Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Теоретические основы теплотехники: Учебное пособие

Голосов: 4

В учебном пособии лаконично и последовательно изложены теоретические основы теплотехники (основы термодинамики, теории тепло- и массообмена и теории горения), составляющие необходимый и достаточный объем информации для того, чтобы в дальнейшем специалист мог самостоятельно углублять знания в тех или иных областях прикладной теплотехники. Учебный материал изложен отдельными, сравнительно небольшими дозами, структурированность и последовательность изложения которых диктуется внутренней логикой названных наук. Предназначено для студентов, обучающихся по специальности "Энергообеспечение предприятий". Может быть использовано студентами других специальностей при изучении ими дисциплин теплотехнического профиля.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
      той или иной составляющей невелика, и тогда процессам дают особые, специальные названия. При
  невысоких температурах обычно пренебрегают влиянием теплового излучения, а в некоторых других
  случаях – даже и свободной конвекцией.
       тв.                   Передачу тепла от поверхности твердого тела в жидкую или газообразную
     Рис. 2.1 Теплоотдача среду называют теплоотдачей. Так же называют и процесс противополож-
      тело

                   q
                             ной направленности, когда тепло отдается от теплоносителя в стенку.
                             Процесс теплоотдачи проиллюстрирован на рис. 2.1. Теплоотдача – явле-
              жидкость       ние сложное. В тонком слое, непосредственно соприкасающемся с по-
                (газ)
                             верхностью тела, тепло передается теплопроводностью. В слоях доста-
                             точно удаленных от поверхности происходит конвективный теплообмен.
                             Интенсивность теплоотдачи зависит от многих факторов, и в основном от
             свойств и особенностей течения теплоносителя.
                Перенос тепла от одной жидкой или газообразной среды в другую такую же среду через
                        разделяющую их твердую стенку называют теплопередачей (см. рис. 2.2). По-
                        нятно, что теплопередача – это еще более сложный процесс. Он включает две
                        теплоотдачи (с обеих сторон стенки) и теплопроводность через стенку. Эти
                    q   процессы настолько широко встречаются в природе и технике, что всю науку,
                        изучающую особенности и закономерности процессов теплообмена, стали на-
                        зывать теплопередачей.


                          2.1.2 Основные термины теории теплообмена

                                                                     Сперва аз да буки, а потом науки
                                        Русская пословица

   юбые процессы теплообмена всегда сопровождаются изменением температуры в пространстве и во
Л времени. Совокупность всех мгновенных значений температур для каждой точки исследуемого про-
странства называют температурным полем. В общем случае температурное поле описывается зависимо-
стью


                                            t = f (x, у, z,τ),


где функция f описывает связь между температурой t, пространственными координатами х, у, z и време-
нем τ.
    В технике очень часто встречаются установившиеся режимы работы машин или оборудования, ко-
гда нагрузки, расходы, напоры и т.п. продолжительное время остаются постоянными. При установив-
шихся режимах не меняются по времени и температуры в отдельных точках пространства. Такое темпе-
ратурное поле называют стационарным:

                                                           ∂t
                                        t = f (х, у, z),      = 0.
                                                           ∂τ

Если же температура t изменяется с течением времени, то температурное поле принято называть неста-
ционарным. Такие поля характерны для машин и агрегатов циклического действия, а стационарные по-
ля – для оборудования с непрерывным производственным процессом.
    В зависимости от формы тела и направления теплообмена температурные поля могут быть плоски-
ми или одномерными:


                                        t = f (x, y), t = f (x).


   В любом температурном поле есть точки с одинаковой температурой. Если мысленно объединить


их между собой, то получим изотермическую поверхность. Сечение такой поверхности плоскостью дает
линию, которую называют изотермой. Разным температурам соответствуют разные изотермы. Вдоль
изотерм температура не меняется, а значит и теплообмен не происходит. Температура различается
только по направлениям, пересекающим изотермы. Разницу температур между двумя точками про-
странства, лежащими на разных изотермах, называют температурным напором:

                                              ∆t = tг – tx .



Здесь tг и tх – температуры в горячей и в холодной точках. Величина ∆t определяется расстоянием меж-
ду точками и интенсивностью теплообмена в выбранном направлении.
     Рассмотрим небольшой участок температурного поля, выделив изотермы с температурами t, t + ∆t и t
– ∆ t (см. рис. 2.3). Из рисунка видно, что интенсивность изменения температуры в пространстве по раз-
личным направлениям различна. Вдоль изотермы t температура вообще не изменяется, интенсивность из-
менения температуры по направлению х определяется соотношением ∆t / ∆x, а по направлению у – вели-
чиной ∆t / ∆у. Естественно, что максимальная интенсивность изменения температуры в пространстве
(а значит и максимальный теплообмен) будет по направлению, перпендикулярному к изотерме и опреде-
лится отношением ∆t / ∆n. Предел отношения ∆t / ∆n при ∆n → 0 принято называть температурным гради-
ентом:
                                                       ∆t  ∂t
                                         grad t = lim     =      .
                                                  ∆n→0 ∆n   ∂n



    Величина температурного градиента характеризует максимальную интенсивность изменения тем-
пературы в пространстве в окрестностях заданной точки. Это величина векторная, направляют этот век-
тор в сторону увеличения температуры. По линиям градиентов, но в противоположном направлении
проходят и линии тока тепла.
    Таким образом изучение температурного поля и его характеристик дает нам качественную картину
явления, позволяя выделить наиболее теплонапряженные зоны, сопоставлять интенсивность процессов
в разных точках тела и в разных направлениях. Позже будет показано, что знание температурного поля
позволяет рассчитать и количественные характеристики, определяющие интенсивность теплообмена, о
которых следует поговорить дополнительно.
    Количество тепла, которое передается через некоторую изотермическую поверхность за единицу
времени, называют тепловым потоком:


                                               Q = Q*/ τ,


здесь Q* – общее количество тепла, переданное через изотермическую поверхность за время τ .
    Тепловой поток, отнесенный к единице изотермической поверхности, называют удельным тепло-
вым потоком или плотностью теплового потока:
                                              q = Q / F.

Величина q, показывающая сколько тепла передается через единицу поверхности за единицу времени,
является наиболее информативной характеристикой интенсивности процессов теплообмена.

                               2.1.3 Основные законы теплообмена

                                 Выучи, вызубри, не забывай
                                 И повторяй, как заклинанье ...
                                                                                         В. Высоцкий

  епосредственный жизненный опыт и точные физические измерения показывают, что количество пе-
Н редаваемого в пространстве тепла прямо пропорционально продолжительности процесса, поверхно-


сти теплообмена и, как правило, температурному напору:

                                                                                    Q* = A ∆τ F ∆t ,      (2.1)

где А – коэффициент пропорциональности, зависящий от вида и характера процесса, размеров и свойств
тел, многих режимных факторов.       В случае теплоотдачи коэффициент пропорциональности назы-
вают коэффициентом теплоотдачи а, а формулу (2.1) после деления на ∆τ и F записывают в виде закона
Ньютона-Рихмана:

                                                        q = α ∆t,

где ∆t = tс − t ж (или ∆t = t ж − tс , если температура теплоносителя больше, чем температура стенки tc), а ве-
личина α представляет собой количество тепла, которое передается теплоотдачей через единицу по-
верхности за единицу времени при разности температур между стенкой и теплоносителем в один гра-
дус. Величина α зависит от многих факторов, о чем будет рассказано позже, и часто определяется по
результатам экспериментальных исследований процессов теплоотдачи.
    При теплопередаче формула (2.1) записывается в виде основного уравнения теплопередачи:
                                                        q = k (t ж1 − t ж2 ) ,

где коэффициент пропорциональности k называют коэффициентом теплопередачи, a tж1 и tж2 – темпера-
туры горячего и холодного теплоносителей вдалеке от стенки, соответственно. Для многих простых за-
дач величину k нетрудно рассчитать, если известны величины α1 и α2, толщина и теплопроводность
стенки.
    Для процессов теплопроводности указать однозначно величину ∆t , как это было в предыдущих слу-
чаях, невозможно. Поэтому в формулу (1) введем сначала относительный температурный напор ∆t / ∆n и
величину A ∆n будем рассматривать как некий коэффициент пропорциональности, который называют
коэффициентом теплопроводности λ. Этот коэффициент показывает, сколько тепла будет передано теп-
лопроводностью через единицу поверхности за единицу времени при разнице температур в один градус,
приходящейся на каждый метр пути теплового потока. Величина λ зависит только от свойств вещества
и является его физконстантой, характеризующей способность тела проводить тепло. Если перейти к
бесконечно малым приращениям и величину ∆t / ∆n заменить соответствующей производной, то после
деления на ∆τ и F из приведенной формулы получаем известное выражение закона Фурье для теплопро-
водности:

                                                     ∂t
                                            q = −λ      или q = −λ grad t .
                                                     ∂n

Знак минус отражает здесь разную направленность векторов q и grad t. В дальнейшем направления этих
векторов будем считать определенными и не отмечать в приводимых формулах.
    Исключение из закономерности (2.1) составляет тепловое излучение, где в соответствии с законом
Стефана-Больцмана количество излучаемой энергии пропорционально не температурному напору, а аб-
солютной температуре излучающей поверхности в четвертой степени (в идеальном случае, для абсо-
лютно черного тела):

                                             Q = σ s ∆τ F T 4 или q = σ s T 4 ;

здесь σ S – постоянная Стефана-Больцмана – одна из универсальных физических констант.
    Если приведенные формулы представить в виде

                                    q = ∆t / (1 / α), q = ∆t / (1 / k ), q = ∆t / (∆n / λ )

и сопоставить с записью известного закона Ома для электрических цепей: i = U / R, то легко обнаружи-
вается явная аналогия в математическом описании тепловых и электрических явлений. Действительно,
величина q во всех случаях выступает как аналог значению тока i в цепи, температурный напор ∆t – как


аналог разнице электрических потенциалов ∆U , а выражения 1 / α, 1 / k , ∆n / λ по своей сути аналогичны
электрическому сопротивлению R. Именно поэтому перечисленные выражения называют термическими
сопротивлениями теплоотдачи, теплопередачи и теплопроводности, соответственно. Отмеченная анало-
гия позволяет во многих случаях исследовать сложные тепловые явления на сравнительно простых
электрических аналогах [13]. Особое значение этот подход к решению практических задач имел в до-
компьютерную эру, когда численные решения из-за большой их трудоемкости использовались очень
редко.

                                    2.2 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

                               2.2.1 Способность тел проводить тепло

                                                  Т
еплопроводность тел зависит от природы вещества, его структуры, температуры и других факторов, а
численно она определяется величиной коэффициента теплопроводности λ. Наибольшей теплопроводно-
стью обладают серебро, медь, золото, алюминий (λ = 410, 395, 300 и      210 Вт/(м⋅К), соответственно).
Следует подчеркнуть, что на величину λ, металлов существенное влияние оказывает наличие даже очень
небольших примесей других веществ. Например, при наличии в меди даже следов мышьяка теплопровод-
ность ее уменьшается до λ = 142 Вт/(м⋅К). Опыты показывают, что с увеличением температуры металлов
λ незначительно уменьшается.
    Коэффициент теплопроводности капельных жидкостей лежит в диапазоне 0,08 – 0,7 Вт/(м⋅К). С
увеличением температуры у боль-            шинства жидкостей λ уменьшается. Исключение составляют
вода и глицерин.
    Газы имеют очень малую теплопроводность (λ = 0,005 … 0,4 Вт/(м⋅К)), которая с увеличением темпе-
ратуры заметно увеличивается. Изменение давления мало влияет на величину λ. Некоторое влияние об-
наруживается только при очень значительном увеличении давления или в очень разреженных газах.
   Неметаллические твердые тела могут иметь различную теплопроводность (λ = 0,02 … 4,0 Вт/(м⋅К)).
   Среди них особый интерес представляют строительные и теплоизоляционные материалы, большин-
   ство которых имеют капиллярно-пористую структуру и это усложняет механизм процессов, включая
   сюда и радиационно-конвективный теплообмен в порах. Поэтому при оценке теплопроводности та-
   ких материалов должны учитываться его плотность, влажность и пористость.            С увеличением
   пористости, уменьшением плотности и влажности коэффициент теплопроводности таких материалов
   уменьшается. При увеличении температуры таких материалов коэффициент теплопроводности их
   заметно увеличивается. Материалы с λ < 0,25 Вт/(м⋅К) часто применяют в качестве теплоизоляторов.
  Значения коэффициентов теплопроводности λ обычно определяют опытным путем на специальных
экспериментальных установках [14]. Полученные результаты обобщаются и приводятся в справочной
литературе [15]. Можно использовать и аналитические методы расчета величины λ [6], [16], но они не
всегда гарантируют достоверность получаемых результатов.
   Анализ опытных данных для множества веществ показывает, что в большинстве случаев зависимость λ
= f (t) может быть принята линейной

                                             λ = λo (1 + bt),

где λо – теплопроводность материала при t = 0 °С; b – температурный коэффициент, определяемый по
результатам экспериментов. Значения λо и b также приводятся в справочниках.

                      2.2.2 Дифференциальное уравнение теплопроводности

                                                И
зучить явление – значит установить зависимость между физическими величинами, характеризующими
его. Для анализа сложных явлений, к которым следует отнести и процессы теплопроводности, в науке
сложился общий подход, связанный с использованием методов математической физики. Суть этого
подхода состоит в том, что на основании известных физических законов устанавливаются искомые свя-
зи в пределах бесконечно малого объема внутри тела и за бесконечно малый промежуток времени. В
результате получают дифференциальное уравнение (или систему таких уравнений), описывающее весь


класс исследуемых явлений. Для решения конкретных задач это дифференциальное уравнение интегри-
руют в пределах изучаемого пространства и для заданного интервала времени, получая таким путем ана-
литическое решение задачи. Когда из-за сложности уравнений проинтегрировать их в квадратурах не уда-
ется, прибегают к численным методам решения.
                                  Выделим мысленно внутри однородного твердого тела, передающе-
                              го тепло, элементарно малый параллелепипед со сторонами (dx, dy и dz
           z  q               (см. рис. 2.4) и запишем выражение первого закона термодинамики для
                   dy
                              процесса теплопроводности, протекающего в течение элементарно ма-
                        dz
                              лого промежутка времени dτ:
       qx               qx+dx
                                                                             dU = dQ* − dL .
             dx
                       x        Здесь dU – изменение внутренней энергии в выделенном объеме; dQ* –
        y                       количество тепла, вносимого в объем теплопроводностью; dL – работа,
                                совершаемая элементом против внешних сил. Отметим, что

                                       dL = pd (dV) = 0, (dV = dx dy dz ) ,


поскольку дифференциал бесконечно малой величины есть величина бесконечно малая величина второ-
го порядка малости и ею можно пренебрегать. Тогда предыдущая формула упрощается:

                                                                               dU = dQ*.                                              (2.2)

Из термодинамики известно, что

                                                                                                     ∂t
                                                                          dU = c dm d τt = c ρ dV       dτ .                          (2.3)
                                                                                                     ∂τ

Величину dQ* представим тремя слагаемыми
                                                                           dQ* = dQx + dQ * + dQz ,
                                                                                   *
                                                                                          y
                                                                                                *
                                                                                                                                      (2.4)
и более подробно рассмотрим лишь составляющую по направлению х. Если через qx и qx + dx обозначим
удельные тепловые потоки, направленные по оси х, первый из которых входит в элемент, а второй – вы-
ходит из него (см. рис. 2.4), то количество тепла, накапливающееся в выделенном объеме по направле-
нию х, будет:


                                                                   *
                                                                 dQx = q x dy dz dτ − q x+ dx dy dz dτ = (q x − q x+ dx ) dy dz dτ.   (2.5)


Поскольку функция qx = f (x) непрерывна (для распространения тепла нет препятствий), то связь между
предыдущим значением функции и ее последующим значением определяется известной формулой Тей-
лора
                                                   ∂q x      1 ∂2 qx 2 1 ∂3qx 3
                                q x + dx = q x +        dx +         dx +         dx + ... .
                                                    ∂x       2! ∂x 2      3! ∂x 3



    Всеми слагаемыми ряда, начиная с третьего, можно пренебрегать как величинами более высоких
порядков малости. Тогда формулу (2.5) можно переписать:

                                                      ∂q x                ∂q
                                         dQ * = −          dx dy dz dτ = − x dV dτ .
                                                       ∂x                  ∂x



Аналогичные рассуждения, если рассмотреть направления у и z, позволяют получить аналогичные по


структуре выражения для dQ* и dQz . Тогда формула (2.4) может быть представлена так:
                          y
                                *




                                                                              ∂q  ∂q y ∂q z 
                                                                      dQ* = − x +
                                                                              ∂x      +      dV dτ .        (2.6)
                                                                                   ∂y   ∂z 

  Сумму частных производных проекций вектора, выделенную скобками, называют дивергенцией век-
тора и обозначают словом div. Поэтому предыдущее выражение часто записывают по другому:

                                                                     dQ* = –divq – dV dτ.                     (2.7)

  Воспользуемся теперь законом Фурье, который в проекциях на координатные оси дает


                                      ∂t                 ∂t                ∂t                ∂t
                           q x = −λ      cos(nˆ, x) = −λ    ,   q y = −λ      ,   q z = −λ      .
                                      ∂n                 ∂x                ∂y                ∂z



Подставим эти выражения в формулу (2.6)


                                                               ∂    ∂t  ∂   ∂t  ∂   ∂t 
                                                       dQ* = −   − λ  +  − λ  +  − λ  dV dτ =
                                                                                   ∂z
                                                                ∂x  ∂x  ∂y  ∂y      ∂z 
                                                                                                              (2.8)
                                                                ∂2t ∂2t ∂2t         
                                                            = λ 2 + 2 + 2
                                                                ∂x
                                                                                      dV dτ.
                                                                                     
                                                                    ∂y  ∂z          



   Подставим теперь в формулу (2.2) значения dU и dQ* по формулам (2.3) и (2.8), соответственно.
После сокращения получаем

                                                  ∂t     ∂2t ∂2t ∂2t        
                                             cρ      = λ 2 + 2 + 2
                                                         ∂x
                                                                             
                                                                             
                                                  ∂τ         ∂y  ∂z         
или окончательно
                                                                       ∂t   λ  ∂2t ∂2t ∂2t
                                                                              
                                                                                                        
                                                                                                        .
                                                                          =        +    +                     (2.9)
                                                                       ∂τ cρ  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
                                                                              
                                                                                                        
                                                                                                        
    Если преобразовать формулу (2.7), то дифференциальное уравнение теплопроводности можно по-
лучить в виде

                                                                             ∂t   1
                                                                                =   div (λ grad t ) .        (2.10)
                                                                             ∂τ ρc

Это более общая запись, в ней не предполагается, как это сделано при выводе формулы (2.9), что λ =
const.
    Сумму вторых частных производных скалярной величины по направлениям координатных осей на-
зывают оператором Лапласа и обозначают для краткости символами ∇2. Множитель λ /(сρ), составлен из
физконстант и представляет собою некоторую обобщенную физконстанту, характеризующую способ-
ность тел проводить тепло и одновременно аккумулировать его (при нагреве). Эту характеристику на-
зывают коэффициентом температуропроводности а:

                                                     a = λ / (сρ),

поскольку его величина определяет и скорость изменения температуры в любой фиксированной точке
тела. Коэффициент а имеет важное значение только для нестационарных процессов.
    В итоге дифференциальное уравнение теплопроводности записывается очень компактно:


                                              ∂t / ∂τ = a∇2 t.

Это уравнение описывает связь между изменением температуры в пространстве (правая часть) и по
времени (левая часть) в окрестностях любой точки внутри тела и представляет основу для решения все-
го класса задач теплопроводности. Часто это уравнение называют дифференциальным уравнением Фу-
рье.

                      2.2.3 Условия однозначности в задачах теплопроводности

                   Прежде чем найти решение, надо сделать
                   целый ряд расчетов самого различного свойства
                                                                                                    Д. Родари

   ак и любое дифференциальное уравнение, уравнение Фурье имеет бесконечное множество решений.
К Чтобы из этого множества выбрать решение конкретной задачи, нужно при интегрировании уравне-
ния учитывать и использовать для определения произвольных постоянных математическое описание
особенностей этого конкретного случая. Такое описание особенностей конкретной задачи называют ус-
ловиями однозначности или (менее удачно) краевыми условиями.
   При выводе дифференциального уравнения теплопроводности при выделении объекта исследования
(элементарно малый объем внутри тела) мы исключили большое количество информации, важной для
конкретных задач. Условия однозначности призваны вернуть утраты и должны содержать следующую
информацию:
     – о форме и размерах тела (геометрические условия);
     – о физических свойствах вещества, включая численные значения теплофизических коэффициентов
λ, с, р и др. (физические условия);
     – о распределении температуры в теле в начальный момент времени, т.е. нужно знать температур-
ное поле при τ = 0 (начальные условия): t0 = f (x, y, z). В простейшем случае t0 = const и задается чис-
ленное значение этой константы;
     – об условиях теплообмена на границе между телом и средой, т.е. об условиях на поверхности тела
(граничные условия).
Граничные условия можно задать разными способами. Когда задают температуру на поверхности тела,

                                            tп = f (xп, yп, zп, τ),


то это называют заданием граничных условий первого рода (ГУ-1).            В простейшем случае счи-
тается tп = const и задается значение tп.
     При граничных условиях второго рода (ГУ-2) задают удельный тепловой поток на поверхности те-
ла: qп = f (xп, yп, zп, τ). В простейшем случае принимают qп = const.
     Чаще всего известны температура окружающей тело жидкой или газообразной среды и величина
коэффициента теплоотдачи α, характеризующая интенсивность теплообмена на поверхности тела. То-
гда говорят, что заданы ГУ-3 (см. рис. 2.5). Отметим, что при любой форме поверхности весь тепловой
поток, передаваемый теплоотдачей передается теплопроводностью через элементарно тонкий слой на
поверхности тела. Поэтому можно записать следующее теплобалансовое уравнение

                                                  qλ = qα

или, воспользовавшись законами Ньютона-Рихмана и Фурье,


                                                                                      ∂t 
                                                                  α (tс − t ж ) = −λ   .             (2.11)
                                                                                      ∂n  n = 0



    Формула (2.11) в дифференциальной форме описывает связь между tc и tж и во многих случаях (ко-
гда удается рассчитать значение производной) позволяет перейти от ГУ-3 к ГУ-1.


    При ГУ-4 также задаются температурные характеристики окружающей тело среды, но эта среда, в
                   отличие от предыдущего случая, тоже является твердым телом (схема ГУ-4 пока-
                   зана на рис. 2.6). Тепло-
      тело   среда обмен здесь происходит в результате непосредственного контакта поверхностей, а
                   внутри среды – тоже теплопроводностью. Уравнение теплового баланса в этом
                   случае будет
                    q

                                               qт = qср или λ (∂t / ∂n) n = 0 = λ ср (∂tср / ∂n) n = 0 .

                            При ГУ-4 величины λ, λср и (∂tcp / ∂n) n = 0 считаются известными, и это позволя-
ет найти значение производной (∂t / ∂n) n = 0 . Другими словами, в этом случае задается (правда опосредст-
вованно) величина производной (∂t / ∂n) n = 0 на поверхности тела. Дополнительным, но необязательным
условием является равенство температур в точках теплового контакта тела со средой, если этот контакт
идеальный. Если же из-за микронеровностей, зазоров или недостаточного прижатия поверхностей нет
идеального контакта, то возникает дополнительное контактное термическое сопротивление и это при-
водит к скачку температуры в зоне контакта. Величина контактных сопротивлений зависит от многих
факторов (прежде всего от качества механического контакта) и определяется опытным путем.

                    2.2.4 Стационарная теплопроводность плоской стенки при ГУ-1

  ешение отдельных задач теплопроводности логично начинать со стационарных процессов и для тел
Р простейшей формы, поскольку такие тела и режимы чаще всего встречаются на практике, а сами эти
решения, если принимать незначительные упрощающие предположения, получаются достаточно про-
стыми.
   Рассмотрим неограниченную плоскую стенку, температуры tcl и tc2 на поверхности которой извест-
                     ны и неизменны в пространстве и во времени (см. рис. 2.7). На практике к неогра-
                     ниченным можно относить пластины, толщина которых хотя бы в 10 раз меньше ее
           t         ширины, не говоря уже о длине. У таких стенок теплообменом с боковых граней
               q     можно пренебрегать и считать, что все тепло передается только перпендикулярно
       tc1
                     фронтальным поверхностям. Изотермические поверхности при этом имеют вид
                 tc2 плоскостей, параллельных фронтальным, а температура будет изменяться только по
             δ       толщине стенки, т.е. поле будет одномерным: t = f (x). Дифференциальное уравне-
                     ние теплопроводности в этом случае принимает вид (поскольку ∂t /∂τ = 0)
                x
                                                                         d 2t
                                                                   0=a        ,
                                                                         dx 2

                        откуда получаем простое дифференциальное уравнение второго порядка


                                                d2t / dx2 = 0.

Чтобы проинтегрировать его, введем новую переменную u = dt/dx и перепишем так
                                           du /dx = 0.

    Интегралом последнего уравнения может быть любая константа, ибо только производная констан-
ты равна нулю. Значит и = С или            dt / dx = C. Чтобы решить это дифференциальное уравне-
ние, разнесем переменные и проинтегрируем правую и левую части полученного уравнения:
                                                         dt = C/dx, t = C1x + C2.           (2.12)

Здесь C2 – вторая произвольная постоянная интегрирования.
    Нами получено общее решение (2.12), описывающее бесконечное множество решений, различаю-
щихся значениями C1 и C2. Константы интегрирования найдем, воспользовавшись граничными усло-
виями: на левой поверхности (при x = 0) t = tc1 и формула (2.12) принимает вид

                                              tcl = C1⋅0 + C2,


откуда C2 = tc1. На правой поверхности (при х = δ) t = tc2 и по (2.12) можно записать
                                        tc2 = C1δ + C2 = C1δ + tcl,
откуда
                                             C1 = (tcl – tc2) / δ.

    Формулу (2.12) перепишем с учетом полученных значений C1 и C2:


                                                                           t = tcl – [( tcl – tc2) / δ] x.   (2.13)


          t
          tж1                           Мы получили аналитическое выражение для температурного поля внутри
                tc1                     стенки. Это позволяет достаточно просто найти и передаваемый тепловой
                              q
                α1
                          tc2           поток. Действительно, запишем формулу закона Фурье
                            α2, tж2
                      δ
                                                                           q = –λ (dt / dx)
                              x
           Рис. 2.8    и подставим сюда значение производной, продифференцировав предвари-
      Теплопроводность тельно формулу (2.13):
            й
                                              q = λ (tcl – tc2) / δ = (tcl – tc2) / (δ/λ). (2.14)


Величину δ/λ принято называть термическим сопротивлением теплопроводности плоской стенки.
    Из формул (2.12) или (2.13) видно, что внутри стенки температура меняется по линейному закону.
Правда, будет это лишь при λ = const. Если же зависимостью λ = f (t) пренебрегать нельзя, то вид тем-
пературного поля изменится, оно будет нелинейным (см. рис. 2.7). Это становится понятным, если учи-
тывать, что у неограниченной стенки величина q не зависит от x (q = const) и значит во сколько раз при
изменении х и t увеличилась, например, величина λ, во столько же раз должна уменьшиться величина
производной dt / dx в этой точке.

                          2.2.5 Стационарная теплопроводность плоской стенки при ГУ-3

                                                               Видеть значительное в малом – называется мудростью
                                                                                                          Лао-Цзы

                                                    Р
ассмотрим теплообмен в плоской стенке, с обоих сторон которой находятся жидкие или газообразные
теплоносители, как это показано на рис. 2.8. Естественно, что процесс возникнет только тогда, когда тем-
пературы tж1 и tж2 различны. При ГУ-3 значения этих температур, размеры и коэффициент теплопроводно-
сти стенки, а также величины коэффициентов теплоотдачи α1 и α2 с обоих сторон стенки считаются задан-
ными. Осмысливая задачу, приходим к заключению, что рассматривается типичная теплопередача через
плоскую стенку. Воспользовавшись дифференциальным уравнением граничных условий третьего рода
(ГУ-3, формула (2.11)), запишем для левой и правой поверхностей стенки:



                                  α1(tж1 – tс1) = –λ(dt / dx)x = 0 и α2(tc2 – tж2) = –λ(dt / dx)x = δ .



Ввиду линейности температурного поля внутри стенки значения производных одинаковы и равны:


                                   dt        dt        t −t     t −t
                                           =         = c2 c1 = − c1 c2 .
                                   dx  x =0  dx  x=δ     δ         δ


Тогда получаем
                                                                    t с1 − t с2
                                            α1 (t ж1 − t с1 ) = λ               ,
                                                                         δ

                                                                    t с1 − t с2
                                           α 2 (t с2 − t ж2 ) = λ               .
                                                                         δ



Здесь правые части в соответствии с формулой (2.14) равны плотности теплового потока q. Тогда эти
формулы позволяют записать



                                                                         tc1 = t ж1 − q / α1 и t c2 = t ж2 + q / α 2 .
                                                                                            (2.15)
    Если теперь подставим эти значения в формулу (2.14), то получим уравнение, содержащее одну не-
известную величину q:


                                         t c1 − t c2 t ж1 − q / α1 − t ж2 + q / α 2
                                    q=              =
                                             δ/λ                  δ/λ
или

                                      q(δ / λ ) + q / α1 + q / α 2 = t ж1 − t ж2 ,



откуда находим

                                                                                      t ж1 − t ж2
                                                                               q=                 .                       (2.16)
                                                                                    1 δ 1
                                                                                        + +
                                                                                    α1 λ α 2

    Нами получена формула, правая часть которой содержит только известные по условиям однознач-
ности величины. Рассчитав q, по формулам (2.15) легко найти и значения tc1 и tc2, переводя задачу к ГУ-
1.
    Сопоставляя формулу (2.16) с основным уравнением теплопередачи


                                                q = k (tж1 – tж2),


можно увидеть, что для плоской стенки величину коэффициента теплопередачи k следует рассчитывать
по формуле

                                                                                            1
                                                                                    k=            .                      (2.17)
                                                                                         1 δ   1
                                                                                           + +
                                                                                         α1 λ α 2
Записав это соотношение в виде


                                           1 / k = 1 / α1 + δ / λ + 1 / α2 ,



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика