Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Методы анализа сложных сигналов: Учебное пособие

Голосов: 0

Учебное пособие составлено в соответствии с программой спецкурса "Анализ временных рядов" для физического факультета Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского. Содержит описание 9 лабораторных работ, выполняемых студентами в рамках специализированного практикума "Методы анализа сложных сигналов". Пособие включает описание необходимых теоретических сведений и порядка выполнения работ. Для студентов, обучающихся по физическим специальностям, а также для аспирантов и научных работников, специализирующихся в области анализа структуры сигналов. Электронная версия пособия размещена на Научно-образовательном портале по нелинейной динамике, созданном кафедрой радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета (<a target=_blank href="http://chaos.ssu.runnet.ru/">http://chaos.ssu.runnet.ru</a>).

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
              À.Í. Ïàâëîâ



  ÌÅÒÎÄÛ ÀÍÀËÈÇÀ
ÑËÎÆÍÛÕ ÑÈÃÍÀËÎÂ

           Ó÷åáíîå ïîñîáèå
äëÿ ñòóäåíòîâ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà




          ÍÀÓ×ÍÀß ÊÍÈÃÀ
              ÑÀÐÀÒÎÂ
                2008


ÓÄÊ [621.391:519.2](075.8)
ÁÁÊ 32.811 ÿ73
     Ï12


      Ïàâëîâ À.Í.
Ï12       Ìåòîäû àíàëèçà ñëîæíûõ ñèãíàëîâ: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ ñòóä.
      ôèç. ôàê. / À.Í. Ïàâëîâ.  Ñàðàòîâ: Íàó÷íàÿ êíèãà, 2008.  120 ñ.: èë.
          ISBN 978-5-9758-0811-0



   Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðîãðàììîé ñïåöêóðñà ¾Àíàëèç âðå-
ìåííûõ ðÿäîâ¿ äëÿ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Ñàðàòîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñè-
òåòà èì. Í.Ã. ×åðíûøåâñêîãî. Ñîäåðæèò îïèñàíèå 9 ëàáîðàòîðíûõ ðàáîò, âûïîëíÿåìûõ
ñòóäåíòàìè â ðàìêàõ ñïåöèàëèçèðîâàííîãî ïðàêòèêóìà ¾Ìåòîäû àíàëèçà ñëîæíûõ ñèã-
íàëîâ¿. Ïîñîáèå âêëþ÷àåò îïèñàíèå íåîáõîäèìûõ òåîðåòè÷åñêèõ ñâåäåíèé è ïîðÿäêà
âûïîëíåíèÿ ðàáîò.
   Äëÿ ñòóäåíòîâ, îáó÷àþùèõñÿ ïî ôèçè÷åñêèì ñïåöèàëüíîñòÿì, à òàêæå äëÿ àñïèðàí-
òîâ è íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ â îáëàñòè àíàëèçà ñòðóêòóðû ñèãíà-
ëîâ.


   Ðåöåíçåíòû:
   Â.Ñ. Àíèùåíêî, Çàñëóæåííûé äåÿòåëü íàóêè ÐÔ, ä.ô.-ì.í., ïðîôåññîð
   Ò.Å. Âàäèâàñîâà, ä.ô.-ì.í., ïðîôåññîð




                                                        ÓÄÊ [621.391:519.2](075.8)
                                                                 ÁÁÊ 32.811 ÿ73




                        Ðàáîòà èçäàíà â àâòîðñêîé ðåäàêöèè




   ISBN 978-5-9758-0811-0                                    c Ïàâëîâ À.Í., 2008


Ïðåäèñëîâèå

     íàñòîÿùåì ó÷åáíîì ïîñîáèè ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê êëàññè÷åñêèå ìå-
òîäû èññëåäîâàíèÿ ñòðóêòóðû ñèãíàëîâ (êîððåëÿöèîííûé è ñïåêòðàëüíûé
àíàëèç), òàê è öåëûé ðÿä ñïåöèàëüíûõ ìåòîäîâ, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ èçó-
÷åíèÿ ïðîöåññîâ ñ ìåíÿþùèìèñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè (ôëóêòóàöèîííûé àíà-
ëèç, âåéâëåò-àíàëèç, ìóëüòèôðàêòàëüíûé àíàëèç) èëè äëÿ ïåðåõîäà ê áî-
ëåå èíôîðìàòèâíîìó ïðåäñòàâëåíèþ ñèãíàëîâ (ïðåîáðàçîâàíèå Ãèëüáåð-
òà, ðåêîíñòðóêöèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì).
Çíà÷èòåëüíîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ñîâðåìåííûì ìåòîäàì àíàëèçà íåñòà-
öèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî íåñòàöèîíàðíû-
ìè ÿâëÿþòñÿ î÷åíü ìíîãèå ñèãíàëû â ïðèðîäå, â ÷àñòíîñòè, ïðàêòè÷åñêè
âñå ïðîöåññû, ðåãèñòðèðóåìûå â äèíàìèêå æèâûõ ñèñòåì.  ó÷åáíîì ïîñî-
áèè íàðÿäó ñ øèðîêî èçâåñòíûìè ñïîñîáàìè îáðàáîòêè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ
äàííûõ ðàññìàòðèâàþòñÿ ïåðñïåêòèâíûå ïîäõîäû ê èññëåäîâàíèþ ñòðóê-
òóðû ñëîæíûõ ñèãíàëîâ, ïðåäëîæåííûå çà ïîñëåäíèå äâà äåñÿòèëåòèÿ.
   Ïîñîáèå ñîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðîãðàììîé ñïåöêóðñà ¾Àíàëèç
âðåìåííûõ ðÿäîâ¿, êîòîðûé ÷èòàåòñÿ ñòóäåíòàì ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòå-
òà Ñàðàòîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èì. Í.Ã. ×åðíûøåâñêîãî
è âêëþ÷àåò ÷àñòü ìàòåðèàëà ðàçäåëà ¾Êëàññè÷åñêèå ìåòîäû¿ è îñíîâíîé
ìàòåðèàë ðàçäåëà ¾Cïåöèàëüíûå ìåòîäû¿ ýòîãî ëåêöèîííîãî êóðñà. Îíî
ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ-ôèçèêîâ, âûïîëíÿþùèõ ëàáîðàòîðíûå ðàáî-
òû â ðàìêàõ ñïåöèàëèçèðîâàííîãî ïðàêòèêóìà ¾Ìåòîäû àíàëèçà ñëîæíûõ
ñèãíàëîâ¿.


1 Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç

1.1 Êîâàðèàöèîííûå è êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè
   Îäíèì èç êëàññè÷åñêèõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ ñòðóêòóðû ñèãíàëîâ ÿâ-
ëÿåòñÿ êîððåëÿöèîííûé àíàëèç, êîòîðûé íàõîäèò ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìå-
íåíèÿ â çàäà÷àõ, ñâÿçàííûõ ñ ïåðåäà÷åé èíôîðìàöèè, ðàäàðíûì îáíàðó-
æåíèåì, ñèñòåìàìè óïðàâëåíèÿ, àíàëèçîì âèáðàöèé, âûäåëåíèåì ñëàáîãî
ñèãíàëà ïðè íàëè÷èè ôëóêòóàöèé áîëüøîé èíòåíñèâíîñòè, èññëåäîâàíèåì
ñòàòèñòè÷åñêîé âçàèìîñâÿçè ïðîöåññîâ â ôèçèêå, áèîëîãèè è ò.ä. Êîâàðè-
àöèîííûå (êîððåëÿöèîííûå) ôóíêöèè äîïóñêàþò ðàçíûå âàðèàíòû èíòåð-
ïðåòàöèè. Ñ îäíîé ñòîðîíû, îíè ïîçâîëÿþò âûÿâëÿòü ñòåïåíü ñõîäñòâà (ëè-
íåéíîé çàâèñèìîñòè) äâóõ ñèãíàëîâ ïðè âàðüèðîâàíèè ñäâèãà ïî âðåìåíè
ìåæäó íèìè.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î âçàèìíûõ êîâàðèàöèîííûõ (âçàèì-
íûõ êîððåëÿöèîííûõ) ôóíêöèÿõ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îíè ïðèìåíèìû äëÿ
èçó÷åíèÿ âçàèìîñâÿçè çíà÷åíèé îäíîãî è òîãî æå ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà â
ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè, ÷òî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü òåðìèíîëîãèþ àâ-
òîêîâàðèàöèîííûõ (àâòîêîððåëÿöèîííûõ) ôóíêöèé.
   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî àíàëèçèðóåòñÿ ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X(t).
Îõàðàêòåðèçîâàòü ñòàòèñòè÷åñêóþ âçàèìîñâÿçü åãî çíà÷åíèé X1 = X(t) è
X2 = X(t + τ ) ìîæíî ñ ïîìîùüþ àâòîêîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè
                              ∞    ∞
                K(τ ) =                x1 x2 p(x1 , x2 , τ )dx1 dx2      (1.1)
                          −∞      −∞

èëè àâòîêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè
                    ∞     ∞
         Ψ(τ ) =              (x1 − X)(x2 − X)p(x1 , x2 , τ )dx1 dx2 ,   (1.2)
                   −∞   −∞

ãäå X  ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, p(x1 , x2 , τ )  äâóìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè.  çàäà÷àõ àíàëèçà ñòðóêòóðû ñèãíàëîâ íà ýòàïå
ïðåäâàðèòåëüíîé îáðàáîòêè äàííûõ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ïðèâåäåíèå èñõîä-
íîãî ïðîöåññà ê íóëåâîìó ñðåäíåìó óðîâíþ, â ýòîì ñëó÷àå õàðàêòåðèñòèêè
K(τ ) è Ψ(τ ) ñîâïàäàþò.
   Îòìåòèì, ÷òî ïðîâåäåíèå âû÷èñëåíèé ïî ôîðìóëàì (1.1) è (1.2) ïðåä-
ïîëàãàåò íàëè÷èå ñòàòèñòè÷åñêîãî àíñàìáëÿ ðåàëèçàöèé ñëó÷àéíîãî ïðî-
öåññà ñ çàäàííîé íà íåì ôóíêöèåé p(x1 , x2 , τ ). Íî ïðè îáðàáîòêå ýêñïåðè-
ìåíòàëüíûõ äàííûõ èññëåäîâàòåëü èìååò äåëî ëèøü ñ îäíîé ðåàëèçàöèåé


1.2. Âû÷èñëåíèå êîâàðèàöèîííûõ è êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé                   5

ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà x∗ (t), ïîýòîìó ïðèíöèïèàëüíûì ìîìåíòîì ÿâëÿåòñÿ
ñâîéñòâî ýðãîäè÷íîñòè, êîòîðîå îçíà÷àåò, ÷òî âñå ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàê-
òåðèñòèêè àíàëèçèðóåìîãî ïðîöåññà ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ñèãíàëó x∗ (t),
åñëè çàìåíèòü ïðîöåäóðó óñðåäíåíèÿ ïî àíñàìáëþ óñðåäíåíèåì ïî âðåìå-
íè. Íà ïðàêòèêå (íàïðèìåð, ïðè èññëåäîâàíèè ôèçèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ)
äîêàçàòü ïðèñóòñòâèå ýðãîäè÷åñêèõ ñâîéñòâ íåâîçìîæíî, íî ïîëåçíî ïðåä-
ïîëîæèòü íàëè÷èå ýðãîäè÷íîñòè, òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû ëèøèìñÿ
âîçìîæíîñòè ïðèìåíÿòü êëàññè÷åñêèå ìåòîäû àíàëèçà ñòðóêòóðû ñèãíàëîâ
â èññëåäîâàíèÿõ ñëîæíîé äèíàìèêè îáúåêòîâ æèâîé ïðèðîäû. Îáû÷íî èñ-
ïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé ïîäõîä  åñëè ïðîöåññ ìîæíî õîòÿ áû ïðèáëèæåííî
ñ÷èòàòü ñòàöèîíàðíûì è ýðãîäè÷åñêèì, òî ýòî äîïóùåíèå ïðèíèìàþò; åñëè
íåò, òî ïðèìåíÿþò ñïåöèàëüíûå ìåòîäû àíàëèçà.


1.2 Âû÷èñëåíèå êîâàðèàöèîííûõ è êîððåëÿöèîííûõ
    ôóíêöèé
   Êîâàðèàöèîííàÿ (èëè àâòîêîâàðèàöèîííàÿ) ôóíêöèÿ ýðãîäè÷åñêîãî ñëó-
÷àéíîãî ïðîöåññà X(t), èìåþùåãî êîíå÷íóþ äëèòåëüíîñòü T , âû÷èñëÿåòñÿ
ïî îäíîé ðåàëèçàöèè ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                                            T −τ
                            1
                  K(τ ) =                          x(t)x(t + τ )dt,    (1.3)
                          T −τ          0

ãäå 0 ≤ τ < T . Îíà õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ìåæ-
äó çíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà, ñäâèíóòûìè äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà
íà èíòåðâàë âðåìåíè τ . Äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè âðåìåíè K(τ ) òàêæå
ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ñ òåì æå ñàìûì ïåðèîäîì. Åñëè X(t)
 ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, íå ñîäåðæàùèé ïåðèîäè÷åñêèõ êîìïîíåíò, òî ñ ðî-
ñòîì τ êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, åñëè X = 0. Òàêîå
ïîâåäåíèå K(τ ) ñâèäåòåëüñòâóåò î ïîòåðè ñòàòèñòè÷åñêîé âçàèìîñâÿçè: ñ
óâåëè÷åíèåì τ ïðåäûäóùèå ñîñòîÿíèÿ ¾çàáûâàþòñÿ¿.
   Àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò êîððåëÿöèîííàÿ (èëè àâòîêîððåëÿ-
öèîííàÿ) ôóíêöèÿ (ÀÊÔ):
                           T −τ
                 1
       Ψ(τ ) =                    (x(t)− < X >)(x(t + τ )− < X >)dt,   (1.4)
               T −τ    0

ãäå < X >  ñðåäíåå ïî âðåìåíè çíà÷åíèå. Ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ
îòëè÷èå ôîðìóë (1.3) è (1.4) ñîñòîèò â òîì, ÷òî êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ
ñîäåðæèò èíôîðìàöèþ îá ýíåðãèè ïðîöåññà X(t), òîãäà êàê êîððåëÿöèîí-
íàÿ ôóíêöèÿ òåðÿåò ÷àñòü èíôîðìàöèè ïðè ïåðåõîäå ê íóëåâîìó ñðåäíåìó
óðîâíþ. Ïðèìåðû ðàñ÷åòà ÀÊÔ äëÿ ðàçëè÷íûõ ñèãíàëîâ ïðèâåäåíû íà
ðèñ. 1.1.


6                                                                     1. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç

         24                                               1.0


                                                          0.5
          8                                      à                                               á
    x                                                Ψ    0.0

         −8
                                                         −0.5



        −24                                              −1.0
              0.0    4.0          8.0     12.0                  0.0   4.0         8.0     12.0
                             t                                               τ
          6                                               1.0


                                                          0.5
          2                                      â                                               ã
    x                                                Ψ    0.0

         −2
                                                         −0.5



         −6                                              −1.0
              0.0    50.0        100.0   150.0                  0.0   50.0       100.0   150.0
                             t                                               τ
         0.3                                              1.0


                                                          0.8

         0.1                                     ä                                               å
                                                          0.6
    x                                                Ψ
                                                          0.4
        −0.1

                                                          0.2


        −0.3                                              0.0
               0.0   100.0       200.0   300.0                  0.0   6.0        12.0     18.0
                             t                                               τ


    Ðèñ. 1.1. Ïðèìåðû ñèãíàëîâ è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì àâòîêîððåëÿöèîííûõ ôóíê-
    öèé: ïåðèîäè÷åñêèå êîëåáàíèÿ (à,á), õàîòè÷åñêèå êîëåáàíèÿ (â,ã), öâåòíîé øóì
    (ä,å). Äëÿ óäîáñòâà ïðåäñòàâëåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ïðîâåäåíà íîðìèðîâêà ÀÊÔ íà
    çíà÷åíèå Ψ(0)



   ×òîáû îïðåäåëèòü, êàê áûñòðî òåðÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ âçàèìîñâÿçü
ìåæäó çíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà X(t) è X(t + τ ), ââîäÿò ïîíÿ-
òèå âðåìåíè êîððåëÿöèè. Ðàññìîòðèì ÀÊÔ, êîòîðàÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñ
ðîñòîì τ (òàêîå ïîâåäåíèå õàðàêòåðíî äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ). Ñòðåì-
ëåíèå ÀÊÔ ê íóëþ íå îçíà÷àåò, ÷òî Ψ(τ ) óáûâàåò ìîíîòîííî; ÷àñòî îíî
íîñèò õàðàêòåð çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé (ðèñ. 1.2). Ïóñòü γ(τ )  îãèáàþùàÿ


1.2. Âû÷èñëåíèå êîâàðèàöèîííûõ è êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé                                    7

ôóíêöèè Ψ(τ ). Âðåìÿ êîððåëÿöèè τc ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà X(t) îïðåäåëÿåò-
ñÿ êàê âðåìåííîé èíòåðâàë, â òå÷åíèå êîòîðîãî îãèáàþùàÿ γ(τ ) ñïàäàåò â h
ðàç, ãäå h  íåêîòîðîå çàäàííîå çíà÷åíèå (êàê ïðàâèëî, h = e èëè h = 10).

                                           σ2               Ψ(τ)
                                                                     γ(τ)

                                       σ2
                                           h
                                                                                    τ
                                                                               τc



            Ðèñ. 1.2. Àâòîêîðåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ è åå îãèáàþùàÿ

   Çàâèñèìîñòü γ(τ ) ìîæåò èìåòü î÷åíü ñëîæíûé âèä, ïðè êîòîðîì åå
íå óäàåòñÿ àïïðîêñèìèðîâàòü ýêñïîíåíöèàëüíîé èëè ñòåïåííîé ôóíêöèåé
(ðèñ. 1.3).  ýòîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàþò äðóãîé ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ τc :
                                                   ∞
                                       1
                                  τc = 2               γ(τ )dτ.                         (1.5)
                                      σ        0

                      1.0


                      0.8


                      0.6
                  γ
                      0.4


                      0.2


                      0.0
                            0.0        10.0                   20.0          30.0
                                                        τ
  Ðèñ. 1.3. Ïðèìåð îãèáàþùåé ÀÊÔ, âû÷èñëåííîé ïî ñèãíàëó ìàëîé äëèòåëüíîñòè

  ×åì ìåíüøå âðåìÿ êîððåëÿöèè, òåì áûñòðåå ïðîèñõîäèò ¾çàáûâàíèå¿
ïðåäûäóùèõ çíà÷åíèé, òî åñòü ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ áîëåå ¾õàîòè÷-
íûì¿. Ñëó÷àé τc = 0 ñîîòâåòñòâóåò áåëîìó øóìó, äëÿ êîòîðîãî ¾ïàìÿòü î
ïðîøëîì¿ ïîëíîñòüþ îòñóòñòâóåò.


8                                                     1. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç

   Ôîðìóëû, ïî êîòîðûì âû÷èñëÿþòñÿ êîâàðèàöèîííûå è êîððåëÿöèîííûå
ôóíêöèè, áûëè çàïèñàíû äëÿ àíàëîãîâîãî ñèãíàëà x(t). Ìîäèôèöèðóåì èõ
òåïåðü äëÿ ñëó÷àÿ âðåìåííûõ ðÿäîâ. Ñ ýòîé öåëüþ ðàññìîòðèì âðåìåí-
íîé ðÿä x(i), ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè x(t),
äèñêðåòèçîâàííîé ñ ïîñòîÿííûì øàãîì ∆t: x(i) = x(i∆t), i = 1, 2, . . . , N .
Ïðîöåäóðà äèñêðåòèçàöèè âñåãäà ïðîâîäèòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèè àíàëîãî-
âûõ ñèãíàëîâ â öèôðîâóþ ôîðìó äëÿ ïîñëåäóþùåãî àíàëèçà íà êîìïüþòå-
ðå. Äëèíà âðåìåííîãî ðÿäà N è øàã äèñêðåòèçàöèè ∆t îïðåäåëÿþòñÿ êàê
ïðàêòè÷åñêèìè ñîîáðàæåíèÿìè, íàïðèìåð, ïðèåìëåìîé ïðîäîëæèòåëüíî-
ñòüþ ýêñïåðèìåíòà T = N ∆t, òàê è òåõíè÷åñêèìè âîçìîæíîñòÿìè èñïîëü-
çóåìîé èçìåðèòåëüíîé àïïàðàòóðû è õàðàêòåðèñòèêàìè ÀÖÏ. Ðàñ÷åòû êî-
âàðèàöèîííîé è êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèé â ýòîì ñëó÷àå ïðîâîäÿòñÿ ïî
ôîðìóëàì:
                                            N −m
                                1
              K(m) = K(m∆t) =                      x(i)x(i + m),
                              N −m          i=1

                                N −m
                      1
    Ψ(m) = Ψ(m∆t) =                   (x(i)− < X >)(x(i + m)− < X >).
                    N −m        i=1


Çäåñü m = 0, 1, . . . , M  ÷èñëî øàãîâ äèñêðåòèçàöèè, õàðàêòåðèçóþùåå
ñäâèã ïî âðåìåíè ìåæäó çíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà (îáû÷íî âûáèðà-
þò M << N ). Çàìåòèì, ÷òî ñâîå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ÀÊÔ ïðèíèìàåò
â íóëå Ψmax = Ψ(0), è îíî ñîâïàäàåò ñ äèñïåðñèåé: Ψ(0) = σ 2 . Ïî àíàëîãèè,
êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ òàêæå ïðèíèìàåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå â íóëå
Kmax = K(0), îíî ñîîòâåòñòâóåò ñðåäíåé ýíåðãèè ïðîöåññà X(t).
   Äëÿ òîãî, ÷òîáû îõàðàêòåðèçîâàòü ñòåïåíü ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ìåæäó
çíà÷åíèÿìè àíàëèçèðóåìûõ äàííûõ, óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ íîðìèðîâàííîé
êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé  êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè:
                                        Ψ(m)
                              R(m) =         ,
                                         σ2
êîòîðûé ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ îò −1 äî 1 è íå çàâèñèò îò åäèíèö
èçìåðåíèÿ ïåðåìåííîé x(t). Ïðè÷åì, êàê è ñàìà ÀÊÔ, ìàêñèìàëüíîå çíà-
÷åíèå êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ïðèíèìàåò â íóëå: Rmax = R(0) = 1.
   Ïðè ïðîâåäåíèè êîððåëÿöèîííîãî àíàëèçà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ
íàðÿäó ñ îöåíêîé ñêîðîñòè ñïàäà ÀÊÔ (âåëè÷èíû τc ) â ðÿäå çàäà÷ çíà-
÷èòåëüíûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò èññëåäîâàíèå ýôôåêòîâ äëèòåëüíûõ êîð-
ðåëÿöèé (¾äëèòåëüíîé ïàìÿòè¿ î ïðåäûäóùèõ ñîñòîÿíèÿõ). Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî âàæíî îöåíèâàòü çàêîíîìåðíîñòè ïîâåäåíèÿ ÀÊÔ è àïïðîêñèìèðîâàòü
çàâèñèìîñòü γ(τ ) ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ τ . Íî â ýòîì ñëó÷àå âîçíèêà-
þò ñëîæíîñòè, ñâÿçàííûå ñ òåì, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì τ âîçðàñòàþò îøèáêè


1.2. Âû÷èñëåíèå êîâàðèàöèîííûõ è êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé              9

âû÷èñëåíèé, ïðèâîäÿ ê íåäîñòîâåðíûì îöåíêàì. Èçáåæàòü èõ âîçìîæíî
òîëüêî ïðè íàëè÷èè î÷åíü áîëüøîé âûáîðêè N , ïîçâîëÿþùåé ñãëàæèâàòü
çàâèñèìîñòü Ψ(τ ) â õîäå óñðåäíåíèÿ. Àíàëèç äëèòåëüíûõ êîððåëÿöèé èã-
ðàåò âàæíóþ ðîëü â èññëåäîâàíèÿõ ïðîöåññîâ ìåäèêî-áèîëîãè÷åñêîãî ïðî-
èñõîæäåíèÿ. Íàïðèìåð, èçâåñòíî, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ íàðóøåíèÿõ ðåæè-
ìà ðàáîòû ñåðäöà çíà÷èòåëüíûå èçìåíåíèÿ â ñòðóêòóðå ñåðäå÷íîãî ðèòìà
ñâÿçàíû èìåííî ñ îáëàñòüþ äëèòåëüíûõ êîððåëÿöèé. Ïîýòîìó â ðàìêàõ
êîððåëÿöèîííîãî àíàëèçà âàæíûì ïàðàìåòðîì ÿâëÿåòñÿ îáúåì âûáîðêè 
åñëè N íåâåëèêî, òî ìîæíî ïðîâîäèòü îöåíêè Ψ(τ ) ëèøü â îáëàñòè ìàëûõ
τ , ðàññìàòðèâàòü äëèòåëüíûå êîððåëÿöèè â ñòðóêòóðå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ
äàííûõ èìååò ñìûñë ëèøü ïðè áîëüøèõ N .



                    Ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ ðàáîòû

  Çàäàíèå 1. Âîñïîëüçîâàâøèñü ïðîãðàììîé ¾acf.x¿, ïðîâåñòè ðàñ÷åòû
àâòîêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ïåðèîäè÷åñêîãî ïðîöåññà. Çàäàâ â ôàéëå ïà-
ðàìåòðîâ ¾acf.in¿ çíà÷åíèÿ 100%, 20% è 5% îò äëèíû ðåàëèçàöèè, ñîïî-
ñòàâèòü ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé. Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ðàñ÷åòà ÀÊÔ â çà-
âèñèìîñòè îò îáúåìà âûáîðêè.
  Çàäàíèå 2. Ïðîâåñòè àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ äëÿ õàîòè÷åñêîãî ïðî-
öåññà. Îïðåäåëèòü âðåìÿ êîððåëÿöèè êàê âðåìÿ ñïàäàíèÿ îãèáàþùåé ÀÊÔ
â e ðàç. Ñîïîñòàâèòü îöåíêè, ïðîâåäåííûå ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ äëè-
òåëüíîñòè âûáîðêè. Ñ÷èòàÿ, ÷òî îãèáàþùàÿ ÀÊÔ ñïàäàåò ïî ýêñïîíåíöè-
àëüíîìó çàêîíó γ(τ ) ∼ e−aτ , íàéòè âåëè÷èíó a.

          N âàðèàíòà   äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà
               1       ñèñòåìà Ðåññëåðà
               2       ñèñòåìà Ëîðåíöà
               3       ãåíåðàòîð ñ èíåðöèîííîé íåëèíåéíîñòüþ
               4       ìîäåëü íåôðîíà
               5       ìîäåëü íåéðîíà (Õèíäìàðø-Ðîçå)
               6       ìîäåëü áåòà-êëåòêè

  Çàäàíèå 3. Âû÷èñëèòü ÀÊÔ ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì (ñèãíàëó
ýëåêòðîêàðäèîãðàììû). Ïðîâåñòè îöåíêè âðåìåíè êîððåëÿöèè äâóìÿ ñïî-
ñîáàìè: êàê âðåìÿ óìåíüøåíèÿ îãèáàþùåé ÀÊÔ â e ðàç è ïî ôîðìóëå (1.5).


10                                                    1. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç

                            Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
   1. Ïðè ðåøåíèè êàêèõ çàäà÷ ïðèìåíÿþòñÿ êîâàðèàöèîííûå è êîððåëÿöèîííûå ôóíê-
öèè?
   2. Êàêèå îãðàíè÷åíèÿ íàêëàäûâàþòñÿ íà ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, ÷òîáû åãî ìîæíî áûëî
èññëåäîâàòü ñ ïîìîùüþ êîððåëÿöèîííîãî àíàëèçà?
   3. Êàê âû÷èñëÿþòñÿ êîâàðèàöèîííûå è êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ïî âðåìåííûì
ðÿäàì?
   4.  ÷åì ñîñòîèò ôèçè÷åñêèé ñìûñë çíà÷åíèé K(τ ) è Ψ(τ ) ïðè τ = 0?
   5. Êàê îïðåäåëèòü âðåìÿ êîððåëÿöèè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà?
   6. ×òî õàðàêòåðèçóåò êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè?
   7.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ñëîæíîñòü àíàëèçà äëèòåëüíûõ êîððåëÿöèé?



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика