Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Интегральное исчисление функции одной переменной: Учебное пособие

Голосов: 1

Пособие по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной" подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    §1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .                                                            11

  рТЙНЕТ 21.

                                           1    (−2x)
      7 − x2 dx = x ·         7 − x2 −      x· √         dx = x · 7 − x2+
                                           2     7−x   2

             x2                           2−
                                                 7 − x2             7
      +    √       dx = x             7−x      √         dx + √          dx =
            7 − x2                                7 − x2          7 − x2
                                                                                    x
                                          =x·   7 − x2 −       7 − x2 dx + 7 arcsin √ .
                                                                                     7
                              √
пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ I =            7 − x2 dx. рЕТЕРЙЫЕН РПУМЕДОЕЕ ТБЧЕОУФЧП Ч ЧЙДЕ:
                           x                                  x
   I = x 7 − x2 + 7 arcsin √ − I ЙМЙ 2I = x 7 − x2 + 7 arcsin √ ,
                            7                                  7
               1                       x
           I=      x 7 − x2 + 7 arcsin √ , ПФУÀДБ ЙНЕЕН:
               2                        7
                              1           7     x
                 7 − x2 dx = x 7 − x2 + arcsin √ + C.
                              2           2      7

1.4. йОФЕЗТЙТПЧБОЙЕ ТБГЙПОБМШОЩИ ЖХОЛГЙК

   уОБЮБМБ ПУФБОПЧЙНУС ОБ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙЙ ФБЛ ОБЪЩЧБЕНЩИ РТПУФЩИ ДТП-
ВЕК. ьФП ДТПВЙ УМЕДХÀЭЙИ ЮЕФЩТЕИ ФЙРПЧ:
               A            A
           I.     , II.           ,
              x−a        (x − a)m
                Ax + B              Ax + B
          III. 2         , IV. 2              ,               (m = 2, 3, . . .).
              x + px + q        (x + px + q)m
йОФЕЗТЙТПЧБОЙЕ ДТПВЕК ЧЙДБ I Й II ЙЪЧЕУФОП:
                            A
                 I.             dx = A ln |x − a| + C,
                          x−a
                             A               A         1
                II.                dx = −                   + C.
                          (x − a)m         m − 1 (x − a)m−1
рТЙ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙЙ ДТПВЕК III Й IV Ч ЧЩТБЦЕОЙЙ, УФПСЭЕН Ч ЪОБНЕОБФЕМЕ,
ЧЩДЕМСЕФУС РПМОЩК ЛЧБДТБФ
                      p   2       p   2             p   2          p   2           p   2
x2 + px + q = x +             −           +q = x+           + q−           = x+            + k.
                      2           2                 2              2               2


12                                                          §1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .

фПЗДБ ЙОФЕЗТБМ ПФ ДТПВЙ III ЪБРЙЫЕФУС Ч ЧЙДЕ:

           Ax + B                    Ax + B                      A x+ p −
                                                                      2
                                                                                p
                                                                                2    +B
                     dx =                p 2
                                                     dx =                 p 2
                                                                                              dx =
         x2 + px + q                x+         +k                    x+         +k
                                         2                                2
                        p                             p
             A x+       2                B−A·         2                At                     B−A· p 2
     =            p 2
                             dx +              p 2
                                                           dx =             dt +                       dt,
             x+         +k               x+          +k              t2 + k                    t 2+k
                  2                            2
            p
ЗДЕ t = x + 2 .
   рЕТЧЩК ЙОФЕЗТБМ МЕЗЛП ЧЩЮЙУМСЕФУС РПДУФБОПЧЛПК u = t2 + k, Б ЙНЕООП:
                  t dt   1            dt2    1            d(t2 + k) 1
                       =                   =                       = ln |t2 + k| + C.
                t2 + k   2          t2 + k   2             t 2+k    2
чФПТПК ЙОФЕЗТБМ t2dt СЧМСЕФУС ФБВМЙЮОЩН.
                  +k
  рТЙ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙЙ ДТПВЙ IV БОБМПЗЙЮОП III РПМХЮЙН:
                                                                           p              p
             Ax + B                       Ax + B dx                   A x+ 2 −            2    +B
                        dx =                                 m   =                              m    dx =
         (x2 + px + q)m                         p 2                                 p 2
                                         x+     2     +k                  x+        2     +k

                                                         t dt         p                             dt
                                         =A                    + B−A·   ·                                 .
                                                     (t2 + k)m        2                         (t2 + k)m
рЕТЧЩК ЙОФЕЗТБМ МЕЗЛП ЧЩЮЙУМСЕФУС РПДУФБОПЧЛПК u = t2 + k, Б ЙНЕООП:

             t dt    1           dt2     1   d(t2 + k)   1   du
                   =                   =               =         =
         (t2 + k)m   2       (t2 + k)m   2 (t2 + k)m     2 um
                               1     1     1               1        1
                            =− ·        · m−1 + C = −           · 2        + C.
                               2 m−1 u                 2(m − 1) (t + k)m−1
                                                                                                          dt
чФПТПК ЙОФЕЗТБМ ЧЩЮЙУМСЕФУС НЕФПДПН РПОЙЦЕОЙС. рХУФШ I m =                                            (t2 +k)m ,
                  dt
ФПЗДБ Im−1 = (t2 +k)m−1 .
   тБУУНПФТЙН ЙОФЕЗТБМ Im:

            dt        1       k           1   k + t2 − t 2
 Im =              =                dt =                   dt =
        (t2 + k)m     k  (t2 + k)m        k    (t2 + k)m
                    1       k + t2               t2
                 = ·                 dt −              dt =
                    k     (t2 + k)m         (t2 + k)m
      1          dt                t dt       1              1   d(t2 + k)
   =                    − t· 2              = · Im−1 −          t 2        .
      k     (t2 + k)m−1         (t + k)m      k              2   (t + k)m


§1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .                                                 13

рПУМЕДОЙК ЙОФЕЗТБМ ЧЩЮЙУМСЕФУС НЕФПДПН ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙС РП ЮБУФСН:

   d(t2 + k)      1
  t 2      m
             =−        t d(t2 + k)1−m =
   (t + k)       m−1
     1         t              dt          1                       t
=−                   −                 =                                − Im−1 .
   m − 1 (t2 + k)m−1     (t2 + k)m−1     m−1                (t2 + k)m−1

пФУÀДБ ЙНЕЕН, ЮФП

                  1               1          t       Im−1
           Im =       Im−1 +           · 2        −         .
                  k            2(m − 1) (t + k)m−1 2(m − 1)

рПУМЕДОСС ЖПТНХМБ УЧПДЙФ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ Im Л ЧЩЮЙУМЕОЙÀ Im−1. ъОБС ЙОФЕ-
ЗТБМ (УН. ФБВМЙГХ ЙОФЕЗТБМПЧ) I1 = t2dt , ОБКДЕН I2 = (t2 +k)2 Й ФБЛ ДБМЕЕ
                                     +k
                                                          dt

ДП ЙОФЕЗТБМБ Im .
   рТЙНЕТ 22.

       2x + 5                2x + 5             2(x + 2 − 2) + 5
                dx =                   dx =                      dx =
    x2 + 4x − 3          (x + 2)2 − 7             (x + 2)2 − 7
                      2 · (x + 2)                   d(x + 2)
                =                  d(x + 2) +                  =
                     (x + 2)2 − 7                 (x + 2)2 − 7
                    t dt          dt        d(t2 − 7)         dt
             =2            +           =               +           =
                  t2 − 7        t2 − 7        t2 − 7        t2 − 7
                     √                                         √
              1         7−t                             1        7−2−x
= ln |t2 −7|+ √ ln √          +C = ln |x2 +4x−3|+ √ ln √               +C.
             2 7        7+t                           2 7        7+2+x


  рТЙНЕТ 23.

        2x + 5                   2x + 5                        x+2
                   dx =                      dx = 2                      d(x + 2)+
    (x2 + 4x − 3)2          ((x + 2)2 − 7)2             ((x + 2)2 − 7)2
                     d(x + 2)                t dt              dt
            +             2 − 7)2
                                   =2       2 − 7)2
                                                     +       2 − 7)2
                                                                     =
                 ((x + 2)                (t               (t
                            d(t2 − 7)            dt            1             dt
                      =        2 − 7)2
                                       +       2 − 7)2
                                                       =− 2        +       2 − 7)2
                                                                                   ,
                            (t              (t             t −7         (t


14                                             §1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .

ЧЩЮЙУМЙН ПФДЕМШОП РПУМЕДОЙК ЙОФЕЗТБМ:

          dt        1      (−7) dt        1 t2 − 7 − t 2
                =−                  =−                     dt =
      (t2 − 7)2     7 (t2 − 7)2           7     (t2 − 7)2
                 1     t2 − 7         1        t2             1       dt
             =−                 dt +                  dt = −               +
                 7 (t2 − 7)2          7 (t2 − 7)2             7 (t2 − 7)
                  1      d(t2 − 7)       1      dt       1          1
               +       t 2         =−                 −        td 2      =
                 14      (t − 7)2        7 t2 − 7 14              t −7
                      1       dt       1          1            dt
                  =−         2−7
                                   −        t· 2      −       2−7
                                                                      =
                      7 t             14       t −7         t
                                                           √
               1      dt       1    t        1      1         7+t       1    t
          =−        2−7
                            −      2−7
                                          =     · √ ln √            −       2−7
                                                                                + C.
              14 t            14 t          14 2 7            7−t      14 t

пЛПОЮБФЕМШОП РПМХЮЙН:
                                        √
          2x + 5              1    1     7+t   1     t
                     dx = − 2   + √ ln √     −           +C =
      (x2 + 4x − 3)2       t − 7 28 7    7−t   14 t2 − 7
                                      √
                        1        1     7+2+x    1      x+2
              =− 2            + √ ln √       −                + C.
                   x + 4x − 3 28 7     7−2−x   14 x2 + 4x − 3

   рТЕЦДЕ ЮЕН РЕТЕКФЙ Л ПВЭЕНХ УМХЮБÀ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙС РТБЧЙМШОЩИ ДТП-
ВЕК, УЖПТНХМЙТХЕН ПДОХ ЙЪ ФЕПТЕН БМЗЕВТЩ, ЙНЕÀЭХÀ ЖХОДБНЕОФБМШОПЕ
ЪОБЮЕОЙЕ Ч ФЕПТЙЙ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙС ТБГЙПОБМШОЩИ ДТПВЕК: ЛБЦДБС РТБЧЙМШ-
ОБС ДТПВШ P (x) НПЦЕФ ВЩФШ РТЕДУФБЧМЕОБ Ч ЧЙДЕ УХННЩ ЛПОЕЮОПЗП ЮЙУМБ
           Q(x)
РТПУФЩИ ДТПВЕК.
   тБЪМПЦЕОЙЕ РТБЧЙМШОПК ДТПВЙ ОБ РТПУФЩЕ ФЕУОП УЧСЪБОП У ТБЪМПЦЕОЙЕН
НОПЗПЮМЕОБ Q(x) ОБ НОПЦЙФЕМЙ. лБЛ ЙЪЧЕУФОП, ЛБЦДЩК ГЕМЩК НОПЗПЮМЕО У
ЧЕЭЕУФЧЕООЩНЙ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБНЙ ТБЪМБЗБЕФУС ОБ ЧЕЭЕУФЧЕООЩЕ НОПЦЙФЕМЙ
ФЙРБ (x − a) Й (x2 + px + q). ч УИЕНБФЙЮЕУЛПН ЧЙДЕ ТБЪМПЦЕОЙЕ НОПЗПЮМЕОБ
Q(x) НПЦОП ЪБРЙУБФШ Ч ЧЙДЕ: Q(x) = (x−a)k ·. . .·(x2 +px+q)m. рПЛБЦЕН, ЛБЛ,
У ХЮЕФПН ТБЪМПЦЕОЙС Q(x), РТБЧЙМШОБС ДТПВШ ТБУЛМБДЩЧБЕФУС ОБ РТПУФЩЕ:
   1. еУМЙ НОПЦЙФЕМШ (x − a) ЧИПДЙФ Ч ТБЪМПЦЕОЙЕ Q(x) ФПМШЛП Ч РЕТЧПК
УФЕРЕОЙ, НЩ РПУФБЧЙН ЕНХ Ч УППФЧЕФУФЧЙЕ ЕДЙОУФЧЕООХÀ РТПУФХÀ ДТПВШ:
                                              A
                                 (x − a) →       .
                                             x−a
     2. еУМЙ Ч ТБЪМПЦЕОЙЕ Q(x) ЧИПДЙФ НОПЦЙФЕМШ (x−a)k , ФП ЕУФШ РПЛБЪБФЕМШ


§1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .                                          15

УФЕРЕОЙ k > 1, ФП ЕНХ УППФЧЕФУФЧХЕФ УХННБ ЙЪ k РТПУФЩИ ДТПВЕК
                            A1       A2             Ak
                (x − a)k →      +         + ...+          .
                           x − a (x − a)2        (x − a)k
   3. еУМЙ Ч ТБЪМПЦЕОЙЕ Q(x) ЧИПДЙФ НОПЦЙФЕМШ x2 + px + q ФПМШЛП Ч РЕТЧПК
УФЕРЕОЙ, ФП Ч УППФЧЕФУФЧЙЕ ЕНХ УФБЧЙФУС ЕДЙОУФЧЕООБС РТПУФБС ДТПВШ:
                                       Mx + N
                        x2 + px + q → 2         .
                                     x + px + q
   4. еУМЙ Ч ТБЪМПЦЕОЙЕ Q(x) ЧИПДЙФ НОПЦЙФЕМШ (x2 + px + q)k , РПЛБЪБФЕМШ
ЛПФПТПЗП k > 1, ФП ЕНХ УППФЧЕФУФЧХЕФ УХННБ ЙЪ k РТПУФЩИ ДТПВЕК
                       M1 x + N 1    M2 x + N 2           Mk x + N k
    (x2 + px + q)k → 2            + 2            + ...+ 2             .
                      x + px + q (x + px + q)2          (x + px + q)k
   дМС ОБИПЦДЕОЙС ОЕЙЪЧЕУФОЩИ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПЧ A, M , N ЙУРПМШЪХÀФ НЕФПД
ОЕПРТЕДЕМЕООЩИ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПЧ. ъОБС ЖПТНХ ТБЪМПЦЕОЙС P (x) ОБ РТПУФЩЕ
                                                          Q(x)
ДТПВЙ, РЙЫХФ ЕЗП У ВХЛЧЕООЩНЙ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБНЙ УРТБЧБ. рТЙЧПДСФ ДТПВЙ
Л ПДОПНХ ЪОБНЕОБФЕМÀ Q(x) Й РТЙТБЧОЙЧБÀФ НОПЗПЮМЕОЩ, УФПСЭЙЕ Ч ЮЙ-
УМЙФЕМСИ УРТБЧБ Й УМЕЧБ. ъБФЕН, РТЙТБЧОЙЧБС ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ, УФПСЭЙЕ РТЙ
ПДЙОБЛПЧЩИ УФЕРЕОСИ, ОБИПДСФ ОЕЙЪЧЕУФОЩЕ ВХЛЧЕООЩЕ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ.
                                   2x2 +2x+13
   рТЙНЕТ 24. тБЪМПЦЙФШ ДТПВШ (x−2)(x2 +1)2 ОБ РТПУФЩЕ.
   рТЕДУФБЧЙН ДТПВШ Ч ЧЙДЕ:
                2x2 + 2x + 13      A      Bx + C    Dx + E
                                =       + 2      + 2        .
               (x − 2)(x2 + 1)2   x−2      x +1    (x + 1)2
лПЬЖЖЙГЙЕОФЩ A, B, C, D, E ПРТЕДЕМЙН, ЙУИПДС ЙЪ ФПЦДЕУФЧБ:
 2x2 + 2x + 13 = A · (x2 + 1)2 + (Bx + C)(x2 + 1)(x − 2) + (Dx + E)(x − 2),
ПФУÀДБ РПМХЮЙН:
 2x2 + 2x + 13 = (A + B) · x4 + (C − 2B) · x3 + (2A + B − 2C + D) · x2+
                                 + (C − 2B + E − 2D) · x + A − 2C − 2E.
рТЙТБЧОЙЧБС ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ РТЙ ПДЙОБЛПЧЩИ УФЕРЕОСИ x УМЕЧБ Й УРТБЧБ,
РТЙДЕН Л УЙУФЕНЕ ЙЪ РСФЙ ХТБЧОЕОЙК
                      
                       A + B = 0,
                      
                       −2B + C = 0,
                      
                      
                           2A + B − 2C + D = 2,
                       −2B + C − 2D + E = 2,
                      
                      
                      
                           A − 2C − 2E = 13,
                      
ПФЛХДБ
            A = 1, B = −1, C = −2, D = −3, E = −4.


16                                             §1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .

пЛПОЮБФЕМШОП:
                    2x2 + 2x + 13       1    x+2   3x + 4
                                    =      − 2   − 2       .
                   (x − 2)(x2 + 1)2   x − 2 x + 1 (x + 1)2
  дМС ФПЗП ЮФПВЩ РТПЙОФЕЗТЙТПЧБФШ РТБЧЙМШОХÀ ДТПВШ, ЕЕ ТБУЛМБДЩЧБÀФ
ОБ УХННХ РТПУФЩИ ДТПВЕК, Б ЪБФЕН ЙОФЕЗТЙТХÀФ ЛБЦДХÀ РТПУФХÀ ДТПВШ
ПФДЕМШОП Й ЙИ ТЕЪХМШФБФЩ УЛМБДЩЧБÀФ.
  рТЙНЕТ 25.

      2x2 + 2x + 13         dx        x+2            3x + 4
                      dx =       −           dx −             dx =
     (x − 2)(x2 + 1)2     x−2         x2 + 1        (x2 + 1)2
                                 1 3 − 4x 1 (x − 2)2
                               =          + ln 2         − 4 arctg x + C.
                                 2 x2 + 1 2       x +1
ъДЕУШ НЩ ЧПУРПМШЪПЧБМЙУШ ТБЪМПЦЕОЙЕН ЙЪ РТЙНЕТБ 24.

1.5. йОФЕЗТЙТПЧБОЙЕ ЙТТБГЙПОБМШОЩИ ЧЩТБЦЕОЙК

  чЩЫЕ НЩ ОБХЮЙМЙУШ ЙОФЕЗТЙТПЧБФШ ТБГЙПОБМШОЩЕ ЖХОЛГЙЙ. ъДЕУШ ТБУ-
УНБФТЙЧБЕФУС НЕФПД ТБГЙПОБМЙЪБГЙЙ ДМС ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙС ЙТТБГЙПОБМШОЩИ
ЧЩТБЦЕОЙК. б ЙНЕООП, ЙЭЕФУС РПДУФБОПЧЛБ t = t(x), ЛПФПТБС РТЙЧЕМБ ВЩ
ЙТТБГЙПОБМШОПЕ ЧЩТБЦЕОЙЕ Л ТБГЙПОБМШОПНХ ЧЙДХ. ъДЕУШ Й ДБМШЫЕ ВХДЕН
РПМБЗБФШ, ЮФП R(x, y, z, . . .) ¡ ТБГЙПОБМШОБС ЖХОЛГЙС ПФ УЧПЙИ БТЗХНЕОФПЧ.
  I. йОФЕЗТЙТПЧБОЙЕ ЧЩТБЦЕОЙК ЧЙДБ:

                                        m   ax + b
                                 R x;                dx,
                                            cx + p
ЗДЕ m ¡ ОБФХТБМШОПЕ ЮЙУМП, a, b, c, p ¡ РПУФПСООЩЕ. рПМПЦЙН:

              m
                  ax + b     m   ax + b                p · tm − b
 t = t(x) =              ,   t =        ,   x = ϕ(t) =            ,   dx = ϕ (t) dt.
                  cx + p         cx + p                 a − ctm
йОФЕЗТБМ РЕТЕРЙЫЕФУС Ч ЧЙДЕ:

                                   R(ϕ(t), t)ϕ (t) dt.

чЩЮЙУМЙЧ РПМХЮЕООЩК ЙОФЕЗТБМ, ЧЕТОЕНУС Л УФБТПК РЕТЕНЕООПК t = t(x).
  рТЙНЕТ 26.
                            1 3 x+1
                                        dx.
                          x+1 x−1


§1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .                                                               17

                    x+1           t3 +1                   2
рПМБЗБЕН t =   3
                    x−1 ,   x=    t3 −1 ,   dx = − (t36t 2 dt, ФПЗДБ
                                                      −1)


     1    3   x+1                      −3 dt               1        t+2
                  dx =                        =          −     + 2         dt =
    x+1       x−1                      t3 − 1             t−1 t +t+1
                                                       1 t2 + t + 1 √         2t − 1
                                                      = ln          + 3 arctg √ + C,
                                                       2   (t − 1)2              3

ЗДЕ t = 3 x+1 .
          x−1
   II. йОФЕЗТЙТПЧБОЙЕ ЧЩТБЦЕОЙК ЧЙДБ:
                                              Ax + B
                                            √             dx.                                 (3)
                                             ax2 + bx + c

  1) рХУФШ a > 0, ФПЗДБ ЙОФЕЗТБМ (3) РЕТЕРЙЫЕФУС Ч ЧЙДЕ

                            Ax + B                      1                Ax + B
                   √                              dx = √                           dx.
                    a       x2   + x+  b      c          a           x2 + px + q
                                       a      a

фБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й Ч УМХЮБЕ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙС ТБГЙПОБМШОПК ЖХОЛГЙЙ, ЧЩДЕ-
МЙН РПМОЩК ЛЧБДТБФ Ч ЛЧБДТБФОПН ФТЕИЮМЕОЕ, УФПСЭЕН Ч ЪОБНЕОБФЕМЕ (УН.
РХОЛФ 1.4):

                                                                 p
  1       Ax + B                    1                  A x+      2
 √                            dx = √                                     dx+
   a               p 2               a                        p 2
          x+       2     +k                             x+    2 +    k
                                       p
         1               B−A·          2          1             At          1        B−A· p2
       +√                                   dx = √            √       dt + √         √       dt,
          a                      p 2               a           t2 + k        a        t 2+k
                         x+      2     +k

ЗДЕ t = x + p .
            2
   рЕТЧЩК ЙОФЕЗТБМ ЧЩЮЙУМСЕФУС РПДУФБОПЧЛПК u = t2 + k

      t dt    1            dt2     1                  d(t2 + k) 1          du
    √       =            √       =                    √        =           √ =
     t2 + k   2           t2 + k   2                    t2 + k   2          u
                                                  1
                                             =          u−1/2 du = u1/2 + C = (t2 + k)1/2 + C.
                                                  2

чФПТПК ЙОФЕЗТБМ          √ dt     СЧМСЕФУС ФБВМЙЮОЩН.
                          t2 +k


18                                           §1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .

     2) рХУФШ a < 0, ФПЗДБ ЙОФЕЗТБМ (3) РЕТЕРЙЫЕФУС Ч ЧЙДЕ

             Ax + B                  1        Ax + B dx
      √                        dx = √                        =
       −a    −x2      b
                   − x−    c         −a       −x2 − px − q
                      a    a
                                                 1               Ax + B
                                               =√                             dx.
                                                 −a          −(x2 + px + q)

дБМШЫЕ, ЧЩДЕМСС РПМОЩК ЛЧБДТБФ Ч ЛЧБДТБФОПН ФТЕИЮМЕОЕ Й РТЙНЕОСС ЪБ-
НЕОХ t = x + p , ФБЛ ЦЕ ЛБЛ Й Ч РТЕДЩДХЭЕН УМХЮБЕ ЧЩЮЙУМСЕН РПМХЮЕООЩК
             2
ЙОФЕЗТБМ.
  рТЙНЕТ 27.

        5x − 1                    5x − 1                 5(x + 1 − 1) − 1
      √            dx =                        dx =                       dx =
       x2 + 2x + 2              (x + 1)2 + 1                (x + 1)2 + 1
                      5t − 6                 t dt              dt
               =     √         dt = 5 √             −6 √             =
                       t2 + 1               t2 + 1            t2 + 1
                    5 d(t2 + 1)
                 =        √          − 6 · ln |t + t2 + 1| + C =
                    2       t 2+1

          5
        = · 2(t2 + 1)1/2 − 6 ln |t + t2 + 1| + C = 5 · (x2 + 2x + 2)1/2−
          2
                                                − 6 ln |x + 1 + x2 + 2x + 3| + C.

     рТЙНЕТ 28.

        5x + 11                  5x + 11
      √            dx =                        dx =
       6x − x2 − 5             −(x2 − 6x + 5)
                       5x + 11                5(x − 3 + 3) + 11
            =                       dx =                         dx =
                    −((x − 3)2 − 4)               4 − (x − 3)2
                   5t + 26               t                   dt
             =     √        dt = 5 √           dt + 26 √            =
                     4 − t2            4 − t2              4 − t2
                5      dt2               t           5 d(4 − t2 )
             =      √        + 26 arcsin + C = −          √         +
                2     4 − t2             2           2       4 − t2
                          t                                t
              + 26 arcsin + C = −5 4 − t2 + 26 arcsin + C =
                          2                                2
                                                                      x−3
                                    = −5 6x − x2 − 5 + 26 arcsin          + C.
                                                                       2


§1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .                                                                 19

  III. йОФЕЗТЙТПЧБОЙЕ ЧЩТБЦЕОЙК ЧЙДБ:

                                     (Ax + B) ·     ax2 + bx + c dx.

рТЙ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙЙ ЬФЙИ ЖХОЛГЙК ЙУРПМШЪХÀФУС ЙОФЕЗТБМЩ
                              1
               a2 + x2 dx =     (x ·            a2 + x2 + a2 ln |x +        a2 + x2 |) + C,
                              2
                                  1                                           x
                    a2 − x2 dx =             x·      a2 − x2 + a2 arcsin        + C,
                                  2                                           a
ЛПФПТЩЕ ЧЩЮЙУМСÀФУС НЕФПДПН ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙС РП ЮБУФСН (УН. РХОЛФ 1.3).
                                         √
   дМС ЧЩЮЙУМЕОЙС ЙОФЕЗТБМПЧ (Ax + B) ax2 + bx + c dx Ч ЛЧБДТБФОПН
ФТЕИЮМЕОЕ ЧЩДЕМСЕФУС РПМОЩК ЛЧБДТБФ, Б ЪБФЕН, БОБМПЗЙЮОП УМХЮБÀ II, ЧУЕ
                                          √            √
УЧПДЙФУС Л ЧЩЮЙУМЕОЙÀ ЙОФЕЗТБМПЧ ЧЙДБ t k ± t2 dt Й      k ± t2 dt. рЕТ-
ЧЩК ЙЪ РПМХЮЕООЩИ ЙОФЕЗТБМПЧ ЧЩЮЙУМСЕН:

                        1                          1
      t   k ± t2 dt =                k ± t2 dt2 = ±     k ± t2 d(k ± t2 ) =
                        2                          2
                                                   1 2                1
                                                = ± · (k ± t2 )3/2 = ± (k ± t2 )3/2 + C.
                                                   2 3                3
ъОБЮЕОЙЕ ЧФПТПЗП ЙОФЕЗТБМБ УН. ЧЩЫЕ.
  рТЙНЕТ 29.

   (2x − 1) 3x − x2 dx =                 (2x − 1) −(x2 − 3x) dx =

                                                                 2
                                                         3               9
                            =       (2x − 1) −        x−             −     dx =
                                                         2               4
                                                             2
               3 3                          9      3                                   9
  =        2 x− +                   −1        − x−               dx =       (2t + 2)     − t2 dt =
               2 2                          4      2                                   4
                                9                    9                      9
              =2        t         − t2 dt + 2          − t2 dt =              − t2 dt2 +
                                4                    4                      4
                    1               9       9       2t          2
              +2·               t     − t2 + arcsin          = − (3x − x2)3/2+
                    2               4       4       3           3
                                                    3                        9        2x − 3
                                         + x−           ·    3x − x2 +         arcsin        + C.
                                                    2                        4          3


20                                                 §1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .

     IV. йОФЕЗТЙТПЧБОЙЕ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОЩИ ВЙОПНПЧ ЧЙДБ:

                                       xm(a + bxn )p dx,

ЗДЕ p = α ; α, β ¡ ГЕМЩЕ ЮЙУМБ; m, n ¡ РТПЙЪЧПМШОЩЕ ЮЙУМБ.
         β
   дБООЩК ЙОФЕЗТБМ ЙОФЕЗТЙТХЕФУС МЙЫШ Ч УМЕДХÀЭЙИ ФТЕИ УМХЮБСИ:
   1) ЕУМЙ p ГЕМПЕ ЮЙУМП, ФП ЙУРПМШЪХЕФУС РПДУФБОПЧЛБ
                x = tN , ЗДЕ N ¡ ПВЭЙК ЪОБНЕОБФЕМШ ДТПВЕК m Й n;
               m+1
     2) ЕУМЙ    n    ГЕМПЕ ЮЙУМП, ФП ЙУРПМШЪХЕФУС РПДУФБОПЧЛБ
                                        a + bxn = tβ ;
               m+1
     3) ЕУМЙ    n    + p ГЕМПЕ ЮЙУМП, ФП ЙУРПМШЪХЕФУС РПДУФБОПЧЛБ
                                       a + bxn = xn tβ .
     рТЙНЕТ 30.
                                     x3
                                  √        dx,
                                   x2 − 1
ЗДЕ m = 3, n = 2. юЙУМП m+1 = 3+1 = 2 ¡ ГЕМПЕ, РПЬФПНХ ЙУРПМШЪХЕН
                               n  √ 2             t
РПДУФБОПЧЛХ (1): x2 − 1 = t2 , x = t2 + 1, dx = √1+t2 dt, ПФУÀДБ

        x3                 (1 + t2 )3/2       t
      √       dx =                      · 2      1/2
                                                     dt = (1 + t2 ) dt =
       x2 − 1                  t         (t + 1)
                                             t3          2    1/2    (x2 − 1)3/2
                                       = t + + C = (x − 1) +                     + C.
                                             3                            3
     рТЙНЕТ 31.
                            dx
                        √4
                                  = x0(1 + x4)−1/4 dx,
                           1+x  4

ЪДЕУШ m = 0, n = 4, p = − 1 . рТПЧЕТЙН ХУМПЧЙЕ: m+1 + p ¡ ГЕМПЕ ЮЙУМП ЙМЙ
                           4                     n
ОПМШ. m+1 +p = 0+1 − 1 = 0, РПЬФПНХ ЙУРПМШЪХЕН РПДУФБОПЧЛХ (2); ЪДЕУШ β = 4:
       n        4    4                 √
                                       4   4
1 + x4 = x4 · t4, t = 4 x4 + 1 = 1+x , x = (t4 − 1)−1/4, dx = −t3 (t4 − 1)−5/4 dt,
                        1
                                  x
        √
ФБЛ ЮФП 1 + x4 = tx = t · (t4 − 1)−1/4,
         4



         dx                t2 dt   1            1   1        1   dt
      √        =−                =                −     dt −          =
      4
        1 + x4            t4 − 1 4             t+1 t−1       2 t2 + 1
                                                      1    t+1   1
                                                    = ln       − arctg t + C,
                                                      4    t−1   2
          √
          4
              1+x4
ЗДЕ t =        x .



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика