Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной: Методические указания к самостоятельной работе

Голосов: 5

Методические указания предназначены для оказания помощи студентам заочной и дистанционной форм обучения при подготовке к контрольным работам, тестам, зачетам и экзаменам в качестве дополнительного пособия. Содержат краткие теоретические сведения с примерами, задачи с подробными решениями и задачи для самостоятельного решения с ответами.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                                               11


      Замечание 10. Если в интервале слева и справа от x0 производная имеет один и тот же
знак, то x0 не является точкой экстремума. При этом, если функция непрерывна в этой точке,
то функция монотонна в целом в этих двух интервалах (рис 3а).




                                                    Рисунок 3

     Пример. 13) Исследовать функцию y = 3 x 2 − 4x на экстремум и монотонность.
     Решение. 1) Область определения – множество всех действительных чисел R.
                                ′
             ⎛                 ⎞ 1 2                        ′       2x − 4
              (            )       (        ) (x           )
                           1                    2
                                            −
     2) y′ = ⎜ x 2 − 4 x
             ⎜
                           3   ⎟ = x − 4x
                               ⎟ 3
                                                3   2
                                                        − 4x =                      .
             ⎝                 ⎠                                    (
                                                                 33 x 2 − 4 x   )
                                                                                2



Найдем критические точки. Решим уравнение y′ = 0: 2 x − 4 = 0 ⇒ x = 2 −критическая. y′ не
существует при 3 x 2 − 4 x = 0 ⇒ x (x – 4) = 0 ⇒ x = 0 или x = 4 . Эти точки входят в область
определения функции, следовательно, являются критическими.
      3) Разобьем область определения R критическими точками 0, 2, 4 на интервалы
(– ∞, 0), (0, 2), (2, 4), (4, +∞) (рис. 3а), в каждой из которых производная сохраняет знак.
Найдем знаки производной в этих интервалах. Для этого выберем по одной точке из этих ин-
тервалов (например, –1 ∈ (– ∞, 0), 1 ∈ (0, 2), 3 ∈ (2, 4), 5 ∈ (4, +∞)) и определим знаки производ-
ной y′ в этих точках: y′(−1) < 0, y′(1) < 0, y′(3) > 0, y′(5) > 0. Следовательно, y′ < 0 в интер-
валах (– ∞, 0), (0, 2) и y′ > 0 в интервалах (2, 4), (4, +∞).
      4) Функция убывает в интервалах (– ∞, 0) и (0, 2), возрастает в интервалах (2, 4) и
(4, +∞). Однако можно сделать более сильный вывод. В самом деле, в окрестностях критиче-
ских точек x = 0 и x = 4 производная не меняет знака, значит, они не являются точками экс-
тремума. В силу замечания 10 функция убывает в интервале (– ∞, 2) и возрастает в интервале
(2, +∞). Заметим, что y′(0) = – ∞, y′(4) = +∞, следовательно, в точках (0, 0) и (4, 0) касатель-
ные параллельны оси Оу (рис.3б).
      5) Критическая точка x = 2 является точкой минимума (рис. 3а).
     На рисунке 3б изображен схематически график функции y = 3 x 2 − 4x .
      12. Направление выпуклости функции. Точки перегиба. Пусть функция y=f(x) имеет
конечную или бесконечную производную в каждой точке интервала Х = (а, b). Обозначим
Г(Х) дугу графика функции f(x), соответствующую интервалу X.
      Определение 5. Если дуга Г(Х) лежит не ниже (не выше) касательной к графику функ-
ции y=f(x), проведенной в любой точке M ∈ Г(Х), то функция или график функции называется
выпуклым вниз (соответственно выпуклым вверх) в интервале X (рис. 4а).


                                              12


     Точка на графике функции, в которой существует касательная к графику функции, на-
зывается точкой перегиба функции или графика функции, если она является границей дуг
графика с разными направлениями выпуклости (рис. 4б,4в).




                                       Рисунок 4

       Заметим, что в точке перегиба требуется существование касательной к графику.
       В некоторых учебных пособиях выпуклую вверх функцию называют выпуклой, а вы-
пуклую вниз функцию − вогнутой. Мы будем также пользоваться этими терминами, когда
это удобно.
       Теорема 4 (достаточное условие выпуклости вверх и вниз). Если функция f(x) диффе-
ренцируема дважды в интервале X и в ней f ″ (x) > 0 (f ″(x) < 0), то f(x) является выпуклой
вниз (соответственно выпуклой вверх) в интервале X.
       Необходимое условие точки перегиба. Если M0 (x0, f(x0)) − точка перегиба функции
f(x), то либо и f ″(x0) = 0, либо f ″(x0) не существует (рис. 4б, 4в). Следовательно, абсциссы
точек перегиба нужно искать в тех значениях x, при которых вторая производная либо равна
нулю, либо не существует.
       Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция f(x) имеет производную (может
быть бесконечную) в точке x0, существует вторая производная в проколотой окрестности
точки x0 и либо f ″(x0) = 0, либо f ″(x0) не существует. Тогда если при переходе через x0 f ″(x)
меняет знак, то (x0, f(x0)) является точкой перегиба.
       Правило нахождения точек перегиба и промежутков выпуклости вверх и вниз.
       1) Найти область определения функции f(x).
       2) Найти f ″(x) и решить уравнение f ″(x) = 0 и найти точки x из области определения, в
которых f ″(x) не существует.
       3) Разбить область определения найденными в предыдущем пункте точками на проме-
жутки и в них найти знаки второй производной.
       4) Согласно теореме 4 в промежутках, где вторая производная положительна, функция
выпукла вниз, а в промежутках, где вторая производная отрицательна, функция выпукла
вверх.
       5) В соответствии с необходимым условием абсциссы точек перегиба нужно искать
среди значений, найденных в пункте 2. Пусть x0 − такое значение. Если производная в точке
x0 (конечная или бесконечная) существует и в интервалах непосредственно слева и справа от
x0 вторая производная имеет разные знаки, то x0 − абсцисса точки перегиба.
                                                   x
       Пример. 14) Исследовать функцию y = 2           на выпуклость, вогнутость, найти точки
                                                 x −4
перегиба.
       Решение. 1) Функция определена при всех действительных значениях x, таких, что
  2
x -4 ≠ 0, т.е. x ≠ ±2.
       2) Найдем вторую производную.


                                                           13


                     ′
          ⎛ x ⎞            x 2 − 4 − 2x 2           x2 + 4                 2 x( x 2 − 4) 2 − 2( x 2 − 4)2 x( x 2 + 4)
     y′ = ⎜ 2       ⎟ =                    =− 2              . y ′′ = −                                               =
          ⎝ x −4⎠             ( x 2 − 4) 2       ( x − 4) 2                                ( x 2 − 4) 4
         2 x( x 2 − 4) 2 − 2( x 2 − 4)2 x( x 2 + 4)       2 x( x 2 − 4 − 2 x 2 − 8) 2 x( x 2 + 12)
     =−                                              =−                               =                 .
                         ( x 2 − 4) 4                             ( x 2 − 4) 3             ( x 2 − 4)3




                                                       Рисунок 5

    y″=0 при x = 0. y″ не существует при x = ±2, но они не входят в область определения
функции, поэтому они не могут быть абсциссами точек перегиба.

      3) Разобьем область определения точкой x = 0 на интервалы (– ∞, -2), (-2, 0), (0, 2), (2,
+∞), в каждом из которых вторая производная сохраняет знак.
      Определим знак второй производной в каждом из этих интервалов. В точке x=-3 из
интервала (– ∞, -2) y″< 0, следовательно, y″< 0 во всем интервале (– ∞, -2). Аналогично оп-
ределяем, что y″ > 0 в интервалах (-2, 0) и (2, +∞), y″ < 0 в интервале (0, 2) (рис. 5а).
      4) Функция выпукла вверх в интервалах (– ∞, -2), (0, 2), выпукла вниз в интервалах
(-2, 0), (2, +∞).
      5) В интервалах (-2, 0), (0, 2) y″ имеет разные знаки. Значит, (0, 0) является точкой пе-
региба функции.
      На рисунке 5б приведен схематически график функции.
       13. Асимптоты графика функции. Пусть M(x, y) − точка графика функции y=f(x). Бу-
дем говорить, что точка M бесконечно удаляется в бесконечность по графику, если она дви-
жется по графику так, что либо x → ± ∞, либо y→ ± ∞. При этом считаем, что функция опре-
делена в соответствующих множествах.
       Определение 6. Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если при
удалении точки M в бесконечность по графику, расстояние от M до этой прямой стремится к
нулю (рис. 6а).
       Вертикальная (горизонтальная) асимптота − это асимптота, параллельная оси Оу (со-
ответственно Ох). Остальные асимптоты называются наклонными.
       На рис. 6б и 6в прямые х = 2, х = 0 и х = −1 являются вертикальными асимптотами,
прямая у = 1 − горизонтальной, прямая у = х+2 − наклонной.
       Нахождение вертикальных асимптот. Если x0− точка бесконечного разрыва функции
y = f(x), то прямая x = x0 является вертикальной асимптотой. Например, если
                                       lim f (x) = −∞,
                                            x →x − 0
                                                0

то точка графика при y → −∞ бесконечно близко приближается к вертикальной асимптоте
x = x0 с левой стороны (рис. 6в, x0= −1).


                                                    14


     Вертикальная асимптота может быть в точке, являющейся границей области определе-
ния функции, если односторонний предел в этой точке равен +∞ или −∞ (рис. 6в).




                                           Рисунок 6

     Нахождение горизонтальных асимптот. Если
                             lim f (x) = y0 при x →+ ∞ (или −∞),
то прямая y = y0 является горизонтальной асимптотой при x →+ ∞ (или −∞).
     Нахождение наклонных асимптот. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид
y= kx+b , где угловой коэффициент k ≠ 0. Коэффициенты k и b при x →+∞ (−∞) находят по
формулам:
                                        f ( x)
                          k = lim              ,     b = lim ( f (x) − kx) .                          (7)
                               x→ ± ∞     x              x→± ∞
     Замечание 11. В формулах (7) подразумевается, что оба предела существуют и конеч-
ны. Если хотя бы один из них не существует, то наклонной асимптоты нет.
     Замечание 12. Если пределы (7) конечны и k = 0, то график имеет горизонтальную
асимптоту y= b при x →+ ∞ (или −∞). Поэтому если существует горизонтальная асимптота
при x →+ ∞ (или −∞), то нет наклонной асимптоты при x →+ ∞ (или −∞).
                                                                 x2 + 1
     Примеры. 15) Найти асимптоты графика функции y =                   .
                                                                 x−2
     Решение. Точка x = 2 является точкой разрыва функции. Найдем односторонние преде-
лы функции в этой точке
                                x2 + 1              x2 + 1
                           lim         = −∞, lim           = +∞.
                          x→2−0 x − 2         x→2+0 x − 2

Следовательно, прямая x = 2 является вертикальной асимптотой при у→ + ∞ и у→ −∞.
                    x2 + 1
     Так как lim            = ±∞ , то горизонтальных асимптот нет.
             x → ±∞ x − 2

     Найдем наклонные асимптота по формулам (7).
               x2 + 1                   ⎛ x2 + 1     ⎞        2x + 1
k = lim                 = 1, b = lim ⎜           − x ⎟ = lim
                                                     ⎟ x → ±∞ x − 2 = 2 , следовательно, прямая у = х+2
    x → ±∞   x ( x − 2)          x → ±∞ ⎜ x − 2
                                        ⎝            ⎠
является наклонной асимптотой при x → ± ∞ (рис. 6б).
     16) Найти асимптоты графика функции y = ln 1 + 1 + 1.
                                                    x        (      )


                                                        15


     Решение. Областью определения функции является множество всех решений неравен-
ства 1 + 1 > 0. Решим его: 1 + 1 > 0 ⇔ 1+ x > 0 ⇔ x < −1 или x > 0 . Найдем односторонние
         x                     x        x

пределы в границах области определения х = −1 и х = 0:

                                        ( (   ) )                  ( (   ) )
                             lim ln 1 + 1 + 1 = −∞, lim ln 1 + 1 + 1 = +∞ .
                            x → −1− 0   x                      x
                                                         x →0+ 0

Следовательно, прямая x = −1 является вертикальной асимптотой при у→ − ∞, а прямая x
= 0 является вертикальной асимптотой при у→ +∞ (рис. 6в).
                      ( (       ) )
     Так как lim ln 1 + 1 + 1 = 1 , то прямая у = 1 является горизонтальной асимптотой при
             x → ±∞     x

x →± ∞ (рис. 6в). Наклонных асимптот нет.

     14. Исследование функции и построение ее графика. Сначала приведем определения
четной, нечетной, периодической функции.
     Функция y=f(x) называется четной (нечетной), если для каждой точки x из области оп-
ределения она определена в точке −x и f(−x) = f(x) (соответственно f (−x) = f (−x) ). График
четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной функции симметричен отно-
сительно начала координат (рис. 7а, 7б).
     Функция y = f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если для любого значе-
ния x из области определения она определена в точке x+T и f (x) = f (x+T). Пусть T– наи-
меньший положительный период. График периодической функции с периодом T получается
повторением части графика, построенной на отрезке длины T (рис. 7в).
      Примерами четных функций являются cosx, chx, |x|, x2. Нечетные функции: sin x, sh x, tg
x, ctg x, th x, cth x, x3. Периодические функции: sin x, cosx, (наименьший положительный
период 2π), tg x, ctg x, (наименьший положительный период π).




                                                    Рисунок 7


    Схема исследования функции. Исследование функции y=f(x) и построение ее графика
можно проводить по следующей схеме.
    1) Найти область определения.
    2) Исследовать на четность, нечетность и периодичность.
    3) Исследовать функцию на монотонность, экстремумы.
    4) Исследовать функцию на направление выпуклости и точки перегиба.
    5) Исследовать функцию на асимптоты.
    6) Найти точки пересечения графика функции с осями системы координат.


                                              16


      Схема построения графика функции. График можно строить в следующей последо-
вательности.
      1) На оси Ох выделить область определения функции.
      2) Начертить все асимптоты, если они есть.
      3) Нанести точки графика, где достигаются экстремумы, если они есть.
      4) Нанести точки перегиба, если они есть.
      5) Нанести точки пересечения графика с осями системы координат, если они есть.
      6) При необходимости исследовать поведение функции при x →+ ∞ и −∞.
      7) Начертить схематично кривую через нанесенные выше точки, учитывая поведение
графика вблизи асимптот и при x →+ ∞ и −∞.
      8) Сравнить полученный эскиз с результатами исследования: проверить промежутки
монотонности, промежутки выпуклости и вогнутости и т. д.
      9) Уточнить эскиз графика. При необходимости найти дополнительные точки графика
и начертить график так, чтобы она проходила через эти точки. Если функция четная (нечет-
ная), то график начертить симметрично относительно оси Оу (соответственно начала коор-
динат). Если функция периодическая с наименьшим периодом T > 0, то построить часть гра-
фика на одном интервале длины T и повторить ее через период.
                                                                              1
                                                                          −
     Пример. 17) Провести полное исследование функции y = ( x − 2) e          x
                                                                                  и построить ее
график.
     Решение. Функцию исследуем согласно схеме.
      1) Область определения – множество всех действительных чисел, таких, что x ≠ 0. Точ-
ка x = 0 является точкой разрыва функции.
      2) Функция не является четной, нечетной, периодической.
      3) Найдем первую производную:

                                                       ( )             ′
                           1               1        1             1                   1

         y′ = ( x − 2)′ e x + ( x − 2) (e x )′ = e x + ( x − 2)e x − 1 = x + x − 2 e x .
                         −               −        −             −         2         −
                                                                     x      x2
                                     1

Решим уравнение y′ = 0: x + x − 2 e x = 0 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x = −2 или x = 1. Производная
                           2        −

                             x2
не существует в точке x = 0, но в ней функция не определена, поэтому она не является кри-
тической. Таким образом, критическими являются точки x = -2 и x = 1. Разобьем им область
                                                                                           1
                                                                                       −
определения на интервалы и нейдем в них знаки производной (рис. 8а). Так как e x > 0 и
x 2 ≥ 0 , то знак производной совпадает со знаком квадратного трехчлена x 2 + x − 2 . Его зна-
чение в интервалах (-∞, -2) и (1, +∞) положительно, а в интервалах (-2, 0) и (0, 1) от-
рицательно. Таким образом, функция возрастает в интервалах (-∞, -2) и (1, +∞), убывает
в интервалах (-2, 0) и (0, 1), x = -2 – точка максимума, максимальное значение равно
 y ( −2) = −4 e ≈ −6,60, x = 1 – точка минимума, минимальное значение равно y (1) = − 1 / e ≈
− 0,37.
         4) Найдем вторую производную:
                                 ′
                 ⎛ x2 + x − 2 ⎞ − 1 x2 + x − 2 − 1
          y′′ = ⎜⎜             ⎟e x+
                               ⎟                     (e x )′ =
                 ⎝      x2     ⎠              x2
                                                   1                 1           1
             ( 2 x + 1) x − ( x 2 + x − 2) ⋅ 2 x − x x 2 + x − 2 1 − x 5 x − 2 − x
                         2
          =                                      e +            ⋅ 2e =        ⋅e .
                             x4                             x2   x        x4
Вторая производная существует во всех точках области определения функции, значит, точка
перегиба может быть только при таких значениях х, что у′′ = 0. Решив уравнение


                                                                                                     17


                   1
 5x − 2 − x
       ⋅ e = 0 , получим х = 2/5 = 0,4. Этой точкой разобьем область определения функции
   x4
на интервалы (рис. 8б). Чтобы определить знаки второй производной в этих интервалах,
возьмем в каждой из них по одной точке (например, -1, 0.1, 1) и найдем знаки у″ в этих
точках: у″(-1) < 0, у″(0.1) < 0, у″(1) > 0. Следовательно, у″< 0 в интервалах (-∞,0) и (0,
0.4), у″> 0 в интервале (0.4,+∞) (рис. 8б).
Таким образом, функция выпукла вверх в интервалах (-∞,0) и (0, 0.4), выпукла вниз в ин-




                                                                                Рисунок 8



                                                                                                                                                                             8
тервале (0.4,+∞), x = 0.4 является абсциссой точки перегиба, y (0.4) = − ≈ −0.13.                                                                                            2
                                                                   5e e
      5) Вертикальная асимптота может быть в точке разрыва x = 0. Найдем односторонние
пределы функции в этой точке.
                                             1                                                                                                   1
                                         −                                                                                                   −                                        −2
             lim ( x − 2)e                   x
                                                     = −2e + ∞ = −2e + ∞ = −∞ , lim ( x − 2)e                                                    x
                                                                                                                                                         = −2 e − ∞ =                      = 0.
          x →0− 0                                                                                         x →0+ 0                                                                     e+ ∞
Следовательно, прямая x = 0 является вертикальной асимптотой при x → 0 слева, при этом
график функции бесконечно приближается к асимптоте, уходя в -∞ (вниз).
                                                                                                                                                                         1
                                                                                                                                                                     −
         Горизонтальных асимптот нет, так как lim y ( x) = lim ( x − 2)e                                                                                                 x
                                                                                                                                                                                 = ±∞.
                                                                                                      x → ±∞                        x → ±∞
         Найдем наклонные асимптоты по формулам (7).
                                                 1
                                x − 2 −x
         k = lim                     e = 1 ⋅ e0 = 1 .
                       x → ±∞     x
                                                     1                                          1                  1                                     1                                    1
                                                 −                                          −                  −                                     −                                    −
         b = lim (( x − 2)e                          x
                                                         − x) = lim ( x(e                       x
                                                                                                    − 1) − 2e x ) = lim x(e                              x
                                                                                                                                                             − 1) − lim 2e                    x
                                                                                                                                                                                                  .
                       x → ±∞                                            x → ±∞                                                    x → ±∞                                        x → ±∞

По правилу Лопиталя
                                                                                                                               1
                                                 1                                      1                                  −
                                                                                                               1
               1                             −                                      −                                  e       x
                                                                                      − 1)′
                                                                                                                                                                 1
             −                           e       x
                                                         −1                    (e       x
                                                                                                     2                                                       −
lim x(e        x
                   − 1) = lim                                 = lim                  1 ′
                                                                                            = lim x                                = lim (−e ) = −1 .            x
x → +∞                          x → +∞               1                x → +∞        (x)       x → +∞ −                 1              x → +∞
                                                     x
                                                                                                                       x2
             1                                                    1
         −                                                    −
lim 2e       x
                   = 2e0 = 2. lim x(e                             x
                                                                       − 1) = −1 .
x → ±∞                                   x → ±∞

         Таким образом, b = -3 и прямая у = х – 3 является наклонной асимптотой при x →±∞.


                                                        18




                                                  Рисунок 9


      6) Так как в точке x = 0 функция не определена и
                                        1                                          1
                                    −                                          −
       lim y ( x) = lim ( x − 2)e       x
                                            = 0 , lim y ( x) = lim ( x − 2)e       x
                                                                                       = −∞ ,
       x →0+ 0           x→0+ 0                  x →0 − 0     x →0 − 0
то график функции “подходит” справа к началу координат.
      Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью Ох , решим уравнение
                     1
                 −
у(х) = 0: ( x − 2)e x = 0 ⇔ x = 2. Значит, график пересекает ось Ох при x = 2.
      Построим график функции по результатам исследования, следуя схеме построения
графика, описанной выше (см. рис. 9).
      1) Область определения не содержит точку 0, значит, график не пересекает ось Оу.
     2) Начертим асимптоту у = х – 3, вертикальная асимптота совпадает с осью Оу.
     3) Наносим точки А (-2, ≈-6.60) и В (1, ≈-0.37), где функция достигает соответствен-
но максимума и минимума.
     4) Наносим точку перегиба D (0.4, ≈-0.13).


                                                  19


     5) Отметим начало координат, к которой “подходит” график слева, и точку С (2, 0) пе-
ресечения графика с осью Ох.
     6) Так как lim y ( x) = − ∞ и lim y ( x) = + ∞ , то при x →-∞ график “уходит” вниз, а
                    x → −∞              x → +∞

при x →+∞ - вверх.
      7) Поскольку прямая у = х – 3 асимптота при x →-∞, то проводим кривую от А влево и
вниз так, чтобы она приближалась к прямой у = х – 3. При этом выпуклость направим вверх.
Затем от точки А проводим кривую вправо и вниз, приближая ее к асимптоте х = 0. При этом
выпуклость по-прежнему направим вверх. Соединим начало координат с точкой перегиба D
“убывающей” кривой выпуклостью вверх. Соединим точку D с точкой В “убывающей” кри-
вой выпуклостью вниз. Соединим точку В с точкой С “возрастающей” кривой выпуклостью
вниз. Наконец, проводим от точки С кривую вправо и вверх выпуклостью вниз так, чтобы
она приближалась к асимптоте у = х – 3.
     8) Для контроля сравниваем полученный эскиз графика с результатами исследования
функции. Интервалы монотонности и экстремумы, интервалы выпуклости и вогнутости, точ-
ки перегиба эскиза графика совпадают с результатами исследования. Поведение графика на
эскизе вблизи асимптот и при больших по модулю значениях переменной х согласуется с
результатами исследования.
     9) Для уточнения графика найдем несколько точек вблизи асимптот.
      y ( −5) ≈ −8.55, y ( −1) ≈ −8.15, y (6) ≈ 3.39. Соответствующие точки на рис. 9 обозна-
чены буквами P, Q, T . На рис. 9 приведен увеличенный фрагмент F графика, где более точно
изображено поведение графика около точки перегиба D.


                                     ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

      1. Найти производные следующих функций.
                                                                                  5           1     1
      1) y = x 2 − 5 x + 4 ;                           2) y = x + 3                       −     2
                                                                                                  + 3;
                                                                                      x       x    3x
                                                                      2
                 ⎛    x        ⎞                                  x
      3) y = x 5 ⎜ 2 − + 3 x 2 ⎟ ;                     4) y =                     ;
                 ⎝    3        ⎠                                 x +1
                                                                 2



      5) y =
             (1 − x )    2

                             ;                         6) y = (1 + 5 x ) ;
                                                                                  3

                  x
      7) y = sin 5 x ;                                 8) y = cos 2 x ;

      9) y = sin x 2 ;                                 10) y = 3 2 + x 4 ;
                                                                       1
      11) y = ln cos 3x ;                             12) y = arctg .
                                                                       x
    Решение. 1) y ′ = ( x − 5 x + 4)′ = ( x )′ − (5 x)′ + (4)′ = 2 x − 5 ⋅ 1 + 0 = 2 x − 5 (по правилам
                         2                 2


дифференцирования (1), (2) и формулам 1 и 4 таблицы ).
                                                             1                1
                                                                          −                1
      2) Преобразуем данную функцию к виду y = x 2 + 5 x                      3
                                                                                  − x − 2 + x −3 .
                                                                                           3
Применяя правила (1), (2) и формулу 4 таблицы, получим


                                                      20


                       1
                    1 −2   ⎛ 1 −4 ⎞               1              1     5     2  1
             y′ =     x + 5⎜ − x 3 ⎟ − (−2) x −3 + (−3) x − 4 =
                           ⎜ 3     ⎟                               −       + 3− 4.
                    2      ⎝       ⎠              3             2 x 3 x
                                                                     3   4  x  x

     3) Сначала раскроем скобки, затем продифференцируем:
                                                         ′
                              ′ = ⎛ 2 x 5 − x 6 + 3x 7 ⎞ = 10 x 4 − 2 x 5 + 21x 6 .
                                           1
                             y ⎜                       ⎟
                                  ⎝        3           ⎠
     4) Пользуясь правилом (4) дифференцирования дроби, получим
                       ′
              ⎛ x2 ⎞     ( x 2 )′( x 2 + 1) − ( x 2 + 1)′ x 2 2 x( x 2 + 1) − 2 x ⋅ x 2      2x
            ′=⎜ 2
           y ⎜       ⎟ =
                     ⎟                                       =                          = 2         .
              ⎝ x + 1⎠                ( x + 1)                       ( x + 1)            ( x + 1) 2
                                         2      2                       2     2




     5) Вначале раскроем скобки и произведем деление числителя на знаменатель почленно,
далее продифференцируем:
                                                1                               3
          1− 2 x + x 1     2                  −                         ⎛ 1⎞ −        1   1
       y=            = −      + 1 = x −1 − 2 x 2 + 1 ; y ′ = − x − 2 − 2⎜ − ⎟ x 2 = − 2 +    .
              x        x    x                                           ⎝ 2⎠         x    x3
      6) Полагая y = u 3 , где u = 1 + 5 x , и применяя формулу (2) для дифференцирования
сложной функции, имеем:
                   dy           du           dy dy du
                                                        = 3u 2 ⋅ 5 = 15(1 + 5 x ) .
                                                                                 2
                       = 3u 2 ;     = 5;        =   ⋅
                   du           dx           dx du dx
     Легко проверить правильность этого результата: возведя в куб и дифференцируя полу-
ченный многочлен, приходим к тому же ответу.
    7) Полагая 5 x = u и пользуясь формулой 10 таблицы и правилом дифференцирования
сложной функции (2), найдем
                                         ′          ′
                         y ′ = (sin 5 x ) = (sin u ) = cos u ⋅ u ′ = 5 cos 5 x .
       8) Полагая cos x = u и применяя формулу (2) и формулы 4 и 11 таблицы, получим
                                   ′        ′
                    y′ = (cos 2 x ) = (u 2 ) = 2u ⋅ u′ = 2 cos x (− sin x) = − sin 2 x .

       9) При x 2 = u по формуле (2) и формулам 10 и 4 таблицы найдем
                           (sin x 2 )′ = (sin u )′ = cos u ⋅ u ′ = 2 x ⋅ cos x 2 .
      10) Полагаем 2 + x 4 = u . Пользуясь формулой 4 таблицы, имеем
                                         ′
             3
               (        ) ( )
                      ′ 3 ′ ⎛ 1 ⎞ 1 −2
               2+ x = u =⎜ ⎟
                    4
                                                              (
                                                                    2
                                  ⎜ u 3 ⎟ = u 3 u′ = 1 2 + x 4 3 4x3 =
                                                                  −
                                                                      )         4x3
                                                                                           .
                                  ⎝ ⎠ 3               3                     33 2 + x 4(  2
                                                                                             )
      Дифференцирование этой сложной функции можно записать иначе:
                                        1 ′
                3
                    (    ′ ⎛
                            )⎜
                                           ⎞ 1
                                           ⎟
                                                        −
                                                          2
                                                                     ′
                  2 + x 4 = ⎜ (2 + x 4 )3 ⎟ = (2 + x 4 ) 3 (2 + x 4 ) =
                                                                            4x3
                                                                                       .
                             ⎝             ⎠ 3                          33 (2 + x 4 )
                                                                                     2


     Второй способ записи без особого обозначения промежуточного аргумента значитель-
но проще. Этому способу записи и следует научиться при дифференцировании сложных
функций.

     11) Согласно формулам 8, 11 таблицы и формуле (2) имеем



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика