Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. Математика

Голосов: 8

Приведен демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2011 года по математике. Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику ЕГЭ и широкой общественности составить представление о структуре будущих КИМ, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Приведённые критерии оценки выполнения заданий с развёрнутым ответом, включённые в этот вариант, дают представление о требованиях к полноте и правильности записи развёрнутого ответа.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
    Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г.   МАТЕМАТИКА, 11 класс.          (2011 - 1 / 18)   Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г.   МАТЕМАТИКА, 11 класс.          (2011 - 2 / 18)

                                                                                                      Пояснения к демонстрационному варианту
                                                                                               контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2011 года
                                                                                                                по МАТЕМАТИКЕ


                                                                                              Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2011 года разработан
                                                                                        по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки
                                                                                        Российской Федерации.
                                                                                              Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать
                                                                                        представление о структуре будущих контрольных измерительных
                                                                                        материалах, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Задания
                                                                                        Демонстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания,
                                                                                        которые могут быть включены в контрольно-измерительные материалы в
                                                                                        2011 году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень
          Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ
                                                                                        вопросов – в кодификаторах требований и содержания.
                                                                                              Правильное решение каждого из заданий В1-В12 части 1
                                                                                        экзаменационной работы оценивается 1 баллом. Полное правильное решение
                                                                                        каждого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 – 3 баллами С5
              Демонстрационный вариант                                                  и С6 – 4 баллами. Максимальный балл за выполнение всей работы – 30.
    контрольных измерительных материалов единого                                              Предполагается, что верное выполнение не менее пяти заданий
                                                                                        экзаменационной работы отвечает минимальному уровню подготовки,
          государственного экзамена 2011 года                                           подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных
                    по математике                                                       программ общего (полного) среднего образования. Конкретное значение
                                                                                        минимального тестового балла, подтверждающего освоение выпускником
                                                                                        основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего
                                                                                        образования определяется Рособрнадзором в установленном порядке.
                                                                                              К каждому заданию с развернутым ответом, включенному в
   подготовлен Федеральным государственным научным учреждением                          демонстрационный вариант, дается одно-два возможных решения.
                                                                                        Приведенные критерии оценивания позволяют составить представление о
  «ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»                                       требованиях к полноте и правильности решений. Демоверсия, критерии
                                                                                        оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию
                                                                                        подготовки к ЕГЭ по математике.




        © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ                     © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ


Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г.   МАТЕМАТИКА, 11 класс.          (2011 - 3 / 18)        Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г.    МАТЕМАТИКА, 11 класс.         (2011 - 4 / 18)

                                                                                                                                    Часть 1
          Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ
                                                                                             Ответом к заданиям этой части (В1-В12) является целое число или
                     Демонстрационный вариант                                                конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов
               контрольных измерительных материалов                                          №1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой
     для проведения в 2011 году единого государственного экзамена                            клеточки, без пробелов. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в
                          по МАТЕМАТИКЕ                                                      отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке
                                                                                             образцами. Единицы измерения писать не нужно.
                    Инструкция по выполнению работы
                                                                                        B1   Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов
      На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа                       можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?
(240 мин). Работа состоит из двух частей и содержит 18 заданий.
     Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом (В1–В12) базового
уровня по материалу курса математики. Задания части 1 считаются                         В2    На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех
выполненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа                          суток. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат –
или конечной десятичной дроби.                                                               значение температуры в градусах. Определите по графику наибольшую
      Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1-С6) по материалу курса                    температуру воздуха 15 августа.
математики. При их выполнении надо записать полное решение и записать
ответ.                                                                                       T °C
    Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не
                                                                                               18
удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению                               17
пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время.                               16
                                                                                               15
                                Желаем успеха!                                                 14
                                                                                               13
                                                                                               12
                                                                                               11
                                                                                               10
                                                                                               9
                                                                                               8
                                                                                               7
                                                                                               6
                                                                                               5
                                                                                               4
                                                                                               3
                                                                                               2
                                                                                               1                                                                     t, час
                                                                                               0
                                                                                                      6:00     18:00      6:00     18:00      6:00     18:00      6:00
                                                                                                 0:00     12:00      0:00     12:00      0:00     12:00      0:00
                                                                                                       13 августа          14 августа          15 августа


                                                                                        B3   Найдите корень уравнения 3x−2 = 27 .




        © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ                          © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ


      Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.              (2011 - 5 / 18)         Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.           (2011 - 6 / 18)


B4    В треугольнике ABC угол C равен 90о, AB = 5 ,                                        B          На рисунке изображен график функции y = f ( x ) и касательная к этому
                                                                                                 B8
      cos A = 0,8 . Найдите BC .                                                                      графику в точке с абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой
                                                                                                      функции в точке x = 3 .


                                                                   A                       C
                                                         3
B5    Строительная фирма планирует купить 70 м пеноблоков у одного из трех
      поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько
      рублей нужно заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?
                                                                                                                                                    3
                                                    Стоимость
                        Стоимость пеноблоков         доставки          Дополнительные
       Поставщик
                            (руб. за 1 м3 )        (руб. за весь       условия доставки
                                                      заказ)
            1                     2600                 10000
                                                                   При заказе товара на
                                                                   сумму свыше 150000
            2                     2800                  8000
                                                                   рублей доставка
                                                                   бесплатная.
                                                                   При заказе товара на
                                                                   сумму свыше 200000
            3                     2700                  8000                                          Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза
                                                                   рублей доставка               B9
                                                                   бесплатная.                        больше, а радиус основания – в два раза меньше, чем у первого. Найдите
                                                                                                      объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

B6    Найдите площадь четырехугольника,                                                         B10   Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой
      изображенного на клетчатой бумаге с                                                             он находится, описывается формулой h ( t ) = −5t 2 + 18t ( h – высота в метрах,
      размером клетки 1 см Ч 1 см (см.                                                                t – время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько
      рисунок). Ответ дайте в квадратных                                                              секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.
      сантиметрах.
                                                                                                B11   Найдите наибольшее значение функции
                                                                                                                                         3π                  ⎡ π⎤
                                                                                                                      y = 2cos x + 3 x −    на отрезке       ⎢0; 2 ⎥ .
                                                                                                                                         3                   ⎣     ⎦
                                                                                                B12   Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько
                                                                                                      дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два
                                                        1
 B7   Найдите значение выражения log 2 200 + log 2         .                                          дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за три дня?
                                                        25

                                                                                                              Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1.
                © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ                          © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ


     Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.              (2011 - 7 / 18)   Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.           (2011 - 8 / 18)

                                             Часть 2

     Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк
     ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и
     т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

C1   Решите уравнение
                                     6cos 2 x − cos x − 2
                                                          = 0.
                                            − sin x

С2   Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2 , а
     диагональ боковой грани равна          5 . Найдите угол между плоскостью A1BC и
     плоскостью основания призмы.
                                                  1
     Решите неравенство log x +3 ( 9 − x 2 ) −      log 2+3 ( x − 3) ≥ 2 .
                                                                    2
С3                                                      x
                                                 16

С4   На стороне BA угла ABC , равного 30 , взята такая точка D, что AD = 2 и
     BD = 1 . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и
     касающейся прямой BC.

С5   Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     уравнений
                                        (         )
                              ⎧a x 4 +1 = y + 2 − x ,
                              ⎪
                              ⎨
                              ⎪x2 + y2 = 4
                              ⎩
     имеет единственное решение.

     Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел,
С6
     наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что если к десятичной
     записи числа a приписать справа через запятую десятичную запись числа b,
                                                  b
     то получится десятичная запись числа, равного .
                                                  a




              © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ                     © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ


Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.            (2011 - 9 / 18)        Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.          (2011 - 10 / 18)

     Система оценивания экзаменационной работы по математике                                                Решения и критерии оценивания заданий части 2

                        Ответы к заданиям части 1                                                Оценки заданий части 2 зависят от полноты решения и правильности
                                                                                             ответа.
    Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом.                             Общие требования к выполнению заданий с развернутым ответом:
Задания части 1 считаются выполненными, если экзаменуемый дал верный                         решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные
ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.                                     случаи должны быть рассмотрены, из него должен быть понятен ход
                                                                                             рассуждений учащегося. Методы решения, формы его записи и формы
                    № задания               Ответ                                            записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно
                       В1                      5                                             получен правильный ответ, выставляется максимальный балл.
                       В2                     14                                                   Эксперты проверяют математическое содержание представленного
                       В3                      5                                             решения, а особенности записи не учитывают.
                       В4                      3                                                 В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие
                       В5                   192000                                           требования к выставлению баллов. Однако они не исчерпывают всех
                       В6                     18                                             возможных ситуаций.
                       В7                      3                                                 Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0
                       В8                      2                                             баллов.
                       В9                      9                                                 При выполнении задания экзаменуемый может использовать без
                       В10                    2,4                                            доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в
                       В11                     1                                             учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень
                       В12                    20                                             учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и
                                                                                             науки Российской Федерации.
                           Ответы к заданиям части 2
                                                                                        С1   Решите уравнение
          № задания                               Ответ                                             6cos 2 x − cos x − 2
                                                                                                                         = 0.
             С1              2π                    2                                                       − sin x
                           −     + 2π n,   − arccos + 2π n, n ∈ Z .
                              3                    3
               С2          30°                                                               Решение.
               С3          –1                                                                1. Уравнение равносильно системе                             arccos 2
               С4          1 или 7                                                                     ⎧6cos 2 x − cos x − 2 = 0,                                3
               С5          a=4                                                                         ⎨
               С6          a = 2, b = 5                                                                ⎩− sin x > 0.
                                                                                             Из неравенства получаем, что                 1                2
                                                                                             sin x < 0 .                                  2                3
                                                                                             В уравнении сделаем замену                             0
                                                                                             cos x = t      и решим уравнение
                                                                                                                     1            2
                                                                                             6t 2 − t − 2 = 0 . t = − или t = .
                                                                                                                     2            3                              2
                                                                                                                        1             2                  –arccos 3
                                                                                             Равенствам cos x = −           и cos x =
                                                                                                                        2             3
                                                                                             на тригонометрической окружности
                                                                                             соответствуют четыре точки (см. рисунок). Две из них, находящиеся в
                                                                                             верхней полуплоскости, не удовлетворяют условию sin x < 0 .
       © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ                          © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ


  Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.          (2011 - 11 / 18)        Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.                   (2011 - 12 / 18)

                             2π                      2                                                                                       1
                                + 2π n и x = − arccos + 2π n , где n ∈ Z .                    Решите неравенство log x +3 ( 9 − x 2 ) −        log 2+3 ( x − 3) ≥ 2 .
                                                                                                                                                               2
  Получаем решения: x = −                                                                С3                                                        x
                              3                      3                                                                                      16
                                                                                              Решение.
            2π                 2                                                              Найдем, при каких значениях x левая часть неравенства имеет смысл:
   Ответ: −    + 2π n, − arccos + 2π n, n ∈ Z .
             3                 3                                                                                    ⎧9 − x 2 > 0, ⎧( 3 − x )( 3 + x ) > 0,
    Баллы             Критерии оценивания выполнения задания С1                                                     ⎪             ⎪
       2       Обоснованно получен правильный ответ.                                                                ⎪ x + 3 > 0,  ⎪ x > −3,
                                                                                                                    ⎨             ⎨
       1       Верно найдены нули числителя, но или не произведен отбор                                             ⎪ x + 3 ≠ 1,  ⎪ x ≠ −2,
               найденных решений, или допущены ошибки в отборе.                                                     ⎪ x − 3 ≠ 0;
                                                                                                                    ⎩             ⎪ x ≠ 3.
                                                                                                                                  ⎩
       0       Решение не соответствует ни одному из критериев,
               перечисленных выше.
С2   Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2 ,
      а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью                       Значит: −3 < x < −2 или −2 < x < 3 .
   A1BC и плоскостью основания призмы.                                                        Поэтому
                                                 C1                                                                                                     1
                                                                                                             log x +3 ( 3 − x ) + log x +3 ( 3 + x ) − log 2+3 ( 3 − x ) ≥ 2 ;
  Решение. Обозначим H середину ребра                                                                                                                   4
                                                                                                                                                            x

  BC (см. рисунок). Так как треугольник                                         B1                                                              1
  ABC равносторонний, а треугольник                                                                                   log x +3 ( 3 − x ) + 1 − log 2+3 ( 3 − x ) ≥ 2 .
                                                        A1                                                                                      4
                                                                                                                                                      x

  A1BC – равнобедренный, отрезки AH и                                                         Сделаем замену log x +3 ( 3 − x ) = y . Получаем:
  A1H         перпендикулярны            BC .
                                                                                                                  1
                                                                                                             y − y2 ≥ 1 ; y2 − 4 y + 4 ≤ 0 ; ( y − 2) ≤ 0 ; y = 2 .
                                                                                                                                                              2
  Следовательно, ∠A1HA – линейный угол
                                                                                                                  4
  двугранного угла с гранями BCA и BCA1 .
                                                                                              Таким образом, log x +3 ( 3 − x ) = 2 , откуда ( x + 3) = 3 − x ; x 2 + 7 x + 6 = 0 .
                                                                                                                                                          2

  Из треугольника A1 AB найдем: AA1 =1 .
                                                                                              Корни уравнения: −6 и −1 . Условию −3 < x < −2 или −2 < x < 3
  Из треугольника AHB найдем: AH = 3 .           C                                            удовлетворяет только x = −1 .
  Из треугольника HAA1 найдем:
             AA    1
                                                                 H               B            Ответ: −1 .
  tg ∠A1HA = 1 =      .
             AH     3
                                                                                              Решение 2. Можно не находить область допустимых значений x , а прийти к
                                                        A
  Искомый угол равен 30° .                                                                    соотношению x − 3 = 3 − x другим способом. Тогда решение будет немного
                                                                                              короче.
  Ответ: 30° .
                                                                                              Преобразуем неравенство:
  Возможны другие решения. Например, решение задачи с использованием                                                                               1
  векторов или метода координат.                                                                                  log x +3 ( ( 3 − x )( 3 + x ) ) − log 2+3 x − 3 ≥ 2 .
                                                                                                                                                        x
                                                                                                                                                   4
    Баллы          Критерии оценивания выполнения задания С2                                  Заметим, что x + 3 > 0 и ( 3 − x )( 3 + x ) > 0 . Значит, 3 − x > 0 .
       2      Обоснованно получен правильный ответ.
                                                                                              Поэтому x − 3 = 3 − x . Получаем:
       1      Способ нахождения искомого угла правильный, но получен
                                                                                                                                                1
              неверный ответ или решение не закончено.                                                                  log x +3 ( 3 − x ) + 1 − log 2+3 ( 3 − x ) ≥ 2 .
                                                                                                                                                     x
       0      Решение не соответствует ни одному из критериев,                                                                                  4
              перечисленных выше.

         © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ                           © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ


     Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.                            (2011 - 13 / 18)   Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.                (2011 - 14 / 18)

     Сделаем замену log x +3 ( 3 − x ) = y . Получаем:                                                                                         3        3
                                                                                                                                       R = OQ =  OE =       R2 − 1 + 1.
                     1                                                                                                                        2        2
                  y − y2 ≥ 1 ; y2 − 4 y + 4 ≤ 0 ; ( y − 2) ≤ 0 ;
                                                          2
                                                                                  y = 2.
                     4                                                                                              В результате получаем уравнение для R:
     Таким образом,                                                                                                                             3
                                                                                                                                                   R2 − 1 = R − 1.
                                                                                  ⎧ ⎡ x = −1,                                                  2
                                ⎧( x + 3)2 = ( 3 − x ) ,                          ⎪⎢                          Возведем в квадрат обе части этого уравнения и приведем подобные члены.
                                ⎪
                                                           ⎧ x 2 + 7 x + 6 = 0,   ⎪ ⎣ x = −6,                 Получим уравнение R2 – 8R + 7 = 0, решая которое находим два корня R1 = 1,
                                ⎪                          ⎪                      ⎪
       log x +3 ( 3 − x ) = 2 ; ⎨ x + 3 > 0,               ⎨ x > −3,              ⎨ x > −3, x = −1 .          R2 = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка Р (см.
                                ⎪ x + 3 ≠ 1;               ⎪ x ≠ −2;              ⎪ x ≠ −2;
                                ⎪
                                ⎩                          ⎩                      ⎪                           рисунок б).
                                                                                  ⎪
                                                                                  ⎩
     Ответ: −1 .

       Баллы              Критерии оценивания выполнения задания С3
         3           Обоснованно получен правильный ответ.
         2           Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного
                     только конечным числом значений x.
          1          Ответ неверен, но решение содержит переход от исходного
                     неравенства к верной системе рациональных неравенств.
          0          Решение не соответствует ни одному из критериев,
                     перечисленных выше.

С4    На стороне BA угла ABC , равного 30 , взята такая точка D, что AD = 2 и
      BD = 1 . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и
     касающейся прямой BC.
                                                                                                              Ответ: 1 или 7.
     Решение. Центр O искомой окружности принадлежит серединному
     перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q –
                                                                                                              Решение 2. Пусть точка Q касания окружности с прямой BC лежит на луче
     основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку
     пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из                                   BC (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей
     условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ                                                    BQ 2 = BA ⋅ BD = ( BD + DA) ⋅ BD = (1 + 2 ) ⋅ 1 = 3 ,
     равны радиусу R окружности.                                                                              откуда BQ = 3 .
         Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB,
                                                                                                              Пусть O – точка пересечения луча BA и перпендикуляра к BC ,
     что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC
                                                                                                              проведенного через точку Q . Из прямоугольного треугольника BQO
     меньше, чем расстояние от нее до точки A.
         Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и ∠B = 30°                                       находим:
                                                                                                                                 BQ                                  1
                        2 3                                                                                               BO =         = 2 , тогда AO = OD = 1 и OQ = BO = 1 .
     находим, что PE =      . Так как OA = R и AP = 1 , получаем: OP = R 2 − 1 и,                                              cos 30°                               2
                         3                                                                                    Таким образом, точка O удалена от точек A , D и Q на одно и то же
                                   2 3                                                                        расстояние, равное 1. Следовательно, O – центр искомой окружности, а ее
     следовательно, OE = R 2 − 1 +     .
                                    3                                                                         радиус равен 1.
         Из прямоугольного треугольника OQE, в котором ∠E = 60°, находим:                                         Пусть теперь точка Q1 касания окружности с прямой BC лежит на
                                                                                                              продолжении BC за точку B (см. рисунок б), а прямая, проходящая через
              © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ                                    © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ


Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.               (2011 - 15 / 18)        Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.            (2011 - 16 / 18)

точку Q1 перпендикулярно BC , пересекает прямую AB в точке H , а                                   Баллы            Критерии оценивания выполнения задания С4
окружность вторично – в точке T . Тогда                                                              3         Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации
                 BQ1 = BA ⋅ BD = 3, ∠HBQ1 = ∠ABC = 30°,                                                        и обоснованно получен правильный ответ.
                                                                                                      2        Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая
                                  BQ1              1
                          BH =           = 2, HQ1 = BH = 1.                                                    конфигурация, в которой обоснованно получено правильное
                                 cos 30°           2                                                           значение искомой величины.
                                                                                                      1        Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая
      Если R – радиус окружности, то Q1T = 2 R . По теореме о двух секущих                                     конфигурация, в которой получено значение искомой
HQ1 ⋅ HT = HA ⋅ HD , то есть 1 ⋅ (1 + 2 R ) = ( 2 + 3) ⋅ 3 , откуда находим, что R = 7 .                       величины, неверное из-за арифметической ошибки.
                                                                                                      0        Решение не соответствует ни одному из критериев,
                                                                                                               перечисленных выше.

                                                                                            С5    Найдите все значения a, при каждом из которых система
                                                                                                                                  (       )
                                                                                                                            ⎧a x 4 +1 = y + 2 − x ,
                                                                                                                            ⎪
                                                                                                                            ⎨
                                                                                                                            ⎪x2 + y2 = 4
                                                                                                                            ⎩
                                                                                                 имеет единственное решение.

                                                                                                 Решение. Пусть система имеет решение ( x; y ) . Если x ≠ 0 , то система имеет
                                                                                                 второе решение ( − x; y ) . Значит, решение может быть единственным, только
                                                                                                 при x = 0 .
                                                                                                 Подставим x = 0 в первое уравнение: y = a − 2 . Пара ( 0; a − 2 ) должна
                                                                                                 удовлетворять второму уравнению:
                                                                                                                       ( a − 2 ) = 4 , откуда a = 0 или a = 4 .
                                                                                                                                2



                                                                                                 Для каждого из двух найденных                            y
                                                                                                 значений    параметра   нужно                x2+y2=4
                                                                                                 проверить, действительно ли
                                                                                                 данная      система      имеет                                          y=|x|–2
                                                                                                 единственное решение.

                                                                                                 Первый случай: a = 0 . Система
Ответ: 1 или 7.                                                                                  принимает вид                                             0
                                                                                                                                              –2                            2    x

                                                                                                            ⎧ y =| x | −2,
                                                                                                            ⎨ 2
                                                                                                            ⎩x + y = 4
                                                                                                                      2


                                                                                                     Графиком функции y = x − 2
                                                                                                                                                   –2
                                                                                                 является угол, который имеет с
                                                                                                 окружностью        x2 + y 2 = 1 три
                                                                                                 общие точки (см. рисунок). Значит, при a = 0 система имеет три решения.

        © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ                               © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ


     Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.            (2011 - 17 / 18)   Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.            (2011 - 18 / 18)

         Второй случай. a = 4 . Система принимает вид                                                                                      ⎛5⎞
                                                                                                                                              n
                                                                                                                                                     ⎛1⎞
                                                                                                                                                         n

                                     ⎧ y = 4 x 4 + x + 2,                                                             5n − 4n = 1 , откуда ⎜ ⎟ = 1 + ⎜ ⎟ .
                                     ⎪                                                                                                     ⎝4⎠       ⎝4⎠
                                     ⎨ 2
                                     ⎪ x + y = 4.
                                              2                                                                       n                                              n
                                     ⎩                                                                                  ⎛5⎞                                     ⎛1⎞
                                                                                              Функция         f ( n ) = ⎜ ⎟ возрастает, а функция g ( n ) = 1 + ⎜ ⎟ убывает.
         Из первого уравнения следует, что при x ≠ 0 y > 2 , а из второго                                               ⎝ 4⎠                                    ⎝4⎠
     уравнения при x ≠ 0 получаем, что y < 2 . Следовательно, при x ≠ 0 система               Поэтому уравнение f (n) = g (n) имеет не более одного корня, и так как
     решений не имеет. Значит, при a = 4 есть только одно решение x = 0, y = 2 .              f (1) = g (1) , единственным корнем уравнения является n = 1 .

     Ответ: a = 4 .                                                                           Ответ: a = 2, b = 5 .

                                                                                              Возможны другие формы записи ответа. Например:
       Баллы            Критерии оценивания выполнения задания С5
         4         Обоснованно получен правильный ответ.                                      А) ( 2;5) ;
         3         Ответ получен, решение в целом верное, но либо                                5
                                                                                              Б) = 2,5 ;
                   недостаточно обоснованное, либо содержит вычислительные                       2
                   погрешности, в результате которых ответ может быть                            ⎧a = 2,
                   неверным.                                                                  В) ⎨
          2        Верно получены необходимые условия на значения a ,                            ⎩b = 5.
                   однако в проверке достаточных условий допущены ошибки.
          1        Получены только необходимые условия на значения a .                          Баллы            Критерии оценивания выполнения задания С6
          0        Решение не соответствует ни одному из критериев,                               4         Обоснованно получен правильный ответ.
                   перечисленных выше.                                                            3         Получена система необходимых и достаточных условий на
                                                                                                            пару искомых чисел и найдено ее решение, но недостаточно
                                                                                                            обоснована его единственность.
С6    Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел,                     2        Составлено верное уравнение в натуральных числах, из
      наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что если к десятичной                               которого сделаны существенные выводы для нахождения
     записи числа a приписать справа через запятую десятичную запись числа b,                               искомой пары чисел, уравнение до конца не решено, но
                                                                                                            верный ответ приведен.
     то получится десятичная запись числа, равного b .
                                                    a                                              1        Составлено, но не решено верное уравнение в натуральных
     Решение. Пусть десятичная запись числа b состоит из n цифр. Тогда по                                   числах, верный ответ приведен.
     условию задачи можно записать равенство                                                       0        Решение не соответствует ни одному из критериев,
                    b         b                                                                             перечисленных выше.
                    a
                                                 (      )
                      = a + n , поэтому 10n b − a 2 = ab .
                             10
     Из этого уравнения следует, что b > a 2 ≥ a . Так как числа a и b взаимно
     простые, числа b − a 2 и ab тоже взаимно простые. (Действительно, пусть p
     – общий простой делитель этих чисел. Тогда если p делитель a , то p будет
     делителем b . Если же p – делитель b , то p будет делителем a 2 , значит, p –
     делитель a . Противоречие.)
          Поэтому b − a 2 = 1 и, следовательно, ab = 10n . Последнее равенство при
     взаимно простых a и b возможно только в двух случаях:
          1) b = 10n , a = 1 , но в этом случае не выполняется равенство b − a 2 = 1 .
          2) b = 5n, a = 2n. В этом случае равенство b – a2 = 1 принимает вид

              © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ                      © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика