕН ФЕМБ, ПВТБЪПЧБООПЗП ЧТБЭЕОЙЕН ЧПЛТХЗ ПУЙ Ox ЛТЙЧПМЙОЕКОПК
ФТБРЕГЙЙ, ПЗТБОЙЮЕООПК ЛТЙЧПК y = f (x), ПУШÀ Ox Й РТСНЩНЙ x = a, x = b,
ЧЩЮЙУМСЕФУС РП ЖПТНХМЕ:
                                                        b

                                      V =π                  [f (x)]2 dx.
                                                    a

  рТЙНЕТ 16. оБКФЙ ПВЯЕН ФЕМБ, ПВТБЪПЧБООПЗП ЧТБЭЕОЙЕН ЬММЙРУБ ЧП-
              2    2
ЛТХЗ ПУЙ Ox x + y9 = 1.
             25
                 9
  фБЛ ЛБЛ y 2 = 25 (25 − x2), РПМХЮЙН
                5                              5
                     9                             9
 V =π                  (25 − x2) dx = 2π              (25 − x2) dx =
                    25                             25
            −5                             0
                                                                                          5
                                                                           9         x3
                                                                   = 2π ·      25x −          = 60π.
                                                                          25         3    0


ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС

чЩЮЙУМЙФШ:
             2
     287.        (x2 + 1) dx;
            1
             1    √
     288.        ( x − x2 ) dx;
            0
            π
     289.           sin x dx;
            0
            π
     290.           sin 2x dx;
            0
            3π
     291.           x sin x dx;
            2π
             e
     292.           ln x dx;
            1
             1
                        dx
     293.           x2 +2x+2 ;
            −1
             π
             4
     294.           tg5 x dx;
            0


ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС                 45
         π
         2
  295.        sin3 ϕ dϕ;
         π
         4
          π
          2
  296.        cos3 ϕ dϕ;
         0
         π
         2
  297.        cos2 ϕ sin3 ϕ dϕ;
         0
          3
                 x
  298.        e− 3 dx;
         0
          1
                     2
  299.         xe−x dx;
         −1
          1
  300.         x2e−x dx;
         −1
         √
           3
  301.         arctg x dx;
         0
         R      √
  302.        x3 R2 − x2 dx (R > 0);
         0
          e
  303.        ln2 x dx;
         1
         π
         2
                dx
  304.        2+cos x .
         0
чЩЮЙУМЙФШ РМПЭБДЙ ЖЙЗХТ, ПЗТБОЙЮЕООЩИ МЙОЙСНЙ:
           1
  305. y = x , x = 1, x = e, y = 0;
  306. y = x2, y = 1;
  307. y = x2, y = 2 − x2;
  308. y = x2 − 1, x = 2, y = 0, ЗДЕ x 1;
  309. y = sin 3x, y = 0, ЗДЕ 0 x π ;     3
  310. y = sin x, y = sin3 x, ЗДЕ 0 x π ;   2
             2
  311. y = x , y = x;
  312. y = arcsin 2x, x = 0, y = − π ;2
  313. y = sin 2x, y = 1, x = π , ЗДЕ π x π ;
                                 2      4       2
  314. x2 − y 2 = 1, x = 2;
  315. y = x3, y = −1, x = 0;
           1    x      x
  316. y = 2 (e 2 + e− 2 ), x = 1, x = −1, y = 0;
  317. y = x(3 − x), y = x − 3;
  318. y = 3x − x2, y = x2 − x;
  319. xy = 5, x + y = 6;


46                                 ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС

   320. xy = −2, y = x − 3;
   321. xy = 4, x = 4, y = 4, x = 0, y = 0;
   322. ЛБТДЙПЙДПК ρ = a(1 + cos ϕ);
   323. ρ = a cos 2ϕ;
   324. ρ = a sin 2ϕ;
   325. ρ = 2 + sin 2ϕ;
   326. ρ = aeϕ , ЗДЕ 0 ϕ 2π;
   327. ρ = a sin 3ϕ;
   328. ρ = a cos 3ϕ;
   329. ПДОПК БТЛПК ГЙЛМПЙДЩ x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 t 2π Й
ПУШÀ OX;
   330. ρ = a cos 4ϕ;
   331. ρ = a sin 4ϕ.
   332. чЩЮЙУМЙФШ РМПЭБДЙ ЖЙЗХТ, ЙЪПВТБЦЕООЩИ ОБ ТЙУХОЛБИ 1 ¡ 6.




чЩЮЙУМЙФШ ПВЯЕНЩ ФЕМ, ПВТБЪПЧБООЩИ ЧТБЭЕОЙЕН ЖЙЗХТЩ, ПЗТБОЙЮЕООПК
МЙОЙСНЙ:
   333. y = 4 − x2 , y = 0, x = 0, ЗДЕ x 0 ЧПЛТХЗ: 1) ПУЙ x, 2) ПУЙ y;
   334. y = x − x2, y = 0 ЧПЛТХЗ ЛБЦДПК ЙЪ УМЕДХÀЭЙИ РТСНЩИ: 1) y = 0, 2)
x = 0, 3) x = 2, 4) x = −2, 5) y = −1, 6) y = 2;
   335. y = ex , x = 0, x = 1, y = 0 ЧПЛТХЗ: 1) ПУЙ x, 2) ПУЙ y;
   336. y = x2, y = 4, x = 0, ЗДЕ x 0 ЧПЛТХЗ: 1) ПУЙ x, 2) ПУЙ y;


§3. оЕУПВУФЧЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ                                                47

   337. y = x2 + 1, y = 0, x = 1, x = 2 ЧПЛТХЗ: 1) ПУЙ x, 2) ПУЙ y;
   338. y = x3, y = 1, x = 0 ЧПЛТХЗ: 1) ПУЙ x, 2) ПУЙ y;
           2    2
   339. x2 + y2 = 1, y = 0, ЗДЕ y 0 ЧПЛТХЗ ПУЙ x;
         a    b
   340. y = ln x, y = 0, x = e ЧПЛТХЗ ЛБЦДПК ЙЪ УМЕДХÀЭЙИ РТСНЩИ: 1)
y = 0, 2) x = 0, 3) y = −1, 4) x = 1, 5) x = −1, 6) y = 1;
   341. y = sin x, y = 0, ЗДЕ 0 x π ЧПЛТХЗ ЛБЦДПК ЙЪ УМЕДХÀЭЙИ РТСНЩИ:
1) y = 0, 2) x = 0, 3) x = 2π, 4) x = −1, 5) x = −2, 6) y = 1, 7) y = −2;
   342. x2 − y 2 = 4, y = 2, y = 0 ЧПЛТХЗ ПУЙ x;
   343. y = x, y = x2 ЧПЛТХЗ: 1) ПУЙ x, 2) ПУЙ y;
   344. y = cos 2x, y = 0, x = 0, ЗДЕ 0 x π ЧПЛТХЗ: 1) ПУЙ x, 2) ПУЙ y;
                                               4
   345. y = sin x, y = 0, ЗДЕ 2π       x    3π ЧПЛТХЗ ЛБЦДПК ЙЪ УМЕДХÀЭЙИ
РТСНЩИ: 1) y = 0, 2) x = 0, 3) x = π, 4) y = −2;
   346. y = 2x − x2, y = 0 ЧПЛТХЗ ЛБЦДПК ЙЪ УМЕДХÀЭЙИ РТСНЩИ: 1) x = 0,
2) y = 0, 3) x = −1, 4) y = 1;
             4
   347. y = x , x = 1, x = 4, y = 0 ЧПЛТХЗ: 1) ПУЙ x, 2) ПУЙ y;
                1
   348. y = 1+x2 , x = 1, x = −1, y = 0 ЧПЛТХЗ: 1) ПУЙ x, 2) ПУЙ y.
чЩЮЙУМЙФШ ДМЙОХ ДХЗЙ ЛТЙЧПК:
   349. y 2 = x3 , ПФУЕЮЕООПК РТСНПК x = 1;
   350. y = ln cos x, ПФУЕЮЕООПК РТСНЩНЙ x = 0, x = π ; 6
           2          3
   351. y = (x + 1) , ПФУЕЮЕООПК РТСНПК x = 4;
               4
   352. y 2 = 9 (2 − x)3, ПФУЕЮЕООПК РТСНПК x = −1;
                  x     x
   353. y = a (e a + e− a ) НЕЦДХ ПУШÀ y Й РТСНПК x = a;
             2
   354. y = x2 − 1, ПФУЕЮЕООПК ПУШÀ x;
   355. y = ln sin x ПФ x = π ДП x = 2π ;
                              3       3
   356. БУФТПЙДЩ x = a cos t, y = a sin3 t;
                              3

   357. ПДОПК БТЛЙ ГЙЛМПЙДЩ x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 t 2π;
   358. ЛБТДЙПЙДЩ r = 4(1 − cos ϕ);
   359. РЕТЧПЗП ЪБЧЙФЛБ УРЙТБМЙ r = aϕ, 0 ϕ 2π;
               2
   360. y = x − 1 ln x ПФ x = 1 ДП x = e.
              4     2


§3. оЕУПВУФЧЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ
3.1. оЕУПВУФЧЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ У ВЕУЛПОЕЮОЩНЙ РТЕДЕМБНЙ

  рХУФШ ЖХОЛГЙС f (x) ПРТЕДЕМЕОБ ОБ РТПНЕЦХФЛЕ [a, +∞) Й ЙОФЕЗТЙТХЕНБ
                                                      A
Ч МÀВПК ЛПОЕЮОПК ЕЗП ЮБУФЙ [a, A], ФБЛ ЮФП ЙОФЕЗТБМ       f (x) dx ЙНЕЕФ УНЩУМ
                                                      a
РТЙ МÀВПН A > a.


48                                                                            §3. оЕУПВУФЧЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ

     пРТЕДЕМЕОЙЕ 1. оЕУПВУФЧЕООЩН ЙОФЕЗТБМПН ПФ ЖХОЛГЙЙ f (x) РП РТП-
                                                                                                          A
НЕЦХФЛХ [a; +∞) ОБЪЩЧБЕФУС РТЕДЕМ (ЕУМЙ ПО УХЭЕУФЧХЕФ) lim                                                    f (x) dx,
                                                                                                 A→+∞ a
ЕЗП ЧЕМЙЮЙОБ ПВПЪОБЮБЕФУС
                                     +∞                                     A

                                         f (x) dx = lim                         f (x) dx.                          (1)
                                                             A→+∞
                                     a                                  a

ч УМХЮБЕ, ЕУМЙ ЬФПФ РТЕДЕМ ЛПОЕЮЕО, ФП ЗПЧПТСФ, ЮФП ЙОФЕЗТБМ (1) УИПДЙФ-
УС, ЕУМЙ РТЕДЕМ (1) ВЕУЛПОЕЮЕО ЙМЙ ЧПЧУЕ ОЕ УХЭЕУФЧХЕФ, ФП ЗПЧПТСФ, ЮФП
ЙОФЕЗТБМ ТБУИПДЙФУС.
                                                              +∞
                                                                       dx                            1
     рТЙНЕТ 1. тБУУНПФТЙН ЙОФЕЗТБМ                                    1+x2
                                                                           .    жХОЛГЙС f (x) =    1+x2
                                                                                                          ОБ МÀВПН
                                                              0
РТПНЕЦХФЛЕ [0, A] ЙОФЕЗТЙТХЕНБ
              +∞                                         A
                        1                                      dx                 π
                             dx = lim                              = lim arctg A = .
                      1 + x2     A→+∞                        1 + x2 A→+∞          2
              0                                      0

рП ПРТЕДЕМЕОЙÀ ЙОФЕЗТБМ УИПДЙФУС Й ЕЗП ЧЕМЙЮЙОБ ТБЧОБ π .
                                                      2
                                                                  +∞
     рТЙНЕТ 2. тБУУНПФТЙН ЙОФЕЗТБМ                                     sin x dx. жХОЛГЙС f (x) = sin x ЙО-
                                                                  0
ФЕЗТЙТХЕНБ ОБ МÀВПН РТПНЕЦХФЛЕ [0, A]. фБЛ ЛБЛ
                                              A

                                 lim              sin x dx = lim (− cos A)
                             A→+∞                                     A→+∞
                                          0
                                                                                +∞
ОЕ УХЭЕУФЧХЕФ, ФП РП ПРТЕДЕМЕОЙÀ ЙОФЕЗТБМ                                            sin x dx ТБУИПДЙФУС.
                                                                                 0
                                                              +∞
                                                                       dx                         1
     рТЙНЕТ 3. тБУУНПФТЙН ЙОФЕЗТБМ                                     xp .     жХОЛГЙС f (x) =   xp   ЙОФЕЗТЙТХ-
                                                                  1
ЕНБ ОБ МÀВПН РТПНЕЦХФЛЕ [0, A]. фБЛ ЛБЛ
                                 A
                                                     1
                                     dx             1−p (A1−p − 1), p = 1,
                                        =
                                     xp             ln A,           p = 1,
                             1

              +∞
                      dx
ФП ЙОФЕЗТБМ           xp   УИПДЙФУС РТЙ p > 1 Й ТБУИПДЙФУС РТЙ p                                 1.
                  1
     уЧПКУФЧБ ОЕУПВУФЧЕООПЗП ЙОФЕЗТБМБ.


§3. оЕУПВУФЧЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ                                                                                     49

   1. еУМЙ УХЭЕУФЧХÀФ ОЕУПВУФЧЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ ПФ ЖХОЛГЙК f (x) Й g(x)
ОБ РТПНЕЦХФЛЕ [a; +∞), ФП ДМС МÀВЩИ РПУФПСООЩИ α Й β УРТБЧЕДМЙЧП ТБ-
ЧЕОУФЧП:
           +∞                                              +∞                            +∞

               (αf (x) + βg(x)) dx = α                         f (x) dx + β                  g(x) dx.
           a                                               a                             a

   2. рХУФШ a < c < +∞, Й УХЭЕУФЧХЕФ ОЕУПВУФЧЕООЩК ЙОФЕЗТБМ ПФ ЖХОЛГЙЙ
f (x) ОБ [a; +∞), ФПЗДБ
                       +∞                      c                            +∞

                           f (x) dx =              f (x) dx +                       f (x) dx.
                       a                   a                                c

   3. рХУФШ ЖХОЛГЙС f (x) ОЕРТЕТЩЧОБ ОБ РТПНЕЦХФЛЕ [a; +∞), ФП ДМС МÀ-
ВПК УФТПЗП НПОПФПООПК Й ОЕРТЕТЩЧОП ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНПК ОБ [α; β) ЖХОЛГЙЙ
ϕ : [α; β) → [a; +∞) УРТБЧЕДМЙЧП ТБЧЕОУФЧП
                            +∞                         β

                                    f (x) dx =             f (ϕ(t))ϕ (t) dt.
                            a                      α

  4. еУМЙ ЖХОЛГЙЙ f (x) Й g(x) ОЕРТЕТЩЧОП ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНЩ ОБ [a; +∞)
                                                                            +∞                   +∞
Й УХЭЕУФЧХЕФ       lim f (x)g(x), ФП ЙОФЕЗТБМЩ                                      f (x) dx Й        g(x) dx ПДОП-
               A→+∞                                                             a                a
ЧТЕНЕООП УИПДСФУС ЙМЙ ТБУИПДСФУС, Й Ч УМХЮБЕ ЙИ УИПДЙНПУФЙ ЙНЕЕФ НЕУФП
ТБЧЕОУФЧП
               +∞                                                               +∞
                                                               +∞
                    f (x)g(x) dx = f (x)g(x)                           −             f (x)g(x) dx.
                                                               a
               a                                                                a

  ъБНЕЮБОЙЕ. бОБМПЗЙЮОП (1) ПРТЕДЕМСЕФУС ЙОФЕЗТБМ ПФ ЖХОЛГЙЙ f (x) ОБ
(−∞; a]
                                a                                      a

                                    f (x) dx = lim                         f (x) dx,
                                                   A→−∞
                           −∞                                      A

ТБЧОП ЛБЛ Й ЙОФЕЗТБМ ЖХОЛГЙЙ f (x) ОБ РТПНЕЦХФЛЕ (−∞; +∞):
                            +∞                                     A

                                    f (x) dx = lim                         f (x) dx.
                                                   B→−∞
                           −∞                      A→+∞ B


50                                                             §3. оЕУПВУФЧЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ

     рТЙНЕТ 4.
              0                           0
                    dx                          dx                     π
                        = lim                       = lim (− arctg A) = .
                  1 + x2 A→−∞                 1 + x2 A→−∞              2
            −∞                        A

     рТЙНЕТ 5.
                    +∞                 +∞                       0
                           dx                   dx                    dx
                                =                    +                     = π.
                         1 + x2               1 + x2                1 + x2
                   −∞                  0                   −∞



3.2. оЕУПВУФЧЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ ПФ ОЕПЗТБОЙЮЕООЩИ ЖХОЛГЙК

   рХУФШ ЖХОЛГЙС f (x) ЪБДБОБ ОБ ЛПОЕЮОПН РТПНЕЦХФЛЕ [a; b], ОП ОЕПЗТБ-
ОЙЮЕОБ Ч ЬФПН РТПНЕЦХФЛЕ. рПМПЦЙН, ЮФП Ч МÀВПН РТПНЕЦХФЛЕ [a; b − ε]
(0 < ε < b − a) f (x) ПЗТБОЙЮЕОБ Й ЙОФЕЗТЙТХЕНБ, ОП ПЛБЪЩЧБЕФУС ОЕПЗТБОЙ-
ЮЕООПК Ч ЛБЦДПН РТПНЕЦХФЛЕ [b − ε, b]. фПЮЛБ b Ч ЬФПН УМХЮБЕ ОБЪЩЧБЕФУС
ПУПВПК ФПЮЛПК.
   пРТЕДЕМЕОЙЕ 2. оЕУПВУФЧЕООЩН ЙОФЕЗТБМПН ПФ ЖХОЛГЙЙ f (x) ОБ РТП-
                                                  b
НЕЦХФЛЕ [a, b] ОБЪЩЧБЕФУС РТЕДЕМ lim                  f (x) dx, ЕЗП ЧЕМЙЮЙОБ ПВПЪОБЮБЕФУС
                                              ε→0 a

                               b                        b−ε

                                   f (x) dx = lim              f (x) dx.               (2)
                                                 ε→0
                           a                           a

ч УМХЮБЕ, ЕУМЙ ЬФПФ РТЕДЕМ ЛПОЕЮЕО, ЗПЧПТСФ, ЮФП ЙОФЕЗТБМ (2) УИПДЙФУС.
еУМЙ ЦЕ РТЕДЕМ (2) ВЕУЛПОЕЮЕО ЙМЙ ЧПЧУЕ ОЕ УХЭЕУФЧХЕФ, ФП ЗПЧПТСФ, ЮФП
ЙОФЕЗТБМ (2) ТБУИПДЙФУС.
   ъБНЕЮБОЙЕ. ч УМХЮБЕ, ЕУМЙ f (x) ПЗТБОЙЮЕОБ Й ЙОФЕЗТЙТХЕНБ Ч МÀВПН
РТПНЕЦХФЛЕ [a + ε; b] Й ОЕПЗТБОЙЮЕОБ Ч ЛБЦДПН РТПНЕЦХФЛЕ [a; a + ε] УРТБЧБ
ПФ ФПЮЛЙ a (ПУПВБС ФПЮЛБ), ФПЗДБ ОЕУПВУФЧЕООЩК ЙОФЕЗТБМ ЖХОЛГЙЙ f (x) ОБ
РТПНЕЦХФЛЕ [a, b] ПРТЕДЕМСЕФУС ТБЧЕОУФЧПН
                               b                           b

                                   f (x) dx = lim              f (x) dx.               (3)
                                                 ε→0
                           a                        a+ε

  ъБНЕЮБОЙЕ. рХУФШ c ∈ [a, b] Й ЖХОЛГЙС f (x) ОЕПЗТБОЙЮЕОБ Ч ФПЮЛЕ c,
РТЙЮЕН ОБ РТПНЕЦХФЛБИ [a; c − ε1] (0 < ε1 < c − a) Й [c + ε2, b] (0 < ε2 < b − c)



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика