Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной: Методические указания к самостоятельной работе

Голосов: 5

Методические указания предназначены для оказания помощи студентам заочной и дистанционной форм обучения при подготовке к контрольным работам, тестам, зачетам и экзаменам в качестве дополнительного пособия. Содержат краткие теоретические сведения с примерами, задачи с подробными решениями и задачи для самостоятельного решения с ответами.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                                                 21


                                                                  ′
                                                 ′ (cos 3 x )             − 3 sin 3 x
                                y = (ln cos 3 x ) =                   =               = −3 tg 3 x .
                                                        cos 3 x            cos 3 x
      12) По формуле (2) и формулам 16 и 4 таблицы имеем
                                  ′                  ′
                        ⎛      1⎞
                  y ′ = ⎜ arctg ⎟ =
                                        1      ⎛1⎞
                                              ⋅⎜ ⎟ = 2
                               x ⎠ 1 + (1 x )2 ⎝ x ⎠
                                                        x2
                                                       x +1
                                                            − x −2 = − 2
                                                                        1
                                                                      x +1
                                                                           .      (      )
                        ⎝
      2. Найти производные высших порядков функции y = f ( x) и их значения.
                  x
      1) y = sin 2 , найти f ′′( x), f (3) ( x), f ′′(π 2), f (3) (π 2) .
                  2
      2) y = ln(2 − 3 x), .найти f ′′( x), f (3) ( x), f ( 3) (0) .
                                                             ′                      ′
                                              x⎛          x⎞           x    x⎛x⎞             x      x 1 1
      Решение. 1) f ′(x) = 2 sin ⎜ sin ⎟ = 2 sin cos ⎜ ⎟ = 2 sin cos ⋅ = sin x .
                                              2⎝          2⎠          2     2⎝2⎠             2      2 2 2
                                                 ′
                               ′ ⎛1            ⎞         1           ⎛π ⎞      1      π
       f ′′( x) = ( f ′( x) ) = ⎜ sin x ⎟ = cos x . f ′′⎜ ⎟ = − cos = 0.
                                   ⎝2          ⎠         2           ⎝2⎠       2      2
                                                     ′
                                 ′ ⎛1              ⎞        1              ⎛π ⎞       1    π       1
       f ( 3) ( x) = ( f ′′( x) ) = ⎜ cos x ⎟ = − sin x . f (3) ⎜ ⎟ = − sin = − .
                                     ⎝2            ⎠        2              ⎝2⎠        2    2       2
                                      ′ (2 − 3x)′                  3
      2) f ′( x) = (ln(2 − 3 x) ) =                        =−          .
                                              2 − 3x            2 − 3x
                                   ′
                    ⎛       3 ⎞             3′(2 − 3 x) − 3(2 − 3 x)′              9
       f ′′( x) = ⎜ −             ⎟ =−                                    =−            .
                    ⎝ 2 − 3x ⎠                         (2 − 3x)              (2 − 3x) 2
                                                                2


                                          ′
                      ⎛          9      ⎞          9′(2 − 3 x) 2 − 9((2 − 3 x) 2 )′     − 18(2 − 3 x)(2 − 3 x)′       54
       f ( 3) ( x ) = ⎜ −
                      ⎜ (2 − 3 x) 2 ⎟   ⎟ =−                                        =−                          =−            .
                      ⎝                 ⎠                      (2 − 3x) 4
                                                                                              ( 2 − 3x) 4
                                                                                                                   (2 − 3x) 3
                                 54              27
          f ( 3) (0) = −                    =−          .
                           ( 2 − 3 ⋅ 0) 3
                                                   4

      3. Для функций, заданных параметрически, найти указанные производные.
          ⎧ x = 3 sin t + sin 3t ,          dy ⎛ dy ⎞
       1) ⎨                          найти     , ⎜ ⎟ .
          ⎩ y = 3 cos t + cos 3t ,          dx ⎜ dx ⎟ t = 0
                                                 ⎝ ⎠
          ⎧ x = t + 2t ,
                 2
                                          dy ⎛ dy ⎞
       2) ⎨                        найти     , ⎜ ⎟ .
          ⎩ y = ln(t + 1),                dx ⎜ dx ⎟ t =1
                                                ⎝ ⎠
     Решение. 1) Находим производные от x и от y по параметру t
                        dx                        dy
                           = 3 cos t + 3 cos 3t ,     = −3 sin t − 3 sin 3t .
                        dt                        dt
Искомую производную от y по x находим по формуле (3):
               dy                                 t + 3t        t − 3t
                                            2 sin         ⋅ cos
          dy dt       3(sin t + sin 3t )             2            2 = − sin 2t = − tg 2t .
             =    =−                     =−
          dx dx       3(cos t + cos 3t )           t + 3t       t − 3t      cos 2t
                                            2 cos         ⋅ cos
               dt                                    2             2


                                                       22


                          ⎛ dy ⎞
        При t = 0 получим ⎜ ⎟         = 0.
                          ⎝ dx ⎠ t =0
       2) Вычисляем производные функций x и y по параметру t :
                                     dx              dy     1
                                         = 2t + 2 ,     =
                                     dt              dt t + 1
и искомую производную функции y по x по формуле (3):
                                                dy
                                         dy dt            1
                                    y′ =     =      =         .
                                         dx dx 2(t + 1) 2
                                                dt
                       ⎛ dy ⎞      1
Далее, при t = 1 имеем ⎜ ⎟ = .
                       ⎝ dx ⎠ t =1 8

                                                                          1
        4. Найти дифференциал df(x) функции y = arcsin                      . Найти df( 2 ) и d f ( 2 )           .
                                                                          x                             d x =0, 2

        Решение. По формуле (1) имеем
                                  ′                        ′                    x
                       ⎛       1⎞           1        ⎛1⎞                            ⎛ 1 ⎞            1
   df(x) = f ′(x) dx = ⎜ arcsin ⎟ dx =               ⎜ ⎟ dx =                       ⎜ − 2 ⎟ dx = −         dx .
                       ⎝       x⎠      1 − (1 / x) 2 ⎝ x ⎠                     x −1 ⎝
                                                                                2      x ⎠         x x2 −1

                                         1                                     1               1
При x = 2 получаем df( 2 ) = −               dx . d f ( 2 )               =−        0,2 = −         .
                                         2                    dx = 0, 2         2             5 2

        5. Найти уравнения касательной и нормали к графику функции y = ln(0,5 + x) при
x=0,5.
                                                                                                   1
        Решение. Положим x0 = 0,5 . Тогда y 0 = f ( x0 ) = ln(0,5 + 0,5) = ln 1 = 0 . f ′( x) =
                                                                                                0,5 + x
                  1
и f ′( x0 ) =           = 1 . По формуле (5) получаем уравнение касательной y − 0 = ( x − 0,5) или
              0,5 + 0,5
y = x–0,5. По формуле (6) получаем уравнение нормали (y–0)+x–0,5=0 или y=–x+0,5.

      6. Исследовать функцию y = x e x −1 на монотонность и экстремумы.
      Решение. Область определения – множество всех действительных чисел R.
            (      )′
      y ′ = x e x −1 = x ′ e x −1 + x e x −1 = e x −1 (1 + x ). Найдем критические точки: e x −1 (1 + x ) = 0 ⇒
x= –1. В интервале (−∞, –1) производная y′ отрицательна, а в интервале (−1, +∞) – положи-
тельна. В силу теоремы 3 исследуемая функция убывает в интервале (−∞, –1) и возрастает в
(−1, +∞). По первому достаточному условию экстремума x=1 является точкой минимума.
Минимальное значение функции равно f (−1) = − e −2 .

      7. Исследовать график функции y = x e x −1 на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
        Решение. Область определения – множество всех действительных чисел R. Первая про-
изводная y ′ = e x −1 (1 + x ) (найдена в п. 6). Найдем вторую производную
 y ′′ = e x −1 (1 + x ) + e x −1 = e x −1 (2 + x ) . y ′′ = 0 при x=–2. В интервале (−∞, –2) вторая производная
y″отрицательна, а в интервале (−2, +∞) – положительна. В силу теоремы 4 график исследуе-


                                                             23


мой функций выпукл в интервале (−∞, –2) и вогнут в (−2, +∞). Так как f (−2) = −2 e −3 , то по
достаточному условию точки перегиба (–2, –2e–3) является точкой перегиба.
       8. Найти все асимптоты графика функции y = f (x) .
                       x                                 x2 +1
       1) y =             ,                     2) y =         ,                 3) y = x e x −1
                     x −4
                      2
                                                          2x
                                             x
       Решение. 1) Функция y =                    не определена при x2 – 4 = 0. Следовательно, x = –2 и
                                           x2 − 4
x=2 являются точками разрыва. Так как односторонние пределы
                       x                           x                          x                        x
          lim             = +∞ ,     lim              = −∞ ,        lim          = +∞ ,      lim          = −∞ ,
        x → −2 + 0   x −4
                      2            x → −2 − 0    x −4
                                                  2                x→2+ 0   x −4
                                                                             2              x →2−0   x −4
                                                                                                      2


то прямые x = –2 и x = 2 являются вертикальными асимптотами.
                                 x
          Поскольку lim 2             = 0 , то прямая y=0 является горизонтальной асимптотой при
                       x→± ∞ x − 4

x→ ±∞. Наклонных асимптот при x→ ±∞ нет, поскольку при этих условиях есть горизон-
тальная асимптота.
          Итак, x = –2 и x = 2 – вертикальные асимптоты, y = 0 – горизонтальная асимптота при
x→ ±∞.
                                         x2 +1
          2) Так как функция y =                не определена при x = 0 и односторонние преде-
                                          2x
            x2 +1                   x 2 +1
лы lim             = +∞ , lim               = −∞ , то прямая x = 0 является вертикальной асимптотой.
   x →0 + 0   2x            x →0− 0   2x
          Найдем наклонные асимптоты. По формулам (7) найдем угловой коэффициенты k и b:
             x2 + 1 1                 ⎛ x2 + 1 x ⎞         2x 2 + 1 − 2x 2
k = lim            = , b = lim ⎜               − ⎟ = lim                   = 0 . Следовательно, прямая
     x → ±∞ 2 x 2     2        x → ±∞ ⎜ 2 x      2 ⎟ x →±∞       2x
                                      ⎝            ⎠
     1
y=     x является наклонной асимптотой при x→ ±∞.
     2
                                                 1
        Итак, x = 0 – вертикальная асимптота, y = x – наклонная асимптота при x→ ±∞.
                                                 2

       3) Функция y = x e x −1 определена при любом действительном x,то вертикальных
асимптот нет.
                                         x                                    1      1
       Так как lim xe x −1 = lim 1− x = (по правилу Лопиталя) = lim                 = = 0 , то
                    x → −∞      x → −∞ e                             x → −∞ − e1− x  ∞
прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой при x → −∞ . Поскольку
          x e x −1
k = lim            = +∞ , то при x → +∞ нет ни горизонтальных, ни наклонных асимптот.
   x → +∞    x
       Итак, y = 0 – горизонтальная асимптота при x → −∞ .
                                                        x2
       9. Провести полное исследование функции y =             и построить ее график.
                                                     2( x − 1)
       Решение. Будем следовать схеме исследования функции построения графика из п.13.
      1) Область определения функции – множество всех действительных чисел без –1.
      2) Функция не является четной, нечетной, периодической.
      3) Исследуем функцию на монотонность, экстремумы.


                                                            24


          2 x( x − 1) − x 2    x 2 − 2x
      y′ =                  =             . y′=0 ⇔ x 2 − 2 x = 0 ⇔ x=0 или x=2. y′ не существует в
             2( x − 1) 2      2( x − 1) 2
точке x=1, но она не входит в область определения функции. Следовательно, имеются две
критические точки x=0 и x=2. Разобьем этими точками область определения на интервалы
знакопостоянства производной: (−∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, +∞). Определим знаки производной в
этих интервалах: y′(–1)>0 и y′(3)>0 ⇒ в интервалах (−∞, 0) и (2, +∞) производная положи-




                                                        Рисунок 10


тельна, y′(0,1)<0 и y′(1,1)<0 ⇒ в интервалах (0, 1) и (1, 2) производная отрицательна (см. рис.
10а). Используя достаточные условия монотонности и экстремума из пунктов 9,10, получим
следующие выводы: функция возрастает в интервалах (−∞, 0) и (2, +∞), убывает в (0, 1) и
(1, 2), x=0 – точка максимума, x=2 – точка минимума. Значение максимума y(0)=0, значение
минимума y(2)=2.
       4) Исследуем функцию на направление выпуклости и точки перегиба.
               (2 x − 2)( x − 1) 2 − 2( x − 1)( x 2 − 2 x) 2( x − 1)( x 2 − 2 x + 1 − x 2 − 2 x)       1
      y ′′ =                                              =                                      =            .
                               2( x − 1) 4
                                                                         2( x − 1) 4
                                                                                                   ( x − 1) 3

     y″ не обращается в 0, а в точке 1, где y″ не существует, функция не определена, поэтому
график функции не имеет точки перегиба. Таким образом, имеются два интервала (−∞, 1) и
(1, +∞), знакопостоянства второй производной. y″(0)<0 ⇒ в интервале (−∞, 1) y″ отрица-
тельна, y″(2)>0 ⇒ в интервале (1, +∞) y″ положительна (см. рис. 10б). В силу достаточных
условий выпуклости и вогнутости графика в интервале (−∞, 1) график выпуклый (вверх), а в
интервале (1, +∞) график вогнутый (выпуклый вниз).
     5) Найдем все асимптоты графика.
                               x2                       x2
     Так как lim                      = −∞ , lim               = +∞ , то прямая x = 1 – вертикальная асим-
                  x →1− 0   2( x − 1)        x →1+ 0 2( x − 1)

птота.
     Найдем наклонные асимптоты. Для этого по формулам (7) вычислим k и b.
                        x2                                        2x     1
      k = lim                   = (по правилу Лопиталя)= lim            = .
           x → ±∞   2 x( x − 1)                          x → ±∞ 4 x − 2  2
                ⎛ x2          x⎞          x2 − x2 + x 1
     b = lim ⎜  ⎜ 2( x − 1) − 2 ⎟ = xlim
                                ⎟ →±∞                = .
         x → ±∞
                ⎝               ⎠             2x      2
                                  1     1
Следовательно, прямая y = x + – наклонная асимптота при x→ ±∞.
                                  2     2


                                                   25


                     x2
     6) Так как             = 0 ⇔ x = 0, то график пересекает оси системы координат только в
                  2( x − 1)
ее начале. Найдем дополнительные точки графика: x= –2 ⇒ y = –2/3 ≈ –0,7; x= 0,8 ⇒ y = –1,6;
x= 1,2 ⇒ y =3,6; x= 4 ⇒ y = 8/3 ≈ 2,7.
                                                                                     1    1
      7) Начертим эскиз графика (рис. 11). Сначала начертим асимптоты x = 1 и y = x +
                                                                                     2    2




                                           Рисунок 11


(на рисунке они начерчены пунтирной линией). Наносим на чертеж точки (0, 0) и (2, 2), най-
денные в пункте 3, дополнительные точки (–2; –0,7), (0,8; –1,6), (1,2; 3,6), (4; 2,7), найденные
в пункте 6. Проводим через эти точки линию, согласно результатам исследования функции в
пунктах 3, 4, 5. Еще раз сравниваем полученный график с результатами исследования и убе-
ждаемся в правильности построения графика.


                    ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Найти производную функции y = f (x) .
                                                                      5     3
     1) y = 7 x 7 + 3 x 2 − 4 x − cos 4.                2) y = 4 x 3 + 2
                                                                         − 3 + ln 2 .
                                                                     x     x
     3) y = log 2 x + 3 log 3 x .                       4) y = 3 x + 4 cos x ⋅ e x + tg x − ctg x .
            sin x + cos x
     5) y =                .                            6) y = 4 e x + arctg x ⋅ arcctg x .
            sin x − cos x
     7) y = sin 5 x ;                                   8) y = cos 2 3 x .

     9) y = arcsin x − arccos x .                       10) y = 2 x − sin 2 x .

     11) y = sin 2 ( x 2 + 5 x + 2) .                   12) y = tg x 3 + 1 .


                                                              26


       13) y = ln cos 3 x.                                         14) y = ln 3 tg 4 x ;
                                                                                     x2
                                                                                 −
                    1+ ln x
       15) y = e              .                                    16) y = x e       2
                                                                                          .
       17) y = arctg( x − 1 + x 2 ) .                              18) y = ln arccos 2 x .
       19) y = x sin 2 x .                                         20) y = (ln x) cos x .
Найти указанные значения производных функции y = f ( x) .
                 x3
       21) f ( x) =  − x 2 + x − sin ln 4 . Найти f ′(0), f ′(1), f ′(−1) .
                  3
                    x
    22) f ( x) =         . Найти f ′(0), f ′(2), f ′(−2) .
                 2x − 1
    23) f ( x) =
                 ln x
                   x
                                            ⎛1⎞
                      . Найти f ′(e), f ′⎜ ⎟, f ′ e .
                                              e⎠
                                                      2
                                                              ( )
                                            ⎝
Найти производную функции y, заданной параметрически, по переменной x.
           ⎧ x = e 2t ,                   ⎧ x = 2 cos 3 t ,                    ⎧ x = 2(t − sin t ),
       24) ⎨                          25) ⎨                                26) ⎨
           ⎩y = e .                       ⎩ y = 2 sin t.                       ⎩ y = 2(1 − cos t ).
                   3t                                 3



Найти производные функции y = f (x) высших порядков.
    27) y = cos 2 x. Найти f ′′( x), f (3) ( x), f ′′(π 4), f (3) (π 2) .
       28) y = e 4 x . Найти f (5) ( x), f (5) (ln 2) .
    29) y = ln(1 + x) . Найти f ( 4) ( x), f ( 4) (1) .
Найти дифференциалы и значения дифференциалов функций y = f (x) .
    30) y = ln(1 + x 2 ) . Найти df(x), df(2),. d f (2) d x =0, 2 .
       31) y = sin 3 2 x . Найти df(x), df(π/8),. d f (π / 8) d x = −0,1 .
Найти пределы функций по правилу Лопиталя.
              sin 7 x                      x − arctg x                             1 − 2 sin x
    32) lim           .          33) lim          3
                                                         .            34) lim                  .
        x →π tg 5 x                  x →0      x                          x → π / 6 cos 3 x

              e x − e−x − 2x                           x3                           x
    35) lim                  .            36) lim 3 x                 37) lim 2 .
         x →0    x − sin x                     x → +∞ e                   x → +∞ ln x

               x 3 − x 2 + 3x + e                     x3 − 2x 2 + x
    38) lim 3                             39) lim 3                   .
        x →∞ 2 x + 5 x 2 − x + 5                 x →1 2 x − 5 x 2 + 3



Найти уравнения касательной и нормали к графику функции y = f (x) при x=x0.
                x2
        40) y =       , x0 = 2 .                        41) y = 2 x , x0 = 2 .
                 2
        42) y = e x / 2 , x0 = 0 .                      43) y = tg x, x0 = π /4 .

Исследовать функцию y = f (x) на монотонность и экстремумы.
                                                x4                           x
        44) y = x 3 − 3 x.            45) y =      + x3 .          46) y =        .
                                                4                         x2 − 4
                                  2               2
                                                                             x
        47) y = x( x − 1) 3 .         48) y = x 3 (1 − x).         49) y = 2     .
                                                                          x +1


                                                         27


                                                 2   ex
        50) y = x e − x .           51) y = e − x .     .     52) y =
                                                      x
Исследовать график функции y = f (x) на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
                                               x4     x2 − 4
        53) y = x 3 − 3x.           54). y =      + x3        55) y =
                                                              .
                                               4         x
                                      2                  x
      56) y = x e − x .  57) y = e − x .       58) y = 2     .
                                                      x +1
Найти все асимптоты графика функции y = f ( x) .
             x2 − 4                x
        59) y =     .    60) y = 2      .     61) y = x e − x .
                x                x +1
                1                2x 2
      62) y = 2       .  63) y =      .       64) y = x ln x.
             x − 4x              x +1
Провести полное исследование функции y = f ( x) и построить ее график.
                                                    x4
        65) y = x 3 − 3x 2 − 9 x.           66) y =    + x3         67). y = x e − x .
                                                    4
                                                     2x 2                        x
        68) y = 3 x 2 − 1.                  69) y =                 70). y =
                                                    x +1                       x −4
                                                                                 2




                                    БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное
     исчисление. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.:Наука, 1980.
2.   Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах
     в 2-х частях. Часть 1. – М.: Высшая школа, 1980, 1986.
3.   Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1986.
4.   Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического
     анализа. / Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. – М.:Наука, 1981.
5.   Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. – М.: Высшая
     школа, 1994.
6.   Казакова Т.В., Щеглова М.В.Высшая математика. Cб. упражнений. – М.: МГУ, 1978.



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика