Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной: Методические указания к самостоятельной работе

Голосов: 5

Методические указания предназначены для оказания помощи студентам заочной и дистанционной форм обучения при подготовке к контрольным работам, тестам, зачетам и экзаменам в качестве дополнительного пособия. Содержат краткие теоретические сведения с примерами, задачи с подробными решениями и задачи для самостоятельного решения с ответами.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    Министерство Образования Российской Федерации
 ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
  УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА
              (ЮРГУЭС)




   МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
   к самостоятельной работе по теме
“Дифференциальное исчисление функции
  одной действительной переменной”

  для студентов 1-2 курсов всех специальностей
    заочной и дистанционной форм обучения




                 Шахты 2001


                                       2



                              Составители
Син Л.И.                    Доцент кафедры математики ЮРГУЭС
Саакян О.В.                 Ассистент кафедры математики ЮРГУЭС


                                 Рецензент
Михайлов А.Б.                Доцент кафедры математики ЮРГУЭС,
                             канд. физико-математических наук




     Методические указания предназначены для оказания помощи студентам
заочной и дистанционной форм обучения при подготовке к контрольным рабо-
там, тестам, зачетам и экзаменам в качестве дополнительного пособия. Содер-
жат краткие теоретические сведения с примерами, задачи с подробными реше-
ниями и задачи для самостоятельного решения с ответами.




           © Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, 2001
           © Син Л.И., Саакян О.В., 2001


                                  3


                            СОДЕРЖАНИЕ

   СПРАВОЧНЫЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ…………………..…...…4
1. Производная функции……………………………………………..…….….….4
2. Таблица производных……………………………………………..…...…….…4
3. Действия над дифференцируемыми функциями …………………………….5
4. Дифференцирование сложной функции ………………………..………….…5
5. Производная функции, заданной параметрически …………………………..6
6. Дифференцирование показательно-степенной функции ….…………….…..6
7. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой……6
8. Производные высших порядков …………………………………………….…7
9. Правило Лопиталя ………………………………………..……………………..8
10. Промежутки монотонности функции …………………………………………9
11. Экстремумы функции………………………………………………...…………9
12. Направление выпуклости функции. Точки перегиба..………………………11
13. Асимптоты графика функции………………………………….……………...13
14. Исследование функции и построение ее графика …………………………...15
  ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ...…………………………………………………19
  ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ……….…….….…..…25
  БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК …………………………..…………….27


                                                     4


                          СПРАВОЧНЫЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
       1. Производная функции.
        Пусть функция y = f (x) определена в окрестности точки x0, Δx = x − x0 − приращение
аргумента x, Δf ( x0 ) = f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) − приращение функции (рис 1а).
        Определение 1. Производной функции f (x) в точке x0 называется конечный предел
       Δf ( x0 )
 lim             , если он существует.
Δx → 0   Δx
                                                                             d f ( x0 )
          Производная функции f (x) в точке x0 обозначается f ′( x0 ) или               . Через y′ или
                                                                                dx
 dy
       обозначают производную функции y = f (x) в точке x.
 dx
          Замечание 1. Пусть предел в определении 1 равен +∞ (или – ∞). В этом случае гово-
рят, что производная f ′( x0 ) =+∞ (или – ∞).
          Определение 2. Если для любого достаточно малого Δx выполняется равенство
                                         Δf ( x0 ) = A ⋅ Δx + α ⋅ Δx ,
где A − постоянная, α − бесконечно малая функция при Δx→0, то функция f(x) называется
дифференцируемой в точке x0 (см. рис. 1а). Величина A·Δx называется дифферециалом функ-
ции f(x) в точке x0 и обозначается символом df(x0). Дифферециал функции y = f(x) в точке x
обозначается символом dy.
          Теорема 1. Функция y = f(x) имеет в точке x (конечную) производную в том и только в
том случае, если она дифференцируема в этой точке. При этом верно равенство
                                         dy = f ′ (x) dx.                                           (1)
          В силу этой теоремы выражения “функция дифференцируема” и “функция имеет про-
изводную” означают одно и то же.
         2. Таблица производных некоторых функций.

                                                                                                Таблица


1. C ′ = 0 ( C = const )        2. x ′ = 1                   3.   ( x )′ = 2 1 x
4. ( x n )′ = nx n −1 (n ∈ R)   5. (a x )′ = a x ln a        6. (e x )′ = e x
                                                                      ′
7. (log a x)′ =
                    log a e
                                8. (ln x)′ =
                                              1
                                                                  ( )
                                                             9. x x = x x (1 + ln x)
                       x                      x
10. (sin x)′ = cos x            11. (cos x)′ = − sin x                          1
                                                             12. (tg x)′ =
                                                                              cos 2 x
                       1                             1                                      1
13. (ctg x)′ = −                14. (arcsin x)′ =            15. (arccos x)′ = −
                    sin 2 x                       1− x   2
                                                                                        1− x2
                   1                                 1       18. (sh x)′ = ch x
16. (arctg x)′ =                17. (arcctgx)′ = −
                1+ x2                              1+ x2
19. (ch x)′ = sh x                             1                                     1
                                20. (th x)′ = 2              21. (cth x)′ = −
                                             ch x                                  sh 2 x


                                                                  5


      3. Действия над дифференцируемыми функциями. Пусть С – постоянная, f (x) и
g (x) - дифференцируемые функции. Тогда
      (1) (С f (x))′ = С f ′ (x),
      (2) ( f ( x) ± g ( x))′ = f ′( x) ± g ′( x) ,
      (3) ( f ( x) ⋅ g ( x))′ = f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x) ,
                      ′
          ⎛ f ( x) ⎞       f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x)
      (4) ⎜
          ⎜ g ( x) ⎟ =
                    ⎟                                          ,      g ( x) ≠ 0.
          ⎝         ⎠                    g 2 ( x)
        Примеры.
                                                                            1                                     cos x
        1) Найти производную функций: а) у=х4, б) у =                            4   , в) у =
                                                                                                3
                                                                                                    x5 , г) у =         + sin 5 .
                                                                            x                                       3
        Решение. а) По формуле 4 таблицы при n = 4 имеем у′ = (х4)′ = 4 х3.
               1    −4                                                            −4
        б) у = 4 = x . По формуле 4 таблицы при n = – 4 имеем у′ =(х–4)′= – 4 х–5= 5 .
                 x                                                                                                     x
                               5                                                                        2
                                                                                                    5       53 2
        в) у =
                 3
                     x5 = x . По формуле 4 таблицы при n =5/3 имеем у′= x =
                               3                                                                        3
                                                                                                              x .
                                                                                                    3       3
                 cos x          1
        г) у =         + sin 5 = cos x + sin 5. Так как sin5 не зависит от x (т.е. sin5=const), то фор-
                  3             3
                                                                ′
                                                       ⎛1      ⎞     1
муле (1) таблицы (sin5)′=0. По свойству (1) имеем у′ = ⎜ cos x ⎟ = − sin x.
                                                       ⎝ 3     ⎠     3
                                                                  arccos x
     2) Найти производную функций: а) y=ex + x2 sinx, б) y =               .
                                                                     2x
     Решение. а) По свойству (2) имеем у′=(ex)′ + (x2 sinx)′. По формуле 6 таблицы и свойст-
ву (3) имеем у′=ex + (x2)′sinx + x2 (sinx)′ = ex + 2x sinx + x2 cosx.
                                                        (arccos x)′ ⋅ 2x − arccos x ⋅ (2 x )′
        б) По свойству (4) имеем                 y′ =                                         =
                                                                       (2 x ) 2
             2x
        −                − arccos x ⋅ 2 x ln 2
            1− x     2                               − 2 x − arccos x ⋅ 2 x ln 2 1 − x2              1 + ln 2 1 − x 2 arccosx
    =                                            =                                              =−                              .
                          (2 x ) 2                            (2 x ) 2 1 − x 2                              2x 1 − x2

     4. Дифференцирование сложной функции. Пусть функция y = f (u ) имеет производ-
ную в точке u, а функция u = g(x) имеет производную в точке u = g(x). Тогда сложная функ-
ция F ( x) = f ( g ( x)) имеет производную в точке x, равную
                                        F ′( x) = f ′(u ) ⋅ g ′( x) .                   (2)

         Примеры. 3) Найти производную функции y = ln (1 + x2).
         Решение. Применим формулу (2), считая f (u) = ln u, u = g(x) = 1 + x2. По формуле 6
                                                                                      1                  2x
таблицы (ln u)′=1/ u. Следовательно, по формуле (2) y′ =                                ⋅ (1 + x2 )′ =        .
                                                                                      u                1 + x2
         4) Найти dy, df (2), df (2) при dx=0.2, если y = ln (1 + x2).


                                                                        6


                                                                              2x                                4
            Решение. По формуле (1) dy = f ′ (x) dx =                              dx. При x = 2 имеем d f (2) = dx.
                                                                            1 + x2                              5
                                                      4
При dx = 0,2 имеем d f (2) dx=0.2 =                     ⋅ 0,2 = 0,16.
                                                      5

     5. Производная функции, заданной параметрически. Пусть функции
                               x = ϕ (t ), y = ψ (t )
задают параметрически функцию y = f(x) в окрестности точки x = ϕ (t ) , функции ϕ (t ) и ψ (t )
имеют производные ϕ ′t ) ≠ 0 и ψ ′(t ) в точке t. Тогда функция y = f (x) также имеет произ-
водную в точке x, и верна формула
                                                    ψ ′(t )
                                          f ′( x) =         .                              (3)
                                                    ϕ ′(t )
                                                                     dy
       Пример. 5) x= sin 2t, y = tg 2t (– π ⁄ 4 < t < π ⁄ 4). Найти      .
                                                                     dx
                                           dy (tg2t )′ 2 cos2 2t       1
       Решение. По формуле (3) имеем            =             =    =         ⋅
                                           dx (sin2t )′ 2 cos 2t     cos3 2t
       6. Дифференцирование показательно-степенной функции. Для дифференцирования
                                                                                g ( x)
показательно-степенной функции y = ( f ( x))                                           ( f ( x ) > 0) , где f (x) и g (x ) − дифференци-
руемые в точке x функции, можно представить ее в виде
                                                               ( f ( x)) g ( x ) = e g ( x ) ln f ( x ) .
Затем дифференцировать ее как сложную функцию:
                           ′                                          ′ ⎛                                 g ( x) ⋅ f ′( x) ⎞
       (              )
 y ′ = e g ( x ) ln f ( x ) = e g ( x ) ln f ( x ) (g ( x) ln f ( x) ) = ⎜ g ′( x) ⋅ ln f ( x) +
                                                                          ⎜                                    f ( x) ⎟
                                                                                                                           ⎟ ⋅ f ( x) g ( x ) . (4)
                                                                          ⎝                                                ⎠
            Пример. 6) Найти производную функции y = (cos x )
                                                                                             sin x
                                                                                                     , − π / 2 < x < π / 2.
            Решение. По формуле (4) имеем
                                    ′
           y′ = ⎛ e
                ⎜
                    sinx ln cos x ⎞
                                  ⎟ =e
                                       sinx ln cos x
                                                     (sin x ln cos x )′ = (cos x)sinx ⎛ cos x ln cos x + sin x (cos x)′ ⎞ =
                                                                                      ⎜                                 ⎟
                ⎝                 ⎠                                                   ⎝                  cos x          ⎠

                                               = (cos x)sinx (cos x ln cos x − sin x tgx ) .

      7. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой. Пусть
 y = f (x) − дифференцируемая в точке x0 функция, M0 − точка на графике этой функции с ко-
ординатами x0 и y0= f(x0), k = tgϕ − угловой коэффициент касательной, проведенной к графи-
ку функции y = f (x) в точке M0, ϕ (− π 2 < ϕ ≤ π 2 ) − угол наклона касательной к оси абс-
цисс (рис 1а).
      Геометрический смысл производной состоит в том, что f ′(x0) = k.
      Уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке M0 имеет вид
                              y − f ( x 0 ) = f ′( x 0 )( x − x 0 ) .                   (5)
      Прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называет-
ся нормалью к графику функции y = f ( x ) в этой точке.
      Уравнение нормали к графику функции y = f ( x) в точке M0 (x0 , y0) имеет вид
                            ( y − y 0 ) f ′( x0 ) + x − x 0 = 0 .                       (6)


                                                        7


     Замечание 2. Пусть f ′( x0 ) =+∞ (или – ∞). Тогда касательная к графику функции
y = f ( x ) в точке M0 параллельна оси Оу, а уравнение касательной имеет вид х=x0 (рис.1б).
     Замечание 3. Если f ′( x0 ) =0, то касательная к графику функции y = f (x) в точке M0
параллельна оси Ох (рис.1в).




                                               Рисунок 1



     Пример. 7) Найти уравнения касательной и нормали к параболе y = x2 в точке с абс-
циссой 2.
     Решение. Пусть x0=2, f(x) = x2 . Тогда , f(x0) = 4, f ′(x) = 2x, f ′(x0) = 4. По формуле (5)
получаем уравнение касательной: y – 4 = 4(x – 2) или y − 4x + 4 = 0. По формуле (6) получаем
уравнение нормали: 4(y – 4) + x – 2 = 0 или x + 4 y − 18 = 0.

       8. Производные высших порядков. Пусть функция y = f ( x) имеет производную
 f ( x) в каждой точке x некоторого множества D . Тогда ее производную f / ( x) можно рас-
  /


сматривать как функцию, определенную на множестве D . В свою очередь функция f / ( x)
может в некоторых точках множества D иметь производную. В этом случае производной
второго порядка (второй производной) называется производная от производной (( f / ( x)) / .
Для второй производной функции y = f ( x) в точке x применяются обозначения:
                                                                       d2 y
                                    y ′′,   f ′′( x),       y ( 2) ,        .
                                                                       d x2
      Аналогично определяются производные 3-го, 4-го, и т.д. порядков.
      Производной первого порядка (или первой производной) считается f ′( x) .
      Пример. 8) y = sin 3x. Найти производные 1-го, 2-го, 3-го порядков и y(3)(π).
      Решение. y′ = 3 cos 3x, y″ = – 9sin 3x, y(3) = – 27 cos 3x, y(3)(π) = – 27 cos 3π = 27.


                                                                   8


     9. Правило Лопиталя. Это правило нахождения некоторых пределов функций при по-
мощи производных. Правило Лопиталя задается следующей теоремой.
     Теорема 2. Пусть 1) функции f (x) и g(x) дифференцируемы в некоторой проколотой
окрестности* точки а, 2) lim f ( x) = lim g ( x) = 0 (или ∞), 3) g(x) ≠ 0 и g’(x) ≠ 0 в этой окре-
                                    x→a            x→a

                                                       f ′( x)                              f ( x)
стности. Тогда, если существует lim                            , то существует lim                  и верно равенство
                                                x → a g ′( x )                         x→ a g ( x )

                                                         f ( x)             f ′( x)
                                                  lim             = lim              .
                                                  x → a g ( x)        x → a g ′( x )


        Замечание 4. Теорема верна и для случая а = ∞ (+∞, – ∞).
                                                      f ′( x)
        Замечание 5. Теорема верна и для случая lim            = ∞.
                                                x → a g ′( x )

                                                                                                f ( x)
        Замечание 6. Из условий теоремы следует, что функция                                           является неопределен-
                                                                                                g ( x)
ностью вида 0 (или ∞ ) при x → a , следовательно, теорема позволяет в некоторых случаях
                0      ∞
раскрыть эти неопределенности.
      Замечание 7. Часто правило Лопиталя применяется повторно следующим образом.
                                                  f ′( x)
Пусть при выполнении условий 1) – 3) теоремы              является неопределенностью вида
                                                  g ′( x)
 0 (или ∞ ) . Тогда правило Лопиталя применяется повторно к f ′( x) и т. д. Если после не-
 0      ∞
                                                                g ′( x)
скольких повторных применений правила будет получено конечное или бесконечное значе-
                              f ( x)
ние, то оно будет равно lim           .
                         x→ a g ( x )


                                                         e x − e− x
        Примеры. 9) Найти предел lim                                .
                                                  x → 0 ln(1 + x )



    Решение. Функции f (x) = ex – e-x и g(x) = ln(1+x) удовлетворяют условиям 1) – 3) тео-
ремы 2, причем имеет место неопределенность вида 0 . Применим правило Лопиталя:
                                                   0
               e x − e− x         (e x − e − x )′          e x + e− x    e x + e− x
        lim               = lim                   = lim               =                      = 2.
        x → 0 ln(1 + x )    x → 0 (ln(1 + x ))′     x → 0 1 (1 + x )    1 (1 + x)     x =0

                                       e3 x − 3 x − 1
        10) Найти предел lim                          .
                                  x →0   sin 2 5 x
        Решение. Имеет место неопределенность вида 0 . Применим правило Лопиталя.
                                                   0
            e3 x − 3 x − 1        (e3 x − 3 x − 1)′              3 e3 x − 3
        lim                = lim                    = lim                        .
        x→0   sin 2 5 x      x →0   (sin 2 5 x)′      x → 0 10 sin 5 x ⋅ cos 5 x




*
    проколотой окрестностью точки а называется ее окрестность без а


                                                          9


    Вновь имеет место неопределенность вида 0 . Следуя замечанию 7, применим правило
                                             0
Лопиталя повторно. При этом замечаем, что lim10 cos 5 x = 10 , поэтому правило применяем
                                                           x →0
                           3x
                           3e − 3
только к функции                      :
                            sin 5 x
                3 e3 x − 3           1       (3 e3 x − 3)′ 1          9 e3 x    1 9 e3 x          9
     lim                        =       lim               = lim               = ⋅                = .
     x → 0 10 sin 5 x ⋅ cos 5 x     10  x → 0 (sin 5 x )′  10 x → 0 5 cos 5 x  10 5 cos 5 x x = 0 50

                                   e5 x
     11) Найти предел lim               .
                             x → +∞ x 2


     Решение. Имеет место неопределенность вида ∞ . Применим правило Лопиталя.
                                                ∞

                    e5 x          (e5 x )′       5 e5 x         (5 e5 x )′          25 e5 x
             lim         = lim 2 = lim                  = lim              = lim            = +∞.
             x → +∞ x 2    x → +∞ ( x )′   x → +∞ 2 x     x → +∞ ( 2 x )′    x → +∞   2
     Здесь правило Лопиталя применено два раза.
     Замечание 8. Результат будет таким же и при любом положительном коэффициенте у
показателя экспоненты и любом положительном показателе степени х. Этот факт нефор-
мально означает, что “экспоненциальная функция растет быстрее, чем степенная при
х → + ∞”.
                              x4
     12) Найти предел lim 2 .
                      x → +∞ ln x

     Решение. Имеет место неопределенность вида ∞ . Применим правило Лопиталя.
                                                ∞

             x4              ( x 4 )′            4 x3         ( x 4 )′           4 x3
      lim          = lim               = lim ln x = 2 lim              = 2 lim 1 = 8 lim x 4 = +∞.
     x → +∞ ln 2 x   x → +∞ (ln 2 x )′   x → +∞ 2     x → +∞ (ln x )′     x → +∞      x → +∞
                                                    x                              x

     Здесь правило Лопиталя применено два раза.
     Замечание 9. Результат будет таким же и при любых положительных показателях сте-
пеней х и lnx. Этот факт неформально означает, что “степенная функция растет быстрее, чем
логарифмическая при х →+∞”.

     10. Промежутки монотонности функции.
      Определение 3. Функция f (x) называется возрастающей (убывающей) в промежутке
X из области определения, если для любых x1 , x 2 ∈ X из условия x1 < x 2 следует неравенст-
во f ( x1 ) < f ( x 2 ) (соответственно f ( x1 ) > f ( x 2 ) ).
      На рисунке 2а функция возрастает в интервалах (a, b), (c, d), убывает в (b, c ).
      Под монотонностью понимается либо возрастание, либо убывание.
      Теорема 3 (достаточное условие монотонности). Если функция f(x) дифференцируема в
промежутке X и f ′(x)>0 ( f ′(x)<0 ) для всех x ∈ X , то f(x) возрастает (соответственно
убывает) в промежутке X.

     11. Экстремумы функции.
     Определение 4. Точка x0 называется точкой минимума (максимума) функции y=f(x),
если она определена в некоторой окрестности этой точки и для каждой точки x ≠x0 этой окре-


                                             10


стности f(x) > f(x0) (соответственно f(x) < f(x0)). Значение функции f(x0) называется миниму-
мом (соответственно максимумом).
     На рисунке 2а b – точка минимума, c – точка максимума.
     Под экстремумом понимается либо минимум, либо максимум.
     Точка x0 из области определения функции y=f(x), называется критической точкой, если
либо f(x) дифференцируема в x0 и f ′(x0) = 0, либо f(x) не дифференцируема в x0. На рис. 2б и
2в точка x0 – критическая.




                                         Рисунок 2

      Необходимое условие экстремума. Если x0 − точка экстремума функции f (x), то она
является критической точкой этой функции.
      На рис. 2б критическая точка x0 является точкой экстремума, а на рис. 2в критическая
точка x0 не является точкой экстремума. Таким образом, не всякая критическая точка являет-
ся точкой экстремума.
      Первое достаточное условие экстремума. Пусть x0 − критическая точка функции
y=f(x). Если в некоторой окрестности точки x0 слева от нее производная f ′(x) принимает
один знак, а справа от нее − противоположный, то x0− точка экстремума. При этом если слева
f’(x)>0, справа f ′(x)<0, то x0− точка максимума, в противном случае x0− точка минимума. Если
в некоторой проколотой окрестности точки x0 производная f ′(x) принимает один знак, то x0 не
является точкой экстремума. Если к тому же f (x) непрерывна в x0, то функция монотонна в
этой окрестности (рис. 2в).
      Второе достаточное условие экстремума. Пусть f ′(x0)=0 и существует f′′( x0). Тогда
если f ′′( x0)>0, то x0− точка максимума. Если же f ′′( x0)<0, то x0− точка минимума.
      Этим достаточным условием экстремума удобно пользоваться, если достаточно сложно
установить знак первой производной в окрестности точки экстремума.
      Правило нахождения точек экстремума и промежутков монотонности.
      1) Найти область определения функции f(x).
      2) Найти все критические точки функции f(x). Для этого найти производную, решить
уравнение f ′(x)=0 и найти точки x из области определения, в которых f ′(x) не существует.
      3) Разбить область определения критическими точками на промежутки и в них найти
знаки производной.
      4) В промежутках, где производная положительна, функция возрастает, а в промежут-
ках, где производная отрицательна, функция убывает.
      5) Точки экстремума ищем среди критических точек. Пусть x0 – критическая точка. Ес-
ли в интервале слева от x0 производная положительна (отрицательна), а справа отрицательна
(положительна), то x0 − точка максимума (минимума).



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика