Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Компьютерные технологии в металлургии и литейном производстве: Учебное пособие. Часть 1

Голосов: 2

В 1 части учебного пособия описаны методики решения типовых задач в области металлургии и литейного производства с применением современных средств вычислительной техники. Представлены практические приемы использования персональных компьютеров и существующего программного обеспечения для решения таких задач. Пособие предназначено для студентов специальности 110400 - "Литейное производство черных и цветных металлов" (специализация 110409 - "Литейное производство и экономика металлургии"). Оно может быть использовано студентами специальности 060800 - "Экономика и управление на предприятии" (специализация 060802 - "Экономика и управление на предприятиях металлургии"), а также слушателями факультета повышения квалификации профессорско-преподавательского состава, аспирантами, инженерами и всеми, кто желает в короткое время освоить персональный компьютер и использовать его в своей повседневной деятельности.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                       81


где σ b i − стандартная (среднеквадратичная ) ошибка опреде-
ления коэффициента bi согласно формуле

                         σb i =         Db i ,         (8.17)

в которой D b i − дисперсия тех данных, по которым определён
этот коэффициент.
     При прямом подходе к оценке значимости коэффициен-
тов математической модели [2], [4] задаются необходимой для
решаемой задачи доверительной вероятностью и по ней вы-
бирают теоретическое (табличное) значение критерия Стью-
дента t T . При условии

                 |bi|      t   T   ⋅ |   σ   bi   |     (8.18)

коэффициент bi считается значимым. В противном случае его
обнуляют. Возможен и обратный подход, при котором непо-
средственно по рассчитанному значению t Э вычисляют дове-
рительную вероятность для данного коэффициента bi . Далее,
в зависимости от требований к проводимому исследованию,
принимают решение сохранить данный коэффициент
(и соответствующий член уравнения математической модели)
или − принять его за нуль (« нуль − гипотеза »).
     Все рассмотренные и некоторые другие расчёты можно
выполнить с использованием встроенного математического
аппарата Excel. Для решения задачи следует записать исход-
ные данные по специальной схеме, овладеть несложными
приёмами манипулирования имеющимися средствами Excel и
интерпретировать выдаваемые компьютером результаты. При
этом необходимо следующее пояснение. Обычно в литературе
приняты обозначения:
     α − уровень значимости ошибки определения той или
иной величины при статистическом анализе,
      β = 1 − α − доверительная вероятность результатов опре-
деления этой величины.
      Разработчики Excel (фирма Microsoft) приняли иные обо-
значения, а именно:


                              82

-уровень значимости ошибки определения экспериментального
значения критерия Фишера F = F Э обозначен как «значимость
F» ,
-критерий Стьюдента tЭ характеризуется как «t − статистика»,
-уровень значимости ошибки определения коэффициентов bi
математической модели назван «P − значением».
     Ознакомимся с приёмами использования Excel на конк-
ретных примерах.

          8.1. Исследование зависимости
       ударной вязкости образцов стали (Y )
        от содержания в ней фосфора (x)
     Работу выполняем в следующем порядке.
a) Загружаем Excel;
b) Заполняем электронную таблицу исходными данными [22]
по форме табл. 8.1, с. 83;
c) Из главного меню последовательно вводим команды

            Сервис | Анализ данных | Регрессия

d) В окне «Регрессия», появившемся на экране, указываем
диапазоны выходной величины C2:C31 и входной величины
B2:B31, причём при вводе данных вместо символа диапазона
в виде двоеточия достаточно использовать точку. Здесь же
уточняем задание:
   « Константа ноль » ( b 0 не должно быть равно нулю),
   « Уровень надёжности » , т.е. доверительной вероятности, по
умолчанию β = 0,95,
«Вывод» − на отдельном листе рабочей книги Excel.
e) Делаем [ 1Л ] на кнопке [Выполнить];
f) Открываем Лист2 с заголовком Вывод итогов и результата-
ми анализа. Из них важнейшие:

       «R − квадрат», R 2 = 0,7753;
       «Y − пересечение», b 0 = 88,71;
       «Переменная x1», b 1 = − 2272.


                            83




     Таблица 8.1. Сводка экспериментальных данных

            A                    B              C
 1      №№ плавок         x = [ P ], %   Y = KCV, Дж / см2
 2         1                 0,012             70
 3         2                 0,016             40
 4         3                 0,008             60
 5         4                 0,020             40
 6         5                 0,026             30
 7         6                 0,014             60
 8         7                 0,008             80
 9         8                 0,024             30
10         9                 0,018             50
11        10                 0,008             70
12        11                 0,024             30
13        12                 0,018             40
14        13                 0,010             60
15        14                 0,022             60
16        15                 0,026             30
17        16                 0,010             80
18        17                 0,012             60
19        18                 0,014             50
20        19                 0,022             30
21        20                 0,026             30
22        21                 0,020             40
23        22                 0,010             60
24        23                 0,012             60
25        24                 0,018             50
26        25                 0,025             30
27        26                 0,016             50
28        27                 0,014             60
29        28                 0,024             40
30        29                 0,016             60
31        30                 0,018             50

    Таким образом, в нашем случае математическая модель
приобретает вид, Дж / см2


                                84

                         Ŷ = 88,71 − 2272 · x.

     Под рубрикой « Дисперсионный анализ » видим значение
критерия Фишера F = 96,60. Рядом, под условным названием
«Значимость F», число α = 1,4085 · 10 –10 . Отсюда доверитель -
ная вероятность гипотезы об адекватности полученной мате-
матической модели в целом (достаточно высоком значении R2)
составляет

                          β = 1 − α ≅ 1.

     Под рубрикой «t − статистика» выведены эксперименталь-
ные значения критерия Стьюдента для коэффициентов b0, b1,
по которым вычислены « P − значения », т.е. уровни значимос-
ти ошибок α0 = 7,7380 · 10 −19, α1= 1,4086 · 10 −10 определения
этих коэффициентов соответственно. Таким образом, данные
коэффициенты определены с доверительной вероятностью

                    β0 = 1 − α0 ≅ 1; β1 = 1 − α1 ≅ 1.

     Поскольку в данной задаче представлен лишь один фак-
тор x = [P], задача относится к категории одномерного статис-
тического анализа. Всего же в подобный анализ может быть
вовлечено до 16 независимых переменных включительно (мно-
гомерный анализ). Заметим, что при необходимости можно
анализ усложнить и определить уравнение регрессии не
только в линейной форме, но и в нелинейной, в том числе и
в форме пользователя [ 10 ]. При этом подчеркнём, что урав-
нение регрессии позволяет не только проанализировать зави-
симость Y (любого технико – экономического показателя про-
изводства) от определяющих его факторов x1, x2, x3, … , xK
в известных пределах их варьирования, но также выйти в
ближайшую область за эти пределы. Подобная экстраполяция
с расчётом y как функции прогнозируемых значений факторов
даёт возможность выявить тренд, т.е. тенденцию к будущему
развитию того или иного показателя сообразно наметившему-
ся изменению определяющих его факторов. Вообще же, ста-
тистические модели имеют интерполяционный смысл: они


                                85

справедливы в тех пределах значений переменных, которые
вошли в состав исследуемых исходных данных.

        8.2. Исследование зависимости
  цены продукции (Y ) от производительности
        технологического процесса (x1)
    и сводного показателя её качества (x2)
     Используем в качестве примера данные [10], пред-
ставленные в табл. 8.2. Заполняем таблицу этими данными и
сохраняем её для дальнейшего использования.


 Таблица 8.2. Данные двумерного статистического анализа
 зависимости Y= f (x1, x2)

                 A                        B           C
   1   Производительность, x1        Качество, x2   Цена, Y
   2             96                      340         1120
   3            190                      960         4732
   4            364                      376         365
   5            872                      759         257
   6            442                      981         3489
   7            471                      692         1911
   8            398                      400         359
   9            111                      286         1335
  10             57                      643         2581
  11             71                      525         2731
  12            167                      300         773
  13             86                      256         992

    Для решения задачи из главного меню вводим команды

               Сервис | Анализ данных | Регрессия

     Ход решения отличается от рассмотренного в разделе
8.1 лишь тем, что в в окне Регрессия указываем входной ди-
апазон значений Y в виде C2:C13, а общий входной диапазон


                                 86

значений аргументов (координаты левого верхнего и правого
нижнего углов блока данных) A2:B13.

Важнейшие результаты анализа:

                               R2 = 0,9637;
                               b 0 = −162;
                               b 1 = − 4,3045;
                               b 2 = 5,6630.

  Таким образом, в нашем случае математическая модель при-
обретает вид

           Ŷ = − 162 − 4,3045 · x1 + 5,6630 · x2.

   Значение критерия Фишера F = 119,35 при уровне значимос-
ти ошибки его определения α = 3,32 · 10 −07 . Уровни значимос-
ти ошибок определения коэффициентов математической мо-
дели соответственно составили

       α0 = 0,4513 ; α1 = 2,3645· 10 −06 ; α2 = 1,2762· 10 −7.

    Таким образом, доверительные вероятности определения
коэффициентов

             β0 = 1 − 0,4513 = 0,5487 ; β1 ≅ 1 ; β2 ≅ 1

     Доверительная вероятность определения R2 составила

                         β = 1 − 3,32 ⋅ 10 −7 ≅ 1,

т.е. принятая нами модель адекватно описывает исследуемый
массив данных.

     8.3. Полиномиальная нелинейная регрессия
     Поставим перед собой цель повысить степень адекват-
ности математической модели исследуемого объекта, рас-
смотренной в предыдущей задаче. В ряде случаев это удаёт-


                                 87

ся сделать путём принятия более сложной формы модели,
например вида

        Ŷ = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x12 + b4x22 + b5x1x2       (8.19)

     Рекомендуется испытать модель, максимально сложную,
для достижения заданной степени её адекватности. Однако,
общего правила здесь нет, и нужно экспериментировать.
     Для достижения поставленной цели реконструируем
табл. 8.2, приведя её к виду табл. 8.3. Для этого необходимо

    Таблица 8.3. К расчёту нелинейной полиномиальной
регрессии

        A        B           C          D          E       F
      Произ-
     водител Качест-      Специальные вычисления         Цена, Y
 1   ьность, во, x2
       x1

 2     96        340       9216       115600    32640     1120
 3    190        960       36100      921600    182400    4732
 4    364        376      132496      141376    136864     365
 5    872        759      760384      576081    661848     257
 6    442        981      195364      962361    433602    3489
 7    471        692      221841      478864    325932    1911
 8    398        400      158404      160000    159200     359
 9    111        286       12321      81796     31746     1335
10     57        643       3249       413449    36651     2581
11     71        525       5041       275625    37275     2731
12    167        300       27889      90000     50100      773
13     86        256       7396       65536     22016      992

вставить между столбцами B и C три новых столбца. Чтобы
это выполнить, следует установить курсор в произвольную
ячейку столбца C, а затем использовать команды

                          Вставка | Столбцы


                               88

     Значения цены из бывшего столбца C переместятся в
столбец F.
     Новый вид электронной таблицы требует следующих дейст-
вий пользователя. В ячейку C2 вписать формулу = A2 ^ 2, в
ячейку D2 − формулу = B2 ^ 2, в ячейку E2 − формулу = A2 * B2.
Значения x1^2, x2^2, x1*x2 будут теперь рассматриваться как
аргументы обычной линейной регрессии.
     Последующий ход решения практически аналогичен зна-
комому из разделов 8.1 и 8.2.
     В результате решения получаем уравнение регрессии в
форме (8.19) при следующих данных:

                           R2 = 0,9704;
                          F = 39,4116;
                          α = 0,000164;
          b 0 = 318,83;    α 0 = 0,6740;   β 0 = 0,3260
          b 1 = − 3,6709; α 1 = 0,1145;    β 1 = 0.8855
          b 2 =3,4424;     α 2 = 0,2650;   β 2 = 0.7350
          b 3 = − 0,00097; α 3 = 0,6699;   β 3 = 0.3301
          b 4 = 0,001678; α 4 = 0,5449;    β 4 = 0.4551
          b5 = 0,00044;     α5 = 0,9140;   β5 = 0.0860

     Как следует из приведенных данных, ценой существенно-
го усложнения математической модели здесь удалось не-
сколько повысить значение критерия R2, однако доверитель-
ные вероятности определения коэффициентов заметно снизи-
лись.
     Тот же подход может быть использован при определе-
нии уравнения регрессии в форме

             Ŷ = b0 + b1x +b2x2 + b3x3 + … + bKxK,
(8.20)

где x2, x3, … xK формально рассматриваются как линейные
аргументы (факторы), и для них отводятся соответствующие
столбцы в электронной таблице обработки данных.


                                 89

       9. ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ДАННЫХ
   АКТИВНОГО МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИ-
                    МЕНТА

     Активный подход к построению статистических моделей зак-
лючается в том, что значения входов (технологических факторов)
xi сознательно, по определенному плану, изменяются исследова-
телем от одного опыта к другому. Оптимальный план призван
обеспечить минимальное количество потребных опытов с тем,
чтобы получить искомый результат за короткое время и при ми-
нимальных затратах на исследование [2], с. 53 … 56 ; [4], с. 129 …
139.
     Перед началом эксперимента принимают конкретное число
L уровней варьирования факторов, наименьшим из которых яв-
ляется два: верхний xiВ и нижний xiН. Соответственно этому чис-
лу и количеству факторов K определяется минимально потребное
число отдельных опытов

                                N min = L K                   (9.1)

в составе экспериментального исследования, которое для
краткости называют экспериментом.
     Практически не ограничиваются этим числом, а каждый опыт
при одних и тех же значениях факторов повторяют П раз (парал-
лельные опыты). Это необходимо для накопления статистическо-
го материала и повышения достоверности статистического выво-
да, вытекающего из его анализа. Для компактности представле-
ния матрицы плана эксперимента принято выражать факторы в
условной безразмерной форме, каковой являются коды факторов
Xi. При этом имеют место следующие соотношения:

• среднее значение фактора из его верхнего xiВ и нижнего
   xiН уровней
                             xiВ + xiН
                        xi =           ,                    (9.2)
                                 2


                                90



обычно принимаемое за нулевой уровень фактора


                                x0 i = x i               (9.3 )


• интервал варьирования фактора


                       ∆xi = xiв − xi = xi − xiн         (9.4 )


  кодированное значение (код) фактора


                                     x i − x0 i
                           Xi =                          (9.5 )
                                        ∆ xi

• код верхнего уровня фактора


                                     xiВ − x0 i
                          X =
                            В
                            i                     = +1   (9.6)
                                        ∆x i


• код нижнего уровня фактора


                               xiН − x0i
                           X =
                             Н
                             i           = −1            (9.7)
                                  ∆xi




    Изображение единицы в составе (9.6), (9.7) обычно опуска-



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика