Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Подготовительные курсы по математике в СУНЦ НГУ для учащихся 9-х классов: Учебное пособие

Голосов: 13

Пособие предназначено для учащихся 9 классов общеобразовательных школ, желающих расширить и углубить свои знания и умения в математике с целью продолжения обучения в старших классах на уровне высшего среднего, будь то самостоятельная работа, учеба в профильных классах и школах, или индивидуальные занятия с опытным преподавателем. По материалам настоящего пособия проводятся занятия на вечерних подготовительных курсах для поступления в СУНЦ НГУ. Данный курс, с одной стороны, может быть использован для самостоятельных занятий, с другой стороны, при работе в классе он может помочь подготовить мышление ребят к качественному восприятию того объема знаний и такого стиля преподавания, которые их ждут в случае поступления в Специализированный учебно-научный центр НГУ. Подборка задач осуществлена преподавателями Специализированного учебно-научного центра НГУ, желающими видеть своих вновь приходящих учеников знающими и понимающими важные математические факты и понятия, готовыми слушать и слышать математические рассуждения. Электронная версия пособия размещена на сайте Областного центра работы с одаренными детьми (<a href="http://www.nrc-rodnik.ru" target="_blank">www.nrc-rodnik.ru</a>).

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
         ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ        УДК 330.1
  НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ      ББК 65.012
СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР НГУ

                                                 П 44

                                                  Подготовительные курсы по математике в СУНЦ НГУ для уча-
                                              щихся 9-х классов. Учеб. пособие / Д. Г. Храмцов, Г. Я. Куклина,
                                              А. Ю. Авдюшенко. 2-е изд., исп. Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск,
                                              2010. 76 с.


                                                  Пособие предназначено для учащихся 9 классов общеобразова-
                                              тельных школ, желающих расширить и углубить свои знания и уме-
                                              ния в математике с целью продолжения обучения в старших классах
 ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ КУРСЫ ПО МАТЕМАТИКЕ         на уровне высшего среднего, будь то самостоятельная работа, учеба
              В СУНЦ НГУ                      в профильных классах и школах, или индивидуальные занятия с
        ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССОВ                опытным преподавателем.
                                                  По материалам настоящего пособия проводятся занятия на ве-
                 Учебное пособие              черних подготовительных курсах для поступления в СУНЦ НГУ.
           Издание второе, исправленное


                                                        Под редакцией А. А. Никитина, А. С. Марковичева


                                                                             Рецензент
                                                                 к.ф.-м.н., доцент М. Г. Пащенко




                                                                        © Новосибирский государственный
                                                                          университет, 2010
                                                                        © СУНЦ НГУ, 2010
                  Новосибирск                                           © Храмцов Д. Г., Куклина Г. Я.,
                     2010                                                 Авдюшенко А. Ю., 2010


                  Подготовительные курсы по математике         3

                           Предисловие
    В Новосибирском государственном университете и Специали-
зированном учебно-научном центре НГУ накоплен значительный
опыт довузовской работы со школьниками. В течение многих деся-
тилетий преподаватели НГУ участвуют в проведении олимпиад
разного уровня; успешно работают подготовительные курсы для
будущих абитуриентов и заочная школа; ежегодно проводится Лет-
няя физико-математическая школа, через которую осуществляется
набор учащихся в СУНЦ НГУ; проходят Летние школы Юных про-
граммистов; ведутся факультативные и кружковые занятия в ряде
школ Новосибирска. Более десяти лет назад в ответ на запросы
учащихся и родителей на подготовительных курсах НГУ приступи-
ли к занятиям по математике, физике и химии со школьниками де-
вятых классов, желающими поступить в СУНЦ НГУ.
    Предлагаемое учебное пособие в определенной мере отражает
опыт занятий по математике на подготовительных курсах СУНЦ
НГУ и включает в себя темы и задачи, которые могут быть условно
разнесены на три раздела:
    – углубление школьного курса;
    – факультативный материал;
    – олимпиадные задачи начального уровня.
    Учебное пособие рассчитано на учащихся девятых классов об-
щеобразовательных школ, желающих расширить и углубить свои
знания и умения по математике с целью продолжить свое обучение
в старших классах на уровне выше среднего, будь то самостоятель-
ная работа или учеба в профильных классах и школах.
    Предлагаемое учебное пособие является продолжением и уг-
лублением первого издания материалов подготовительных курсов
по математике в СУНЦ НГУ для учащихся девятых классов. Добав-
лены краткие тезисы теоретического материала в текстах занятий,
где это нам показалось необходимым, а также количество предла-
гаемых задач стало существенно больше – как в самих классных
занятиях, так и в домашних заданиях.
    Большая часть предлагаемых задач заимствована из приведен-
ного в пособии списка литературы, но есть и немало авторских,
принадлежащих перу Д. Г. Храмцова, задач, предлагавшихся на
Всесибирской олимпиаде школьников, в Летней школе СУНЦ НГУ
и других олимпиадах такого уровня. Часть используемых заданий
взята из пособий Заочной физико-математической школы при


4                             Учебное пособие                                                Подготовительные курсы по математике            5

СУНЦ НГУ прошлых лет, авторам и разработчикам которых мы                                                                            Занятие 1.
выражаем искреннюю благодарность.                                                                                                    Вводное
     В результате доработки пособие оказывается более полезным для сис-
темы дополнительного образования тех, кто стремится к качественному           1. Вообразим, что Земной Шар обтянут по экватору обручем и
овладению математическими знаниями дополнительно к школьному курсу.       что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кру-
     Пособие может быть интересным и для тех, кто уже определил-          гу. Далее, вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась
ся в своих увлечениях, и для тех, кто еще только собирается это           на 1 м. Тогда, разумеется, обручи отстанут от поверхности тел, ко-
сделать. Ученики, родители, учителя имеют возможность идти                торые они раньше стягивали, и образуется некоторый зазор. Спра-
дальше по предлагаемым конспектам, используя опыт, накопленный            шивается, в каком случае этот зазор будет больше?
более десяти лет в работе с сотнями школьников, которые успешно               2. Участники заседания обменялись рукопожатиями, и кто-то
прошли данные курсы и продолжали и/или продолжают успешное                подсчитал, что всего рукопожатий было 66. Сколько человек яви-
обучение в Специализированном учебно-научном центре НГУ, в                лось на заседание?
Новосибирском государственном университете и так далее.                       3. С помощью циркуля и линейки разделить отрезок на три рав-
     Данный курс, с одной стороны, может быть использован для             ные части.
самостоятельных занятий, с другой стороны, при работе в классе он             4. Показать, что в любой выпуклый четырехугольник можно
может помочь подготовить мышление ребят к качественному вос-              вписать параллелограмм.
приятию того объема знаний и такого стиля преподавания, которые               5. Сколько существует всего трехзначных чисел?
их ждут в случае поступления в Специализированный учебно-                     6. Решить неравенство и отметить промежутки на числовой оси:
научный центр НГУ. Подборка задач осуществлена преподавателя-                      x ⋅ ( x + 1)
ми Специализированного учебно-научного центра НГУ, желающи-                                          ≥ 0.
ми видеть своих вновь приходящих учеников знающими, умеющи-
                                                                               ( x − 1) ⋅ ( 2 x − 3)
ми и понимающими важные математические факты и понятия, гото-                 7. Разность двух целых чисел умножили на их произведение.
выми слушать и слышать математические рассуждения.                        Могло ли получиться число 2005?
     Процесс усвоения новых математических идей или методов, как              8. По дереву ползет гусеница. За день она поднимается на 6 м, а
правило, требует времени для ознакомления, привыкания, осозна-            за ночь – спускается на 4 м. За сколько дней она доползет до верши-
ния и включения этого нового в ежедневные действия и умственные           ны, если высота дерева 14 м?
усилия по решению задач. Благодаря определенной последователь-                                     Домашнее задание 1
ности подобранных задач можно постепенно продвигаться по сту-
пенькам некоторой воображаемой винтовой лесенки, знакомясь с                  1. Упростить выражение:
новой идеей, затем через некоторое время, узнавая ее в новой задаче           ⎛ 6a           2      4 ⎞ ⎛ a 2 + 4b 2     ⎞
                                                                              ⎜ 2        +       −       ⎟:⎜ 2        − 1⎟ .
и, наконец, применяя ее самому на одном из следующих этапов работы.           ⎝ a − 4b
                                                                                       2
                                                                                           2b − a a + 2b ⎠ ⎝ a − 4b 2
                                                                                                                         ⎠
     Хочется надеяться, что пособие поможет всем, кто к этому стре-
                                                                              2. На овощной базе имелся крыжовник, влажность которого со-
мится, стать более уверенным в своих математических знаниях и уме-
                                                                          ставляла 99 %. За время хранения влажность стала 98 %. На сколько
ниях, более способным к решению необычных и нестандартных задач.
                                                                          процентов уменьшилась масса крыжовника?
     Задачи подбирались на свой «вкус», мы будем рады, если они
                                                                              3. Прямая MN проведена через точку пересечения диагоналей
вам тоже понравятся.
                                                                          трапеции параллельно ее основаниям. Найти MN , если основания
     Пробуйте, наслаждайтесь, а далее – подбирайте себе новые за-
дания уже самостоятельно!                                                 равны a и b .
                             Желаем успехов!                                  4. Построить графики функций:


6                                 Учебное пособие                                                        Подготовительные курсы по математике              7


    а) y = x + x − 1 ;        б) y = x − 1 − 1 .                                         5. Постройте график функции: y = x − 1 − 1 − 1 .
   5. Разложить на множители выражение: n 4 + n 2 + 1 .                                  6. Изобразите множество точек на плоскости, координаты кото-
   6. Сумму двух целых чисел умножили на их произведение.                            рых удовлетворяют соотношению: x + y = 1 .
Могло ли получиться число 2007?                                                          7. Изобразите множество точек на плоскости, координаты кото-
                                         Занятие 2.                                  рых удовлетворяют соотношению: ( x + y − 1) ⋅ ( x − y − 1) = 0 .
                       Графики известных функций,                                                               Домашнее задание 2
                          преобразование графиков.
         Графики функций, содержащих знак модуля.                                        1. Изобразить множество точек на плоскости: | x + y |= 1 .
         Множества точек на координатной плоскости                                       2. Построить график функции: y =| 2 x − 1 | + | x | + | 2 x + 1 | .
                                                                                         3. Из молока жирностью 5 % делают творог жирностью 15,5 %,
    Нужно уметь строить:                                                             при этом остается сыворотка жирностью 0,5 %. Определить, сколь-
    1. График линейной функции.                                                      ко творога получается из 1 т молока.
    2. График гиперболы.                                                                                                                             999

    3. График параболы.                                                                  4. Определить, какой цифрой заканчивается число 9999999 .
    4. Преобразования графиков.                                                          5. Разложить на множители выражение: x 7 + x 2 + 1 .
    5. Графики с модулями.                                                               6. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить меж-
                                                                                     ду ними знаки « + » и « − » так, чтобы в результате получился 0?
                                      Задачи
    1. Построить графики функций:                                                                                                      Занятие 3.
           1                                                                                                              Принцип Дирихле. Начало
       у = ( х + 1) + 2 ,
                   2

           2
             3                                                                          Если известно, что в k клетках сидит ( k + 1) кролик, то суще-
       у=       +1,
           х −1                                                                      ствует клетка, в которой сидит не менее двух кроликов.
       у = 2 х −1 −1,
                                                                                          1. В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и бело-
       у = 2 х −1 −1 ,                                                               го. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка всле-
                                                                                     пую, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?
       у = 2 ( х − 1) − 2 ,
                    2

                                                                                          2. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, при-
             3                                                                       чем в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно
       у=       +1 .                                                                 ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?
           х −1
                                                                                          3. В коробке лежат цветные карандаши: 10 красных, 8 синих,
    2. Постройте график функции: y = 1 − 2 x .                                       8 зеленых, 4 желтых. В темноте берем из коробки карандаши. Какое
                                                                                     наименьшее количество карандашей надо взять, чтобы среди них
                                               ( x + 1)           ( x − 1)
                                                          2                  2
    3. Постройте график функции: y =                          +                  .
                                                                                     заведомо было не меньше четырех карандашей одного цвета?
    4. Постройте график функции: y = x 2 + 2 x − 8 .                                      4. В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть
                                                                                     класс, в котором не менее 34-х учеников.


8                            Учебное пособие                                                Подготовительные курсы по математике            9

    5. Докажите, что из любых трех целых чисел можно найти два,             3. Докажите, что из любых 10 чисел можно выбрать несколько,
сумма которых делится на два.                                           сумма которых делится на 10.
    6. Докажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два,            4. Докажите, что никакая прямая не может пересекать все три
разность которых делится на 5.                                          стороны треугольника.
    7. Пятнадцать мальчиков собрали вместе 100 орехов. Докажите,            5. Какое наибольшее число королей можно поставить на шах-
что какие-то двое из них собрали одинаковое количество орехов.          матной доске так, чтобы они не «били» друг друга?
    8. В квадрат со стороной 1 м бросили произвольным образом               6. На кафтане площади 1 расположены 4 заплаты, площадь ка-
51 точку. Доказать, что квадратиком 20×20 см2 можно накрыть ка-         ждой из которых не менее 5/8. Докажите, что какие-то две из них
кие-то три точки.                                                       имеют общую часть площади не менее 1/3.
                                                                            7. На организационном собрании Всероссийского общества ту-
                          Домашнее задание 3
                                                                        пых 47 делегатов из 12 регионов второй день пытаются рассесться
     1. Докажите, что в любой момент однокругового чемпионата           за круглым столом так, чтобы среди любых 15 сидящих подряд де-
(т. е. каждая команда сыграет с каждой один раз) найдутся две ко-       легатов были представители всех регионов. Смогут ли они это сде-
манды, сыгравшие одинаковое число матчей.                               лать и приступить, наконец, к делу?
     2. Верно ли, что среди любых 34 разных натуральных чисел, не           8. Внутри прямоугольника 19 Ч 82 размещено 160 квадратов
превосходящих 50, всегда можно выбрать два числа, одно из кото-         1 Ч 1. Доказать, что можно выделить круг радиуса 1, целиком лежа-
рых вдвое больше другого?                                               щий внутри прямоугольника и не пересекающийся ни с одним из
     3. Рыночная цена картофеля в связи с ненастной погодой повы-       этих квадратов.
силась на 20 %. Через некоторое время цена картофеля понизилась
                                                                                                  Домашнее задание 4
на 20 %. Когда картофель стоил дешевле: до повышения или после
снижения цены и на сколько процентов?                                       1. Числа 1, 2, ..., 7 разбиты на две группы. Докажите, что произ-
     4. Сумма четырехзначного числа и трехзначного числа равна          ведение чисел хотя бы в одной из групп меньше 72.
7136. Если зачеркнуть левую цифру первого числа, то получится               2. Доказать, что биссектрисы двух внешних и одного внутрен-
второе. Найти эти числа.                                                него угла треугольника пересекаются в одной точке.
     5. Решить в натуральных числах уравнение: x 2 − y 2 = 31 .             3. Построить график функции: у = х − 2 + х + х + 2 + х + 4 .
     6. В классе 33 ученика, а сумма их возрастов составляет 430 лет.                                            2 х −3
Справедливо ли, что найдутся в классе 20 учеников, сумма возрас-            4. Построить график функции: у =            .
                                                                                                                 3 х −2
тов которых больше 260 лет?
                                                                            5. В какое наименьшее число цветов можно окрасить клетки
                                               Занятие 4.               бесконечного клетчатого листа бумаги так, чтобы любые четыре
                            Принцип Дирихле. Продолжение                клетки, расположенных в виде буквы «т» – одна в центре и три со-
                                                                        седних с ней по стороне – были окрашены в разные цвета?
    1. В бригаде 7 человек и их суммарный возраст – 332 года. До-           6. На клумбе растет 51 цветок так, что из любых трех цветков
кажите, что из них можно выбрать трех человек, сумма возрастов          некоторые два находятся на расстоянии не более 1 м друг от друга.
которых не меньше 142 лет.                                              Доказать, что есть круг радиуса 1 м, в котором растет не менее
    2. Даны 8 различных натуральных чисел, каждое из которых не         26 цветков.
больше 15. Доказать, что среди их попарных разностей найдутся три
одинаковых.


10                           Учебное пособие                                               Подготовительные курсы по математике           11

                                                       Занятие 5.          6. Сплав меди и олова весит 18 кг, в нем 55 % меди. Сколько
                                                      Делимость        килограммов олова надо добавить, чтобы содержание меди умень-
                                                                       шилось до 45 %?
    1. Делится ли число 29 × 3 на 2? А на 5? На 6? Делится ли число                                                        Занятие 6.
22 × 33 × 55 на 120?                                                                                          Делимость и остатки
    2. Число a не делится на 3. Может ли делиться на 3 число 2a ?
    3. Число a четно. Верно ли, что число 3a делится на 6?                 Определение 1. Число а делит число b (a|b) или число b делится
                                                                       на а, если существует число x такое, что ax = b , где a, b, x – целые
    4. Число 5a делится на 3. Верно ли, что число a делится на 3?
                                                                       числа.
    5. Число 15a делится на 6. Верно ли, что число a тоже делится
                                                                           Свойства:
на 6?
                                                                              a|a,
    6. Может ли в разложении числа n 2 на простые множители со-               a|b и b|a => |a|=|b|,
держаться ровно 5 троек?                                                      a|b и b|c => a|c,
    7. Если число a делится на 3 и на 4, то следует ли отсюда, что            a|b => a|bc,
оно делится и на 12? А если число a делится на 4 и на 6, то следует           a|b и a|c => a|(b+c).
ли отсюда, что оно делится на 24?                                          Пусть a, b – целые числа, b ≠ 0 . Тогда существуют единствен-
    8. Докажите, что произведение любых трех последовательных          ные целые числа q, r такие, что a = bq + r , причем 0 ≤ r < b .
натуральных чисел делится на 6.
    9. Может ли число, записанное при помощи 100 единиц, 100 двоек         Определение 2. Целое число p называется простым, если оно де-
и 100 троек, быть точным квадратом?                                    лится только на 1 и на само себя.
                                                                           Число называется составным, если оно не простое.
    10. Докажите, что: а) число n 3 − n делится на 3; б) n 3 − n де-
лится на 24 для любого нечетного n.                                        Основная теорема арифметики
    11. Произведение любых пяти последовательных чисел делится                Всякое натуральное число n однозначно (с точностью до пе-
на 120. Докажите это.                                                         рестановки множителей) раскладывается в произведение про-
    12. Докажите, что число, составленное из пятидесяти пяти еди-             стых чисел.
ниц, является составным.                                                   Пусть m > 0 , m – натуральное число.
                         Домашнее задание 5                                Определение 3. x ≡ y ( mod m ) , если m | ( x − y ) .
                                                                           Свойства:
    1. Решите уравнение в натуральных числах: x 2 − y 2 = 303 .               x ≡ x ( mod m ) ,
                           1     1                                            x≡ y⇒ y≡ x,
    2. Решить неравенство: >         .
                           х х +1                                             x≡ y, y≡z⇒x≡z,
    3. Докажите, что в выпуклом n-угольнике не может быть боль-
ше трех острых углов.                                                         0, 1,…, m − 1 – возможные остатки при делении на m.
    4. Доказать, что из любого двадцатизначного числа, в записи            Остатки суммы (произведения) двух чисел равны сумме (произ-
которого нет нулей, можно вычеркнуть несколько цифр так, чтобы         ведению) остатков. Признаки делимости на 3, 9 (сравнимость числа
получившееся число делилось на 37.                                     со своей суммой цифр при делении на 9).
    5. Докажите, что если a 2 + 5ab + b2 делится на 7, то и a 2 − b2
делится на 7.


12                            Учебное пособие                                            Подготовительные курсы по математике          13

                                  Задачи                                   3. Медиана mа в треугольнике равна половине стороны а тогда
    1. Пусть y = 100k − 16 , k – целое число. Найти остатки при де-   и только тогда, когда угол А в треугольнике прямой. Центр описан-
лении у на 100, 5.                                                    ной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
    2. Докажите, что остаток при делении простого числа на 30 –            4. Геометрическое множество точек (ГМТ), из которых отрезок
простое число или 1.                                                  виден под углом 90°, – окружность.
    3. Найти остаток от деления числа 1999·2000·2001 + 20013 на 7.         5. Подобные треугольники в прямоугольном треугольнике. По-
    4. Найти остаток от деления числа 12100 на 13.                    строение квадрата, равновеликого данному прямоугольнику.
    5. Найти остаток от деления числа 27+28+29+210 на 5.                   6. Тригонометрические функции в прямоугольном треугольни-
    6. Найдите две последние цифры числа 19992003.                    ке – определения, свойства.
    7. Докажите, что если число ( a + 1) делится на 3, то число                                        Задачи
( 4 + 7a )тоже делится на 3.                                               1. Дана гипотенуза с и радиус r вписанной в прямоугольный
     8. Пусть n, m – натуральные числа, m ≠ 1 . Известно, что число   треугольник окружности. Найти площадь треугольника.
                                                                           2. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной ок-
( 7n + 1) делится на m и число (8n + 3) делится на m. Найдите m.
                                                                      ружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найти ка-
                            Домашнее задание 6                        теты треугольника.
                                                                           3. В прямоугольный треугольник с катетами а и b вписан квад-
    1. Решить уравнение: x + 3 − 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 1 .      рат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найти пери-
    2. Докажите, что квадрат любого натурального числа либо де-       метр квадрата.
лится на 9, либо дает при делении на 3 остаток 1.                          4. Дан треугольник со сторонами 6, 8 и 10 см. Найти расстояние
    3. Докажите, что для любого натурального числа n выражение        между центрами описанной и вписанной окружности.
                                                                           5. Окружность касается большего катета прямоугольного тре-
n + 6n делится на 7.
 7
                                                                      угольника, проходит через вершину противолежащего острого угла
    4. Докажите, что существует число, состоящее из одних единиц,
                                                                      и имеет центр на гипотенузе треугольника. Каков радиус окружно-
делящееся на 2007.
                                                                      сти, если длины катетов равны 5 и 12?
    5. Трехзначное число abc делится на 37. Докажите, что сумма            6. Длина высоты, проведенной к основанию равнобедренного
чисел bca и cab тоже делится на 37.                                   треугольника, равна 25 см, а радиус вписанной окружности равен
    6. Доказать, что квадрат любого натурального числа при деле-      8 см. Найти длину основания треугольника.
нии на 4 дает остатки либо 0, либо 1.                                      7. Внутри прямого угла дана точка М, расстояния от которой до
                                                                      сторон угла равны 4 и 8 см. Прямая, проходящая через точку М, от-
                                           Занятие 7.                 секает от прямого угла треугольник площадью 100. Найти катеты
                                       Планиметрия.                   этого треугольника.
                Решение прямоугольных треугольников                        8. На большем катете прямоугольного треугольника, как на
                                                                      диаметре, построена окружность. Определить радиус этой окружно-
                                   Факты                              сти, если меньший катет треугольника равен 7,5 см, а длина хорды,
     1. Теорема Пифагора.                                             соединяющей вершину прямого угла с точкой пересечения гипоте-
            1    1                                                    нузы и окружности, равна 6 см.
     2. S = ab = chc .
            2    2


14                             Учебное пособие                                                 Подготовительные курсы по математике        15

                             Домашнее задание 7                                 7. Основания двух правильных треугольников со сторонами а и
                                                                            3a лежат на одной и той же прямой. Треугольники расположены по
     1. Длины катетов прямоугольного треугольника равны a и b .
                                                                            разные стороны от прямой и не имеют общих точек, а расстояние
На его гипотенузе, как на стороне во внешнюю сторону треугольни-
                                                                            между ближайшими концами их оснований равно 2a . Найти рас-
ка построен квадрат. Найдите расстояние от вершины прямого угла
до центра квадрата.                                                         стояние между вершинами треугольников, не принадлежащими
                                                                            данной прямой.
     2. Стальную плитку размерами 19 × 79 обвели карандашом на
                                                                                8. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сто-
бумаге. Найдите центр полученного прямоугольника, имея в распо-
                                                                            рону на отрезки длиной 4 и 2 см, а высота, проведенная к той же
ряжении только эту плитку и карандаш.
     3. Найдите площадь квадрата, вписанного в равносторонний               стороне, равна 15 см. Каковы длины сторон треугольника, если
треугольник со стороной a .                                                 известно, что они выражаются целыми числами?
                                          |x|                                                          Домашнее задание 8
     4. Построить графики функций: а) y =     − 1 ; б) y =| x − 2 | − x .
                                           x
                                                                                1. Построить биссектрису угла с недоступной вершиной.
     5. Натуральные числа a и b таковы, что 34a = 43b . Докажите,
                                                                                2. Дан параллелограмм OABC . Проведена прямая, которая от-
что число a + b – составное.
                                                                            секает от стороны OA одну треть, а от стороны OC одну четверть,
     6. Докажите, что найдется степень тройки, заканчивающаяся на
                                                                            считая от вершины O . Какую часть эта прямая отсекает от диаго-
001.
                                                         Занятие 8.         нали OB ?
                     Планиметрия. Параллельные прямые                           3. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла
                                                                            делит гипотенузу в отношении 1: 3 . В каком отношении делит ее
                                   Задачи                                   высота, опущенная из прямого угла?
     1. С помощью циркуля и линейки разделить отрезок на четыре                 4. Решите неравенство: | x 3 − 1 |> 1 − x .
равные части.                                                                   5. Докажите, что любое натуральное число можно представить
     2. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной             в виде отношения квадрата к кубу натурального числа.
точке и делятся этой точкой в отношении 2 :1 , считая от вершины                6. Двадцать пять школьников стоят в ряд. Самый левый школь-
треугольника.                                                               ник выше самого правого. Докажите, что найдется школьник, у ко-
     3. Доказать, что для трапеции следующие четыре точки: сере-            торого левый сосед выше правого.
дины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения
продолжений боковых сторон – лежат на одной прямой.                                                                    Занятие 9.
     4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного тре-                                 Замечательные точки в треугольнике
угольника, равна m и делит прямой угол в отношении 1: 2 . Найти
                                                                                                               Задачи
стороны треугольника.
     5. На сторонах квадрата вне его построены правильные тре-                  1. Дать три эквивалентных определения биссектрисы.
угольники, и их вершины последовательно соединены. Найти отно-                  2. Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в од-
шение периметра полученного четырехугольника к периметру дан-               ной точке – центре вписанной окружности.
ного квадрата.                                                                  3. Доказать, что биссектриса угла в треугольнике делит проти-
     6. Основания трапеции равны 4 и 16 см. Найти радиусы окруж-            волежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим к
ностей, вписанной в трапецию и описанной около нее, если извест-            данному углу сторонам.
но, что эти окружности существуют.


16                          Учебное пособие                                               Подготовительные курсы по математике     17

     4. Срединные перпендикуляры в треугольнике пересекаются в           2. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательно-
одной точке – центре описанной окружности. Докажите это.             стей орлов и решек можно при этом получить?
     5. Высоты треугольника пересекаются в одной точке – ортоцен-        3. Сколько всего пятизначных чисел?
тре. Докажите это.                                                       4. Сколько существует последовательностей из n различных чи-
     6. Доказать, что треугольник, отсекаемый от заданного тре-      сел?
угольника отрезком, соединяющим основания двух высот, подобен            5. Сколькими способами можно в классе из 30 человек выбрать
исходному треугольнику.                                              актив из трех человек: командира, культорга, спорторга?
     7. Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный тре-          6. Сколько различных «слов» можно получить из слова «пара-
угольник с катетами а и b, гипотенузой c.                            бола»?
     8. С помощью одной линейки опустить перпендикуляр из точки          7. Сколькими способами можно располо-
М на диаметр полукруга АВ.                                           жить на шахматной доске 2 ладьи, чтобы они не
                                                                     «били» друг друга?
                          Домашнее задание 9
                                                                         8. Сколько различных кратчайших путей из
    1. Пусть точка О – точка пересечения диагоналей выпуклого        левого нижнего угла в правый верхний?
четырехугольника ABCD . Известно, что площади треугольников
                                                                                                 Домашнее задание 10
 AOB и COD равны. Доказать, что AD || BC .
                                                                        1. Решите уравнение: ( x − 1) + 2 ⋅ ( x 2 − 2 x ) = 22 .
                                                                                                         4
    2. В треугольнике ABC провели высоты AP и BQ . Известно,
что AB = 2 PQ . Найдите угол C.                                          2. Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольный
    3. На сколько нулей оканчивается число 100! ?                    участок земли, отгороженный с трех сторон забором длины 300 м?
    4. Баба-Яга и Кащей собрали некоторое количество мухоморов.          3. Дано, что а, b, с – три различные цифры. Если сложить все
Количество крапинок на мухоморах Бабы-Яги в 13 раз больше, чем       шесть двухзначных чисел, которые можно записать с их помощью,
на мухоморах Кащея, но после того, как Баба-Яга отдала Кащею         не повторяя одну и ту же цифру в числе дважды, то получим 528.
свой мухомор с наименьшим числом крапинок, на ее мухоморах           Найдите эти цифры.
стало крапинок только в 8 раз больше, чем у Кащея. Докажите, что         4. Заштриховать на координатной плоскости множество точек,
вначале у бабы-Яги было не более 23 мухоморов.                       координаты которых удовлетворяют соотношению
    5. Доказать, что среди чисел вида 210n + 1 где n – любое нату-                          ( х + у + 1)( у + 1 − х ) ≥ 0 .
ральное число, бесконечно много составных чисел.
                                                                         5. Решите систему уравнений:
    6. В выпуклом четырехугольнике АВСD биссектрисы углов А и
С пересекаются на диагонали ВD. Доказать, что биссектрисы углов                                  ⎧ x2 + y2 = 4z − 2
                                                                                                 ⎪ 2
В и D пересекаются на диагонали АС.                                                              ⎨x + z = 4 y − 2 .
                                                                                                         2

                                                                                                 ⎪ 2
                                                                                                 ⎩ y + z = 4x − 2
                                                                                                         2
                                                   Занятие 10.
                                               Комбинаторика
                                                                         6. Сколькими способами можно расположить на шахматной
                                 Задачи                              доске две ладьи разного цвета, чтобы они «били» друг друга?
    1. В магазине имеются 5 разных чашек, 3 разных блюдца, 4 раз-
личных чайных ложки. Сколькими способами можно купить два
предмета с разными названиями?


18                          Учебное пособие                                             Подготовительные курсы по математике          19

                                                Занятие 11.                                    Домашнее задание 11
                                        Олимпиадные задачи               1. Написано 1997-значное число. Каждое число, образованное
                                                                     любыми двумя его соседними цифрами, делится на 19 или на 31.
                                 Задачи                              Последняя цифра числа равна 2. Чему равна первая цифра?
                                                                         2. На клетчатом листе бумаги размером 10 на 10 клеток 60 кле-
      1. Расшифровать ребус.
                                                                     ток закрашены в черный цвет. Доказать, что всегда найдутся три
      2. Четыре ученицы: Мария, Нина, Ольга и
                                                                     соседних черных клетки, расположенных уголком (буквой «г», воз-
  Полина заняли на олимпиаде первые 4 места.
                                                                     можно, повернутой).
  На вопрос, кто из них какое место занял, они
                                                                         3. Доказать, что если каждая диагональ выпуклого четырех-
  ответили:
                                                                     угольника делит его на два треугольника равной площади, то этот че-
         Ольга – второе, Полина – третье;
                                                                     тырехугольник – параллелограмм.
         Ольга – первое, Нина – второе;
                                                                         4. Доказать, что из любых двенадцати отрезков, длины которых
         Мария – второе, Полина – четвертое.
                                                                     заключены между 1 и 100 см, всегда найдутся три, из которых мож-
     В каждом из ответов одна часть верна, а другая неверна, какое
                                                                     но составить треугольник.
место заняла каждая из учениц?
                                                                         5. Какое максимальное число прямых можно расположить на
     3. Прозвенел звонок с последнего урока, и ученики устремились
                                                                     плоскости так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с четырьмя
в столовую. Пошел туда и учитель. Ученики проголодались сильнее
                                                                     другими? Ответ обосновать.
и прибежали в столовую быстрее. В этот момент учитель прошел
                                                                         6. Школьный кружок по астрономии за год провел 20 занятий.
80 м. Но учеников без учителя кормить не стали, и они побежали
                                                                     На каждом занятии присутствовало ровно 6 школьников, при этом
назад. Когда они встретились с учителем, он прошел еще 16 м. Оп-
                                                                     никакие два школьника не встречались в кружке более одного раза.
ределите расстояние от класса до столовой.
                                                                     Доказать, что на занятиях кружка побывало не менее 25 разных
     4. Доказать, что площадь красного
                                                                     школьников.
( ∆DGB и ∆BHE ) равна площади синего
( ∆AGF и ∆FHC ), точки на сторонах                                                                                   Занятие 12.
прямоугольника выбираются произволь-                                                                 Игры. Четность, симметрия
но.
     5. Найти максимальное значение произведения ху, если извест-                                     Задачи
но, что x + 2 y = 1 .                                                    1. На плоскости расположено 11 шестеренок, соединенных по
                                                       1 1    4      цепочке. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно?
     6. Пусть x, y > 0 . Докажите неравенство + ≥               .        2. Можно ли нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, каж-
                                                       x y x+ y
                                                                     дое звено которой пересекается ровно с одним из остальных?
     7. Найти все решения уравнения:
                                                                         3. Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр
                      x 2004 + 20052005 = x 2005 + 20052004 .        достоинством в 1, 3 и 5 рублей?
     8. Меньшая окружность касается внутренним образом большей           4. Произведение 22-х целых чисел равно 1. Может ли их сумма
окружности в точке A. Через произвольную точку M ≠ A меньшей         равняться нулю?
окружности проведена касательная, пересекающая большую ок-               5. Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол так, чтобы
ружность в точках B и C. Доказать, что AM – биссектриса угла BAC.    они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не смо-
                                                                     жет сделать очередного хода. Кто побеждает в данной игре, начи-
                                                                     нающий или его партнер?



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика