Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Интегральное исчисление функции одной переменной: Учебное пособие

Голосов: 1

Пособие по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной" подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС   31
        arctg2 x dx
  58.            2   ;
        √ 1+x
         3
            arcsin x
  59.     √
             1−x2
                     dx;
        1−2 sin x
  60.      cos2 x dx;
        1+sin 2x
  61.     sin2 x
                    dx;
          sin x
  62.   e      cos x dx;
            tg x
         e
  63.          dx;
        √2x
        cos
                     2
         5   3
  64.   √x − 8 x 4     dx;
  65.    4
          √
           1 − 6x5 x dx;
        2 x
        √ dx;
  66.      x
            1
        3 x dx
  67.     x2 ;
         3x+5
  68.   √
          4x+1
                 dx;
         5x−6
  69.   √
          1−3x
                 dx;
         2−4x
  70.   √
          7x−1
                 dx;
        earctg x
  71.    1+x2
                 dx;
             1
        sin x2
  72.     x3 dx;
          1−3x
  73.   4       dx;
        arccos x
  74.   √
          1−x2
                 dx;
         − tg x
  75.   e       sec2 x dx;
        arcsin x+x
  76.     √
            1−x2
                   dx;
          dx
  77.   x2 −16
                ;
         dx
  78.   x2 +4 ;
  79.   √ dx ;
          4−x2
  80.   √ dx ;
          4+x2
  81.   √ dx ;
          x2 −3
         dx
  82.   x2 −5 ;
         dx
  83.   x2 +3
              ;
         dx
  84.   2−x2 ;
          dx
  85.   4x2 +5 ;
  86.   √ dx        ;
          25−4x2
  87.   √ dx ;
          3+2x2
          dx
  88.   9x2 −1
                ;
           dx
  89.   √
          5−3x2
                  ;
          dx
  90.   3−5x2 ;


32                                   ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС

     91.    √ dx ;
               9x2 −5
              x dx
     92.    √
               2−x4
                       ;
               3
     93.    √ dx ;
             x
               x8 −3
              ex dx
     94.    √
               5−e2x
                        ;
             sin 2x dx
     95.    5−cos2 2x ;
            2x−3
     96.    x2 −4 dx;
     97.    √x+1 dx;
               x2 +1
              x+1
     98.    √
               1−x2
                        dx;
                x
     99.    √ dx ;
             5e
               e2x −4
     100.     √ cos 5x dx ;
                  3 cos2 5x−2
                 sin x dx
     101.     4 cos2 x +9 ;
                      3
                        3
                 x4
              √ dx ;
     102.         4−x10
                 6
               x dx
     103.     x14 +5 ;
               e−x dx
     104.     e−2x +2 ;
                    dx
     105.     x2 +4x+5 ;
                     dx
     106.     x2 −6x+13 ;
     107.     √ dx          ;
                  x2 +2x+3
     108.     √ dx ;
                  4x−x2
     109.     √ dx          ;
                  3−2x−x2
     110.     √ dx            ;
                  2+3x−2x2
                     dx
     111.     3x2 −2x−1 ;
                  2x+1
     112.     x2 −2x+5
                           dx;
                  5x−1
     113.     x2 +3x+3
                           dx;
              (1+x) dx
     114.      x2 +x−1 ;
                   2−x
     115.     x2 +4x+29 dx;
     116.     √ 3x−2         dx;
                  5−4x−x2
     117.     √ 1−2x           dx;
                  4x2 +4x+3
     118.     √ 5x+11 dx;
                  6x−x2 −5
                 1−3x
     119.     √
                  6x−x2
                          dx;
     120.     √ 3+x        dx;
                  3x+2x2
     121.     √ 4x+11 dx;
                  x2 +8x+7
                  7x−1
     122.     x2 −6x+1 dx;


ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС   33
          x3
  123.   x−2
                dx;
            2
         3x +5
  124.    x+1 dx;
           x4
  125.   x2 +a2 dx (a =    0);
               x−4
  126.   (x−2)(x−3) dx;
         (x+1)3
  127.    x2 −x dx;
         3x−1
  128.   2x+1
                 dx;
          2x2 −1
  129.   x2 −x+1 dx;
         x4 −2x3
  130.     x−3 dx;
          3x3 −2x2
  131.   x2 −6x+10
                     dx;
           3
         (x −2x) dx
  132.    x2 −8x+7
                     ;
              2
          3x +1
  133.   x2 −x+1 dx;
             3+x
  134.   x2 +7x+13 dx;
         x4 −3x2
  135.     x−3 dx;
          x2 +3x
  136.   x2 +8x−7 dx;
  137.   ln x dx;
  138.   x ln x dx;
  139.   x ln(3x + 2) dx;
  140.   (x2 + 3x + 2) ln x dx;
  141.   xe−x dx;
  142.   xe5x dx;
  143.   x3 e−x dx;
                  x
  144.   x2 e− 2 dx;
  145.   (2x + 3)e2x dx;
  146.   x cos x dx;
  147.   x sin x dx;
  148.   (x + 1) cos 3x dx;
  149.   x2 cos x dx;
  150.   x cos2 x dx;
           x dx
  151.    sin2 x
                 ;
             x
  152.    cos2 x
                  dx;
  153.   arctg x dx;
  154.   arcsin x dx;
  155.   x arctg x dx;
  156.   x arcctg(1 − x) dx;
          arcsin x
  157.     √
             1+x √
                    dx;
  158.   arctg 7x − 1 dx;


34                                   ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС

     159.   x ln 1+x dx;
                   1−x
     160.   ex sin x dx;
     161.   ex cos x dx;
     162.   e2x cos 3x dx;
     163.   ex sin x dx;
                     2
               2
     164.   ln x dx;
            ln x
             √ dx;
     165.    5 x

     166.   ln(x2 + 2) dx;
     167.   cos(ln x) dx;
            x cos x dx
     168.     sin3 x
                       ;
                  2
     169.   x tg x dx;
            arctg x
     170.      x2 √
                     dx;
            arcsin x
     171.       √
                  x
                        dx;
            ln(x+2)
     172.       x2 √
                     dx;
            arctg x
     173.       √
                  x
                     dx;
             ln x
              √ dx;
     174.   x3x
            √
     175.   √  7 − x2 dx;
                2
     176.   √x − 5 dx;
                     2
     177.   √3 − x dx;
                2
     178.   √x + 2 dx;
                       2
     179.   √2 − 3x dx;
                  2
     180.   √2x − 1 dx;
                       2
     181.   √6x − x dx;
                2
     182.   √x − 4x dx;
                2
     183.   √x + 5x + 4 dx;
                          2
     184.   √3 − 2x − x dx;
                          2
     185.   √5 + 4x − x dx;
     186.      2x √ x2 dx;
                   −
     187.   sin x 2 − 3 cos2 x dx;
               √
     188.   ex e2x + 3 dx;
     189.   cos x sin2 x + 3 dx;
              x√
     190.   e 2 4 − ex dx;
     191.      ln2 x + 1 dx ;
                      √ x
     192.   (2x − 1) 3x − x2 dx;
                    √
     193.   (x + 3) 5x + 2x2 dx;


ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС                 35
                √
  194. (x − 1) −6x − x2 dx;
  195. sin2 x dx;
  196. cos2 x dx;
  197. sin2 mx dx (m = 0);
  198. cos2 mx dx (m = 0);
  199. sin3 x dx;
  200. cos3 x dx;
  201. cos4 x dx;
  202. sin5 x dx;
  203. cos2 x sin2 x dx;
  204. sin3 x cos3 x dx;
              4     4
  205. sin2 x · cos4 x dx;
  206. cos2 x sin4 x dx;
  207. sin3 x cos2 x dx;
  208. cos7 x dx;
  209. sin4 x cos4 x dx;
  210. cos3 x sin5 x dx;
  211. sin4 x dx;
              2
  212. (1 + 2 cos x)2 dx;
  213. cos5 x dx;
          dx
  214. sin 2x ;
          dx
  215. cos x ;
            3
           dx
  216.   sin 9x ;
           dx
  217.   cos 5x
                ;
         sin x+cos x
  218.      sin 2x
                     dx;
  219.   sin 3x cos x dx;
  220.   sin 3x sin 5x dx;
  221.   sin nx sin mx dx (m + n = 0, m − n = 0);
  222.   sin 3x sin x dx;
  223.   sin 5x − π cos x dx;
                      4
              x      2x
  224.   sin 3 cos 3 dx;
         cos3 x dx
  225.     sin2 x
                   ;
         sin3 x
  226.   cos2 x dx;
             3
  227.   ctg x dx;
         cos3 x
  228.   sin5 x
                dx;
         sin5 x
  229.        dx;
         cos3 x
            4
  230.   tg x dx;


36                                          ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС
              dx
     231.   sin4 x
                   ;
                 dx
     232.   1+3 cos2 x
                        ;
                dx
     233.   5+3 cos x ;
                   dx
     234.   3 sin x+4 cos x ;
               dx
     235.   3+cos x
                     ;
               5
     236.   tg x dx;
                   dx
     237.   2 sin x+sin 2x ;
            1+cos x
     238.     sin4 x
                       dx;
                  dx
     239.   sin x−cos x ;
                  dx
     240.   sin x+cos x ;
                     dx
     241.   3 sin2 x+5 cos2 x
                              ;
                          dx
     242.   sin2 x+3 sin x cos x−cos2 x
                                        ;
                       dx
     243.   sin2 x−5 sin x·cos x
                                 ;
                      dx
     244.   8−4 sin x+7 cos x ;
                   dx
     245.   (sin x+cos x)2 ;
              sin x dx
     246.   b2 +cos2 x (b = 0);
            cos5 x
     247.   sin3 x
                     dx;
            sin 2x
     248.   cos4 x dx;
            e2x −2ex
     249.     e2x +1 dx;
              3x
            e dx
     250.    ex +2 ;
            e4x dx
     251.    ex −1 ;
            e3x dx
     252.   e2x −1
                    ;
            ex +1
     253.   ex −1 dx;
             e3x +2ex
     254.   e2x +ex +1 dx;
            3e2x −4ex
     255.      e2x +4 dx;
              5x
            e dx
     256.    ex +1 ;
            cos 2x dx
     257.     cos4 x
                        ;
               dx
     258.   cos4 x ;
                    dx
     259.   cos x+2 sin x+3
                             ;
            1+tg x
     260.    sin 2x dx;
                 5
     261.   ctg x dx;
                 dx
     262.              ;
             1+3 sin2 x √
     263.   (3x − 1) −x2 − 8x dx;
              3x3 +x2
     264.    x2 +6x+10 dx;


§2. пРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ, ПУОПЧОЩЕ УЧПКУФЧБ. . .                                   37
          5e2x −3ex
  265.    ex +4−e2x
                       dx;
                       √
  266.    (5x + 3) x2 + 3x + 5 dx;
            ax dx
  267.     a2x +1 (a √ 0, a = 1);
                        >
  268.    (1 − 2x) 3x2 + 8x dx;
  269.     √ 6x−10         dx;
          √x2 +5x+17
  270.        2x2 + 4x + 1 dx;
           arcsin x
  271.      √
              2−x
                  2
                     dx;
              3x+1
  272.     x2 +10x+1
                        dx;
           x arcsin x dx
  273.        √
                1−x2
                         ;
  274.    sin(ln x) dx;
          √
  275.        3 + 2x − x2 dx;
  276.    tg3 x dx;
  277.    x2 arctg(2x + 1) dx;
  278.    cos mx cos nx dx (m + n = 0, m − n = 0);
           ln(cos x) dx
  279.        sin2 x
                        ;
                 √
          ln(x+ x2 −9)
  280.         √
                 x−3
                         dx;
              dx
  281.    sin2 3x +1
                      ;
                2
              dx
  282.    3+sin 5x ;
                  dx
  283.    cos 3x+2 sin 3x
                          ;
                   dx
  284.    cos 2x−sin 2x+2 ;
              dx
  285.    2+3 cos x ;
                    2
                      dx
  286.    2 sin2 3x−3 cos2 3x+1
                                .

§2. пРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ, ПУОПЧОЩЕ УЧПКУФЧБ ПРТЕ-
    ДЕМЕООПЗП ЙОФЕЗТБМБ Й ЕЗП РТЙМПЦЕОЙС
2.1. пВЭЙЕ РПОСФЙС

   рХУФШ ЮЙУМПЧБС ЖХОЛГЙС f (x) ПРТЕДЕМЕОБ ОБ [a, b]. пРТЕДЕМЙН ТБЪВЙЕОЙЕ
T ПФТЕЪЛБ [a, b] ЪБДБОЙЕН ЛПОЕЮОПК УЙУФЕНЩ ФПЮЕЛ {xi}: a = x0 < x1 < . . . <
< xi−1 < xi < . . . < xn . дЙБНЕФТПН ТБЪВЙЕОЙС d(T ) ТБЪВЙЕОЙС T ПФТЕЪЛБ [a, b]
ОБЪПЧЕН ЮЙУМП d(T ) = max (xi − xi−1) > 0, 0 < d(T ) b − a. рТЙ ЪБДБООПН
                            i=1,2,...,n
ТБЪВЙЕОЙЙ T ПФТЕЪЛБ [a, b] ТБУУНПФТЙН МÀВХÀ УЙУФЕНХ ФПЮЕЛ ξi ∈ [xi−1, xi]
(i = 1, 2, . . . , n)
    (a = x0     ξ1     x1 < . . . < xi−1   ξi   xi < . . . < xn−1   ξn   xn = b).


38                                  §2. пРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ, ПУОПЧОЩЕ УЧПКУФЧБ. . .

тБЪВЙЕОЙЕ T ПФТЕЪЛБ [a, b] ЧНЕУФЕ У ЧЩВТБООПК УЙУФЕНПК ФПЮЕЛ ξ =
{ξ1 , ξ2, . . . , ξn } ОБЪПЧЕН ТБЪНЕЮЕООЩН ТБЪВЙЕОЙЕН [a, b] Й ВХДЕН ПВПЪОБЮБФШ
T ξ. рП ЪБДБООПК ЖХОЛГЙЙ f : [z, b] → R Й ТБЪНЕЮЕООПНХ ТБЪВЙЕОЙÀ T ξ У
ДЙБНЕФТПН d(T ) > 0 РПУФТПЙН УХННХ
                                                      n
                                     Sf (T ξ) =            f (ξi)(xi − xi−1).
                                                  i=1

  пРТЕДЕМЕОЙЕ 1. йОФЕЗТБМПН тЙНБОБ ЖХОЛГЙЙ f (x) ОБ ПФТЕЪЛЕ [a, b] ОБ-
ЪЩЧБЕФУС ФБЛПЕ ЮЙУМП I (ЕУМЙ ПОП УХЭЕУФЧХЕФ), ЮФП lim Sf (T ξ) = I.
                                                                                           d(T )→0
                                                                                                        b
     пВПЪОБЮБЕФУС ЙОФЕЗТБМ тЙНБОБ УМЕДХÀЭЙН ПВТБЪПН: I =                                                    f (x) dx. ъДЕУШ
                                                                                                        a
                            a                              b                           a
Й ДБМШЫЕ РПМБЗБЕН:                  f (x) dx = 0 Й             f (x) dx = − f (x) dx.
                            a                              a                           b
                                                                   b
     ъБНЕЮБОЙЕ. йОФЕЗТБМ тЙНБОБ I =                                    f (x) dx ЪБЧЙУЙФ ПФ a, b Й f , ОП ОЕ ЪБ-
                                                                a
ЧЙУЙФ ПФ x, СЧМСÀЭЕКУС ¤ОЕНПКЁ РЕТЕНЕООПК (РЕТЕНЕООПК ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙС),
Ч ФП ЧТЕНС ЛБЛ ОЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ f (x) dx = F (x) + C ЪБЧЙУЙФ ПФ
x.
   оЕЛПФПТЩЕ УЧПКУФЧБ ЙОФЕЗТБМБ тЙНБОБ.
   1) рХУФШ ЖХОЛГЙЙ f (x) Й g(x) ЙОФЕЗТЙТХЕНЩ ОБ [a, b], ФПЗДБ ДМС МÀВЩИ
α Й β УРТБЧЕДМЙЧБ ЖПТНХМБ:
                   b                                               b                           b

                       (αf (x) + βg(x)) dx = α                         f (x) dx + β                g(x) dx.
               a                                               a                           a

     2) рХУФШ a < c < b, ФПЗДБ
                                b                     c                         b

                                    f (x) dx =            f (x) dx +                f (x) dx.
                            a                     a                         c

   3) рХУФШ f (x) ОЕРТЕТЩЧОБ ОБ [a, b]. рХУФШ F (x) =                                              f (x) dx ¡ ОЕПРТЕДЕ-
МЕООЩК ЙОФЕЗТБМ ПФ ЖХОЛГЙЙ f (x) ОБ [a, b], ФПЗДБ:
                                b
                                                               b
                                    f (x) dx = F (x)                = F (b) − F (a).
                                                               a
                            a

   4) рХУФШ ЖХОЛГЙС f (x) ОЕРТЕТЩЧОБ ОБ [a, b]. рХУФШ ЖХОЛГЙЙ ϕ(t) Й ϕ (t)
ОЕРТЕТЩЧОЩ ОБ [α, β], РТЙЮЕН ϕ(α) = a, ϕ(β) = b Й f (ϕ(t)) ПРТЕДЕМЕОБ Й


§2. пРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ, ПУОПЧОЩЕ УЧПКУФЧБ. . .                                                                             39

ОЕРТЕТЩЧОБ ОБ [α, β], ФПЗДБ
                                              b                         β

                                                  f (x) dx =                f (ϕ(t))ϕ (t) dt.
                                          a                         α

  5) рХУФШ ЖХОЛГЙЙ u(x) Й v(x) ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНЩ ОБ [a, b], Б ЙИ РТПЙЪЧПД-
ОЩЕ u (x) Й v (x) ЙОФЕЗТЙТХЕНЩ ОБ [a, b], ФПЗДБ
                          b                                                               b
                                                                                  b
                              u(x) · v (x) dx = u(x) · v(x) −                                 v(x) · u (x) dx.
                                                                                  a
                      a                                                               a

  рТЙНЕТ 1. (УН. УЧПКУФЧП 3).
              1
                                                                    1                 √                  √
                    dx
                  √       = ln(x +                  1+     x2 )         = ln(1 +       2) − ln 1 = ln(1 + 2).
                   1 + x2                                           0
          0

  рТЙНЕТ 2. (УН. УЧПКУФЧП 3).
                              2π
                                                                2π
                                   sin x dx = − cos x                   = −(cos 2π − cos 0) = 0.
                                                                0
                              0

  рТЙНЕТ 3. (УН. УЧПКУФЧП 4).
                                                           3

                                                                  9 − x2 dx,
                                                       0

ТБУУНПФТЙН РПДУФБОПЧЛХ x = 3 sin t, t ∈ [0, π/2]. йНЕЕН
      3                             π/2

          9 − x2 dx =                     9 − 9 sin2 t 3 cos t dt =
  0                                 0
                                                                            π/2
                                                                                                                 π/2
                                                                                  2        9    sin 2t                     9π
                                                               =9               cos t dt =   t+                        =      .
                                                                                           2      2              0          4
                                                                            0

  рТЙНЕТ 4. (УН. УЧПКУФЧП 4).
                                                           2   √
                                                                x2 − 1
                                                                       dx,
                                                                 x4
                                                       1


40                                        §2. пРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ, ПУОПЧОЩЕ УЧПКУФЧБ. . .
                                                     1
ТБУУНПФТЙН РПДУФБОПЧЛХ x =                          cos t
                                                          ,      ФБЛ ЛБЛ x ∈ [1, 2], ФП t ∈ 0; π .
                                                                                               3
    2   √                   π/3         1                                   π/3                                         √
         x2 − 1                       cos2 t   −1
                                              sin t                                                    sin3 t
                                                                                                                π/3
                                                                                                                          3
                                                                                        2
                dx =                       ·        dt =                            sin t · cos t dt =                =     .
          x4                      1/ cos4t   cos2 t                                                      3      0        8
1                           0                                               0

        рТЙНЕТ 5. (УН. УЧПКУФЧП 5).
            1                                            1
                                               1                                            1
                                                              x dx
                arctg x dx = x · arctg x −                          = x arctg x −
                                               0             1 + x2            0
        0                                            0
                                                                        1
                                                1             π 1               π ln 2
                                               − ln |1 + x2| = − (ln 2 − ln 1) = −     .
                                                2           0 4 2               4  2

2.2. зЕПНЕФТЙЮЕУЛЙЕ РТЙМПЦЕОЙС ПРТЕДЕМЕООПЗП ЙОФЕЗТБМБ

  I. дМЙОБ ЛТЙЧПК.
  I.1. лТЙЧБС ЪБДБОБ СЧОЩН ХТБЧОЕОЙЕН y = f (x), x ∈ [a, b], ФПЗДБ ДМЙОБ
ЛТЙЧПК ЧЩЮЙУМСЕФУС РП ЖПТНХМЕ:
                                                        b

                                               l=                1 + [f (x)]2 dx.
                                                    a
                                                                        x2
        рТЙНЕТ 6. оБКФЙ ДМЙОХ ЛТЙЧПК y =                                6       ОБ ХЮБУФЛЕ x ∈ [0, 4].
                                                                   x2               x
                                                    y =                   =
                                                                   6                3
                                      4                                         4
                                              x              2        1
                            l=             1+                    dx =                   32 + x2 dx =
                                              3                       3
                                  0                                         0
                                                                                                  4
                             1 1              9
                           =     x 32 + x2 + ln(x + 32 + x2)     =
                             3 2              2                0
                              1 1                 9
                            =     4 · 32 + 42 + ln(4 + 32 + 42)−
                              3 2                 2
                      1               9                 1        9
                     − · 0 · 32 + 0 − ln(0 + 32 + 0) = · 10 + ln 9−
                      2               2                 3        2
                              9        1        9     10 3
                            − ln 3 =     10 + ln 3 =    + ln 3.
                              2        3        2     3   2



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика