Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математические модели неньютоновских жидкостей: Учебное пособие

Голосов: 2

Настоящее учебное пособие представляет собой введение в неньютоновскую гидродинамику для математиков. Задача написания пособия - привлечь внимание математиков к этой теории с целью дальнейших математических исследований объектов этой науки. Разработка написана на основе спецкурсов "Математические модели гидродинамики "и "Математические модели движения нелинейно-вязкой жидкости", читавшихся студентам математического факультета в Научно-образовательном центре "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах" Воронежского государственного университета. Пособие подготовлено на кафедре алгебры и топологических методов анализа математического факультета ВГУ. Рекомендуется для студентов 5-6 курсов математического факультета.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
                           dT
= Q (t)T Q(t)T + Q(t)     Q(t)T + Q(t)T Q (t)T + Q(t)T W Q(t)T +
                       dt
Q(t)T QT (t)Q (t)Q(t)T −Q(t)W T Q(t)T −Q (t)Q(t)T Q(t)T Q(t)T =
               D0 T
       = Q(t)       Q(t)T + Q (t)T Q(t)T + Q(t)T Q (t)T −
                Dt
                                                         D0 T
−Q (t)T Q (t)T Q(t)Q(t)T −Q (t)Q(t)T Q(t)T Q(t)T = Q(t)       Q(t)T
                                                          Dt
  Ìîæíî ïîêàçàòü @ñìF çàìå÷àíèå â ïóíêòå RFPAD ÷òî âñÿêàÿ
îáúåêòèâíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
        DT (t, x) D0T (t, x)
                 =           + G1(E(t, x), T (t, x)),      @QFUFPA
          Dt        Dt
ãäå G1 E ìàòðè÷íîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ äâóõ ìàòðè÷íûõ àðãóìåíE
òîâF Ñìûñë ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîìD ÷òî ëþáàÿ
îáúåêòèâíàÿ ïðîèçâîäíàÿ åñòü ñóììà ïðîèçâîäíîé ßóìàííà è
âûðàæåíèÿD íå çàâèñÿùåãî îò òåíçîðà çàâèõðåííîñòè W F
  Ïðîñòåéøåå îáîáùåíèå ïðîèçâîäíîé ßóìàííà E ïðîèçâîäíàÿ
ÎëäðîéäàD çàâèñÿùàÿ îò ïàðàìåòðà a ∈ [−1, 1]X
                   Da T   D0 T
                        =      − a(ET + T E)               @QFUFQA
                   Dt     Dt
  Ïðè a = 0 ýòî ïðîèçâîäíàÿ ßóìàííàF Ïðè a = 1 ïðîèçâîäE
íàÿ @QFUFQA íàçûâàåòñÿ âåðõíåé êîíâåêöèîííîéD à ïðè a = −1
íèæíåé êîíâåêöèîííîéF

3.8   Ðàçðåøèìîñòü íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèé äâè-
      æåíèÿ ìîäåëè âÿçêîóïðóãîé æèäêîñòè ñ ïðîèçâîäíîé Îë-
      äðîéäà


  Ìàòåìàòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ íåíüþE
òîíîâñêèõ æèäêîñòåéD îñîáåííî âÿçêîóïðóãèõ æèäêîñòåéD ÿâE
ëÿåòñÿ äîâîëüíî ñëîæíûìF Ê íàñòîÿùåìó ìîìåíòó èçâåñòíî íå
î÷åíü ìíîãî ñåðüåçíûõ ðåçóëüòàòîâ â ýòîé îáëàñòèF Ýòî ìîæåò
                                31


îáúÿñíÿòüñÿ ñëåäóþùèìè ôàêòîðàìèX âîEïåðâûõD äàæå ìàòåìàE
òè÷åñêàÿ òåîðèÿ íüþòîíîâñêèõ æèäêîñòåé è óðàâíåíèé ÍàâüåE
Ñòîêñà ñîâñåì íå ïîëíà è ñîäåðæèò ðÿä êðóïíûõ íåðåøåííûõ
ïðîáëåìY âîEâòîðûõD ìíîãèå ñèñòåìû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ íåíüþE
òîíîâñêèõ æèäêîñòåéD â ÷àñòíîñòè âÿçêîóïðóãèõD ñóùåñòâåííî
ñëîæíåå óðàâíåíèé ÍàâüåEÑòîêñà è íå âñåãäà ìîãóò áûòü èññëåE
äîâàíû òåìè æå ìåòîäàìèY âEòðåòüèõD îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåE
íèÿ äëÿ ìíîãèõ íåíüþòîíîâñêèõ æèäêîñòåé ïîÿâèëèñü ñðàâíèE
òåëüíî íåäàâíî è ìàëî èçâåñòíû â ñðåäå ìàòåìàòèêîâF
  Â ýòîì ïóíêòå ìû ïðèâåäåì îäèí èç íàèáîëåå ñèëüíûõ èçE
âåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ ! òåîðåìó î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåíE
íîñòè ëîêàëüíîãî ïî âðåìåíè ðåøåíèÿ íà÷àëüíîEêðàåâîé çàäà÷è
äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîóïðóãîé
æèäêîñòè ñ îáúåêòèâíîé ïðîèçâîäíîé Îëäðîéäà â îïðåäåëÿþE
ùåì ñîîòíîøåíèèD ïðèíàäëåæàùóþ Ãèëüîïå è Ñî ‘R“F
  Ïóñòü Ω ! îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü @òFåF îòêðûòîå ìíîæåñòâîA â
ïðîñòðàíñòâå R3 F Ðàññìîòðèì íà÷àëüíîEêðàåâóþ çàäà÷óD ñîñòîE
ÿùóþ èç óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè
                 3
   ∂v(t, x)                      ∂v(t, x)
            +         vi(t, x)            − Divσ(t, x) +    p(t, x) = f,
     ∂t         i=1
                                   ∂xi
                             (t, x) ∈ [0, T ] Ч Ω,                  @QFVFIA
îïðåäåëÿþùåãî ñîîòíîøåíèÿ
                        Daσ(t, x)                   DaE(t, x)
       σ(t, x) + λ1               = 2η(E(t, x) + λ2           ),
                          Dt                          Dt
                           (t, x) ∈ [0, T ] Ч Ω,                 @QFVFPA
óñëîâèÿ íåñæèìàåìîñòè æèäêîñòè
                 div v(t, x) = 0, (t, x) ∈ [0, T ] Ч Ω,             @QFVFQA
óñëîâèÿ ïðèëèïàíèÿ æèäêîñòè ê ñòåíêàì ñîñóäà
                      v(t, x) = 0, (t, x) ∈ [0, T ] Ч ∂Ω,           @QFVFRA
                                       32


è íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ
             v(0, x) = a(x), σ(0, x) = σ0(x), x ∈ Ω.      @QFVFSA
  Äàâëåíèå p ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíE
òûF Ïîýòîìó ê çàäà÷å @QFVFIAE@QFVFSA îáû÷íî äëÿ îïðåäåëåííîñòè
äîáàâëÿåòñÿ óñëîâèå

                            p(t, x)dx ≡ 0                 @QFVFTA
                        Ω
   Ââåäåì íåîáõîäèìûå ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâàF
   Ñèìâîëîì L2 áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòðàíñòâî ñóììèðóåìûõ
ñ êâàäðàòîì íà îáëàñòè Ω ôóíêöèé ñî çíà÷åíèÿìè â RD R3 èëè
ïðîñòðàíñòâå ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö 3Ч3F Ñèìâîëîì H s D ãäå s !
íàòóðàëüíîå ÷èñëîD îáîçíà÷èì ñîáîëåâñêîå ïðîñòðàíñòâî ôóíêE
öèé @ñî çíà÷åíèÿìè â RD R3 èëè ïðîñòðàíñòâå ñèììåòðè÷íûõ
ìàòðèö 3 Ч 3AD ñóììèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì íà îáëàñòè Ω âìåñòå
ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè äî ïîðÿäêà s âêëþ÷èòåëüíîY ñèìâîëîì
H0 ! çàìûêàíèå â H s ìíîæåñòâà áåñêîíå÷íî ãëàäêèõ ôóíêöèé
  s

ñ êîìïàêòíûì â Ω íîñèòåëåìY ñèìâîëîì H −s ! ïðîñòðàíñòâîD
ñîïðÿæåííîå ê H0 F  s

   Ñèìâîëàìè C([0, T ]; X) è L2 (0, T ; X) áóäåì îáîçíà÷àòü áàíàE
õîâû ïðîñòðàíñòâà ñîîòâåòñòâåííî íåïðåðûâíûõ è ñóììèðóåE
ìûõ ñ êâàäðàòîì ôóíêöèé íà ïðîìåæóòêå [0, T ] ñî çíà÷åíèÿìè
â íåêîòîðîì áàíàõîâîì ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå X F
    ñëó÷àåD êîãäà X åñòü L2 èëè H s D ëþáîé ýëåìåíò u ïðîE
ñòðàíñòâ C([0, T ]; X) è L2 (0, T ; X) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ôóíêE
öèåé u(t, x)D çàäàííîé íà [0, T ] Ч ΩD ñëåäóþùèì îáðàçîìX
                        u(t)(x) → u(t, x)                 @QFVFUA
  Èñõîäÿ èç ýòîãîD òðîéêà (v, σ, p) èç ïîäîáíûõ ïðîñòðàíñòâ
íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è @QFVFIAE@QFVFTAD åñëè ñîîòâåòñòâóþE
                                33


ùàÿ òðîéêà ôóíêöèé (v(t, x), σ(t, x), p(t, x)) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
ýòîé çàäà÷èF
  Òåïåðü ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ðåçóëüòàò Ãèëüîïå è ÑîF
  Òåîðåìà. Ïóñòü Ω ! îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ C E ãëàäêîé
                                                            3

ãðàíèöåéF Ïóñòü f ∈ L2 (0, T ; H 1 )D ft ∈ L2 (0, T ; H −1 )D
a ∈ H 2 H0 D div a = 0D σ0 ∈ H 1D σ0 − 2ηλ2 E(a) ∈ H 2F Òîãäà
             1
                                               λ1
ñóùåñòâóåò t0 > 0 è òðîéêà (v, σ, p) èç êëàññà

             v ∈ L2(0, t0; H 3)       C([0, t0]; H 2 ∩ H0 )
                                                        1


                                1
                vt ∈ L2(0, t0; H0 )      C([0, t0]; L2)
                         p ∈ L2(0, t0; H 2)
               σ ∈ L2(0, t0; H 2)       C([0, t0]; H 1),
êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è @QFVFIAE@QFVFTAF Ýòî ðåøåíèå
åäèíñòâåííî â óêàçàííîì êëàññåF




                                  34


4     Íåëèíåéíî-âÿçêèå æèäêîñòè

4.1   Íåëèíåéíàÿ âÿçêîñòü è âÿçêîóïðóãîñòü


  Êîíöåïöèÿ âÿçêîóïðóãîé æèäêîñòè íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåíE
íîé êîíöåïöèåéD ïðåäëàãàåìîé äëÿ îáúÿñíåíèÿ è îïèñàíèÿ íåíüE
þòîíîâñêîãî ïîâåäåíèÿ ðåàëüíûõ æèäêîñòåéF Ñóùåñòâóåò äðóE
ãîé êëàññ ìîäåëåéD íàçûâàåìûõ íåëèíåéíîEâÿçêèìè æèäêîñòÿE
ìèF Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿD ÷òî òåíçîð íàïðÿæåíèé â ìîìåíò
âðåìåíè t â òî÷êå x åñòü ôóíêöèÿ îò äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê
æèäêîñòè â ýòîé æå òî÷êå â ýòîò æå ìîìåíòX
         TH (t, x) = g1(t, x, v(t, x),   v(t, x), ρ(t, x))   @RFIFIA
  Èç @IFIFSA ñëåäóåòD ÷òî òîãäà è σ åñòü ôóíêöèÿ ýòèõ õàðàêòåE
ðèñòèêX
          σ(t, x) = g2(t, x, v(t, x),    v(t, x), ρ(t, x))   @RFIFPA
Çàìå÷àíèå.     Î÷åâèäíîD îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ @QFPFPA è
@QFQFIHAD è òåì áîëåå @QFTFTA íå ñâîäÿòñÿ ê @RFIFPAF Òåíçîð êàñàE
òåëüíûõ íàïðÿæåíèé σ(t, x) ó íèõ îêàçûâàåòñÿ çàâèñÿùèì îò
õàðàêòåðèñòèê æèäêîñòè â äðóãèõ òî÷êàõ â äðóãèå ìîìåíòû
âðåìåíèF Ýòî ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ ñïåöèôè÷åñêèì ñâîéñòâîì âÿçE
êîóïðóãèõ ìîäåëåéF Ïîä âÿçêîóïðóãîé æèäêîñòüþ â øèðîêîì
ñìûñëå ñëîâà ìîæíî ïîíèìàòü âñå ìîäåëè æèäêîñòåéD íå ñâîE
äèìûå ê @RFIFPAF
   Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ñëîæíûõ ìîäåëåé âÿçêîóïðóãèõ æèäE
êîñòåéF ÝòîD íàïðèìåðD ìîäåëèD ïîñòðîåííûå ìåòîäîì ìåõàíè÷åE
ñêèõ ìîäåëåé ñ èñïîëüçîâàíèåì â ïðîáèðêàõ ñ ïîðøíÿìè ìàñëà
ñ íåíüþòîíîâñêèìè ñâîéñòâàìèY ìîäåëèD â êîòîðûõ âðåìåíà ðåE
ëàêñàöèè è çàïàçäûâàíèÿ òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè õàðàêòåE
ðèñòèê æèäêîñòèY ìîäåëèD èìåþùèå èíòåãðàëüíûé âèä è íåñâîE
äèìûå ê ìåòîäó ìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëåé è äðF
                                   35


4.2    Òåîðåìà Íîëëà è ãèïîòåçà Ñòîêñà.


  Ñîîòíîøåíèå @RFIFPA åñòü îïðåäåëÿþùåå ñîîòíîøåíèå äëÿ íåE
ëèíåéíîEâÿçêîé æèäêîñòèF Ñîãëàñíî ïðèíöèïó îáúåêòèâíîñòè
åãî ôîðìà íå äîëæíà çàâèñåòü îò íàáëþäàòåëÿF ÎêàçûâàåòñÿD
ýòî ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü è óòî÷íèòü ôîðìó îïðåäåëÿþùåãî ñîE
îòíîøåíèÿ @RFIFPAF Ïåðâûì øàãîì íà ýòîì ïóòè ÿâëÿåòñÿ òåîE
ðåìà ÍîëëàF
  Òåîðåìà. Åñëè ñîîòíîøåíèå @RFIFPA óäîâëåòâîðÿåò ïðèíöèïó
îáúåêòèâíîñòèD òî g2 ñâîäèòñÿ ê ôóíêöèè òîëüêî E è ρX

                      g2(t, x, v, v, ρ) = g3(E, ρ)                @RFPFIA

Äîêàçàòåëüñòâî.      Â ñèëó ïðèíöèïà îáúåêòèâíîñòè äëÿ ëþE
áîé çàìåíû íàáëþäàòåëÿ @QFRFIA E @QFRFPA ôîðìà îïðåäåëÿþùåãî
ñîîòíîøåíèÿ @RFIFPA îñòàåòñÿ íåèçìåííîéF ÎòìåòèìD ÷òî ïëîòE
íîñòü ρ íå çàâèñèò îò íàáëþäàòåëÿF Òîãäà ñ ó÷åòîì ïðåäñòàâE
ëåíèé @QFSFIAD @QFSFPAD @QFSFRA è @QFTFPA ïîëó÷èì

           g2(t, x, v, v, ρ) = QT g2(t∗, x∗, v ∗, ( v)∗, ρ∗)Q =
      = QT g2(t + a, x∗ + +Q(x − x0), x∗ + Q QT (x∗ − x∗) + Qv,
                      0                0               0

                    QEQT + QW QT + Q QT , ρ)Q                     @RFPFPA
  Ïóñòü x1 è t1 ïðîèçâîëüíûå ôèêñèðîâàííûå òî÷êà è ìîìåíò
âðåìåíèF Ðàññìîòðèì òåíçîðíîçíà÷íóþ ôóíêöèþ

                          Q(t) = e(t1−t)W (t1,x1),                @RFPFQA

ãäå W (t1 , x1 ) ! òåíçîð çàâèõðåííîñòè â òî÷êå (t1 , x1 )F
  ÏîêàæåìD ÷òî çíà÷åíèÿìè Q(t) ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûå òåíE
çîðûF Ïî ñâîéñòâó ýêñïîíåíòû Q (t) = −Q(t)W (t1 , x1 )F Èìååì

                            Q(t1)Q(t1)T = I
              (Q(t)Q(t)T ) = Q (t)Q(t)T + Q(t)Q (t)T =
                                     36


              = −Q(t)W Q(t)T − Q(t)W T Q(t)T = 0
â ñèëó êîñîñèììåòðè÷íîñòè W F
   Ýòî âëå÷åò
                           Q(t)Q(t)T ≡ I.
ÎòìåòèìD ÷òî Q(t1 ) = I, Q (t1 ) = −W (t1 , x1 ).
  Ïîëîæèì â @RFPFPA t = t1 , x = x1 D Q êàê â @RFPFQAD à òàêæå

                                 x0 = 0                        @RFPFRA

      x∗(t) = −x1 − (t − t1)(v(t1, x1) − W (t1, x1)x1)
       0                                                       @RFPFSA
                                a = −t1                        @RFPFTA
  Ïîëó÷èìX

             g2(t1, x1, v(t1, x1),   v(t1, x1), ρ(t1, x1)) =
= g2(−a + a, −x1 + x1, −(v(t1, x1) − W (t1, x1)x1) + W (t1, x1)x1+
    +v(t1, x1), E(t1, x1) + W (t1, x1) − W (t1, x1), ρ(t1, x1)) =
                   = g2(0, 0, 0, E(t1, x1), ρ(t1, x1))         @RFPFUA
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè t1 è x1 ýòî âëå÷åò óòâåðæäåíèå òåîðåìûF
  Çàìå÷àíèå. Ïóñòü Dt E ïðîèçâîëüíàÿ îáúåêòèâíàÿ ïðîèçE
                        D

âîäíàÿF Òîãäà â ñèëó @QFTFSA DT íå çàâèñèò îò íàáëþäàòåëÿ äëÿ
                             Dt
ëþáîãî íåçàâèñÿùåãî îò íàáëþäàòåëÿ òåíçîðà T (t, x)F Òàê êàê
ïðîèçâîäíàÿ ßóìàííà îáúåêòèâíàD òî DT − D0 T òàêæå íå çàâèñèò
                                       Dt    Dt
îò íàáëþäàòåëÿF Íî â ñèëó @QFTFRA è @QFUFIA ýòî âûðàæåíèå ðàâíî
G( v, T ) − T W + W T F Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç G1( v, T )F ÂîçüE
ìåì ïðîèçâîëüíûå t1 è x1 è îïðåäåëèì Q ïî ôîðìóëå @RFPFQAF
Òàê êàê G1 ( v, T ) íå çàâèñèò îò íàáëþäàòåëÿD òî òàê æåD êàê
â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû ÍîëëàD ïîëó÷àåìX

                G1( v, T ) = QT G1(( v)∗, T ∗)Q =
          = QT G1(QEQT + QW QT + Q QT , QT QT )Q
                                     37


 ìîìåíò t1 â òî÷êå x1 ïîëó÷àåòñÿX

        G1( v(t1, x1), T (t1, x1)) = G1(E(t1, x1), T (t1, x1)),

÷òî âëå÷åò ïðåäñòàâëåíèå @QFUFPAF
  ÈòàêD ïî òåîðåìå Íîëëà ñîîòíîøåíèå @RFIFPA ìîæíî ïåðåïèE
ñàòü â âèäåX
                     σ(t, x) = g3(E(t, x), ρ(t, x))               @RFPFVA

   ñëó÷àåD êîãäà òåíçîð êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé íå çàâèñèò
îò ïëîòíîñòè @íàïðèìåðD æèäêîñòü íåñæèìàåìàÿAD èìååì ïðîE
ñòîX
                         σ(t, x) = g3(E(t, x))                    @RFPFWA

Ýòî ñîîíîøåíèå íàçûâàþò ãèïîòåçîé ÑòîêñàF


4.3   Òåîðåìà Ðèâëèíà-Ýðèêñåíà


   Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü èíôîðE
ìàöèþ î ôóíêöèè g3 èç @RFPFWAF Ñíà÷àëà çàìåòèìD ÷òî èç @RFPFIA
è @RFPFPA ñëåäóåòX
                         g3(E) = QT g3(E ∗)Q
Òîãäà @QFSFIA äàåò

                      g3(E) = QT g3(QEQT )Q                       @RFQFIA

äëÿ ëþáîãî îðòîãîíàëüíîãî òåíçîðà QF ÎêàçûâàåòñÿD èìååò ìåE
ñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå E ÷àñòíûé ñëó÷àé çíàìåíèòîé òåîE
ðåìû ÐèâëèíàEÝðèêñåíà î ïðåäñòàâëåíèèF
  Òåîðåìà.   Åñëè ôóíêöèÿ g3 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ @RFQFIAD
òî îíà ïðåäñòàâèìà â âèäå

 g3(E) = ϕ0(I1, I2, I3)I + ϕ1(I1, I2, I3)E + ϕ2(I1, I2, I3)E 2, @RFQFPA
                                   38


ãäå
                                                3
                                           2            2
        I1 = T rE = div v, I2 = T rE =                 Eij , I3 = det E,
                                               i,j=1

à ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 Eñêàëÿðíûå ôóíêöèè òðåõ ñêàëÿðíûõ àðãóìåíòîâF
  Äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè I1 = div v = 0. Ïîýòîìó äëÿ
ýòîãî ñëó÷àÿ @RFQFPA óïðîùàåòñÿX
      g3(E) = ϕ0(I2, I3)I + ϕ1(I2, I3)E + ϕ2(I2, I3)E 2                    @RFQFQA
  Îòñþäà
  Div σ = Div(ϕ0I + ϕ1E + ϕ2E 2) =              ϕ0 + Div(ϕ1E + ϕ2E 2)
  ×òîáû ïîëó÷èòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿD ïîäñòàâèì ýòî â @IFQFTAX
            3
   ∂v                 ∂v
      +          vi       −   ϕ0 − Div (ϕ1E + ϕ2E 2) +         p=f         @RFQFRA
   ∂t      i=1
                      ∂xi
  Îáîçíà÷èì p(t, x) = p(t, x)−ϕ0 (I2 (t, x), I3 (t, x)). Ïîëó÷àåì îáE
ùåå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé íåëèíåéíîEâÿçêîé æèäE
êîñòèX

       3
 ∂v       ∂v
    +  vi    −Div (ϕ1(I2, I3)E +ϕ2(I2, I3)E 2)+ p = f @RFQFSA
 ∂t i=1 ∂xi
  Çàìå÷àíèå.  Ôóíêöèè ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 îïðåäåëÿþòñÿ îïûòíûì ïóE
òåìF Äëÿ óïðîùåíèÿ ïîñòðîåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé ìîæíî ïðèìåE
íÿòü ìåòîä òèïà ìåòîäà ìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëåéD òFåF ñâåäåíèÿ
ê îäíîìåðíîìó ñëó÷àþF ÍàïðèìåðD Îëäðîéä ïðåäëîæèë ñëåE
äóþùóþ ïðîöåäóðóF Èñõîäÿ èç ïðîñòûõ òå÷åíèéD îïðåäåëÿåòñÿ
îäíîìåðíàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó íàïðÿæåíèåì σ1 è ñêîðîñòüþ
äåôîðìàöèè E1 â íåêîòîðîì íàïðàâëåíèèD íàïðèìåðD â ïðîäîëüE
íîì íàïðàâëåíèè ïðè òå÷åíèè â òðóáåX
                                  σ1 = ψ(E1)                               @RFQFTA
                                      39


                       ψ(E1 )
Îáîçíà÷èì ψ1 (E1 ) =    E1 F    ÈìååìX

                            σ1 = ψ1(E1)E1                                 @RFQFUA

Ïðè ïåðåõîäå ê òðåõìåðíîé ñèòóàöèè çàìåíÿåì σ1 íà σ D E1 íà E F
Íî òàê êàê ψ1 åñòü ôóíêöèÿ ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòàD íåîáõîäèìî
ïîñòàâèòü åå àðãóìåíòîì íåêîòîðûé ñêàëÿðD õàðàêòåðèçóþùèé
ñêîðîñòü äåôîðìàöèèF Ïðîñòåéøèé âàðèàíò " ýòî åâêëèäîâà
                                                 3              √
íîðìà òåíçîðà ñêîðîñòåé äåôîðìàöèè                       2
                                                        Eij =       I2F
                                                i,j=1
  Ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå îïðåäåëÿþùåå ñîîòíîøåíèå

                           σ = ψ1(       I2)E                             @RFQFVA

×òîáû ýòî ñîâïàëî ïî ôîðìå ñ @RFQFQAD ñëåäóåò ïîëîæèòü

               ϕ0 ≡ ϕ2 ≡ 0, ϕ1(I2, I3) = ψ1(            I2)               @RFQFWA




                                   40



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика