Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Компьютерные технологии в металлургии и литейном производстве: Учебное пособие. Часть 1

Голосов: 2

В 1 части учебного пособия описаны методики решения типовых задач в области металлургии и литейного производства с применением современных средств вычислительной техники. Представлены практические приемы использования персональных компьютеров и существующего программного обеспечения для решения таких задач. Пособие предназначено для студентов специальности 110400 - "Литейное производство черных и цветных металлов" (специализация 110409 - "Литейное производство и экономика металлургии"). Оно может быть использовано студентами специальности 060800 - "Экономика и управление на предприятии" (специализация 060802 - "Экономика и управление на предприятиях металлургии"), а также слушателями факультета повышения квалификации профессорско-преподавательского состава, аспирантами, инженерами и всеми, кто желает в короткое время освоить персональный компьютер и использовать его в своей повседневной деятельности.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                                   71

2) Заполняем таблицу анализируемыми данными. В рассмат-
риваемом примере блок данных B3:D12 содержит значения экс-
пертных оценок по трем вариантам литейной технологии X, Y,
Z. В столбце A (строки 13 … 16) приняты следующие обозна-
чения величин:

             Таблица 6.1. Анализ экспертных оценок
                    по абсолютным шкалам

            A              B           C           D
  1       Эксперты            Оценки по вариантам
  2                        X           Y           Z
  3          1             9           7           6
  4          2             7           5           6
  5          3             9           7           6
  6          4             10          6           7
  7          5             5           7           5
  8          6             9           8           4
  9          7             9           10          6
 10          8             8           7           5
 11          9             10          2           7
 12         10             7           7           6
 13         M             8,3         6,6         5,8
 14          D           2,456       4,267       0,844
 15      Корень(D)       1,567       2,066       0,919
 16          V           0,189       0,313       0,158
 17       ВЫВОД          Дост.      Недост.      Дост.

Условные обозначения:

 Ячейка    Символ                   Что обозначает

  A13         M       Среднее значение экспертных оценок
  A14         D       Дисперсия
  A15     Корень(D)   Корень квадратный из дисперсии
  A16         V       Коэффициент вариации

      Эти величины вычисляются по формулам


                                  72



                                        n

                                       ∑A       i
                            M =        i =1
                                                    ,       ( 6.1)
                                            n


где Ai – экспертные оценки по вариантам; n = 10 – количество
экспертов в группе;

                            n

                           ∑ (A − M )
                                   i
                                                    2


                      D=   i =1
                                                        ;   (6.2)
                                  n −1

                      Корень (D ) =             D;          (6.3)

                                    D
                           V=
                                   M .                      (6.4)

3) Для использования встроенного математического аппарата Ex-
cel устанавливаем курсор на B13 и делаем [1Л] на кнопке [ fx ] –
Вставка функций. В окне «Мастер функций», «Шаг 1-й из 2-х»,
выбираем категорию «Статистические» и функцию «СРЗНАЧ»
(среднее значение), затем выполнить [1Л] на [ОК]. В следующем
окне («Шаг 2-й из двух») указываем диапазон аргументов функ-
ции вычисления среднего в виде B3:B12 и завершаем ввод
действием [1Л] на кнопке [ОК]. В ответ в ячейке B13 видим
искомое среднее M = 8,3. Примем во внимание, что диапазон
ячеек в Excel принято обозначать через двоеточие. Однако
для удобства пользователя при наборе с клавиатуры вместо
двоеточия достаточно вводить точку, которая компьютером
автоматически преобразуется в двоеточие. В ячейку B14 анало-
гичными действиями из категории «Статистические» вводим
функцию «ДИСП» (дисперсия) из того же диапазона B3:B12, а в
ячейку B15 – из категории «Математические» − функцию «КО-
РЕНЬ» (корень квадратный из числа в ячейке B14, т.е. из дис-
персии).


                              73

4) В ячейку B16 вводим «пользовательскую арифметическую
 формулу расчетного значения коэффициента вариации:

                         =B15 / B13                      (6.5)

5) После этого в ячейку B17 записываем также пользователь-
скую, но логическую формулу:

              =ЕСЛИ(B16>0,20; “НЕДОСТ.”, “ДОСТ.”)        (6.6)

    Эта формула выражает условие, согласно которому при
 V > 0,2 в ячейку B17 система Excel должна вывести сообщение
“НЕДОСТ.” (т.е. среднее M недостоверно), иначе – “ДОСТ.” (дос-
товерно). Здесь V = 0,2 означает граничное значение коэффи-
циента вариации для условий примера. Достоверность среднего
и различия в средних могут быть также оценены по критерию
Стьюдента [10], с. 254…255.
     Подобными же действиями вводим встроенные функции
и пользовательские формулы в блок ячеек C13:D17.
     Сравниваем результаты экспертизы, из которых следует,
что оптимальным (т.е. набравшим наибольшую среднюю оценку
M = 8,3), является вариант X, а экспертиза варианта Y из-за
большого разброса данных (дисперсия D = 4,267) должна
быть признана недостоверной. Практически в таких случаях с
экспертами проводят дополнительную разъяснительную рабо-
ту и экпертизу повторяют.


            7. КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ
                ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
              И ВЫЯВЛЕНИЕ ОПТИМУМА
          ПО МЕТОДУ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ

    При большом количестве сравниваемых признаков ис-
пользование абсолютных шкал экспертных оценок представ-
ляется затруднительным. Возрастает разброс таких оценок. В
этом случае целесообразно воспользоваться методом парных
сравнений.


                                  74

     Пусть необходимо выявить оптимальный по качеству по-
верхности слитка вариант технологии разливки стали из пяти
возможных вариантов. Обозначим эти варианты ( вообще −
сравниваемые объекты ) как X1, … , X5. Условимся обозначать
результаты парных сравнений следующим образом:

- Xi > Xj , если Xi лучше , чем Xj ;
- Xi < Xj , если Xi хуже , чем Xj ;
- Xi = Xj , если варианты Xi и Xj обеспечивают одинаковое
качество поверхности слитка.

    Примем результаты экспертизы, например, в виде соот-
ношений

     X1 = X2; X2 = X3; X3 < X4; X4 < X5; X5 < X1; X1 < X3; X2 > X5;
     X2 < X4; X4 > X1; X5 > X3 .

    Для математического анализа данных и выявления оп-
тимума необходимо назначить определённые градации срав-
ниваемым объектам, например, такие

- если Xi > Xj , то Xi = 1,5 ; Xj = 0,5 ;
- если Xi < Xj , то Xi = 0,5 ; Xj = 1,5 ;
- если Xi = Xj , то Xi = 1,0 ; Xj = 1,0 .

    Этими числами заполняем ячейки выделенной жирными
линиями квадратной матрицы смежности в блоке B2:F6
(табл.7.1, с. 75). Координаты нужной ячейки определяются пе-
ресечением соответствующей ( i – й) строки столбца A и j –
го столбца. При этом каждое неравенство или равенство как
результат парного сравнения вариантов даёт два числа, пер-
вое из которых определяется прочтением соотношения слева
направо, а второе − справа налево [20].
    В таблице 7.1. принято следующее:
1) Символом P ( лат. прописн.) обозначены абсолютные при-
оритеты, а символом p (лат. строчн.) − приоритеты отно-
сительные.


                                75

Таблица 7.1. Квадратная матрица смежности и анализ
экспертных оценок по методу парных сравнений

      A       B       C       D       E        F       G        H
1    I/J     X1      X2      X3      X4       X5      Pn(1)    pn(1)
2    X1       1       1      0,5     0,5      1,5      4,5     0,18
3    X2       1       1       1      0,5      1,5       5       0,2
4    X3      1,5      1       1      0,5      0,5      4,5     0,18
5    X4      1,5     1,5     1,5      1       0,5       6      0,24
6    X5      0,5     0,5     1,5     1,5       1        5       0,2
7     ∑                                                25        1

                                           Продолжение табл. 7.1

       I       J      K        L      M         N       O         P
 1   Pn(2)   pn(2)   Pn(3)   pn(3)   Pn(4)    pn(4)    Pn(5)    pn(5)
 2   22,3    0,180   110,6   0,166   621,0   0,1894   2968,0   0,1827
 3   24,5    0,198   118,8   0,179   677,6   0,2065   3246,9   0,1999
 4   21,8    0,176   112,1   0,169   557,7   0,1699   2879,8   0,1772
 5   29,5    0,238   146,5   0,220   746.4   0,2275   3870,6   0,2382
 6   25,5    0,206   175,3   0,264   677,9   0,2066   3283,6   0,2021
 7   124       1     663,3     1     3281       1     16714       1


                             76

2) Символ n обозначает порядковый номер строки матрицы, а
в скобках указан порядок итерации.
3) Абсолютные приоритеты первой итерации представлены в
столбце G как построчные суммы элементов векторов – строк
квадратной матрицы смежности B3:F7.
4) Относительные приоритеты любой итерации находятся как
отношения каждого из абсолютных приоритетов к их сумме.
1) Абсолютные приоритеты второй итерации даны в столбце
I. Они определяются в виде построчных произведений векто-
ров – строк матрицы на вектор – столбец G3:G7.
2) Абсолютные приоритеты третьей итерации ( столбец K) на-
ходятся путём умножения векторов – строк матрицы на вектор
– столбец I3:I7 и т. д.

     Необходимые для расчётов формулы записываются в
соответствующие ячейки таблицы по правилам, рассмотрен-
ным в предшествующих разделах. Приведенные в таблице
числа читатель может использовать для контроля правиль-
ности вводимых формул.
     Алгоритм вычислений по методу парных сравнений [20]
представляет собой итерационную процедуру последователь-
ного приближения к уточнёным итоговым показателям качест-
ва сравниваемых объектов в виде     абсолютных и относи-
тельных приоритетов. В нашем случае видно, что оценки
стремятся к некоторым пределам, и эти пределы на 5 – й
итерации (столбцы O, P) позволяют в качестве оптимума вы-
явить 4 - й вариант технологии по максимуму соответствую-
щих приоритетов.

   8. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ
ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА В МЕТАЛЛУРГИИ
     При пассивном эксперименте исследователь не вмеши-
вается в процесс функционирования изучаемого объекта, а
ограничивается лишь наблюдением за ним и сбором значе-
ний как независимых переменных − технологических факторов
(входов) x1, x2, x3, … , xK, так и отклика на их (выхода) y.
Этим данным присуща случайная и закономерная изменчи-
вость.


                                77

     Закономерная изменчивость обусловлена причинно -
следственными связями между выходом и входами объекта.
Последние, в свою очередь, обладают случайной изменчиво-
стью вследствие колебаний химического состава и свойств
сырых материалов, напряжения в сетях электропитания, дав-
ления сжатого воздуха в заводских магистралях и пр. К слу-
чайной изменчивости относят также воздействие на выход
каких - либо факторов, неизвестных или не выявленных на
данной стадии исследования. Определённая случайная измен-
чивость свойственна как входам, так и выходам объекта по
причине случайных погрешностей их измерения.
     Встроенный математический аппарат электронных таблиц
Excel позволяет выполнить простейший статистический анализ
данных, включая элементы регрессионного, корреляционного и
дисперсионного анализа, не прибегая к программированию этой
задачи. Последняя для своего решения требует лишь записи ис-
ходных данных в особой форме и дальнейшего манипулирования
средствами Excel.
     Целью регрессионного анализа является количественное
выявление закономерной связи между входами и выходами
исследуемого объекта на фоне их случайной изменчивости.
Форма этой связи выражается математической моделью
объекта в виде уравнения регрессии [2], [4]

             Ŷ = f (x1, x2, x3, … , xK),                ( 8.1 )
где
    Ŷ− модельное ( т.е. расчётное ) значение выхода;
    K − число факторов.
    Вид функции f исследователь принимает соответственно
задаче исследования.
    В простейшем случае имеем линейное уравнение рег-
рессии

          Ŷ = b0 + b1·x1 + b2·x2 + b3·x3 + … + bK·xK,   ( 8.2 )

в котором коэффициенты bi; i = 0, K средствами Excel опре-
деляются по методу наименьших квадратов. Сущность этого
метода заключается в том, чтобы коэффициенты удовлетво-
ряли условию


                                           78




                       n

                     ∑(Y
                      i =1
                               i
                                         ˆ
                                       − Yi )           2
                                                                → min ,             (8.3)



где i − номер отсчёта экспериментального значения выхода
объекта yi;
i = 1, n ;
n − общее количество отсчётов (опытов);
Ŷi − соответствующее модельное значение выхода объекта.
      Значение n не должно быть меньше своего предельного
минимума

                n min = 2 + (K + 2)(K +1) / 2.                                       (8.4)

     При регрессионном анализе используются такие понятия,
как [21]:
- регрессионная сумма квадратов, иначе − сумма квадратов,
  обусловленная регрессией
                                                                    2

                                            (                       )
                                       n
                     SSрег = ∑ Yi − Y
                               ˆ                                        ;           ( 8.5)
                                   i =1


- остаточная сумма квадратов (сумма квадратов ошибки рег-
  рессии)


                             = ∑ ( Y −Y )
                                   n
                                      ˆ                         2
                                                                    ;
                    SSост                       i           i                        (8.6)
                               i =1


- общая сумма квадратов


                                           = ∑ (Y                           )
                                                    n

            Syy = SSрег + SSост                                 i   −Y          2
                                                                                     (8.7)
                                            i =1


                                              79


    В этих выражениях Y = M − среднее арифметическое
значение выхода
                                               n

                                              ∑Y
                                              i =1
                                                       i

                                        Y =                               (8.8)
                                                   n

    Если ввести математические ожидания указанных сумм
квадратов

                             MSрег = SSрег / f рег ;                      (8.9)

                         MSост = SSост / f                 ост ,         (8.10)

где символом f обозначены соответствующие числа степеней
свободы

            f   рег   =K; f       ост   = n – (K + 1) ; f yy = n – 1,

то отношение

                           MS рег
                      FЭ =                                              ( 8.11 )
                           MS ост

является экспериментальным значением критерия Фишера, а
величина


                             ∑ (Y − Y )
                              n
                                                   2
                                ˆ       i
                             i =1
                      R2 =     n

                             ∑ (Y −Y )
                                                   2                    ( 8.12 )
                                        i
                             i =1


представляет собой квадрат множественного коэффициента
корреляции (реже называется множественным коэффициентом
детерминации).
    Величина FЭ характеризует степень адекватности полу-
ченной математической модели, т. е. соответствия её исход-


                                     80

ным опытным данным, полученным от исследуемого объекта.
При прямой оценке адекватности задаются требуемой дове-
рительной вероятностью и по данным, например, [2, 3] из спе-
циальных таблиц выбирают теоретическое (табличное) значе-
ние критерия Фишера FT . При условии

                    FЭ ≤ FT                          ( 8.13 )

модель можно считать адекватной и наоборот. Возможна и
обратная оценка, при которой по значению FЭ непосредствен-
но вычисляют доверительную вероятность, т.е. степень на-
дёжности найденной математической модели.
    Критерий R2 характеризует степень тесноты связи между
рассматриваемыми переменными. Вообще,

                    0 ≤ R2 ≤ 1                        (8.14)

При R2 = 0 закономерная связь между входами и выходом,
выражаемая уравнением регрессии типа (8.2), отсутствует, а
при R2 = 1 эта связь становится функциональной, без случай-
ной изменчивости данных и, следовательно, - без разброса
отдельных результатов отсчётов относительно линии или по-
верхности регрессии в графическом представлении.
    Принято [10], с. 334 считать допустимым
                        2
                    R          0,7                    (8.15)

     В то же время, критерий FЭ позволяет оценить довери-
тельную вероятность вычисленного значения R2 , что важно
для учёта влияния на эту величину определённой изменчиво-
сти данных в формуле (8.12).
     Проверке подвергают также коэффициенты bi математи-
ческой модели. Обычно это делается с применением крите-
рия Стьюдента (это псевдоним Госсета − английского матема-
тика начала ХХ – го века). Экспериментальное значение дан-
ного критерия
                               bi
                        tэ =        ,                 (8.16)
                               σ bi



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика