Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Занимательные математические задачи. Дополнительные занятия для учащихся 6 классов: Учебное пособие

Голосов: 77

Пособие предназначено для учащихся 6 классов общеобразовательных школ, желающих расширить и углубить свои знания и умения в математике как школьной, так и олимпиадной. В пособии предлагаются различные задачи по темам как школьным, так и олимпиадным. В зависимости от предпочтений взрослых можно выбирать как темы, так и уровни задач. В первую очередь, пособие может быть использовано как стартовый вариант при создании собственного курса дополнительных занятий для учащихся средних классов молодыми преподавателями, студентами и выпускниками университетов. Авторам представляется возможным также использование данного пособия школьными учителями математики в роли источника материалов для дополнительных, более углубленных занятий по математике. Кроме этого, родители ребенка или другие члены семьи, владеющие математическими знаниями, вполне могут использовать данное руководство (в совокупности с учебными пособиями как школьными, так и указанными в библиографии) как путеводитель для совместных занятий математикой со своими детьми. Электронная версия пособия размещена на сайте Областного центра работы с одаренными детьми (<a href="http://www.nrc-rodnik.ru" target="_blank">www.nrc-rodnik.ru</a>).

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
        ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ              УДК 330.1
 НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ            ББК 65.012
СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР НГУ

                                                      З 27

                                                    Занимательные математические задачи. Дополнительные заня-
                                                тия    для  учащихся      6   классов:     Учеб.   пособие / Сост.:
                                                А. М. Быковских, Г. Я. Куклина. 2-е изд., испр. Новосиб. гос. ун-т.
                                                Новосибирск, 2010. 88 с.


                                                    Пособие предназначено для учащихся 6 классов общеобразова-
                                                тельных школ, желающих расширить и углубить свои знания и уме-
                                                ния в математике как школьной, так и олимпиадной.
          Занимательные
      математические задачи
Дополнительные занятия для учащихся 6 классов
                                                             Под редакцией А. А. Никитина, А. С. Марковичева
                  Учебное пособие

             Издание второе, исправленное                                        Рецензент
                                                                     к.ф.-м.н., доцент М. Г. Пащенко




                                                                            © Новосибирский государственный
                                                                            Университет, 2010
                                                                            © СУНЦ НГУ, 2010
                                                                            © Быковских А. М., Куклина Г. Я., 2010

                    Новосибирск                   .
                       2010


                   Занимательные математические задачи          3   4                 Занимательные математические задачи

                                                                    если им вовремя не удалось окунуться в необходимую или просто
                                                     Предисловие    иную среду.
                                                                       Вопросы мотивации, равно как и выбора предпочтений, могут
   В Новосибирском государственном университете и Специализи-       решаться разными путями. Нам представляется, что данное пособие
рованном учебно-научном центре НГУ накоплен значительный            может быть полезным в нескольких аспектах.
опыт довузовской работы со школьниками. В течение многих деся-         Независимо от способностей развитое мышление способствует
тилетий преподаватели НГУ участвуют в проведении олимпиад           развитию личности молодого человека.
разного уровня; успешно работают подготовительные курсы для            Развивая логическое, в том числе и математическое, мышление
будущих абитуриентов и заочная школа; ежегодно проводится Лет-      ребенка мы создаем базу для более свободного выбора им своих бу-
няя физико-математическая школа, через которую осуществляется       дущих увлечений.
набор учащихся в СУНЦ НГУ; проходят Летние школы Юных про-             Нам представляется важным систематически заниматься с ребен-
граммистов; ведутся факультативные и кружковые занятия в ряде       ком математикой.
школ Новосибирска.                                                     Данное пособие следует за аналогичным пособием для учащихся
   Более десяти лет назад в ответ на запросы учащихся и родителей   пятых классов и в определенном смысле продолжает представлен-
на подготовительных курсах НГУ приступили к занятиям по мате-       ную там логику проведения занятий.
матике, физике и химии со школьниками девятых классов, желаю-          В пособии предлагается множество различных задач по темам
щими поступить в СУНЦ НГУ.                                          как школьным, так и олимпиадным. В зависимости от предпочтений
   Предлагаемое учебное пособие в определенной мере отражает        взрослых можно выбирать темы или уровни задач.
опыт занятий по математике со школьниками младших и средних            Родители ребенка или другие члены семьи, владеющие матема-
классов и включает в себя темы и задачи, которые могут быть ус-     тическими знаниями, вполне могут использовать данное руково-
ловно разнесены на три раздела:                                     дство (в совокупности с учебными пособиями как школьными, так и
   – углубление школьного курса;                                    указанными в библиографии) как путеводитель и как повод для со-
   – факультативный материал;                                       вместных занятий математикой со своими детьми.
   – олимпиадные задачи начального уровня.                             Нам представляется возможным использование данного пособия
   Стоит заметить, что в последние годы появилась возможность       и школьными учителями математики – в первую очередь в роли ис-
накапливать опыт работы со школьниками средних классов – в ряде     точника материалов для дополнительных, более углубленных заня-
случаев, когда родители учащихся обращались с просьбой об орга-     тий по математике.
низации индивидуальных или групповых занятий с целью, например,        Другим возможным вариантом применения пособия может быть
подготовки в дальнейшем к поступлению в физико-математическую       использование его для практических занятий, проводимых студен-
школу. В то же время высказывались мнения по поводу организации     тами университета, выпускниками физико-математической школы,
систематических занятий со школьниками более младших, чем де-       для учащихся шестых классов.
вятый, классов или создания некоторой системы, позволяющей ро-         В предлагаемом пособии наряду с олимпиадными задачами
дителям и учителям приобщить ребят к занятиям математикой через     предлагается продолжение начального знакомства с геометрией.
увлекательные занятия – интересные задачи и интересное общение с       Известно, что освоение чего-то нового требует времени на на-
заинтересованными взрослыми.                                        чальное привыкание, адаптацию к неизвестным ранее понятиям и
   Становится понятно, что в настоящее время ребята не всегда       объектам.
имеют возможность сделать верный выбор в своих увлечениях или          Нам показалось актуальным продолжать заниматься со школьни-
пристрастиях, разобраться в своих способностях и наклонностях,      ками шестого класса наряду с олимпиадной тематикой наглядной
                                                                    геометрией на плоскости и немного – геометрией в пространстве.


                  Занимательные математические задачи         5   6                  Занимательные математические задачи

Данное руководство, в частности, опирается на материал разно-
уровневых пособий, разработанных преподавателями НГУ и СУНЦ                                                Занятие 1.
НГУ и научными сотрудниками Сибирского отделения Академии                     Старинные русские занимательные задачи
наук [1].                                                                                     и шутки по математике
   Хотелось бы ввести ребят в геометрический курс на уровне ин-
туитивных понятий, познакомить их в первую очередь непосредст-       1. Два отца и два сына съели за завтраком три яйца, причем каж-
венно с задачами для выработки геометрического видения и интуи-   дому из них досталось по целому яйцу. Как это могло случиться?
ции до изучения теоретических обоснований основных геометриче-       2. Число 66 моментально увеличьте на половину этого числа.
ских фактов и теорем.                                                3. Четыре брата владели сообща одним ослом: каждому брату
                                                                  принадлежала одна нога этого животного. Случилось, что осел по-
                                                                  ранил ногу, принадлежащую брату Ивану. Нога разболелась, и осел
                                                                  не мог более работать. Так как от этого страдали и три других брата,
                                                                  то все четверо решили лечить осла сообща, для чего вздумали при-
                                                                  ложить к больной ноге паклю и поджечь ее. Когда они это сделали,
                                                                  осел, испугавшись огня и почувствовав боль, вырвался и бросился
                                                                  бежать, куда глаза глядят. Вскоре он очутился во владении одного
                                                                  помещика, где были сложены снопы хлеба. От горевшей пакли со-
                                                                  лома моментально вспыхнула, и весь сложенный хлеб сгорел. По-
                                                                  мещик потребовал от братьев возмещения понесенных им убытков в
                                                                  размере 300 руб. Кто из братьев, и в каком размере должен уплатить
                                                                  эту сумму?
                                                                     4. У помещика в погребе был шкаф, похо-
                                                                  жий по форме на квадрат, разделенный на 9
                                                                  ящиков (клеток). В среднем ящике была сложе-
                                                                  на пустая посуда, а в остальных были расстав-
                                                                  лены 32 бутылки вина так, что в каждом угло-
                                                                  вом ящике было по одной бутылке, а в каждом
                                                                  среднем ящике по семь бутылок (см. рис. 1).
                                                                  Словом, на каждой стороне квадрата было по 9            Рис. 1
                                                                  бутылок. Лакей помещика заметил, что скупой
                                                                  хозяин, проверяя число бутылок, считает только бутылки по сторо-
                                                                  нам квадрата. Для помещика важно лишь, чтобы на каждой стороне
                                                                  квадрата было по 9 бутылок. На следующий день лакей унес 4 бу-
                                                                  тылки, а остальные расставил так, чтобы на каждой стороне квадра-
                                                                  та шкафа получилось по 9 бутылок. Помещик вскоре пересчитал
                                                                  бутылки по-своему и не догадался, что четыре из них украдены. Ла-
                                                                  кей был рад этому и на следующей неделе снова унес 4 бутылки, а
                                                                  остальные расставил так, что на каждой стороне шкафа было опять
                                                                  по 9 бутылок. Помещик и тут не заметил пропажи. Тогда лакей и в


                     Занимательные математические задачи               7    8                  Занимательные математические задачи

3 раз украл 4 бутылки, а остальные расставил так, что на каждой             21 золотник (1 золотник равен приблизительно 4,266 г), в течение
стороне квадратного шкафа по-прежнему оставалось по 9 бутылок.              дня способна съесть такое количество земляных червей (каждый из
Как лакей расставлял бутылки после каждой кражи?                            которых длиной в один дюйм, весит 1/4 золотника), что все они, бу-
   5. Помещик, рассчитав, что корова стоит вчетверо дороже соба-            дучи разложены на земле, вытянулись бы на 2 сажени (1 сажень
ки, а лошадь вчетверо дороже коровы, захватил с собой в город               равна приблизительно 2,1336 м). Каков вес червей, съедаемых птич-
200 руб. и на все эти деньги купил собаку, две коровы и лошадь.             кой за день? Сравните его с весом птички.
Сколько стоит каждое из купленных животных?                                    2. Из двух городов, Нижнего Новгорода и Вязников, расстояние
   6. «Дедушка, сколько тебе лет?» – спросил деда внучек. – «А вот          между которыми 300 верст (1 верста равна приблизительно
прибавь к каждому полному десятку моих лет по 2 года и получишь             1,0668 км), в один и тот же день, час и в одну и ту же минуту выез-
84 года» – отвечал старик. Сколько лет деду?                                жают два велосипедиста и мчатся навстречу друг другу со скоро-
   7. Жили-были два брата близнеца. Один из них ежедневно спал              стью 50 верст в час каждый. С велосипедистом, выехавшим из Вяз-
1/3 часть суток, а другой – 1/4 часть суток. Дожили они так до 72-летнего   ников, в момент его отправления вылетает муха и летит тоже на-
возраста. Сколько лет за это время проспал каждый из них?                   встречу нижегородскому велосипедисту со скоростью 100 верст в
   8. Богач, умирая, завещал все свое состояние тому монастырю,             час. Встретив велосипедиста, она тотчас поворачивает назад и летит
который возьмется отслужить по нему столько заупокойных обеден,             навстречу первому. Повстречав того, муха все с той же скоростью
чтобы число их составляло половину числа лет, которые остались              летит обратно, пока не встретит снова второго велосипедиста. Так
монастырю существовать после смерти завещателя. Один мона-                  муха летала от одного велосипедиста к другому до тех пор, пока они
стырь взялся исполнить волю умершего. Как он это сделал?                    не встретились. Тогда она успокоилась и села на спину одного из
   9. Три брата пришли на постоялый двор и спросили себе кар-               них. Сколько верст пришлось пролететь мухе до встречи велосипе-
тошки. В ожидании, пока поспеет ужин, братья заснули. Первым                дистов?
проснулся старший брат и, увидав на столе блюдо с картошкой,                   3. Племянник спросил дядю, сколько тому лет. Дядя ответил:
съел свою долю и опять лег спать. Немного спустя проснулся сред-            «Если к половине моих лет прибавить 7, то узнаешь мой возраст
ний брат и, не подозревая, что старший брат уже поужинал, а думая,          13 лет тому назад». Сколько лет дяде?
что он начинает есть первым, съел свою долю и тоже лег спать. На-              4. Дети играли в лото на орехи. Ване очень не везло: он сыграл
конец, проснулся младший брат и, рассуждая так же, как и второй,            4 партии и, проиграв их все, отдал 255 орехов, при этом каждый раз
отсчитал свою долю, съел ее и лег спать. После него на блюде оста-          вчетверо больше, чем в предыдущий. Сколько орехов проиграл Ва-
лось еще 24 картофелины. Сколько всего было сварено картошки, и             ня в последнюю партию?
каким образом должны разделить братья оставшиеся картофелины?                  5. В школе учатся 13 детей. У мальчиков столько зубов, сколько
   10. Борода у человека растет, удлиняясь в неделю на 1/5 дюйма            у девочек пальцев на руках и на ногах. Сколько в школе мальчиков
(1 дюйм равен приблизительно 2,54 см). Предположим, что борода              и сколько девочек? Предполагается, что у каждого мальчика и каж-
растет с постоянной скоростью на протяжении всей жизни человека.            дой девочки по 32 зуба как у взрослых людей.
Какой длины достигла бы борода у мужчины, который не брился в                  6. Три брата разделили между собой 24 яблока так, что каждый
течение 30 лет?                                                             из них получил столько яблок, сколько ему лет. Младший брат, ко-
                                                                            торому досталось меньше всех яблок, остался недоволен и предло-
                           Домашнее задание 1                               жил братьям следующее: «Я оставлю себе только половину своих
                                                                            яблок, а остальные разделю между вами поровну, а затем пусть сна-
   1. Когда о ком-то хотят сказать, что он мало ест, говорят: «Он           чала средний, а потом и старший брат поступят так же, как и я».
ест, как птичка». Но такое сравнение весьма неудачно. В этом мож-           Братья, не подумав, согласились… и прогадали: яблок у всех в ре-
но убедиться на таком примере. Птичка (малиновка), которая весит            зультате оказалось поровну. Сколько лет было каждому из братьев?


                    Занимательные математические задачи              9   10                 Занимательные математические задачи

                                                  Занятие 2.                4. Уровень воды в реке за сутки повысился на 12 см, за следую-
                                   Координаты и ориентация               щие сутки понизился на 31 см, а за третьи сутки снова повысился на
                                                                         18 см. Найдите, как в итоге изменился уровень воды.
   1. Дана прямая АВ. Отметьте, что положительное направление               5. Колобок катился по прямоли-
на ней выбрано справа налево.                                            нейным отрезкам пути: сначала на
   2. Как указать направление при движении по окружности, на-            север, затем отклонился от этого
пример, по круговой беговой дорожке стадиона?                            курса на 45° вправо, потом повер-
   3. Отметьте на числовой прямой точку 4 и назовите точку, кото-        нул на 30° влево, после этого на 15°
рая находится на числовой оси: а) на 5 единиц вправо; б) на 5 еди-       вправо и затем на 80° влево. Опре-
                                                                                                                            Рис. 2
ниц влево.                                                               делите, в какую сторону, и на сколь-
   4. Укажите направление на дороге с помощью дорожных кило-             ко градусов от направления на север, колобок отклонился на по-
метровых столбов.                                                        следнем участке пути.
   5. Приведите известные Вам примеры, в которых положение                  6. Назовите, сколько углов имеет фигура, изображенная на рис. 2.
объекта задается двумя числами.
   6. При игре в «морской бой» корабли расставляют так, чтобы                                                                Занятие 3.
они не соприкасались друг с другом. Допустим, что противнику сра-                                                   Делители и кратные
зу удалось уничтожить все корабли, больше одной клеточки. Про-
тивник знает, что не нужно стрелять в клеточки, соседние с уничто-           1. Простые и составные числа.
женными кораблями. Найдите, какое наименьшее и какое наиболь-                2. Основная теорема арифметики.
шее число клеточек может остаться для поиска «подводных лодок».              3. Разложите числа 3072; 8136; 11440 на простые сомножители,
   7. Определите, на какие поля свободной шахматной доски может          используя понятие степени.
попасть за один ход с поля е4: а) король; б) ферзь; в) слон; г) ладья;       4. Определите, сколько нулей в конце записи произведения всех
д) пешка.                                                                чисел от 1 до 20.
   8. Чтобы измерить расстояние между двумя деревьями, отец и                5. Найдите простые делители чисел 111; 1001; 14400.
сын отошли от одного дерева, и дошли до второго дерева. Длина                6. Укажите все двузначные числа, разложение которых на про-
шага отца 70 см, длина шага сына 56 см. Найдите расстояние между         стые сомножители содержит только два сомножителя.
деревьями, если известно, что их следы совпали 10 раз, включая на-           7. Определите, сколько всего делителей имеют числа 2 ⋅ 3 ⋅ 5;
чало и конец.                                                            2 ⋅ 33 ; 99 .
                                                                           4


                                                                                                225 121 1111
                          Домашнее задание 2                                 8. Сократите дроби     ;    ;        .
                                                                                                285 1331 363363
   1. Укажите, какое из чисел на числовой оси расположено дальше             9. Определите все двузначные простые числа, записанные оди-
от числа −6: а) 2 или −8; б) 17 или 24; в) −13 или −15.                  наковыми цифрами. Объясните, почему не существует трехзначных
   2. Может ли шахматный слон за несколько ходов попасть с поля          простых чисел, записанных одинаковыми цифрами.
f2 на поле d7?                                                               10. К трехзначному числу припишите рядом его же, например,
   3. От Казани до Астрахани пароход идет 3 дня, а обратно паро-         123 123 и поделите получившееся шестизначное число на 13. Затем
ход идет 4 дня. Найдите, за сколько дней доплывут плоты от Казани        частное поделите на 11, и новое частное – на 7. Что при этом полу-
до Астрахани.                                                            чилось и почему?


                     Занимательные математические задачи              11   12                  Занимательные математические задачи

                          Домашнее задание 3                                  4. Поставьте вместо * знак < или > так, чтобы получилось вер-
                                                                           ное неравенство: а) −17 + (−31) * −17; б) 7 + (−9) * −3; в) (−12) + 11
   1. Число 82** делится на 90. Найдите делимое.                           + (−10) + 9 + (−8) + 7 + (−6) + 5 * 5.
   2. Найдите наименьшее число, которое при делении на 2 дает                 5. Температура воздуха на улице сначала поднялась на 7° , а за-
остаток 1, при делении на 3 – 2, на 4 – 3, на 5 – 4, на 7 – 6, на 8 – 7,   тем упала на 11° , затем снова поднялась на 3° , а потом упала на
на 9 – 8, на 10 – 9.                                                       4° . Вычислите, как в итоге изменилась температура.
   3. Если от задуманного числа отнять 11, то получившееся число              6. Первое слагаемое равно 3 248, второе больше его на 323,
разделится на 11. Если от задуманного числа отнять 7, то получив-          третье – на 129 больше второго, а четвертое равно сумме трех пер-
шееся число разделится на 7. Если от задуманного числа отнять 13,          вых. Найдите сумму всех четырех слагаемых.
то получившееся число разделится на 13. Найдите задуманное число.             7. Часы отстали на 7 минут 59 секунд и показывают 3 часа
   4. В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6,         23 секунды. Укажите, что должны показывать верные часы.
8, 12 и 14 лет старше самого младшего, причем возраст каждого ре-             8. На станции стояли два состава из одинаковых вагонов. В од-
бенка в годах выражается простым числом. Сколько лет младшему              ном составе было на 12 вагонов больше, чем в другом. Когда от ка-
ребенку в семье?                                                           ждого состава отцепили по 4 вагона, то длина первого состава ока-
   5. Выполнив домашнее задание по математике, Лена подготови-             залась в два раза больше длины второго. Найдите, сколько вагонов
ла и задачу на занятие математического кружка. Она нашла два дву-          было в каждом составе.
значных простых числа, получаемые друг из друга перестановкой                 9. Если при сложении нескольких чисел в одном из слагаемых в
цифр, а их разность – точный квадрат. Какие числа нашла Лена?              разряде десятков цифру 5 заменить на цифру 0, цифру 0 в разряде
   6. Подойдя к реке, путешественники, их было шестеро, попро-             единиц заменить на 9, а цифру 7 в разряде тысяч заменить на 4, то
сили владельца лодки переправить их на противоположный берег.              получится 33 212. Найдите, какова истинная сумма.
Так как к чужеземным деньгам лодочник питал недоверие, то путе-
шественники предложили ему в качестве платы имевшуюся у них                                          Домашнее задание 4
золотую цепочку, состоящую из шести звеньев. Лодочник согласил-
ся, но с условием, что перевозить он будет всех путешественников              1. Вычислите сумму: а) 9−10+11−
по одному, так как лодка выдерживает только двух человек, и плату          −12+13−14+15−16; б) 100 − (100 − (100 −
надо производить за каждый рейс по одному звену цепочки, причем            − (100−(100−1)))).
распилить можно не более одного звена. Путешественники, немного               2. Найдите, сколько четырехугольни-
подумав, выполнили такое условие. Как они при этом поступили?              ков изображено на рис. 3.                            Рис. 3
                                                                              3. Трое ребят имели поровну орехов. Когда каждый съел по
                                        Занятие 4.
                                                                           8 орехов, то у всех вместе осталось столько орехов, сколько было
    Целые числа. Сложение и вычитание целых чисел
                                                                           вначале у каждого. Найдите, сколько орехов было сначала у каждого.
                                                                              4. Брат и сестра имеют по некоторой сумме денег. Если брат от-
    1. Среди чисел, расположенных на числовой прямой между −8 и            даст сестре 24 руб., то у них станет денег поровну. Если же сестра
3, назовите: а) целые; б) натуральные; в) отрицательные числа.             отдаст брату 27 руб., то у брата окажется в два раза больше денег,
    2. Вычислите сумму: а) –1 + (−2) + (−3) + (−4) + (−5) + (−6) +         чем у сестры. Вычислите, сколько денег у каждого.
(−7) + (−8); б) −1 + 2 + (−3) + 4 +… + (−99) + 100.                           5. Часы с боем отбивают каждый час число ударов, равное числу
    3. Найдите, сколько двоек нужно прибавить к (−7), чтобы полу-          часов. Кроме того, они бьют один раз каждые полчаса (между це-
чилось 25.                                                                 лыми часами). Найдите, сколько ударов в сутки делают эти часы.


                      Занимательные математические задачи                13   14                      Занимательные математические задачи

   6. Найдите два натуральных числа, разность которых равна                                                                      Занятие 6.
9 254, а частное от деления одного числа на другое равно 27.                                               Умножение и деление целых чисел

                                             Занятие 5.                           1. Вычислите удобным способом значения выражений:
                              Геометрия на плоскости.                             а) 36 ⋅ 37 − 36 ⋅ 38 ;                б) 13 ⋅ 15 + 12 ⋅ 15 − 17 ⋅ 15 + 15 ⋅ 15 ;
                  Замечательные отрезки в треугольнике                            в) (−28−(−49)):(47−68);               г) 48 ⋅ 54 : 48 + 54 ⋅ 48 : ( −54) .
   1. Медиана треугольника.                                                       2. Поставьте вместо знака * знак < или > так, чтобы выполня-
   2. Биссектриса треугольника.                                               лось верное неравенство: а) (−42) 9*0; б) 11 (−12)*11; в) 0:15*−1;
   3. Высота треугольника.                                                    г) 51 (−17)* −17.
   4. Замечательные отрезки в различных типах треугольников:                      3. Одно число в три раза больше другого, а их полусумма равна
остроугольном, тупоугольном, равнобедренном, прямоугольном.                   46. Найдите эти числа.
   5. Свойства замечательных отрезков в треугольнике.                             4. В одном амбаре в три раза больше муки, чем в другом. Если
   6. Большой треугольник разбит тремя жирными                                из первого амбара взять 850 кг, а из второго 50 кг, то в обоих амба-
отрезками на четыре треугольника и три четырех-                               рах станет поровну. Найдите, сколько муки в каждом амбаре.
угольника, см. рис. 4. Сумма периметров четырех-                                  5. Определите, какой знак имеет число:
угольников равна 25 см. Сумма периметров четы-                                         ( −8) ⋅ ( −6) ⋅ 5          −123 : 41
                                                                                  а)                        ; б)              .
рех треугольников равна 19 см. Найдите сумму                                          4 ⋅ ( −3) ⋅ 2 ⋅ ( −1)      −147 : ( −7)
длин жирных отрезков. Ответ обоснуйте.                                            6. Из города одновременно в одном направлении выехали два
                                                                Рис. 4
   7. Разделите на семь частей с помощью циркуля и линейки угол               мотоциклиста. Скорость первого из них была больше скорости вто-
в 70° .                                                                       рого и составляла 72 км/ч. Через 25 минут расстояние между мото-
   8. Диаметр футбольного мяча больше размеров тетрадного лис-                циклистами было равно 5 км. Найдите скорость второго мотоциклиста.
та. Можно ли, прорезая лист, получить дыру, через которую прой-                   7. В записи 52*2* замените звездочки цифрами так, чтобы полу-
дет мяч?                                                                      ченное число делилось на 36. Укажите все возможные варианты.
                                                                                  8. Восстановите первоначальную запись в примере
                            Домашнее задание 5                                на умножение, рассматривая вначале выполняемое при
                                                                              этом сложение, см. рис. 5.
   1. Число А на 400 % больше числа В. Вычислите, на сколько                      9. В воскресенье шестиклассники отправились в
процентов число В меньше числа А.                                             поход. Мальчиков было втрое больше, чем девочек.
   2. Малыш может съесть банку варенья за 6 минут, а Карлсон – в              Когда 4 мальчика и 4 девочки ушли к реке готовить                        Рис. 5
два раза быстрее. Определите, за какое время они съедят это варенье вместе.   обед, то мальчиков осталось вчетверо больше, чем дево-
   3. Определите, можно ли прямоугольную стену размером                       чек. Найдите, сколько шестиклассников отправилось в поход.
2009 × 2010 покрыть плитками размером 1 × 4 и 2 × 2 .
                                                                                                             Домашнее задание 6
   4. Дано 2009 чисел. Известно, что сумма любых четырех из них
положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?
   5. Расставьте числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 в вершинах куба так, что-            1. Вычислите значения выражений:
бы суммы чисел на каждой грани были равны.                                         а) 48 ⋅ 11 − 49 ⋅ 11 + 24 ⋅ 12 − 25 ⋅ 12 ; б) (58−85):(45−54).
   6. Пять кошек поймали 5 мышек за 5 мин. Сколько кошек пой-
мают 10 мышек за 10 мин?


                          Занимательные математические задачи   15   16                 Занимательные математические задачи

   2. Произведение трех чисел равно 140. Произведение первых            полуразность чисел 2a и 5b ;
двух равно 28, а произведение второго и третьего равно 35. Найдите      произведение числа 5 x и суммы чисел 3a и b ;
эти числа.                                                              квадрат суммы чисел a и 2b .
   3. Сестра старше брата во столько раз, сколько ей лет. Найдите,      4. Найдите значения выражений:
сколько лет каждому.                                                     0,5 x + 2,4 при x = −4 ;
   4. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так,            1,6 y − 2,1 при y = −5 ;
чтобы полученное число делилось на 15.
                                                                                            1
   5. Определите, какая часть квадрата, изо-                             3a − 2b при a = 3 ; b = −3,5 ;
браженного на рис. 6, закрашена.                                                            3
   6. Дрожжевые грибки при благоприятных                                 5a + 4b при a = −1,2; b = 6,5 .
условиях размножаются с большой скоростью,                              5. Найдите значение переменной х, удовлетворяющей соотно-
увеличиваясь в объеме в два раза за каждую                           шениям: x = 3; x − 1 = 1; x + 2 = 2; 2 x = 4 .
минуту. В колбу поместили небольшое количе-                             6. Изобразите на числовой прямой точки, координаты которых
ство этих грибков, и уже к концу пятой минуты
                                                                     удовлетворяют соотношениям: x ≤ 1; x -1 ≤ 2; x + 3 ≥ 5; 1 < x < 2 .
дрожжи заполнили половину сосуда. Найдите,             Рис. 6
через сколько минут после этого они заполнят
                                                                                              Домашнее задание 7
весь сосуд.
                                                                         1. Величины углов треугольника относятся как 2 : 3 : 7. Вычис-
                                                  Занятие 7.         лите углы, если известно, что сумма углов треугольника равна 180° .
                        Действия с числовыми и буквенными                2. В морской порт теплоход «Счастливый» прибывает один раз в
                                выражениями. Модуль числа            три дня, теплоход «Удачный» – один раз в четыре дня и теплоход
                                                                     «Надежный» – один раз в 5 дней. В прошлый понедельник все три
  1. Выполните действия:                                             теплохода были в этом порту. Через какое наименьшее число дней
   ( −36 ) + ( +90 ) + ( +37 ) + ( −89 ) ;                           они все снова прибудут в этот порт, и какой это будет день недели?
                                                                         3. В одном классе обучается меньше, чем 50 учащихся. На улице
   ( −0,5) + ⎛ +
               7⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
             ⎜    ⎟ + ⎜ + 5 ⎟ + ⎜ −3 ⎟ ;                             Пушкина проживает 1/7 часть учащихся этого класса, на улице –
             ⎝ 8⎠ ⎝ 8⎠ ⎝ 2⎠                                          Толстого – 1/3 часть класса, на улице Лермонтова – половина клас-
   ⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 1⎞                                                    са, остальные проживают на улице Достоевского. Сколько учеников
   ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ + ⎟ ⋅ ⎜ −1 ⎟ ⋅ ( +30 ) ;                                проживает на улице Достоевского?
   ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 5⎠
                                                                         4. Туристы были довольны своим поваром: вкусный он суп при-
   ( −0,4 ) ⋅ ( −2,5) ⋅ ( +2,5) ⋅ ( +4,0 ) .                         готовил на привале. Раскрывая «секреты» кулинарии, юный повар
  2. Вычислите наиболее рациональным способом значения выра-         рассказал, что воды он взял столько, сколько крупы, картофеля, лу-
жений:                                                               ка и жира вместе; крупы – столько, сколько картофеля, лука и жира;
   2,5 ⋅ 3,7 + 6,3 ⋅ 2,5;       2,4 ⋅ 13,2 − 2,4 ⋅ 3,2;              картофеля – столько, сколько лука и жира вместе; а жира – вдвое
  12,5 ⋅ 4,3 + 5,7 ⋅ 12,5;      5,5 ⋅ 35,2 + 5,5 ⋅ 64,8.             меньше, чем лука. Общая масса супа – 12 кг. Сколько отдельно во-
  3. Запишите в виде алгебраического выражения:                      ды, крупы, картофеля, лука и жира было взято для супа?
  сумму чисел 2a и 3b ;                                                  5. Сколько человек в бригаде, если средний возраст всех членов
  разность чисел 0,4x и 0,5 y ;                                      бригады 25 лет, бригадиру – 45 лет, а средний возраст членов бри-
                                                                     гады без бригадира равен 23 годам?


                   Занимательные математические задачи         17   18                   Занимательные математические задачи

   6. В трех классах школы учатся 90 учеников. В первом классе         7. В треугольниках АВС и MNP
учеников на 10 % больше, чем во втором, а в третьем – на 6 учени-   выполняются соотношения: AB = MN ,
ков меньше, чем в первом. Сколько учеников в каждом классе?         BC = NP , ∠ABC = ∠MNP . Точка D
                                                                    берется на стороне AB , а точка R бе-
                                           Занятие 8.               рется на продолжении стороны MN
                             Геометрия на плоскости.                так, что AD = MR . Может ли отрезок
            Равенство треугольников: первый признак                 CD равняться отрезку PK ? Ответ                            Рис. 10
                                                                    поясните.
    1. Укажите, при каком соответствии
вершин в равных треугольниках ABC и                                                           Домашнее задание 8
PQR, изображенных на рис. 7, будут                                     1. Объясните, почему при последовательном прибавлении к чис-
попарно равны соответственные стороны.                              лу 1999 по (−2) нельзя получить число −2008.
    2. В треугольнике АВС стороны ВС                                   2. В треугольниках АВС и MNP выполняются соотношения:
и АВ равны. На стороне АВ выбрана                                    AC = MN , BC = NP , ∠ABC = ∠NPM . Можно ли утверждать, что
точка М, а на стороне ВС – точка К,
                                                                    эти треугольники равны? Приведите примеры, когда эти треуголь-
причем BM = BK . Объясните, почему               Рис. 7             ники не будут равными.
 AK = CM .
                                                                       3. Диагонали четырехугольника ABCD точкой пересечения де-
    3. На сторонах угла АВС отложены равные отрезки ВР и ВQ. На
                                                                    лятся пополам. Угол BDC равен 70° . Найдите величину угла ABD .
биссектрисе угла АВС выбрана произвольная точка F. Объясните,
                                                                       4. В треугольнике АВС дано: AB = 5 см ; BC = 6 см . На стороне
почему отрезки FP и FQ равны.
    4. Треугольники АВР и МРК рав-                                  ВС выбрана точка М так, что CM = 1 см . Объясните, почему
ны и расположены как на рис. 8, при-                                MK = AC .
чем AP = PB = MP = PK . Объясните,                                     5. Сумма двух чисел равна 1111110. В разряде тысяч и в разряде
почему AM = BK .                                                    сотен большего числа стоит по цифре 8. В тех же разрядах меньше-
    5. Треугольники АВС и BCD на                                    го числа стоит по цифре 2. Если заменить эти цифры нулями, то по-
рис. 9 равны, при этом AB = CD ,                                    лучатся новые числа, одно из которых в 9 раз больше другого. Най-
∠ABC = ∠DCB . Объясните, почему:                Рис. 8              дите исходные числа.
а) треугольник ABD равен треуголь-                                     6. Попрыгунья Стрекоза половину времени каждых суток крас-
нику ACD ; б) BM = MC , если точка                                  ного лета спала, третью часть времени каждых суток танцевала,
М – середина отрезка AD .                                           шестую часть – пела. Остальное время она решила посвятить подго-
    6. На рис. 10 углы АВМ и NBC                                    товке к зиме. Найдите, сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме.
равны, AB = BC , BN = BM . Объяс-
ните, почему углы NAC и МСА равны.                                                                            Занятие 9.
                                                Рис. 9                                                      Делимости.
                                                                              Задачи на наибольший общий делитель (НОД)
                                                                                       и наименьшее общее кратное (НОК)

                                                                      1. Нахождение НОД разложением на простые множители и с
                                                                    помощью алгоритма Евклида.


                    Занимательные математические задачи              19   20                  Занимательные математические задачи

    2. Найдите наибольший общий делитель чисел 48 и 120; 35 и 84;                                                 Занятие 10.
725 и 635; 7920 и 594.                                                           Остатки при делении, периодичность остатков
    3. Выпишите все несократимые дроби, меньшие единицы, зна-
менатель которых равен 36.                                                    1. Сумма чисел a и b равна 410. Разделив большее число на
    4. Найдите наименьшее общее кратное чисел 5 и 7; 11 и 48; 36 и        меньшее, получим в частном 7 и в остатке 10. Найдите числа a и b .
120.                                                                          2. Известно, что при делении на 5 число k дает остаток 1. Най-
                                                                 3n + 4   дите, какой остаток при делении на 5 дает число ( − k ).
    5. Определите, при каких натуральных значениях n дробь
                                                                   n          3. Частное от деления a на b равно 3, а остаток 10. Если сло-
сократима.                                                                жить делимое, делитель, частное и остаток, то получится 143. Най-
    6. Определите, при каких натуральных значениях n числа                дите числа a и b .
( 5n + 16 ) и ( n + 2 ) взаимно просты, то есть их НОД равен единице?         4. Найдите последнюю цифру следующих чисел: 122009 ; 132009 ;
    7. Докажите, что если записать в обратном порядке цифры лю-
бого целого числа, то разность исходного и нового чисел будет де-         162009 ; 19 2009 .
литься на 9.                                                                  5. При делении на 7 число a дает в остатке 2, а число b дает в
    8. Докажите, что если к произвольному числу приписать число,          остатке 3. Найдите, какой остаток получится при делении числа
записанное теми же цифрами в обратном порядке, то полученное              ( a + b ) на 7.
число без остатка делится на 11.                                              6. При делении числа на 2 остаток равен 1, а при делении на 3
                                                                          остаток – 2. Найдите, какой остаток получится при делении на 6.
                          Домашнее задание 9                                  7. Найдите все числа, при делении которых на 9 в частном полу-
                                                                          чится число на 1 больше остатка.
   1. Замените звездочки в записи числа 72*3* цифрами так, чтобы              8. Найдите остаток от деления 210 на 3.
это число делилось без остатка на 45.                                         9. Разделите 31 яблоко поровну на 30 человек, разрезая каждое
                                                              3n + 4      яблоко не более чем на 5 частей.
   2. Определите, при каких натуральных значениях n число
                                                                5
будет целым.                                                                                       Домашнее задание 10
   3. Определите, на какое однозначное число надо умножить
12 345 679, чтобы получилось число, записанное одними единицами.             1. Найдите среди чисел вида 3a + 1 первые три числа, которые
   4. Определите, является ли число 20081010 + 20102008 простым.          кратны 5.
   5. В гараже 40 автомобилей трех типов: грузовые, легковые и               2. Найдите остаток от деления числа (−10) на 9.
автобусы. Известно, что автобусов меньше, чем легковых, а легко-             3. При делении числа m на 3 получается остаток 2, а при делении
вых в 12 раз меньше, чем грузовых автомобилей. Найдите число ав-          числа n на 3 – остаток 1. Покажите, что m ⋅ n не делится на 3 без ос-
томобилей каждого типа.                                                   татка.
   6. Объясните, как разрезать квадрат на несколько частей, чтобы            4. Папа с сыном покрасили забор за 4 часа. Папа справился бы
из них можно было бы сложить два других квадрата, возможно, не-           один с этой работой за 5 часов. Найдите, сколько часов потребова-
одинаковые, использовав при этом все части.                               лось бы сыну, чтобы выполнить ту же работу.



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика