Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Интегральное исчисление функции одной переменной: Учебное пособие

Голосов: 1

Пособие по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной" подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
      йОФЕЗТБМШОПЕ ЙУЮЙУМЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ
         ПДОПК РЕТЕНЕООПК

§1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. пУОПЧОЩЕ УЧПКУФЧБ ОЕ-
    ПРТЕДЕМЕООПЗП ЙОФЕЗТБМБ
1.1. пВЭЙЕ РПОСФЙС

   пРТЕДЕМЕОЙЕ 1. жХОЛГЙС F (x) ОБЪЩЧБЕФУС РЕТЧППВТБЪОПК ДМС ЖХОЛГЙЙ
f (x) ОБ (a, b), ЕУМЙ ДМС МÀВПЗП x ∈ (a, b) F (x) = f (x).
   рТЙНЕТ 1. жХОЛГЙС sin(5x − 1) ЕУФШ РЕТЧППВТБЪОБС ДМС ЖХОЛГЙЙ
5 cos(5x − 1) ОБ ЧУЕК ЮЙУМПЧПК РТСНПК, ФБЛ ЛБЛ (sin(5x − 1)) = 5 cos(5x − 1).
   еУМЙ ЖХОЛГЙС f (x) ЙНЕЕФ ОБ (a, b) РЕТЧППВТБЪОХÀ F0(x), ФП НОПЦЕУФЧП
ЧУЕИ РЕТЧППВТБЪОЩИ ЖХОЛГЙЙ f (x) ОБ (a, b) УПЧРБДБЕФ У НОПЦЕУФЧПН ЖХОЛГЙК
F (x) = F0(x) + C, ЗДЕ C ¡ МÀВБС РПУФПСООБС.
   пРТЕДЕМЕОЙЕ 2. оЕПРТЕДЕМЕООЩН ЙОФЕЗТБМПН ПФ ЖХОЛГЙЙ f (x) ОБ (a, b)
ОБЪЩЧБЕФУС НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ РЕТЧППВТБЪОЩИ F (x) (ЕУМЙ ПОЙ УХЭЕУФЧХÀФ)
ЖХОЛГЙЙ f (x) ОБ (a, b). оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ ПФ f (x) ОБ (a, b) ПВПЪОБ-
ЮБЕФУС УЙНЧПМПН f (x) dx; f (x) ОБЪЩЧБЕФУС РПДЩОФЕЗТБМШОПК ЖХОЛГЙЕК.
                                                      3
   рТЙНЕТ 2. рХУФШ f (x) = x2. жХОЛГЙС F (x) = x ЕУФШ РЕТЧППВТБЪОБС ДМС
                                                     3
                                                             3       2
ЖХОЛГЙЙ f (x) = x2 ОБ РТПНЕЦХФЛЕ (−∞; +∞), ФБЛ ЛБЛ x      3
                                                             = 3x = x2.
                                                                 3
рПЬФПНХ
                               2      x3
                             x dx =      + C.
                                      3
                             1                          1
    рТЙНЕТ 3. рХУФШ f (x) = x . рЕТЧППВТБЪОПК f (x) = x ОБ РТПНЕЦХФЛЕ
(0, +∞) СЧМСЕФУС ЖХОЛГЙС F (x) = ln x, Б ОБ РТПНЕЦХФЛЕ (−∞; 0) ЖХОЛГЙС
F (x) = ln(−x). фБЛЙН ПВТБЪПН, ЖХОЛГЙС F (x) = ln |x| ЕУФШ РЕТЧППВТБЪОБС
                    1
ДМС ЖХОЛГЙЙ f (x) = x ОБ МÀВПН РТПНЕЦХФЛЕ, ОЕ УПДЕТЦБЭЕН 0. рПЬФПНХ
                             dx
                                = ln |x| + C.
                              x
   пУОПЧОЩЕ УЧПКУФЧБ ОЕПРТЕДЕМЕООПЗП ЙОФЕЗТБМБ:
1) d f (x) dx = f (x) dx;
2)   f (x) dx = f (x);
3) df (x) = f (x) dx.
                                  1


2                                              §1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .

     пУОПЧОЩЕ РТБЧЙМБ ЧЩЮЙУМЕОЙС ОЕПРТЕДЕМЕООЩИ ЙОФЕЗТБМПЧ.
     1) рХУФШ ОБ (a, b) УХЭЕУФЧХÀФ ОЕПРТЕДЕМЕООЩЕ ЙОФЕЗТБМЩ g(x) dx Й
    f (x) dx. фПЗДБ ДМС МÀВЩИ α Й β ОБ (a, b) УРТБЧЕДМЙЧБ ЖПТНХМБ:

                  (αf (x) + βg(x)) dx = α    f (x) dx + β   g(x) dx.

   2) рХУФШ ЖХОЛГЙЙ u(x), v(x) ЙНЕÀФ ОЕРТЕТЩЧОЩЕ РТПЙЪЧПДОЩЕ u (x), v (x)
ОБ РТПНЕЦХФЛЕ (a, b). фПЗДБ УРТБЧЕДМЙЧП ТБЧЕОУФЧП:

                     u(x)v (x) dx = u(x)v(x) −      v(x)u (x) dx
ЙМЙ
                                 u dv = uv −     v du.

   3) рХУФШ ОБ (α; β) УХЭЕУФЧХЕФ ОЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ f (t) dt =
= F (t) + C. рХУФШ ЖХОЛГЙС t = u(x) ЙНЕЕФ ОЕРТЕТЩЧОХÀ РТПЙЪЧПДОХÀ u (x)
ОБ (a, b) Й u((a, b)) ⊂ (α, β). фПЗДБ ОБ (a, b) УРТБЧЕДМЙЧП ТБЧЕОУФЧП:

        f (u(x))u (x) dx =    f (u(x)) du(x) = F (u(x)) + C =      f (t) dt .

   4) рХУФШ УФТПЗП НПОПФПООБС ЖХОЛГЙС x = ω(t) ЙНЕЕФ ОЕРТЕТЩЧОХÀ РТПЙЪ-
ЧПДОХÀ ω (t) ОБ (α, β) Й ω(t) : (α; β) → (a, b). рХУФШ ЖХОЛГЙС f (x) ПРТЕДЕМЕОБ
ОБ (a, b) Й УХЭЕУФЧХЕФ ОЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ

                       f (ω(t))ω (t) dt =   g(t) dt = G(t) + C.

фПЗДБ ОБ (a, b) ЙНЕЕН:

     f (x) dx =   f (ω(t)) dω(t) =    f (ω(t))ω (t) dt = G(t) + C = G(v(x)) + C,

ЗДЕ t = v(x) ¡ ЖХОЛГЙС, ПВТБФОБС Л ЖХОЛГЙЙ x = ω(t).
   фБВМЙГБ ПУОПЧОЩИ ОЕПРТЕДЕМЕООЩИ ЙОФЕЗТБМПЧ.
1) 0 · dx = C;
2) 1 dx = x + C;
              α+1
3) xα dx = x + C (α = −1);
             α+1
     dx
4) x = ln |x| + C (x = 0);
             ax
5) ax dx = ln a + C (0 < a = 1), ex dx = ex + C;
6) sin x dx = − cos x + C;
7) cos x dx = sin x + C;
8) cos2 x = tg x + C (x = π + πn; n = 0; ±1; ±2; . . .);
      dx
                            2
      dx
9) sin2 x = − ctg x + C (x = πn; n = 0; ±1; ±2; . . .);


§1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .                                            3
        dx
10)   a2 +x2
              = a arctg x + C (a = 0);
                1
                         a
        dx       1     a+x
11)   a2 −x2  = 2a ln a−x + C (a = 0; |x| = |a|);
12)   √ dx     = arcsin x + C (a = 0; |x| < |a|);
        a2 −x2           a
                         √
         dx
13)   √
        x2 +k
               = ln |x + x2 + k| + C (k = 0, Ч УМХЮБЕ   k < 0 |x| > |k|);
14) sh x dx = ch x + C;
15) ch x dx = sh x + C;
         dx
16) ch2 x = th x + C;
         dx
17) sh2 x = − cth x + C; (x = 0).
   фБВМЙГБ ПУОПЧОЩИ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМПЧ.
           1
1) dx = a d(ax + b) (a = 0);
                p+1
2) xp dx = dx p+1   (p = −1);
3) dx = d(ln |x|) (x = 0);
    x
4) sin x dx = −d cos x;
5) cos x dx = d sin x;
     dx
6) cos2 x = d tg x;
     dx
7) sin2 x = −d ctg x;
                x
8) ax dx = daa ; ex dx = dex ;
             ln
9) sh x dx = d ch x;
10) ch x dx = d sh x;
       dx
11) √1−x2 = d arcsin x = −d arccos x;
      dx
12) 1+x2 = d arctg x = −d arcctg x.

1.2. йОФЕЗТЙТПЧБОЙЕ РХФЕН ЪБНЕОЩ РЕТЕНЕООЩИ

   пДЙО ЙЪ ОБЙВПМЕЕ ТБУРТПУФТБОЕООЩИ НЕФПДПЧ, РТЙНЕОСЕНЩИ РТЙ ЧЩЮЙ-
УМЕОЙЙ ОЕПРТЕДЕМЕООЩИ ЙОФЕЗТБМПЧ ¡ НЕФПД ЪБНЕОЩ РЕТЕНЕООЩИ. ч ЕЗП
ПУОПЧЕ МЕЦБФ РТБЧЙМБ 3 Й 4, УЖПТНХМЙТПЧБООЩЕ Ч РТЕДЩДХЭЕН РХОЛФЕ. нЕ-
ФПД РПДУФБОПЧЛЙ УПУФПЙФ Ч ФПН, ЮФП УППВТБЪОП ЧЙДХ РПДЩОФЕЗТБМШОПК ЖХОЛ-
ГЙЙ УПУФБЧМСÀФ ЧУРПНПЗБФЕМШОХÀ ЖХОЛГЙÀ, РПДУФБОПЧЛБ ЛПФПТПК Ч ЙУИПД-
ОЩК ЙОФЕЗТБМ РТЙЧПДЙФ ЕЗП Л ЧЙДХ, ВПМЕЕ ХДПВОПНХ ДМС ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙС.
   чЩДЕМСÀФУС ДЧЕ ЖПТНЩ РПДУФБОПЧЛЙ.
   I. рХУФШ ФТЕВХЕФУС ЧЩЮЙУМЙФШ ЙОФЕЗТБМ g(x) dx. уПЗМБУОП РТБЧЙМХ 3
ЧЩВЕТЕН, ЕУМЙ ЬФП ХДБЕФУС, ФБЛХÀ ЖХОЛГЙÀ u(x), ЮФП РПДЩОФЕЗТБМШОПЕ ЧЩ-
ТБЦЕОЙЕ РТЕДУФБЧМСЕФУС Ч ЧЙДЕ:

                g(x) dx =    f (u(x))u (x) dx =   f (u(x)) du(x).

фПЗДБ, ДЕМБС ЪБНЕОХ РЕТЕНЕООЩИ t = u(x), РП УЛБЪБООПНХ ЧЩЫЕ, ДПУФБФПЮОП


4                                                         §1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .

ОБКФЙ ЙОФЕЗТБМ
                                         f (t) dt,   t = u(x).

йЪМПЦЕООЩК НЕФПД РТЙНЕОСЕФУС РТЙ ЧЩЮЙУМЕОЙЙ ЙОФЕЗТБМПЧ ЧЙДБ:
   1) f (ax + b) dx,
ДЕМБС ЪБНЕОХ t = ax + b, РПМХЮЙН:
                                     1                                  1
               f (ax + b) dx =              f (ax + b) d(ax + b) =              f (t) dt;
                                     a                                  a
   2) f (sin x) cos x dx,
ДЕМБС ЪБНЕОХ t = sin x, РПМХЮЙН:

                  f (sin x) cos x dx =           f (sin x)d sin x =         f (t) dt;

   3) f (cos x) sin x dx,
ДЕМБС ЪБНЕОХ t = cos x, РПМХЮЙН:

               f (cos x) sin x dx = −            f (cos x) d cos x = −          f (t) dt;

                 1
   4) f (tg x) cos2 x dx,
ДЕМБС ЪБНЕОХ t = tg x, РПМХЮЙН:
                                   dx
                       f (tg x)          =      f (tg x) d tg x =       f (t) dt;
                                  cos2 x
             1
   5) (ln x) x dx,
ДЕМБС ЪБНЕОХ t = ln x, РПМХЮЙН:
                                   dx
                        f (ln x)      =      f (ln(x)) d ln x =       f (t) dt;
                                   x
   6) f (ex)ex dx,
ДЕМБС ЪБНЕОХ t = ex , РПМХЮЙН:

                           f (ex )ex dx =        f (ex ) dex =      f (t) dt;

   7) (ax2 + b)px dx,
ДЕМБС ЪБНЕОХ t = ax2 + b, РПМХЮЙН:
                       1                              1                                      1
    (ax2 + b)px dx =        (ax2 + b)p dx2 =               (ax2 + b)p d(ax2 + b) =               tp dt.
                       2                             2a                                     2a


§1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .                                                       5

  рТЙНЕТ 4.

      dx     1       d(5x + 2)
    √      =          √        =
     5x + 2 5          5x + 2
                       1   dt    1                       2 1/2    2√
                     =     √ =              t−1/2 dt =     t +C =   5x + 2 + C.
                       5     t 5                         5        5
  рТЙНЕТ 5.

                       1
    sin(3x − 4) dx =           sin(3x − 4) d(3x − 4) =
                       3
                               1               1             1
                           =       sin t dt = − cos t + C = − cos(3x − 4) + C.
                               3               3             3
  рТЙНЕТ 6.
       dx    1       d(2x − 6) 1            dt 1            1
           =                  =               = ln |t| + C = ln |2x − 6| + C.
     2x − 6 2         2x − 6    2           t  2            2
  рТЙНЕТ 7.

                                                             t4      sin4 x
       sin3 x cos x dx =        sin3 x d sin x =   t3 dt =      +C =        + C.
                                                             4         4
  рТЙНЕТ 8.

      sin x             d(− cos x)          d(− cos x + 4)
              dx =                 =                        =
    4 − cos x           4 − cos x             4 − cos x
                                               dt
                                          =       = ln |t| + C = ln |4 − cos x| + C.
                                                t
  рТЙНЕТ 9.

        dx                cos x              1    dx
                =               2x
                                   dx =                 =
    sin x cos x        sin x cos            tg x cos2 x
                                      d tg x       dt
                                 =           =        = ln |t| + C = ln | tg x| + C.
                                       tg x         t
  рТЙНЕТ 10.
            ln x                                       t2      1
                 dx =      ln x d ln x =      t dt =      + C = ln2 x + C.
             x                                         2       2


6                                             §1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .

    рТЙНЕТ 11.
       e2x        1        e2x         1   de2x     1 d(e2x + 1)
             dx =                d2x =          =                =
     e2x + 1      2      e2x + 1       2 e2x + 1 2       e2x + 1
                                     1 dt 1               1
                                   =       = ln |t| + C = ln(e2x + 1) + C.
                                     2   t   2            2
    рТЙНЕТ 12.
      x dx    1          dx2     1      d(5x2 − 3)
            =                 =                      =
     5x2 − 3 2         5x2 − 3 2 · 5     5x2 − 3
                                1    dt     1               1
                              =          =     ln |t| + C =    ln |5x2 − 3| + C.
                                10    t    10               10
   II. рТЙНЕОСС ЧФПТХÀ ЖПТНХ РПДУФБОПЧЛЙ, РПМШЪХÀФУС РТБЧЙМПН 4. ч РП-
ДЩОФЕЗТБМШОПЕ ЧЩТБЦЕОЙЕ ОЕРПУТЕДУФЧЕООП РПДУФБЧМСÀФ ЧНЕУФП x ЖХОЛГЙÀ
x = ω(t), Б ЙНЕООП:

            f (x) dx =     f (ω(t)) dω(t) =   f (ω(t))ω (t) dt =   g(t) dt,

ЗДЕ g(t) ¡ ВПМЕЕ ХДПВОБС ДМС ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙС ЖХОЛГЙС, ЮЕН f (x). рТЙ ЬФПН
ОБ ЖХОЛГЙÀ ω(t) ОБЛМБДЩЧБÀФУС ХУМПЧЙС УФТПЗПК НПОПФПООПУФЙ, ЮФП ПВЕУ-
РЕЮЙЧБЕФ УХЭЕУФЧПЧБОЙЕ ПВТБФОПК ЖХОЛГЙЙ t = v(x) Й РТЕДУФБЧМЕОЙЕ:

                  f (x) dx =    g(t) dt = G(t) + C = G(v(x)) + C.

    рТЙНЕТ 13.
                                    dx
                               √       √ .
                                 x (4 + 3 x)
                                       √       √
рТЙНЕОСС РПДУФБОПЧЛХ x = t6 , РПМХЮЙН x = t3 , 3 x = t2 , dx = dt6 = 6t5 dt
Й
        6t5 dt             t2             t2 + 4 − 4
                  =6            dt = 6               dt =
     t3 (4 + t2 )        4 + t2              t2 + 4
                                  4                           dt
                =6         1− 2         dt = 6 dt − 24             =
                                t +4                        t2 + 4
                                                                      √
                                                  t       √           6
                                                                        x
                                 = 6t − 12 arctg + C = 6 x + 12 arctg
                                                          6
                                                                          + C.
                                                  2                    2
    рТЙНЕТ 14.
                                        9 − x2 dx.


§1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .                                                             7

рТЙНЕОСС РПДУФБОПЧЛХ x = 3 sin t, −3             x     3, − π
                                                            2       t    π
                                                                         2,   t = arcsin x ,
                                                                                         3
dx = d(3 sin t) = 3 cos t dt, РПМХЮЙН
                                    √
       9 − 9 sin2 t 3 cos t dt =     9 cos2 t 3 cos t dt = 9     cos2 t dt =
            1 + cos 2t      9                            9    9
      =9               dt =           dt +    cos 2t dt      =
                                                           t + sin 2t + C =
                2           2                            2    4
                                             9       x 9               x
                                           = arcsin + sin 2 arcsin        + C.
                                             2        3 4              3
рТЕПВТБЪХЕН ПФДЕМШОП ЧЩТБЦЕОЙЕ sin 2 arcsin x , ДМС ЬФПЗП ЧПУРПМШЪХЕНУС
                                                    3
ЖПТНХМПК:
                                                            π      π
          sin 2t = 2 sin t cos t = 2 sin t · 1 − sin2 t, −      t    ,
                                                            2      2
РПЬФПНХ
                x                x                               x
 sin 2 arcsin     = 2 sin arcsin   ·         1 − sin2 arcsin       =
                3                3                               3
                                                       x            x2  2
                                               = 2·      ·     1−      = x·       9 − x2 .
                                                       3            9   9
пФУÀДБ ПЛПОЮБФЕМШОП РПМХЮЙН:
                            9      x 1
                 9 − x2 dx = arcsin + x ·                    9 − x2 + C.
                            2      3 2

1.3. йОФЕЗТЙТПЧБОЙЕ РП ЮБУФСН

   рХУФШ ЖХОЛГЙЙ u(x), v(x) ЙНЕÀФ ОЕРТЕТЩЧОЩЕ РТПЙЪЧПДОЩЕ u (x), v (x)
ОБ РТПНЕЦХФЛЕ (a, b), ФПЗДБ УРТБЧЕДМЙЧП ТБЧЕОУФЧП:

                      u(x)v (x) dx = u(x)v(x) −           v(x)u (x) dx                  (1)
ЙМЙ
                                   u dv = uv −       v du.
   оЕПВИПДЙНП ЪБНЕФЙФШ, ЮФП РТЙНЕОЕОЙЕ НЕФПДБ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙС РП ЮБУФСН
РТЙЧПДЙФ Л ЮБУФЙЮОПНХ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙÀ, ФБЛ ЛБЛ Й РТБЧБС ЮБУФШ ЖПТНХМЩ
(1) УПДЕТЦЙФ ЙОФЕЗТБМ. пДОБЛП РТЙ РТБЧЙМШОПН РТЙНЕОЕОЙЙ НЕФПДБ ЙОФЕ-
ЗТБМ ЙЪ РТБЧПК ЮБУФЙ (1) ВХДЕФ ФБВМЙЮОЩН ЙМЙ МЕЗЛП УЧПДСЭЙНУС Л ФБ-
ВМЙЮОПНХ. рТЙ ЧЩЮЙУМЕОЙЙ ОЕЛПФПТЩИ ЙОФЕЗТБМПЧ НЕФПД ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙС
РП ЮБУФСН НПЦЕФ РТЙНЕОСФШУС ОЕУЛПМШЛП ТБЪ. рТБЧЙМП ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙС РП


8                                              §1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .

ЮБУФСН ЙНЕЕФ ВПМЕЕ ПЗТБОЙЮЕООХÀ ПВМБУФШ РТЙНЕОЕОЙС, ЮЕН ЪБНЕОБ РЕТЕ-
НЕООПК. оП ЕУФШ ГЕМЩЕ ЛМБУУЩ ЙОФЕЗТБМПЧ, ОБРТЙНЕТ:

            xk lnm x dx,       xk sin ax dx,     xk cos ax dx,    xk eax dx,

               xk arcsin ax dx,       xk arccos ax dx,     xk arctg ax dx

Й ДТХЗЙЕ, ЛПФПТЩЕ ЧЩЮЙУМСÀФУС ЙНЕООП У РПНПЭШÀ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙС РП ЮБ-
УФСН.
   I. рТЙ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙЙ ЖХОЛГЙК ЧЙДБ Pm (x) sin ax, Pm (x) cos ax, Pm (x)eax,
ЗДЕ Pm (x) РТПЙЪЧПМШОЩК НОПЗПЮМЕО УФЕРЕОЙ m, Ч ЛБЮЕУФЧЕ ЖХОЛГЙЙ u(x) ЙЪ
ЖПТНХМЩ (1) ВЕТЕФУС НОПЗПЮМЕО Pm (x), Б Ч ЛБЮЕУФЧЕ v (x) ДТХЗПК УПНОПЦЙ-
ФЕМШ.
   рТЙНЕТ 15. x · sin 3x dx. рХУФШ u(x) = x, v (x) = sin 3x, ФПЗДБ

                      sin 3x          1
    dv = sin 3x dx =         d3x = − d cos 3x.
                         3            3
                            1                  1
         x · sin 3x dx = −      x d cos 3x = −   x · cos 3x − cos 3x dx =
                            3                  3
               1            1                 1           1
         = − x cos 3x +         cos 3x dx = − x cos 3x +     cos 3x d3x =
               3            3                 3           9
                                                       1          1
                                                  = − x cos 3x + sin 3x + C.
                                                       3          9

     рТЙНЕТ 16.        xe−4x dx. рХУФШ u(x) = x, v (x) = e−4x , ФПЗДБ


                         −4x       e−4x             1
    v (x) dx = dv(x) = e dx = −         d(−4x) = − de−4x.
                                    4               4
                            1               1
               xe−4x dx = −     x de−4x = −    x · e−4x − e−4x dx =
                            4               4
                1         1               1          1
            = − xe−4x +       e−4x dx = − xe−4x −          e−4x d(−4x) =
                4         4               4         16
                                                         1          1 −4x
                                                    = − xe−4x −       e   + C.
                                                         4         16

  лБЛ ВЩМП УЛБЪБОП ЧЩЫЕ, РТЙ ЧЩЮЙУМЕОЙЙ ЙОФЕЗТБМПЧ ЖПТНХМБ ЙОФЕЗТЙ-
ТПЧБОЙС РП ЮБУФСН НПЦЕФ РТЙНЕОСФШУС ОЕУЛПМШЛП ТБЪ.


§1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .                                                             9

  рТЙНЕТ 17.         x2 · cos 2x dx. рХУФШ u(x) = x2, v (x) = cos 2x, ФПЗДБ
                                                1             1
           v (x) dx = dv(x) = cos 2x dx =         cos 2x d2x = d sin 2x.
                                                2             2
                          1                    1
         x2 cos 2x dx =          x2 d sin 2x =     x2 sin 2x − sin 2x dx2 .                 (2)
                          2                    2
фБЛ ЛБЛ dx2 = 2x dx, ФП Ч РПУМЕДОЕН ЙОФЕЗТБМЕ РПМХЮЙН

                              sin 2x dx2 =     (sin 2x) · 2x dx.

                                                                               1
рПМБЗБС u(x) = 2x, v (x) = sin 2x; v (x) dx = sin 2x dx =                      2   sin 2x d2x =
    1
= − 2 d cos 2x, ЙНЕЕН

                                       1
    (sin 2x) · 2x dx =    2x · −           d cos 2x = −      x d cos 2x =
                                       2
                                                               1
        = − x cos 2x −          cos 2x dx = −x cos 2x +              cos 2x d2x =
                                                               2
                                                          1
                                                           = −x cos 2x +
                                                            sin 2x + C.
                                                          2
пЛПОЮБФЕМШОП, РПДУФБЧМСС РПУМЕДОЙК ТЕЪХМШФБФ Ч (2), РПМХЮЙН

                     1                         1
    x2 cos 2x dx =       x2 · sin 2x + x cos 2x −sin 2x + C =
                     2                         2
                                        1            1         1
                                      = x2 sin 2x + x cos 2x − sin 2x + C.
                                        2            2         4
   II. рТЙ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙЙ ЖХОЛГЙК ЧЙДБ: Pm (x) arcsin ax, Pm (x) arccos ax,
Pm (x) arctg ax, Pm (x) ln ax Ч ЛБЮЕУФЧЕ v (x) ЧЩВЙТБЕФУС НОПЗПЮМЕО Pm (x), Б
Ч ЛБЮЕУФЧЕ u(x) ПУФБЧЫБСУС ЖХОЛГЙС.
   рТЙНЕТ 18. x ln x dx. рХУФШ u(x) = ln x, v (x) = x, ФПЗДБ
                    1 2
 v (x) dx = x dx =    dx .
                    2
                          1                    1
             x ln x dx =          ln x dx2 =       x2 ln x −       x2 d ln x       =
                          2                    2
             1                       1           1             x2
           =      x2 ln x −        2
                                  x · dx       =       2
                                                      x ln x −          +C =
             2                       x           2             2
                                                                      x2 ln x x2
                                                                    =        −   + C.
                                                                         2     4


10                                               §1. оЕПРТЕДЕМЕООЩК ЙОФЕЗТБМ. . .

     рТЙНЕТ 19.       x arctg 2x dx. рХУФШ u(x) = arctg 2x, v (x) = x, ФПЗДБ

                        1             1 2
      x arctg 2x dx =        arctg 2x dx2 =
                                         x · arctg 2x−
                        2             2
                 2               1  2                 2x2
          − x d arctg 2x =         x arctg 2x −               dx =
                                 2                 1 + (2x)2
             1      2           1 4x2 + 1      1        1
           =       x arctg 2x −      2+1
                                          dx +         2+1
                                                             dx =
             2                  2 4x           2 4x
             x2 arctg 2x 1       1    d2x       x2 arctg 2x 1
          =              − x+                 =             − x+
                   2        4    8 (2x)2 + 1         2         4
                                                             1
                                                          + arctg 2x + C.
                                                             8
                                                          √
   III. рТЙ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙЙ ЖХОЛГЙК eax sin bx, eax cos bx, ax2 + b ЙОФЕЗТЙ-
ТПЧБОЙЕ РП ЮБУФСН РТЙНЕОСЕФУС ДЧБ ТБЪБ. чЩЮЙУМЕОЙЕ ЙОФЕЗТБМБ УЧПДЙФУС
Л ТЕЫЕОЙÀ БМЗЕВТБЙЮЕУЛПЗП ХТБЧОЕОЙС РЕТЧПК УФЕРЕОЙ.
   рТЙНЕТ 20.

      ex cos x dx =     cos x dex = ex cos x −    ex d cos x =

               = ex cos x +       ex sin x dx = ex cos x +    sin x dex =

        = ex cos x + ex sin x −      ex d sin x = ex cos x + ex sin x −     ex cos x dx.

пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ I =          ex cos x dx. рЕТЕРЙЫЕН РПУМЕДОЕЕ ТБЧЕОУФЧП Ч ЧЙДЕ:
                               I = ex cos x + ex sin x − I,
ТЕЫБС ЬФП ХТБЧОЕОЙЕ, РПМХЮЙН
                                2I = ex cos x + ex sin x,
                                   1
                               I = (ex cos x + ex sin x),
                                   2
ПФУÀДБ ЙНЕЕН:
                                ex
                            ex cos x dx =
                                   (cos x + sin x) + C.
                                 2
   ъБНЕЮБОЙЕ. рТЙ ЙОФЕЗТЙТПЧБОЙЙ ЖХОЛГЙК ЧЙДБ eax sin bx, eax cos bx ЙО-
ФЕЗТЙТПЧБОЙЕ РП ЮБУФСН РТЙНЕОСЕФУС ДЧБ ТБЪБ, РТЙЮЕН Ч ПВПЙИ УМХЮБСИ Ч
ЛБЮЕУФЧЕ НОПЦЙФЕМС u(x) ВЕТЕФУС ЖХОЛГЙС ПДОПЗП Й ФПЗП ЦЕ ФЙРБ: РПЛБЪБ-
ФЕМШОБС ЙМЙ ФТЙЗПОПНЕФТЙЮЕУЛБС.



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика