Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Методы решения задач тепломассопереноса. Теплопроводность и диффузия в неподвижной среде: Учебное пособие

Голосов: 3

В учебном пособии изложен материал, посвященный решению задач теплопроводности и диффузии в неподвижной среде, изучаемых в курсах "Основные процессы и аппараты химической технологии", "Явления переноса в ПАХТ", "Инженерная оптимизация в ПАХТ", "Энерго- и ресурсосбережение в ПАХТ", "Инженерная экология в ПАХТ", "Химические процессы и реакторы". Приведены примеры решений, материалы для самостоятельной работы, основная и дополнительная литература. Пособие предназначено для студентов, магистрантов и аспирантов химико-технологических и машиностроительных специальностей, а также для работников химической и смежных отраслей промышленности, интересующихся вопросами расчета и моделирования тепловых и массообменных процессов.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
     В.И. КОНОВАЛОВ, А.Н. ПАХОМОВ,
   Н.Ц. ГАТАПОВА, А.Н. КОЛИУХ


   МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
   ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ДИФФУЗИЯ
    В НЕПОДВИЖНОЙ СРЕДЕ



                                   ∂T ( R, τ)       α
                                                −       (T ( R, τ) − Tc ) = 0
                                        ∂r          λ




    Tc       R




                           ∂T ( 0, τ)
                                        =0
                   λ          ∂r



         α




                 • Издательство ТГТУ •


                 Министерство образования и науки Российской Федерации

                      Государственное образовательное учреждение
                        высшего профессионального образования
                «Тамбовский государственный технический университет»




                         В.И. КОНОВАЛОВ, А.Н. ПАХОМОВ,
                           Н.Ц. ГАТАПОВА, А.Н. КОЛИУХ


                             МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
                             ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

                        ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ДИФФУЗИЯ
                            В НЕПОДВИЖНОЙ СРЕДЕ



                           Утверждено Ученым советом ТГТУ
                              в качестве учебного пособия




                                        Тамбов
                                   Издательство ТГТУ
                                          2005
УДК 536.248
ББК ç331я73-1
    М54


                                     Р е ц е н з е н т ы:

                           доктор технических наук, профессор,
           заведующий кафедрой «Компьютерное и математическое моделирование»
                                 ТГУ им. Г.Р. Державина
                                     А.А. Арзамасцев

                           доктор технических наук, профессор,


                     заведующий кафедрой «Информационные системы» ТГТУ
                                        Ю.Ю. Громов


       Коновалов В.И., Пахомов А.Н., Гатапова Н.Ц., Колиух А.Н.

М54     Методы решения задач тепломассопереноса. Теплопроводность и диффузия в неподвижной
   среде: Учеб. пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2005. 80 с.

     В учебном пособии изложен материал, посвященный решению задач теплопроводности и диф-
   фузии в неподвижной среде, изучаемых в курсах «Основные процессы и аппараты химической тех-
   нологии», «Явления переноса в ПАХТ», «Инженерная оптимизация в ПАХТ», «Энерго- и ресур-
   сосбережение в ПАХТ», «Инженерная экология в ПАХТ», «Химические процессы и реакторы».
   Приведены примеры решений, материалы для самостоятельной работы, основная и дополнительная
   литература.
     Пособие предназначено для студентов, магистрантов и аспирантов химико-технологических и
   машиностроительных специальностей, а также для работников химической и смежных отраслей
   промышленности, интересующихся вопросами расчета и моделирования тепловых и массообмен-
   ных процессов.
                                           УДК 536.248
                                           ББК ç331я73-1


ISBN 5-8265-0442-0                  В.И. Коновалов, А.Н. Пахомов,
                                      Н.Ц. Гатапова, А.Н. Колиух, 2005

                                 Тамбовский государственный
                                     технический университет, (ТГТУ), 2005

                                       Учебное издание

                               КОНОВАЛОВ Виктор Иванович,
                               ПАХОМОВ Андрей Николаевич,
                               ГАТАПОВА Наталья Цибиковна,
                               КОЛИУХ Александр Николаевич

                                 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
                                 ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

                            ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ДИФФУЗИЯ
                                В НЕПОДВИЖНОЙ СРЕДЕ

                                       Учебное пособие

                                 Редактор Т.М. Ф е д ч е н к о

                         Компьютерное макетирование И.В. Евсеевой


                                Подписано к печати 12.12.2005.
                Гарнитура Тimes New Roman. Формат 60 × 84/16. Бумага офсетная.
                     Печать офсетная. Объем: 4,65 усл. печ. л.; 4,7 уч.-изд. л.
                                     Тираж 100 экз. С. 874

                           Издательско-полиграфический центр ТГТУ
                             392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14


                                          ВВЕДЕНИЕ

    1 Задачи тепло- и массопереноса являются одними из важнейших задач математической физики в
курсе «Процессы и аппараты химической технологии». Это объясняется как их повсеместным распро-
странением, так и определяющим влиянием на эффективность тепловых, диффузионных и химических
аппаратов.
       В учебном пособии изложен материал, посвященный решению задач теплопроводности и диф-
   фузии в неподвижной среде, изучаемых в курсах, читаемых на кафедре «Химическая инженерия
   (Процессы и аппараты химической технологии)» в ТГТУ: «Основные процессы и аппараты химиче-
   ской технологии (ПАХТ)», «Явления переноса в ПАХТ», «Инженерная оптимизация в ПАХТ»,
   «Энерго- и ресурсосбережение в ПАХТ», «Инженерная экология в ПАХТ», «Химические процессы и
   реакторы» и других. Приведены примеры решений, материалы для самостоятельной работы, основ-
   ная и дополнительная литература.
    Рассматривается теплоперенос и диффузия в твердом теле или в любой неподвижной среде, контак-
тирующей с жидкостью или газом. Условия тепло- и массоотдачи на поверхности раздела фаз учитыва-
ются в граничных условиях. К таким процессам относятся:
    – тепловые процессы нагрева и охлаждения обрабатываемых материалов,
    – процессы диффузии, связанные с набуханием, увлажнением, экстрагированием (выщелачиванием)
и пр.,
    – комплексные тепло-диффузионные процессы сушки, адсорбции, кристаллизации и др.,
    – процессы комбинированной термической и тепло-диффузионной обработки, связанные с химиче-
скими, физико-химическими и структурно-реологическими превращениями, такие как обработка поли-
меров, вулканизация резинотехнических изделий, вытяжка и фиксация волокнистых материалов и пр.,
    – наконец, все химические процессы, в том числе каталитические, контролируемые диффузией или
нестационарной температурой.
    Далее к ним примыкают процессы тепломассопереноса в движущейся среде с соответствующими
задачами, дополнительно учитывающими перемещение жидкости или газа.
    2 Пособие предназначено для студентов, магистрантов и аспирантов химико-технологических и
машиностроительных специальностей, а также для работников химической и смежных отраслей про-
мышленности, интересующихся вопросами расчета и моделирования тепловых и массообменных
процессов. В связи с этим некоторые разделы и основная литература предназначены для первичного
изучения материала, а более сложные разделы и обширная дополнительная литература – для углуб-
ленного изучения.
    В списке дополнительной литературы приводятся как последние издания, так и некоторые базовые
классические работы, независимо от года издания.
    3 Для описания вышеперечисленных процессов используются многочисленные простые и слож-
ные, индивидуальные и универсальные, общие и частные постановки задач и математические модели.
    Реальность мира и реальных процессов необъятна, она бесконечно глубока и широка. При любом,
самом детальном, возможном в данных условиях рассмотрении, всегда сохраняются неизвестные черты
явления.
    Для описания реальности составляются ее модели. Они всегда являются приближенными. Так и
модели процессов тепломассопереноса, теплопроводности и диффузии являются приближенными не
только в детально рассматриваемой простой форме уравнений Фурье и Фика, но и даже в имеющихся
или разрабатываемых самых общих, полных и сложных формах.
    Постановки описаний, научных и инженерных задач всегда являются модельными.
    Последние десятилетия характеризуются созданием общих, универсальных описаний и моделей.
При всей их познавательной ценности, универсальные модели часто оказываются неработоспособными.
Причины неработоспособности универсальных моделей и нарушений теоретических представлений и
аналогий между процессами во многом схожи.
    Прежде всего это подмена множества реальных конкретных явлений их общими модельными схе-
мами, которые не могут учитывать индивидуальные особенности всех включаемых в эти схемы явле-
ний. Особенно это характерно для явлений и процессов на границах раздела фаз, для гетерогенных и
многофазных сред, для материалов и потоков со сложной структурой, для высокоинтенсивных процес-
сов. Некоторые из таких явлений вообще могут быть не ясны, не изучены, или даже в настоящее время
не известны.


   Другая возможная причина – неаддитивность явлений: переменное и разнонаправленное влияние
суммируемых явлений в течение процесса или в разных конкретных условиях.
    И наконец сравнимые и переменные погрешности процессных экспериментов и измерений свойств,
особенно, когда в модели требуется «чрезмерно много» различных характеристик такого рода; некор-
ректности в решениях обратных задач; погрешности компьютерных расчетов, в том числе, казалось бы,
вызванных примитивными причинами: «набегание ошибок»; когда требуются многократные итерации и
рекуррентные соотношения; при «наложениях статистик»; когда имеются знакопеременные и плохо
сходящиеся ряды, границы и разрывы; когда приходится учитывать большое число членов рядов,
ошибки округления, число значащих цифр и разности близких числовых величин; а иногда также неус-
тойчивые решения, «жесткие» уравнения и даже случаи патологии в численных методах.
    Для мира природы «усложнение» процессов всегда естественно. «Сложностей» для природы, соб-
ственно говоря, не существует: любой комплексный натурный процесс вбирает в себя все свои состав-
ляющие без каких-либо «трудностей» в своем реальном «масштабе времени», независимо от их «коли-
чества», «вероятности» или «стохастичности», уровня рассмотрения или «иерархического положения».
Соответственно любой реальный процесс, взятый во всех деталях, бесконечно глубок.
    В то же время любая, сколь угодно сложная одно- или многоуровневая математическая модель ог-
раничена и конечна. Еще Аристотелем было подчеркнуто: «Образованный человек не требует большей
точности знаний от предмета, чем это допускает сам предмет». По Козьме Пруткову все звучит проще:
«Нельзя объять необъятное». Гипотетическая «полная» модель, естественно, совпадала бы с натурным
явлением. Внешнее сходство модели и реальности при их отрыве в науке друг от друга может носить
черты самообмана, миражей в природе, защитной мимикрии у растений и животных или даже напоми-
нать искусственных человекоподобных существ в «Солярисе» С. Лема.
    При этом массовое распространение мощных и дорогих современных научно-коммерческих про-
граммных продуктов может приводить (при отрыве от собственного серьезного эксперимента) к эйфо-
рии всемогущества формального математического моделирования, особенно опасной в силу одного из
«принципов Питера», на который нельзя закрывать глаза, и который сформулирован самими основопо-
ложниками численных методов и компьютерного программирования: «ЭВМ многократно увеличивает
некомпетентность вычислителя».
    Дополнительно усугубляет ситуацию, как справедливо отмечают В.В. Дильман и А.Д. Полянин, то,
что публикуемые численные компьютерные результаты такого рода во многом остаются лишь на совес-
ти авторов, так как рецензентам или пользователям проверить их практически невозможно. В то же
время профессиональное и взаимодополняющее физическое и математическое моделирование («сопря-
женное моделирование» – по названию С.Г. Дьяконова) – это единственный путь содержательного изу-
чения явлений и процессов. А какое-либо противопоставление экспериментальных и математических,
аналитических и численных методов моделирования является, в лучшем случае, некорректным. Дейст-
вительно, для профессионалов в области ПАХТ очевидно, что при усложнении исследуемых задач до
уровня, недоступного прямому физическому эксперименту, должны использоваться косвенные данные
и математические методы. Если задачи оказываются недоступными точным или приближенным анали-
тическим методам, то естественным основным аппаратом исследования таких задач становятся числен-
ные методы. При этом моделирование как физическое, так и математическое, является само по себе ос-
новным инструментом познания как такового.
    4 В ряде последних работ было показано и подтверждено примерами, что главные трудности опи-
сания и моделирования сложных реальных процессов тепло- и массопереноса состоят не столько в ма-
тематических, сколько в физико-химических проблемах анализа механизма и кинетики этих процессов.
При этом основной проблемой для построения методов расчета взаимосвязанных процессов диффузии
и теплопроводности остается учет взаимовлияния тепло-, влаго- и баропереноса. В настоящее время
наибольшее распространение как в России, так и за рубежом для теоретического описания таких про-
цессов имеет рассматриваемая далее система дифференциальных уравнений А.В. Лыкова, учитываю-
щая «перекрестные эффекты» на базе линейной термодинамики необратимых процессов. Предложены
также еще более общие описания, а в последние годы другие фундаментальные подходы, в том числе, в
интенсивно развивающейся нелинейной термодинамике необратимых процессов. Эти прогнозируемые
физической теорией взаимосвязи и особенности нужно иметь в виду, однако непосредственное приме-
нение сложных систем взаимосвязанных дифференциальных уравнений с многочисленными необходи-


мыми коэффициентами для конкретных рассматриваемых процессов по вышеуказанным причинам яв-
ляется затруднительным. Поэтому такие задачи целесообразно ставить в «развязанном» виде, что также
рассматривается в данном пособии.
    5 Тогда появляется возможность исследовать и описывать процессы тепло- и массопереноса ком-
плектом обычных уравнений теплопроводности и диффузии, а взаимосвязи между процессами учиты-
вать дополнительно.
    Такие уравнения для массовых случаев тел канонических форм (пластина, цилиндр, шар) решаются
аналитически. Решения приводятся в пособии как подробные для обучения на простых случаях, так и
результирующие – для показа возможностей, для справки и для дальнейшей самостоятельной работы.
    Численные методы в данном пособии не рассматриваются.
    В конце пособия приведены задания для самостоятельной работы: сначала для простых задач теп-
лопроводности и диффузии и для получения аналитических решений соответствующих уравнений в ча-
стных производных; далее для раздельных или взаимосвязанных безградиентных задач, упрощаемых до
обыкновенных дифференциальных уравнений; и наконец для некоторых комплексных задач тепломас-
сопереноса.
                     1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

   Структура раздела:
     1.1 Дифференциальное уравнение теплопроводности (диффузии)
     1.2 Постановки краевых задач теплопроводности (диффузии)
     1.3 Общие постановки задач переноса
     1.4 Приближенные постановки задач
     1.5 Взаимосвязанный тепломассоперенос

                1.1 Дифференциальное уравнение теплопроводности (диффузии)

    1.1.1 Процесс теплообмена представляет собой перенос энергии (обмен), происходящий между те-
лами (средами), имеющими различную температуру. Существуют три способа распространения тепла:
теплопроводность, конвекция и тепловое излучение. На практике обычно теплообмен происходит не-
сколькими, а иногда всеми этими способами. Тогда за основу берут общий «эффективный» теплообмен,
учитывающий все способы.
    Процессы массообмена представляют собой переход одного или нескольких веществ из одной фа-
зы в другую через поверхность раздела. Перенос вещества как межфазный, так и внутри фазы, может
происходить либо путем молекулярной диффузии, либо путем конвекции и молекулярной диффузии
одновременно.
    Распространение тепла или (и) вещества внутри одной фазы называют теплопереносом, массопе-
реносом или тепломассопереносом. Также называют и всю совокупность процессов внутри- и меж-
фазного переноса.
    В данном пособии рассматриваются задачи переноса тепла теплопроводностью и задачи молеку-
лярной диффузии в неподвижной среде, в частности, в твердом теле. Твердое тело может быть непорис-
тым ненабухающим, непористым коллоидным набухающим, капиллярно-пористым и смешанным –
коллоидным капиллярно-пористым. К этой же системе относят так называемые засыпки или плотные
слои зернистых материалов. Примеры таких материалов (соответственно их классификации): металлы,
лиофобные полимеры; глины, лиофильные полимеры; пористые стекла, песок; растительные и живот-
ные ткани, сорбирующие слои.
    Задачи теплопроводности и диффузии имеют широкое практическое применение. Умение решать
подобные задачи позволяет получать важнейшие сведения о процессе. Например, для теплового про-
цесса можно не только рассчитать стационарное температурное поле, тепловые потоки и средние зна-
чения температур отдельных элементов конструкции и аппарата в целом, но и определить характер из-
менения (профили, перепады, градиенты) температур в отдельных точках конструктивных элементов
аппарата, предсказать возможные термодиффузионные эффекты, найти оптимальные параметры и
предложить схему управления данным аппаратом или установкой.
    Процессы теплопроводности и диффузии описываются формально сходными (аналогичными) урав-
нениями. Поэтому можно в основном рассматривать и решать задачи теплопроводности, так как они
несколько шире по формальным характеристикам. В частности, в задачи теплопроводности входят и


коэффициент теплопроводности λ, и коэффициент температуропроводности a = λ/cρ, а в задачи диффу-
зии – только коэффициент диффузии D, являющийся формальным аналогом a.
    Однако всегда необходимо помнить, что эта аналогия является только формально-математической,
так как физика процессов переноса тепла и вещества совершенно различна.
    В дальнейшем при рассмотрении задач переноса будем вести речь в основном о тепловых процес-
сах. Необходимые уточнения для процессов диффузии будут специально отмечаться в тексте дополни-
тельно.

    1.1.2 Основные понятия тепломассопереноса
    Теплопроводность – процесс переноса теплоты посредством обмена энергией при хаотическом теп-
ловом движении микрочастиц (в частности, молекул вещества) в среде, обусловленный неоднородным
распределением температуры в этой среде (то есть молекулярная теплопроводность).
    Температурное поле – это совокупность значений температуры для всех точек пространства в дан-
ный момент времени. Если температура является функцией одних только пространственных координат
T(x, y, z), то температурное поле называется установившимся или стационарным. Если же, в общем
случае, температура изменяется также во времени, то поле называется неустановившимся или неста-
ционарным.
    Основной задачей теплопроводности является определение и изучение пространственно-
временного изменения температурного поля среды (тела).
    Точки температурного поля, имеющие одинаковую температуру, образуют некую поверхность, на-
зываемую изотермической (рис. 1.1). Соответственно в двумерном случае линию равных температур
называют изотермой.
    Перепад температур в направлении нормали к изотермической поверхности определяет величину
градиента температуры. Точнее, градиентом температуры является отношение приращения темпера-
туры ∆Т к расстоянию между изотермами по нормали. За положительное направление вектора-
градиента принимается направление в сторону возрастания температуры

                                                         grad T = 1n (dT/dn),                (1.1)

где 1n – единичный вектор, направленный по нормали в сторону возрастания температуры.
                                  _
                                  n
                                  grad T
   Изотермы                                       T+∆T
                          dS
                                             T

                          __               T-∆T
                          q


                         Рис. 1.1 Характеристики температурного поля

    Аналогично определяются градиенты концентрации или градиенты других потенциалов переноса
энергии или вещества.
    Перенос теплоты теплопроводностью может происходить только при условии, что в различных
точках тела температурное поле неоднородно, то есть существует определенный ненулевой градиент
температуры. Значение плотности теплового потока (или удельного теплового потока) q в произволь-
ной точке тела определяется как количество теплоты dQ, проходящее в единицу времени dτ через еди-
ницу площади изотермической поверхности dS
                                                        q = dQ/(dS dτ).                      (1.2)

   Согласно предположению Фурье, тепловой поток через элемент изотермической поверхности про-
порционален значению температурного градиента в заданной точке
                                                        q = –λ gradT,                     (1.3)

где λ – коэффициент теплопроводности.


    Выражение (1.3) является основой для вывода дифференциального уравнения температурного поля
– закона теплопроводности Фурье.
    Теплопроводность λ характеризует интенсивность переноса тепла в теле. В случае однородного
изотропного тела значение коэффициента теплопроводности λ определяется количеством теплоты, про-
ходящим в единицу времени при перепаде температуры в один градус на единице длины нормали. Та-
ким образом, коэффициент теплопроводности имеет размерность Вт/(м·К). Значение коэффициента те-
плопроводности зависит от температуры, а в анизотропных телах – от направления теплового потока, а
также от плотности, влажности и других характеристик материала (среды).

    1.1.3 Аналитическая теория теплопроводности основана на дифференциальном уравнении тепло-
проводности Фурье, физический смысл которого заключается в том, что уравнение связывает простран-
ственное распределение температуры с изменением ее по времени. Вывод дифференциального уравне-
ния теплопроводности осуществляется из баланса тепла для единицы объема тела с учетом всех его со-
ставляющих и градиентного закона переноса тепла Фурье.
    В прямоугольной системе координат дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

                                                     ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T 
                                                cρ      = λx     + λ y     + λz     + qv ,   (1.4)
                                                     ∂τ ∂x   ∂x  ∂y 
                                                                         ∂y  ∂z 
                                                                                    ∂z 


где x, y, z – пространственные координаты, qv – мощность внутренних объемных источников (стоков
тепла) в теле, например, при фазовых или химических превращениях, при объемном тепловыделении (в
частности, при СВЧ нагреве), Вт, при их отсутствии qv = 0; с – теплоемкость, Дж/(кг⋅К); ρ – плотность,
кг/м3.
    В уравнении (1.4) величины с, λ, ρ, qv в общем случае являются функциями координат x, y, z и тем-
пературы T, то есть уравнение (1.4) нелинейно.
    Если предположить постоянство с, λ, ρ, qv , то уравнение (1.4) упростится и примет вид дифферен-
циального уравнения в частных производных второго порядка параболического типа

                                                         ∂T     ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T    qv
                                                            = a 2 + 2 + 2        +               (1.5)
                                                         ∂τ     ∂x   ∂y   ∂z      cρ
                                                                                 
или
                                                              ∂T          q
                                                                 = a∇ 2T + v ,                     (1.6)
                                                              ∂τ          cρ


где ∇2Т – оператор Лапласа; a = λ/(с ρ) – температуропроводность, м2/с.
    Уравнение (1.6) можно записать также в сферических, цилиндрических или других системах коор-
динат.
    Существуют другие способы вывода, приводящие к более сложным выражениям уравнения теп-
лопроводности: с включением второй и даже третьей производных; с учетом фактически конечной
скорости распространения тепла в веществе, приводящего к гиперболическому дифференциальному
уравнению и т.д. Целесообразность их применения возникает при особо интенсивных тепловых пото-
ках, в так называемых нелинейных процессах и системах и пр.

    1.1.4 На практике для решения задач теплопроводности по возможности выбираются модельные
тела наиболее распространенных и простых геометрических форм – так называемые канонические
формы:
    – одномерная бесконечная пластина, то есть пластина, геометрически ограниченная только по од-
ной координате – толщине и соответственно изменение температуры которой происходит только по од-
ной координатной оси, обычно х;
    – одномерный бесконечный цилиндр;
    – одномерный шар;
    – двух- и многослойные одномерные пластины, цилиндр, шар;
    – двухмерные одно-, двух- и многослойные пластины, цилиндр, шар;
    – трехмерные пластины, цилиндр, шар.


    В соответствии с принятой геометрией модельного тела и условиями теплопереноса уравнение (1.6)
может упрощаться. Например, для однослойной бесконечной пластины при отсутствии внутренних ис-
точников тепла оно имеет вид
                                                          ∂T ( x , τ)    ∂ 2T ( x , τ)
                                                                      =a               .     (1.7)
                                                             ∂τ             ∂x 2



   1.1.5 Молекулярная (свободная) диффузия описывается уравнением Фика
                                                       i = –D gradC,                         (1.8)

где D – коэффициент диффузии, м2/с; С – концентрация диффундирующего вещества в теле, кг/м3; i –
плотность потока массы, кг/(м2⋅с).
    Видно, что градиентные уравнения Фика (1.8) и уравнения Фурье (1.1) по форме аналогичны. Соот-
ветственно дифференциальное уравнение диффузии имеет вид

                                                      ∂C (x, y , z, τ )
                                                                        = D∇ 2 C   + mv.     (1.9)
                                                           ∂τ

   Дифференциальное уравнение диффузии (1.9) аналогично дифференциальному уравнению тепло-
проводности (1.6).

                  1.2 Постановки краевых задач теплопроводности (диффузии)

    1.2.1 Дифференциальное уравнение теплопроводности в общем случае имеет бесконечное множе-
ство решений. Для того чтобы получить единственное решение, характеризующее конкретный процесс,
необходимо дать замкнутое описание конкретного процесса. Для этого дифференциальное уравнение в
общем виде дополняется: уравнениями состояния, уравнениями неразрывности, условиями в начальный
момент времени, условиями на границах тела, данными о геометрии, в частности, условиями симмет-
рии, о теплофизических свойствах материала, а иногда и другими замыкающими задачу сведениями.
    Совокупность начального и граничных условий называют краевыми условиями. Начальные условия
(НУ) состоят в задании температурного поля тела в момент времени, принятый за начальный. Гранич-
ными условиями (ГУ) задают характер теплового взаимодействия между окружающей средой и поверх-
ностью тела.
    Простейшим видом начальных условий являются равномерные, или так называемые безградиент-
ные НУ

                                                    T(x, y, z, 0)= T0 = сonst.              (1.10)

    Могут быть также произвольные и функционально заданные НУ, заданные произвольной или кон-
кретной функцией

                                                    T(x, y, z, 0) = f (x, y, z)             (1.11)

или заданные представительным набором значений температуры в различных точках тела (в виде чи-
словых значений температурного поля)

                                                    T(x, y, z, 0) = Ti(xi, yi, zi).         (1.12)

    Граничные условия также могут быть заданы несколькими способами. Простейшими и наиболее
распространенными на практике являются граничные условия 1, 2, 3 и 4 рода.

    Граничные условия 1 рода (ГУ-1)
    При этом задается распределение температуры на поверхности тела в виде функции координат
и/или времени (рис .1.2)


                                               T(x, y, z, τ)|x, y, z = S = f (x, y, z, τ).          (1.13)

   Например, для одномерной однослойной бесконечной пластины толщиной l
                                                 T(0, τ) = f1(0, τ);                                (1.14)

                                                       T(l, τ) = f2(l, τ).                          (1.15)


                        1
                   2
                        3




                                 Рис. 1.2 Граничные условия 1 рода:
                  1, 2, 3 – температурные поля в разные последовательные моменты
                             времени (для охлаждения тела), Г – граница тела
    К задачам с ГУ-1 относятся задачи охлаждения (нагрева) тела при искусственно заданном распре-
делении температур на поверхности, при очень интенсивном теплообмене на поверхности, когда темпе-
ратуру
поверхности можно считать равной температуре среды и в ряде других случаев.
    Для диффузии ГУ-1 задаются аналогично

                                               С(x, y, z, τ)|x, y, z = S = f(x, y, z, τ).           (1.16)

    Граничные условия 2 рода (ГУ-2)
    В этом случае задается распределение плотности теплового потока на поверхности тела как функ-
ция координат и/или времени

                                                                   ∂T 
                                                    qпов = − λ
                                                                      = f (x, y , z , τ ) S .     (1.17)
                                                                  ∂n  S

    ГУ-2 часто реализуются, например, при поверхностном электронагреве, при нагревании тела высо-
котемпературными источниками тепла, когда теплообмен определяется излучением и т.д.
    Для диффузии ГУ-2 задаются аналогично

                                                                ∂C 
                                                            − D     = f (x, y , z , τ )   S   .   (1.18)
                                                                ∂n  S

    Граничные условия 3 рода (ГУ-3)
    Здесь на поверхности тела задаются условия теплоотдачи с использованием температуры окру-
жающей среды и коэффициента теплоотдачи α, Вт/(м2·К), характеризующего интенсивность теплового
взаимодействия окружающей среды и поверхности тела. Соответственно поверхность тела воспринима-
ет тепловой поток, записываемый по уравнению Ньютона. Тогда ГУ-3 рода имеют вид
                                                            ∂T 
                                                        − λ     = α(T (x, y , z, τ ) S − Tc ) ,   (1.19)
                                                            ∂n  S

где Тс – температура в ядре потока окружающей среды.
    ГУ-3 (рис. 1.3) наиболее часто реализуются на практике, когда имеет место конвективный теплооб-
мен; часто используются как универсальные, так как ими можно приближенно имитировать и другие
ГУ.
    Для диффузии на поверхности тела задают аналогичные условия массоотдачи с использованием
концентрации диффундирующего вещества в окружающей среде Сс и коэффициента массоотдачи β, м/с



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика