Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Соотношения неопределенности для энергии и времени

Голосов: 0

Соотношения неопределенности являются фундаментальными соотношениями квантовой механики, устанавливающими предел точности одновременного определения некоторых пар физических величин. Они представляют собой следствие свойств квантовых систем, внутренне присущих им. Задача статьи - разъяснить их с позиции современных квантово-механических подходов.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                           UNCERTAINTY                  СООТНОШЕНИЯ
                       RELATIONS
                       FOR ENERGY AND TIME          НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
                       V. P. KRAINOV                ДЛЯ ЭНЕРГИИ И ВРЕМЕНИ
                       Uncertainty relations are    З. и. дкДвзйЗ
                       the fundamental proper-      еУТНУ‚ТНЛИ ЩЛБЛНУ-ЪВıМЛ˜ВТНЛИ ЛМТЪЛЪЫЪ,
                                                    СУО„УФ Ы‰М˚И еУТНУ‚ТНУИ У·О.
                       ties of quantum mechan-
                       ics. They state limits of
                       precision for simulta-              ЗЗЦСЦзаЦ
                       neous measurements of                  Соотношения неопределенности были открыты
                       some pairs of physical              немецким физиком В. Гейзенбергом в 1927 году. Со-
                                                           гласно этим соотношениям, невозможно опреде-
                       quantities. These rela-             лить одновременно точно значения обоих членов
                       tions are the internal              пар физических величин, характеризующих рас-
                       properties of quantum               сматриваемую атомарную систему. Под выражени-
                                                           ем неопределенность данной физической величины в
                       systems. The aim of this            математическом смысле слова понимается статис-
                       paper is to make some               тическая флуктуация результата измерения около
                       explanations of this prob-          его среднего значения. Например, неопределен-
                                                           ность координаты частицы определяется соотно-
                       lem on the base of mod-             шением
                       ern quantum-mechanical
                                                                            ∆x ≡   〈 x 〉 – 〈 x〉 ,
                                                                                       2         2
                       approaches.
                                                           где угловые скобки обозначают квантово-механиче-
                                                           ское среднее от величины, стоящей внутри скобок.
                       лУУЪМУ¯ВМЛfl МВУФ В‰В-               Величина под корнем всегда неотрицательна, так
                       ОВММУТЪЛ fl‚Оfl˛ЪТfl ЩЫМ-
                                                           как среднее квадратичное значение 〈 x 〉 больше
                                                                                                     2

                       ‰‡ПВМЪ‡О¸М˚ПЛ ТУУЪМУ-               или равно среднему арифметическому значению 〈x〉.
                       ¯ВМЛflПЛ Н‚‡МЪУ‚УИ ПВ-                  Под словом пары понимаются независимые пере-
                       ı‡МЛНЛ, ЫТЪ‡М‡‚ОЛ‚‡˛-               менные, соответствующие преобразованию Фурье
                                                           для волновой функции рассматриваемой системы.
                       ˘ЛПЛ Ф В‰ВО ЪУ˜МУТЪЛ                Простейший пример – это координата частицы x и
                       У‰МУ‚ ВПВММУ„У УФ В-                ее импульс p в каком-либо направлении. Результат
                       ‰ВОВМЛfl МВНУЪУ ˚ı Ф‡                Гейзенберга опирается на тот математический факт,
                                                           что протяженность волны (характерный размер, на
                       ЩЛБЛ˜ВТНЛı     ‚ВОЛ˜ЛМ.             котором амплитуда волны, то есть волновая функ-
                       йМЛ Ф В‰ТЪ‡‚Оfl˛Ъ ТУ-                ция, существенно отлична от нуля) и ее образа Фурье
                       ·УИ ТОВ‰ТЪ‚ЛВ Т‚УИТЪ‚               (характерный разброс волновых чисел в волне) в со-
                                                           ответствующих пространствах не могут быть сдела-
                       Н‚‡МЪУ‚˚ı ТЛТЪВП, ‚МЫЪ-             ны одновременно сколь угодно малыми. Именно,
                        ВММВ Ф ЛТЫ˘Лı ЛП. б‡-
                       ‰‡˜‡ ТЪ‡Ъ¸Л – ‡Б˙flТ-                                  ∆x ⋅ ∆p       --
                                                                                            -.               (1)
                                                                                           2
                       МЛЪ¸ Лı Т ФУБЛˆЛЛ ТУ‚ В-
                                                           Здесь введена постоянная Планка = 1,054 Ч
                       ПВММ˚ı Н‚‡МЪУ‚У-ПВı‡-               Ч 10− 34 Дж ⋅ с. Она появляется вследствие того, что,
© д ‡ИМУ‚ З.и., 1998




                       МЛ˜ВТНЛı ФУ‰ıУ‰У‚.                  согласно формуле де Бройля, импульс частицы p ра-
                                                           вен произведению постоянной Планка на волновое
                                                           число k, то есть p = k (это соотношение лежит в ос-
                                                           нове корпускулярно-волнового дуализма кванто-
                                                           вой механики, связывая свойства частицы и волны
                                                           друг с другом). Именно волновое число появляется
                                                           непосредственно при преобразовании Фурье какой-
                                                           либо функции, зависящей от координаты. Те же


                                                    дкДвзйЗ З.и. лййнзйтЦзаь зЦйикЦСЦгЦззйлна                      77


     математические рассуждения справедливы и при                                 низма взаимодействия этих частиц с измерительным
     преобразовании Фурье функции времени (рис. 1),                               прибором, а также сложного обсуждения вопроса,
     где компонента Фурье есть функция частоты.                                   является ли измерительный прибор полностью клас-
        Как мы видим, соотношение неопределенности                                сическим или квантовым и т.п.
     имеет не только качественный, но и количествен-
     ный характер. Оно доказывается с помощью эле-                                лййнзйтЦзаЦ зЦйикЦСЦгЦззйлна
     ментарного математического неравенства                                       щзЦкЙаь–ЗкЦеь
                       ∞                                                             Подобно тому как импульс не может быть лока-
                                  dψ 2
                       ∫   xψ + α ------ d x
                                   dx
                                       -            0                             лизован в пространстве, так и энергия не может
                                                                                  быть локализована во времени. Однако обоснова-
                      –∞
                                                                                  ние соотношения
     при любом значении α. Здесь ψ – волновая функция
     частицы, квадрат модуля которой определяет веро-                                               ∆E ⋅ ∆t    --
                                                                                                                -                  (2)
     ятность нахождения ее в данной точке x. Это предла-                                                       2
     гается сделать читателю в качестве упражнения.                               и смысл величин, содержащихся в нем, существен-
     Нужно только знать, что в квантовой механике опе-                            но отличаются, как мы увидим ниже, от того, что
                                                     ∂                            было выше с координатой и импульсом (в отличие
     ратор импульса определяется формулой p = – i -----.
                                                    ∂x                            от (1) здесь неравенство понимается иногда по по-
         Соотношение (1) означает, что невозможно точ-                            рядку величины, а не точно). Обычно соотношение
     но определить импульс частицы, не потеряв при                                (2) трактуется как невозможность точного опреде-
     этом информацию о ее координате (или наоборот).                              ления энергии квантовой системы за ограниченный
     Конечно, в связи с малостью постоянной Планка                                интервал времени.
     соотношение неопределенности представляет ин-                                    Для его обоснования часто ссылаются на соот-
     терес только для микросистем, где существенны                                ношение ∆ω ⋅ ∆t      1, связывающее неопределен-
     атомные размеры или еще меньшие.                                             ность ∆ω в частоте ω квазимонохроматического из-
         Тем самым статистическое описание в кванто-                              лучения с промежутком времени ∆t, в течение
     вой механике для отдельной частицы и таковое в                               которого это измерение производится (рис. 1). Од-
     классической статистической физике для ансамбля                              нако в квантовой механике величина ω соответст-
     частиц существенно различаются. Действительно, в                             вует не энергии системы, а разности энергий квази-
     классической статистической физике можно одно-                               классических уровней (так называемый принцип
     временно произвольно выбирать распределения по                               соответствия). Поэтому указанное обоснование те-
     координатам и импульсам как по независимым друг                              ряет силу.
     от друга переменным. Перемножая эти два распре-                                  Соотношение (2) отличается от (1) тем, что в (1)
     деления, мы получим распределение частиц в про-                              речь идет о неопределенностях в импульсе и коор-
     странстве их координат и импульсов. В квантовой                              динате в заданный момент времени, в то время как в
     механике это невозможно ввиду корреляции между                               (2) – о неопределенности в энергии и времени при
     обоими распределениями, диктуемой соотношени-                                заданном значении координаты.
     ем неопределенности (1).                                                         Эта статья посвящена анализу соотношения (2),
         Таким образом, соотношение неопределенности                              различным физическим ситуациям, в которых оно
     (1) для координаты и импульса вытекает непосред-                             проявляется, и роли измерительного прибора, что
     ственно из законов квантовой механики для отдель-                            принципиально отличается от механизма мыслен-
     ных микрочастиц, являясь в этом смысле вещью в                               ных измерений при рассмотрении соотношения (1)
     себе, и не требует конкретизации какого-либо меха-                           для координаты и импульса, обсуждаемых в много-
                                                                                  численных учебниках по квантовой механике.
                                                                                      В основе рассмотрения лежит тот факт, что энер-
                                                                       1
                                                                ∆ω ∼ ------
                                                                          -       гия замкнутой квантово-механической системы, во-
                 T                                                   ∆T
                                           f ( ω)
                                                                                  обще говоря, не имеет определенного значения –
      f(t)
                                                                                  она меняется со временем. Постоянной является
                                 t                          2π                ω   только вероятность найти то или иное значение
                                                        ω = ------
                                                                 -
                                                              T                   энергии. В этом и состоит закон сохранения энер-
                                                                                  гии в квантовой механике в отличие от классичес-
                 ∆T
                                                                                  кой механики, где энергия сохраняется со време-
                                                                                  нем. Конечно, только для стационарных состояний
         Рис. 1. Функция f (t), зависящая от времени (вре-                        энергия квантовой системы является сохраняю-
         менной волновой пакет) и ее компонента Фурье                             щейся величиной. В качестве иллюстрации Н. Бор
         f (ω), зависящая от частоты. Т – характерный пери-
         од функции, ∆T – ширина волнового пакета, ω =                            обращал внимание на невозможность определить в
         = 2π/T – несущая частота, ∆ω ∼ 1/∆T – разброс                            квантовой механике понятие монохроматичес-
         компоненты Фурье по частоте                                              кой волны в данный момент времени, так как


78                                                                                   лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹5, 1998


вероятность ее нахождения во всех точках прост-       можно вычислить среднее значение координаты и
ранства одинакова.                                    ее дисперсию ∆x в данный момент времени.
    Благодаря существованию соотношения неопре-          Чтобы получить аналогичную функцию распре-
деленности (2) возможны так называемые вирту-         деления для какого-либо более позднего момента
альные переходы, происходящие с нарушением            времени, нужно все начать сначала: привести все об-
второго постулата Бора, то есть с энергией фотона,    разцы к исходному начальному состоянию и начать
отличной от разности энергий начального и конеч-      опыт через больший интервал времени, нежели ∆t.
ного состояний системы. Например, переход из воз-     Сравнив полученные таким образом функции рас-
бужденного 2s-состояния атома водорода в основное     пределения для различных моментов времени, мож-
1s-состояние может происходить путем испускания       но сделать экспериментальное заключение о шири-
двух фотонов самых различных энергий: эти пере-       не и скорости сдвига максимума волнового пакета и
ходы идут виртуально через различные возбужден-       тем самым обо всех величинах, входящих в (2).
ные р-состояния. А сумма энергий этих фотонов хо-
тя также может отличаться от разности энергий             Итак, величина ∆t не имеет никакого отноше-
начального и конечного состояний, но весьма незна-    ния к продолжительности измерения только одного
чительно: в меру разброса энергий, определяемого из   волнового пакета, то есть движение волнового па-
соотношения (2), где в данном случае неопределен-     кета не может быть проконтролировано при помо-
ность во времени представляет собой время жизни       щи опыта, производимого над одним пакетом и
возбужденного состояния 2s.                           протекающего во времени (об этом речь будет идти
                                                      во второй части статьи). Отметим, что неопределен-
   В трех последующих разделах обсуждаются раз-       ность энергии системы ∆Е имела место и в началь-
личные ситуации, где проявляется соотношение          ный момент времени и не изменилась за время ∆t.
неопределенности энергия–время.                       Резюмируя, можно сказать, что в данном случае со-
                                                      отношение (2) относится к начальному состоянию
СЗаЬЦзаЦ ЗйгзйЗйЙй иДдЦнД                             квантовой системы и к его статистике [2].
   Рассматриваемая в этом разделе задача о про-
хождении волнового пакета через заданную точку        СЗмпмкйЗзЦЗДь лалнЦеД
на оси принципиально отличается от задачи изме-          Предположим теперь, что квантовая система со-
рения момента времени прохождения рассматрива-        стоит из двух состояний и ∆E – разность энергий
емой частицы через эту точку, так как точка являет-   этих состояний (рис. 2). Квантовое состояние систе-
ся классическим объектом, а волновой пакет –          мы есть суперпозиция этих состояний. Распределе-
квантовым.                                            ние вероятностей найти квантовую систему в одном
   Рассмотрим движение одномерного волнового          из двух состояний осциллирует между крайними
пакета, имеющего длину ∆x и групповую скорость        значениями за время ∆t, определяемое из соотноше-
(скорость центра тяжести пакета) υ. Момент време-     ния (2). Таким образом, это время является характе-
ни прохождения определенной точки на оси X не         ристическим для эволюции физических свойств сис-
может быть указан точно; неопределенность в нем       темы [2]. Статистические распределения результатов
имеет порядок ∆t ≈ ∆x / υ. Волновой пакет не имеет    измерений, проведенных в два различных момента
определенного значения импульса, а характеризу-       времени, будут практически одинаковыми, если
ется лишь средним его значением, отчего возникает     разность этих времен меньше, чем величина ∆t, оп-
неопределенность в значении энергии частицы ∆E ≈      ределяемая из соотношения (2).
≈ υ ⋅ ∆p. По порядку величины это соотношение
                                                         Иными словами, чтобы свойства системы замет-
справедливо не только для свободной частицы, но и
                                                      но изменились за время ∆t, необходимо, чтобы оно
для частицы, находящейся в поле внешних сил. Пе-
                                                      удовлетворяло неравенству (2). Разумеется, этот ре-
ремножая два указанных соотношения почленно и
                                                      зультат справедлив и при наличии не двух, а не-
используя (1) получим (2).
                                                      скольких уровней в рассматриваемой системе,
   Чтобы проверить соотношение (2) на опыте,
требуется проконтролировать изменение со време-
                                                                                             2
нем функции распределения для координаты x. За-
дачу следует ставить таким образом, что в началь-
ный момент времени имеется не один, а много                            ∆E
образцов квантовой системы, причем все они при-
готовлены (мысленно) одинаково [1]. Через время
∆t на каждом образце производится опыт по опре-                                              1
делению значения координаты в этот момент време-
ни. Статистика полученных результатов позволяет          Рис. 2. Квантово-механическая двухуровневая
найти функцию распределения значения координа-           система с уровнями 1 и 2 и расстоянием ∆E меж-
ты (в этот же момент времени ∆t). Таким образом,         ду ними



дкДвзйЗ З.и. лййнзйтЦзаь зЦйикЦСЦгЦззйлна Сгь щзЦкЙаа а ЗкЦеЦза                                             79


     причем величина ∆E есть типичное расстояние            чения) его спонтанным распадом. Однако в случае
     между этими уровнями.                                  воздействия сильного лазерного излучения время
        Как и при рассмотрении предыдущего примера,         жизни атома может уменьшиться до указанной вы-
     здесь речь идет об изменении состояния квантовой       ше оценки времени виртуального перехода.
     системы согласно уравнению Шрёдингера, но не об
     изменении состояния, связанного с актом измере-        абеЦкЦзаЦ щзЦкЙаа
     ния (см. ниже). Формула (2) в данном случае пред-      З дЗДзнйЗйв еЦпДзадЦ
     сказывает время перехода из одного состояния в            До сих пор речь шла о неопределенности энер-
     другое, однако ничего нельзя сказать, как наблю-       гии как вещи в себе, то есть никак не связанной c
     дать такой переход экспериментально (об этом речь      процессом измерения этой энергии, а определяе-
     будет идти ниже).                                      мой из уравнения Шрёдингера для данной кванто-
                                                            во-механической системы.
     ЗкЦеь Ьабза ЗйбЕмЬСЦззхп лйлнйьзав
                                                               Мы рассмотрим, с какой точностью можно из-
         Возбужденные состояния атомов, радиоактив-         мерить энергию квантовой системы с помощью не-
     ные ядра и другие квантовые системы не являются        которого абстрактного классического прибора, вза-
     стационарными состояниями: они могут распадать-        имодействующего с этой системой. При этом не
     ся в нижележащие состояния, например испуская          будем обсуждать, какой вид имеет это взаимодейст-
     спонтанно фотон электромагнитного поля, либо           вие и как математически характеризовать совокуп-
     туннелировать через потенциальный барьер в при-        ность классической и квантовой систем. Пусть в
     сутствии внешнего постоянного поля и т.п. Тогда        некоторый момент времени энергия квантовой си-
     соотношение (2) также справедливо, но входящие в       стемы равна Е, а энергия классического прибора
     него величины имеют другой смысл, чем в преды-         равна ε. Через момент времени ∆t производится из-
     дущем разделе. Величина ∆t представляет собой          мерение этих энергий с результатами Е' и ε' соответ-
     среднее время жизни возбужденного состояния, ис-       ственно. Совокупность квантовой системы и клас-
     пытывающего обычно экспоненциальный распад             сического прибора является замкнутой системой.
     (например, это время, за которое вероятность нахож-    Применяя к ней соотношение (2), получим
     дения частицы в данном возбужденном состоянии
     уменьшится с единицы до половины). А величина ∆E                    ∆|E + ε − E' − ε'|∆t   .              (3)
     есть неопределенность в энергии рассматриваемого       Итак, чем меньше интервал времени между измере-
     квазистационарного возбужденного состояния.            ниями, тем большее изменение энергии будет за-
         Указанная неопределенность возникает лишь          фиксировано. Это соотношение показывает, что в
     из-за мнимой части энергии, представляющей со-         квантовой механике закон сохранения энергии вы-
     бой величину ∆E ≈ w/2, где w есть вероятность рас-     полняется не точно, а лишь приближенно, если речь
     пада рассматриваемого состояния в единицу време-       идет о попытке измерить степень его точности. Еще
     ни (например, вероятность туннельной ионизации         раз подчеркнем, что в каждый данный момент вре-
     или вероятность спонтанного перехода в нижеле-         мени энергии как квантовой системы, так и класси-
     жащее состояние). Конечно, начальное состояние         ческого прибора могут быть измерены в принципе
     может быть приготовлено так, что вещественная          абсолютно точно и по отдельности. Поэтому раз-
     часть энергии не имеет определенного значения, а       ность энергий в левой части формулы (3) отнюдь не
     есть некоторое распределение по энергии около          является неопределенностью суммарной энергии
     среднего значения (например, набор близких, пере-      квантовой системы и классического прибора в ка-
     крывающихся ридберговских состояний атома) с           кой-то данный момент времени, а представляет со-
     определенной шириной распределения. Следует            бой разность двух точно измеряемых значений этой
     подчеркнуть, что эта последняя ширина не имеет         энергии в разные моменты времени [5].
     никакого отношения к соотношению неопределен-              Можно предположить (хотя и без определенной
     ности (2) [3].                                         степени доказательности), что энергия измеритель-
         Виртуальное поглощение фотонов лежит в ос-         ного прибора всегда известна точно и никакой нео-
     нове процесса многофотонной ионизации атомов           пределенности в ее значении не существует. Тогда
     [4] полем сильного лазерного излучения. В этом         из (3) получим соотношение, относящееся только к
     случае время ∆t, определяемое из соотношения (2),      квантовой системе:
     ничтожно мало, так как оно определяет время вир-
                                                                              ∆(E − E')     .                  (4)
     туального перехода из одного квантового состояния
     системы в другое при поглощении фотона (более             В качестве классического прибора может фигу-
     детально этот вопрос см. в статье [4]). Его типичная   рировать, например, пробная частица, с которой
     оценка составляет около 10−16 с. Это время в сотни     упруго сталкивается рассматриваемая квантовая час-
     миллионов раз меньше типичного времени жизни           тица. Из закона сохранения импульса при столк-
     атома в возбужденном состоянии, определяемого          новении следует, что p' + P ' − p − P = 0. Для просто-
     (при отсутствии или в слабом поле лазерного излу-      ты мы ограничиваемся одномерным движением.


80                                                             лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹5, 1998


Величины без штриха относятся к значениям до        ра, то из решения уравнения Шрёдингера следует
столкновения, а со штрихом — после столкновения.    (см. вывод в [6]), что соотношение (4) справедливо,
Считая, что импульсы пробной частицы р и р' изве-   то есть невозможно измерить энергию квантового
стны точно, то есть никаких погрешностей в их из-   осциллятора за конечное время без изменения ее
мерениях не существует, получим из последнего со-   начального значения.
отношения, что погрешности импульса квантовой          Однако если, например, взаимодействие есть
частицы до и после акта измерения совпадают, то     величина, пропорциональная энергии квантового
есть ∆P' = ∆P. Так как ∆E = υ∆P, где υ – скорость   осциллятора и координате квазиклассического при-
квантовой частицы, то из (4) получим окончательно   бора – осциллятора, то возможно точное измерение
              |(υ − υ')∆P|∆t   .              (5)   энергии квантового осциллятора без изменения ее
                                                    начального значения (то есть при Е = Е'). При этом
Здесь υ, υ' – скорости квантовой частицы соответ-   соотношение (3) выполняется за счет увеличения
ственно до и после столкновения с пробной части-    возмущения энергии квазиклассического прибора –
цей, имитирующей классический прибор. В трех-       осциллятора ∆ε        /∆t. В общем случае, когда есть
мерной задаче столкновения компоненты скорости      обе погрешности – в энергии квантового осцилля-
и импульса частицы в (5) относятся по отдельности   тора ∆Е и в энергии квазиклассического прибора –
к каждой проекции.                                  осциллятора ∆ε, они оказываются связанными
   Соотношение (5) было получено впервые Н. Бо-     между собой простыми соотношениями [6]:
ром (1928). Оно означает, что чем короче измере-                            2
ние, тем к большему изменению скорости кванто-             ∆E ⋅ ∆ε    ----  ,
                                                                          -       ∆E + ∆ε   ----
                                                                                               -.     (6)
вой частицы оно приводит.                                             ∆t                  ∆t
   Выше мы рассматривали измеряемое значение            Следует также отметить, что возможность точ-
энергии с точки зрения квантово-механических        ного измерения энергии квантового объекта требу-
уравнений безотносительно к возможности наблю-      ет также и нетривиального метода измерения. При
дения этого измерения. Здесь же рассматривается     непрерывном измерении, например, координаты
совершенно другая величина – значение энергии,      осциллятора во времени предельная точность изме-
создаваемое в процессе ее измерения классическим    рения оказывается низкой и мы возвращаемся к (4),
прибором.                                           то есть нельзя измерить энергию квантового ос-
                                                    циллятора за конечное время без изменения его на-
абеЦкЦзаЦ щзЦкЙаа                                   чальной энергии. Однако есть более тонкий метод
дЗДбадгДллауЦлдае икаЕйкйе                          измерения координаты осциллятора, называемый
    Недостаток изложения в предыдущем разделе       стробоскопическим [6]. Он основан на том, что, хо-
связан с неопределенностью понятия взаимодейст-     тя координата квантового осциллятора в два каких-
вия между квантовой системой и классическим         то последовательных момента времени не может
прибором. Более последовательно можно посту-        быть измерена точно, такое измерение возможно
пить вставив перед классическим прибором проме-     спустя половину периода колебаний. Только при
жуточное звено – квазиклассический мысленный        таком методе измерения можно достичь выполне-
прибор, например квантовую частицу, но с большой    ния неравенств (6).
массой. Тогда можно говорить только о взаимодей-
ствии квантовой системы с квазиклассическим         йЕкДбйЗДзаЦ лгЦСД З дДеЦкЦ ЗагълйзД
прибором, забыв о необходимости далее снимать          В качестве примера применений соотношений
показания квазиклассического прибора истинно        неопределенности рассмотрим образование следа в
классическим прибором.                              камере Вильсона при пролете через нее быстрого
    Задача при этом упрощается, так как требуется   электрона, скорость которого велика по сравнению
решить замкнутую квантово-механическую задачу       со скоростями атомных электронов. Этот электрон
о совокупности квантовой и квазиклассической си-    на своем пути ионизует атомы, образующиеся ионы
стем, взаимодействующих друг с другом через ка-     являются центрами конденсации пересыщенного
кой-либо потенциал взаимодействия (например,        пара в камере, конденсированные капельки пара
два связанных квантовых осциллятора (маятника) с    фотографируются. Электрон является измеряемой
разной массой). Такая задача детально обсуждается   квантовой системой, атомы газа в камере – проме-
в обзоре [6].                                       жуточным измеряющим звеном, играющим роль
    Весьма простой пример квантовой системы –       квазиклассического прибора, а световые фотоны –
это одномерный квантовый осциллятор. Весьма         классического прибора.
простой пример квазиклассической измеряющей            Такой электрон обладает вполне определенной
системы также квантовый прибор – осциллятор, но     энергией. Тогда на первый взгляд с точки зрения со-
с гораздо большей массой. Взаимодействие между      отношения неопределенности (2) для энергии и
этими осцилляторами может быть различным. Если      времени удивительно, как быстродействующая фо-
оно зависит от координаты квантового осциллято-     токамера может фотографировать его в различные


дкДвзйЗ З.и. лййнзйтЦзаь зЦйикЦСЦгЦззйлна Сгь щзЦкЙаа а ЗкЦеЦза                                             81


     моменты времени в течение пролета через камеру       ким измерительным прибором. Решение уравнения
     Вильсона по последовательному появлению капелек      Шрёдингера дает теорию косвенных измерений, в
     пара (при этом, конечно, мы отвлекаемся от техни-    которых первоначальный измерительный квази-
     ческого вопроса о задержке по времени, связанной     классический прибор включен в измеряемую систе-
     с классическим процессом конденсации пара).          му, а прямое измерение производится уже другим,
        Для упрощения задачи допустим, что в камере       чисто классическим прибором (пример этого мы ви-
     имеются только два атома, на которых неупруго        дели при измерении в камере Вильсона, см. преды-
     рассеивается быстрый электрон, приводя к их ио-      дущий раздел). Взаимодействие между квантовой
     низации. Расстояние между атомами предполагает-      системой и квазиклассическим измерительным
     ся большим по сравнению с их размерами. До пер-      прибором может быть детально изучено путем реше-
     вого соударения электрон рассматривается как         ния уравнения Шрёдингера для такой совместной
     плоская монохроматическая волна де Бройля с точ-     системы из взаимодействующих частей. Но, правда,
     но заданной энергией. После первого соударения       остается вопрос, как рассмотреть прямое измерение
     он превращается в волновой пакет. Однако расплы-     показаний квазиклассического прибора чисто клас-
     вание этого пакета со временем мало вследствие ма-   сическим прибором. Он довольно сложен и требует
     лости длины волны де Бройля быстрого электрона.      специального математического аппарата [8].
        Вероятность ионизации обоих атомов может
                                                          ганЦкДнмкД
     быть рассчитана в рамках второго порядка кванто-
     во-механической теории малых возмущений (в пер-         1. Мандельштам Л.И., Тамм И.Е. Соотношение нео-
     вом порядке эффект отсутствует). При этом про-          пределенности энергия–время в нерелятивистской
     цесс ионизации отнюдь не является каскадным, то         квантовой механике // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1945.
                                                             Т. 9, № 1/2. С 122–128.
     есть ионизация каждого атома не является независи-
     мой одна от другой. Как из квантово-механических        2. Мессиа А. Квантовая механика. М.: Наука, 1978. Т. 1.
     расчетов [7], так и из принципа неопределенности        3. Крылов Н.С., Фок В.А. О двух основных толкованиях
     энергия–время следует, что вероятность двойной          соотношения неопределенности для энергии и време-
                                                             ни // ЖЭТФ. 1947. Т. 17, вып. 2. С. 93–107.
     ионизации отлична от нуля только в направлении
                                                             4. Делоне Н.Б. Многофотонные процессы // Соросов-
     движения быстрого электрона, в узком интервале          ский Образовательный Журнал. 1996. № 3. С. 75–81.
     углов порядка /pa 1, где a – характерный размер
                                                             5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.:
     атома, а р – импульс этого электрона. Это и дает        Наука, 1989. С. 193–197.
     объяснение прямолинейности следа в камере Виль-
                                                             6. Воронцов Ю.И. Соотношение неопределенности
     сона и возможности его фотографирования.                энергия – время измерения // Успехи физ. наук. 1981.
                                                             Т. 133, вып. 2. С. 351–365.
     бДдгыуЦзаЦ                                              7. Шифф Л. Квантовая механика. М.: Изд-во иностр.
                                                             лит., 1957. С. 242–247.
         Толкование соотношения неопределенности
                                                             8. Нейман Дж. фон. Математические основы кванто-
     энергия–время, как мы видим, гораздо сложнее,           вой механики. М.: Наука, 1964.
     чем для импульса и координаты. Это обусловлено
     тем, что последнее легко получается из стандартно-
                                                                                    * * *
     го аппарата квантовой механики [2, 5] и не требует
     рассмотрения физического процесса во времени.           Владимир Павлович Крайнов, профессор Мос-
     Для анализа соотношения неопределенности энер-       ковского физико-технического института, доктор
     гия–время важно, можно ли пользоваться уравне-       физико-математических наук. Область научных
     нием Шрёдингера, является ли измерительный           интересов – теория взаимодействия сильных элек-
     прибор классическим или квазиклассическим и          тромагнитных полей с атомами и молекулами. Ав-
     каков механизм взаимодействия между рассмат-         тор более 200 статей, а также шести монографий и
     риваемой квантовой системой и квазиклассичес-        учебников, изданных в США и Германии.




82                                                           лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹5, 1998



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика