Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Интегральное исчисление функции одной переменной: Учебное пособие

Голосов: 1

Пособие по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной" подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    §1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .                                       21

1.6. йОФЕЗТЙТПЧБОЙЕ ЧЩТБЦЕОЙК, УПДЕТЦБЭЙИ ФТЙЗПОПНЕФТЙЮЕ-
     УЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ

  I. йОФЕЗТЙТПЧБОЙЕ ЧЩТБЦЕОЙК ЧЙДБ

                               R(sin x, cos x) dx,

ЗДЕ R ¡ ТБГЙПОБМШОБС ЖХОЛГЙС.
   ч ЬФПН УМХЮБЕ УХЭЕУФЧХЕФ ХОЙЧЕТУБМШОЩК РТЙЕН ТБГЙПОБМЙЪБГЙЙ ЧЩТБ-
ЦЕОЙК, УФПСЭЙИ РПД ЪОБЛПН ЙОФЕЗТБМБ. б ЙНЕООП, ЙУРПМШЪХС РПДУФБОПЧЛХ
t = tg x (−π < x < π) Й ФТЙЗПОПНЕФТЙЮЕУЛЙЕ ЖПТНХМЩ:
       2
                                   2 tg x
                                        2       2t
                         sin x =            =        ,
                                 1 + tg2 x2   1 + t2
                               1 − tg2 x
                                       2   1 − t2
                      cos x =            =        ,
                               1 + tg2 x
                                       2   1 + t2
                                             2 dt
                      x = 2 arctg t, dx =          ,
                                            1 + t2
РПМХЮЙН РПД ЙОФЕЗТБМПН ТБГЙПОБМШОХÀ ЖХОЛГЙÀ.
  рТЙНЕТ 32.
           dx           1          d3x
                      =                     =
    cos 3x + 2 sin 3x 3 cos 3x + 2 sin 3x
                 1         dz        1           2 dt
             =                     =                           =
                 3 cos z + 2 sin z   3 (1 + t2) 1−t2 + 1+t2
                                                  1+t2
                                                          4t

               2        dt       2       dt         2      du
            =                 =                  =              =
               3 1 − t2 + 4t 3 5 − (t − 2)2         3 5 − u2
                               √                                  √
                      2 1         5+u          1       tg 3x − 2 + 5
                                                           2
                    =   √ ln √         + C = √ ln         3x
                                                                  √ + C.
                      32 5        5−u         3 5      tg 2 − 2 − 5
   рПДУФБОПЧЛБ, ХРПНСОХФБС ЧЩЫЕ, РТЙЧПДЙФ ЮБУФП Л УМПЦОЩН РТЕПВТБЪП-
ЧБОЙСН, РПЬФПНХ Ч ОЙЦЕРТЙЧЕДЕООЩИ ЮБУФОЩИ УМХЮБСИ РТЕДРПЮФЙФЕМШОЩ
УМЕДХÀЭЙЕ, ВПМЕЕ ХДПВОЩЕ РТЙЕНЩ:
   Б) РХУФШ R(u, v) = −R(−u, v), ФПЗДБ ТБГЙПОБМЙЪБГЙС ДПУФЙЗБЕФУС РПДУФБ-
ОПЧЛПК t = cos x;
   В) РХУФШ R(u, v) = −R(u, −v), ФПЗДБ ТБГЙПОБМЙЪБГЙС ДПУФЙЗБЕФУС РПДУФБ-
ОПЧЛПК t = sin x;
   Ч) РХУФШ R(u, v) = R(−u, −v), ФПЗДБ ТБГЙПОБМЙЪБГЙС ДПУФЙЗБЕФУС РПДУФБ-
ОПЧЛПК t = tg x.


22                                                        §1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .

     рТЙНЕТ 33.
                                           sin x
                                                   dx,
                                        4 + cos2 x
                                                    sin x
                              R(sin x, cos x) =             ,
                                                 4 + cos2 x
                                                      sin x
                           R(− sin x, cos x) = −              ,
                                                   4 + cos2 x
                          R(sin x, cos x) = −R(− sin x, cos x),
РПЬФПНХ ЙУРПМШЪХЕН РПДУФБОПЧЛХ t = cos x:
        sin x               d cos x              dt         1      cos x
                dx = −                =−                = − arctg        + C.
     4 + cos2 x           4 + cos2 x           4 + t2       2        2
   рТЙНЕТ 34.
                                         dx
                                                      ,
                               sin2 x − 5 sin x cos x
                                                  1
                    R(sin x, cos x) =                         ,
                                       sin2 x − 5 sin x cos x
                                                    1
                  R(− sin x, − cos x) =                          ,
                                          sin2 x − 5 sin x cos x
                     R(sin x, cos x) = R(− sin x, − cos x),
ЙУРПМШЪХЕН РПДУФБОПЧЛХ t = tg x:
               dx                                    dx
                             =                                                 =
      sin2 x − 5 sin x cos x         cos2 x      sin2 x
                                                          −   5 sin x cos x
                                                 cos2 x          cos2 x
                       d tg x                      dt                          dt
              =       2           =                     =                                     =
                    tg x − 5 tg x               t2 − 5t                       5 2       5 2
                                                                      t−      2     −   2
                                 5          5
                       1         2   +t−    2       1    t
                    = − ln       5          5    = − ln     +C =
                       5         2   −t+    2
                                                    5   t−5
                                              1       5     1
                                        =       ln 1 − + C = ln |1 − 5 ctg x| + C.
                                              5       t     5
  II. йОФЕЗТБМЩ ЧЙДБ sinm x cosn x dx.
  рТЙ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙЙ ЬФЙИ ЧЩТБЦЕОЙК ПЛБЪЩЧБÀФУС РПМЕЪОЩНЙ УМЕДХÀ-
ЭЙЕ ФТЙЗПОПНЕФТЙЮЕУЛЙЕ ЖПТНХМЩ
                     sin 2x            1 − cos 2x            1 + cos 2x
       sin x cos x =        , sin2 x =            , cos2 x =            .
                        2                  2                     2
  1. тБУУНПФТЙН ЙОФЕЗТБМЩ ЧЙДБ: sinm x dx, cosm x dx, РПМБЗБЕН, ЮФП


§1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .                                                                   23

  Б) m > 0, ЮЕФОПЕ, m = 2k.

     m                 2       k             (1 − cos 2x)k       1
   sin x dx =      (sin x) dx =                     k
                                                           dx = k+1             (1 − cos 2x)k d2x.
                                                  2            2
  В) m > 0, ОЕЮЕФОПЕ, m = 2k + 1.

    sinm x dx =      sin2k x · sin x dx =

             =−   (sin2 x)k d cos x = −              (1 − cos2 x)k d cos x = −        (1 − t2 )k dt,

ЗДЕ t = cos x.
   чПЪЧЕДС ЧЩТБЦЕОЙС, УФПСЭЙЕ РПД ЙОФЕЗТБМБНЙ РП ВЙОПНХ оШÀФПОБ Ч УП-
ПФЧЕФУФЧХÀЭХÀ УФЕРЕОШ, РПМХЮБЕН ТСД ЙОФЕЗТБМПЧ ФЙРБ (Б) Й (В), ОП У ОЙЪ-
ЫЙНЙ УФЕРЕОСНЙ, ЙИ ДБМШЫЕ ХРТПЭБЕН ФЕН ЦЕ ПВТБЪПН.
   уМХЮБК cosm x dx ДЕМБЕФУС БОБМПЗЙЮОП.
   рТЙНЕТ 35.

         4                 2      (1 + cos 2x)2
                                   2
    cos x dx = (cos x) dx =                     d2x =
                                        8
                 1                                z sin z
               =     (1 + 2 cos z + cos2 z) dz = +        +
                 8                                8   4
                           1 1 + cos 2z           3   sin 2x sin 4x
                         +                  dz = x +        +       + C.
                           8          2           8       4    32
  рТЙНЕТ 36.

    cos3 x dx =     cos2 x d sin x =            (1 − sin2 x) d sin x =

                                                     2      t3             sin3 x
                                       =   (1 − t ) dt = t − + C = sin x −        + C.
                                                            3                3
  Ч) m = −1
                                            dx                  dx
                                                 ,                   .
                                           sin x               cos x
      dx               dx                                dx
                                                          2               d tg x
                                                                               2        x
           =                    =                                     =       x = ln tg   + C,
     sin x        2 sin x cos x
                        2     2              cos2 x
                                                              sin x
                                                                  2        tg 2         2
                                                  2           cos x
                                                                  2

                    dx                  d x+ π2          x π
                         =                       = ln tg  +                    + C.
                   cos x               sin x + π
                                               2
                                                         2 4


24                                                     §1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .

     З) m < 0, |m| = 2k.
                                                    k−1
         m               dx                1               dx
      cos x dx =               =                                 =
                       cos2k x           cos2 x           cos2 x
                                       k−1
                     sin2 x + cos2 x
             =                               d tg x =       (1 + tg2 x)k−1 d tg x =
                          cos2 x
                                                            =    (1 + t2 )k−1 dt,     t = tg x,

БОБМПЗЙЮОП
                                     dx
                   sinm x dx =             =−           (1 + ctg2 x)k−1 d ctg x.
                                   sin2k x
     рТЙНЕТ 37.

       dx             1     dx            sin2 x + cos2 x
             =                    =                       d tg x = (tg2 x + 1) d tg x =
      cos4 x        cos2 x cos2 x              cos2 x
                                           2           t3           tg3 x
                                   =     (t + 1) dt = + t + C =           + tg x + C.
                                                        3             3
     Д) m < 0, |m| = 2k + 1.

                           dx               cos x
      cosm x dx =                  =                dx =
                       cos2k+1 x          cos2k+2 x
                                                              d sin x                   dt
                                                   =                      =
                                                          (1 − sin2 x)k+1           (1 − t2 )k+1
                                          dx
ДБМЕЕ УН. РХОЛФ 1.4. уМХЮБК            sin2k+1 x
                                                   ДЕМБЕФУС БОБМПЗЙЮОП.
  рТЙНЕТ 38.
         dx           cos x dx          d sin x               d sin x              dt
               =               =                 =                       =                 ;
        cos3 x         cos4 x          (cos2 x)2           (1 − sin2 x)2        (1 − t2 )2
(ДБМЕЕ УН. РХОЛФ 1.4).
   ч УМХЮБЕ Д) ДМС РПОЙЦЕОЙС УФЕРЕОЙ ХДПВОП РТЙНЕОСФШ ЖПТНХМХ sin 2 x +
+ cos2 x = 1.
       dx          sin2 x + cos2 x
             =                     dx =
      cos3 x            cos3 x
                        sin2 x     1               x π                         sin x
                 =          3x
                               +        dx = ln tg  +                   −            d cos x.
                        cos      cos x             2 4                        cos3 x


§1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .                                                             25

йОФЕЗТЙТХС РПУМЕДОЙК ЙОФЕЗТБМ РП ЮБУФСН, РПМХЮЙН:
       sin x           1
  −       3x
             d cos x =      sin x d cos−2 x =
      cos              2
                1 sin x         d sin x     1 sin x          dx
             =             −             =           −           =
                2 cos2 x         cos2 x     2 cos2 x       cos x
                                                1 sin x      1     x π
                                              =           − ln tg   +                        .
                                                2 cos2 x 2         2 4
пЛПОЮБФЕМШОП РПМХЮЙН:
                       dx       1         x π        1 sin x
                             = ln tg        +    +            .
                      cos3 x 2            2 4        2 cos2 x
  2) тБУУНПФТЙН ЙОФЕЗТБМЩ ЧЙДБ

                              sinm x cosn x dx,       m > 0, n > 0.

  Е) ПДЙО ЙЪ РПЛБЪБФЕМЕК m ЙМЙ n ОЕЮЕФОЩК, ВЕЪ ЙЪНЕОЕОЙС ПВЭОПУФЙ РП-
МБЗБЕН n = 2k + 1.

      sinm cosn x dx =      sinm x cos2k+1 x dx =         sinm x(cos2 x)k d sin x =

                                  =        sinm x(1 − sin2 x)k d sin x =    tm (1 − t2 )k dt,

ЗДЕ t = sin x Й ДБМЕЕ РП ВЙОПНХ оШÀФПОБ.
   рТЙНЕТ 39.

      sin2 x cos3 x dx =      sin2 x cos2 x d sin x =

                 =       sin2 x(1 − sin2 x) d sin x =        t2(1 − t2 ) dt =

                                       2     4  t3 t5    sin3 x sin5 x
                              =    (t − t ) dt = − + C =       −       + C.
                                                3  5       3      5
  Ц) m Й n ЮЕФОЩЕ, ФП ЕУФШ m = 2k, n = 2l,

          sinm x cosn x dx =          sin2k x cos2l x dx =    sin2k x(1 − sin2 x)l dx,

ДБМЕЕ, ЙУРПМШЪХС ВЙОПН оШÀФПОБ, УЧПДЙН Л УМХЮБÀ Б).
  рТЙНЕТ 40.

         sin2 x cos2 x dx =       sin2 (1 − sin2 x) dx =      sin2 x dx −       sin4 x dx.


26                                                     §1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .
                                  m              m
     3. йОФЕЗТБМЩ ЧЙДБ sin n x dx Й cosn x dx.
                          cos
                              x
                                     sin
                                         x
                                            1
     Ъ) m = n, ЙУРПМШЪХС ЖПТНХМХ tg2 x = cos2 x − 1.

      sinm x                        1
             dx =       tgm−2            −1      dx =
      cosm x                      cos2 x
                                m−2                   m−2          tgm−1 x
                    =      tg         d tg x −   tg         x dx =         −       tgm−2 x dx,
                                                                    m−1
РПМХЮЙН ЖПТНХМХ РПОЙЦЕОЙС. бОБМПЗЙЮОП
           cosm x                                 1
                  dx =          ctgm x dx = −        ctgm−1 x −            ctgm−2 x dx.
           sinm x                                m−1
     рТЙНЕТ 41.

      sin3 x                                 1
             dx =       tg3 x dx =        tg x    − 1 dx =
      cos3 x                               cos2 x
                                                 tg2 x      sin x
                =       tg x d tg x − tg x dx =        −          dx =
                                                   2        cos x
                                       tg2 x       d cos x tg2 x
                                     =       +            =        + ln | cos x| + C.
                                         x          cos x      2
     Й) РПЛБЪБФЕМШ ЮЙУМЙФЕМС m ¡ ЮЕФОЩК, m = 2k.

                    cosm x                cos2k x             (1 − sin2 x)k
                           dx =                   dx =                      dx.
                    sinn x                sinn x                 sinn x
йОФЕЗТБМ ТБУРБДБЕФУС ОБ УХННХ ЙОФЕЗТБМПЧ ЧЙДБ (1).
  рТЙНЕТ 42.

      cos4 x           (1 − sin2 x)2
             dx =                    dx =
      sin3 x              sin3 x
                     1 − 2 sin2 x + sin4 x                    dx          dx
              =                            dx =                    −2          +      sin x dx.
                             sin3 x                         sin3 x       sin x
     Л) РПЛБЪБФЕМШ ЮЙУМЙФЕМС m ОЕЮЕФОЩК, m = 2k + 1.

                  cosm x               cos2k+1 x             (1 − sin2 x)k
                         dx =                    dx =                      d sin x.
                  sinn x                sinn x                  sinn x
йОФЕЗТБМ ТБУРБДБЕФУС ОБ ПФДЕМШОЩЕ УМБЗБЕНЩЕ ЧЙДБ                         tm dt.


§1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .                                                           27

   рТЙНЕТ 43.

     cos3 x            (1 − sin2 x)                  dt
            dx =                    d sin x =            − dt =
     sin2 x               sin2 x                     t2
                                                        1         1
                                                   = − −t+C =−        − sin x + C,
                                                        t       sin x

ЗДЕ t = sin x.
                                  dx
   4. йОФЕЗТБМЩ ЧЙДБ         cosm x sinn x ,   m > 0, n > 0.


          dx               cos2 x + sin2 x
                   =                       dx =
     cosm x sinn x         cosm x · sinn x
                                                         dx                    dx
                                               =                    +                    ,
                                                    cosm−2 x sinn x      cosm x sinn−2 x

РПЧФПТЙЧ ЬФПФ РТЙЕН ФТЕВХЕНПЕ ЛПМЙЮЕУФЧП ТБЪ, УЧПДЙН ЙОФЕЗТБМ Л РТЕДЩ-
ДХЭЙН ФЙРБН.
   рТЙНЕТ 44.

          dx             cos2 x + sin2 x
                   =                       dx =
     cos3 x sin2 x        cos3 x · sin2 x
                         dx                dx        cos2 x + sin2 x
                =                 +             =                    dx+
                     cos x sin2 x        cos3 x        cos x sin2 x
                                        dx        cos x             dx               dx
                               +          3x
                                              =       2 dx +              +                .
                                      cos         sin x            cos3 x           cos3 x

   еУМЙ m + n = 2k, ФП РТПЭЕ ДЕМЙФШ ЮМЕОЩ ДТПВЙ ОБ cosm+n x.

          dx                           dx
                     =                 m x sinn =
     cosm x sinn x         cosm+n x cos m+x x x
                                      cos
                            dx
                =         2k x tgn x
                                     = (1 + tg2 x)k−1 · tg−n x d tg x =
                       cos
                                                                 =      t−n (1 + t2 )k−1 dt,


ЗДЕ t = tg x.


28                                                  §1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .

     рТЙНЕТ 45.

          dx                  dx
                   =                   =
      cos x sin3 x        cos4 x tg3 x
                 =       (1 + tg2 x) tg−3 x d tg x =        t−3 (1 + t) dt =
                                                                         1     1
                                           =     (t−3 + t−2) dt = −          −     + C.
                                                                      2 tg2 x tg x

     III. йОФЕЗТБМЩ ЧЙДБ

                                sin(ax + b) cos(cx + p) dx,

                                sin(ax + b) sin(cx + p) dx,

                                cos(ax + b) cos(cx + p) dx

ХРТПЭБÀФУС ОБ ПУОПЧБОЙЙ ФТЙЗПОПНЕФТЙЮЕУЛЙИ ФПЦДЕУФЧ
                                     1
                       sin α cos β =   (sin(α + β) + sin(α − β)),
                                     2
                                     1
                        sin α sin β = (cos(α − β) − cos(α + β)),
                                     2
                                     1
                       cos α cos β = (cos(α + β) + cos(α − β)).
                                     2
     рТЙНЕТ 46.

                                       1
      sin(3x + 1) cos(2x + 3) dx =             (sin(5x + 4)+
                                       2
                                           1 sin(5x + 4)
                 + sin(x − 2)) dx =                      d(5x + 4)+
                                           2      5
                                                    cos(5x + 4) cos(x − 2)
                  +       sin(x − 2) d(x − 2) = −              −           + C.
                                                        10          2

  лТПНЕ ФПЗП, РТЙ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙЙ ФТЙЗПОПНЕФТЙЮЕУЛЙИ ЖХОЛГЙК НПЦОП
РПМШЪПЧБФШУС ЖПТНХМБНЙ ьКМЕТБ
                            1 ix                            1 ix
                  sin x =      (e − e−ix ),       cos x =     (e + e−ix ).
                            2i                              2


ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС                                       29

  IV. йОФЕЗТБМЩ ЧЙДБ

                            P (x) sin ax dx,           P (x) cos ax dx,

                                 ebx sin ax dx,        ebx cos ax dx,

                                 ebx sin ax dx,        ebx cos ax dx,

ЗДЕ P (x) ¡ ГЕМЩК НОПЗПЮМЕО, ЙОФЕЗТЙТХÀФУС РП ЮБУФСН, УН. РХОЛФ 1.3.

ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС

оБКФЙ ЙОФЕЗТБМЩ:
  1. (x2 + 3x3 + x + 1) dx;
           √       √     1                        1
  2.   x4 + 5 x + 3 x + x2 dx −                   x   − 5 dx;
            1
          √ − √    1
  3.         x    4 3
                   x
                          dx;
        5x8 +1
  4.      x4 dx;
        x−1
        √ dx;
  5.     5 4
           x
          1    1      1
  6.     √x + x2 + x3      dx;
        ( x−1)3
  7.         x   dx;
          x     x
  8.    (2 + 3 ) dx;
                 4−x
  9.    4x 3 +   √
                   x3
                          dx;
         ex 2   − ex3
                    −x
  10.                      dx;
             2    √ 3
  11.      1+x2 − 1−x2           dx;
          x4
  12.    1+x2 dx;
                  e−x
  13.    ex 1 + cos2 x      dx;
  14.    (sin x + 5 cos x) dx;
              cos 2x
  15.     cos2 x·sin2 x
                         dx;
                 dx
  16.     sin2 x·cos2 x
                        ;
               2
          3 tg x+4
  17.       sin2 x
                      dx;
                    2
          3−2 ctg x
  18.        cos2 x dx;
          1−sin3 x
  19.       sin2 x
                      dx;
             2
  20.    tg x dx;
  21.    ctg2 x dx;
  22.    sin2 x dx;
                  2


30                                    ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС

     23.   cos2 x dx;
                   2
                            2
     24.          x
             sin 2 − cos x dx;
                          2
     25.   2x ex dx;
           √         √
              1+x2 − 1−x2
     26.         √
                   1−x4
                          dx;
     27.   cos 5x dx;
     28.   sin 7x dx;
     29.   cos x dx;
                 4
     30.   e−x dx;
               x        x
     31.     e 2 + e− 2 dx;
              dx
     32.   cos2 3x ;
             dx
     33.   sin2 x
                  ;
                3
     34.   (2 + 5x)9 dx;
     35.    √ dx ;
           √2−3x
     36.   √2x − 5 dx;
             3
     37.        3 − 7x dx;
              dx
     38.    5x+2 ;
              dx
     39.    2−3x ;
             x dx
     40.    x2 +3 ;
     41.   ctg x dx;
     42.   tg x dx;
             sin x dx
     43.    1+3 cos x ;
                  dx
     44.    x(1+ln x)5 ;
            cos 3x dx
     45.    3+sin 3x ;
               cos 2x
     46.    sin x cos x dx;
     47.   sin2 x cos x dx;
     48.   cos3 x sin x dx;
     49.   ecos x sin x dx;
              −x3
     50.   e√ x2 dx;
                x
            e √ dx
     51.          x
                     ;
           cos x dx
     52.    sin3 x
                    ;
           sin x dx
     53.    cos5 ;
           √ x
            3
              2+ln x
     54.             dx;
           √x
     55.      3 + cos 5x sin 5x dx;
             cos 3x dx
     56.   √
           7
             3+5 sin 3x
                        ;
            e4x
     57.   5+2e4x   dx;



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика