Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Математические модели неньютоновских жидкостей: Учебное пособие

Голосов: 2

Настоящее учебное пособие представляет собой введение в неньютоновскую гидродинамику для математиков. Задача написания пособия - привлечь внимание математиков к этой теории с целью дальнейших математических исследований объектов этой науки. Разработка написана на основе спецкурсов "Математические модели гидродинамики "и "Математические модели движения нелинейно-вязкой жидкости", читавшихся студентам математического факультета в Научно-образовательном центре "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах" Воронежского государственного университета. Пособие подготовлено на кафедре алгебры и топологических методов анализа математического факультета ВГУ. Рекомендуется для студентов 5-6 курсов математического факультета.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
            Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ ÐÔ
   Âîðîíåæñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò




Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè íåíüþòîíîâñêèõ æèäêîñòåé
                Ó÷åáíîå ïîñîáèå
     ïî ñïåöèàëüíîñòè 4Ìàòåìàòèêà4@HIHIHHA




                Âîðîíåæ PHHR


  Óòâåðæäåíî ó÷åáíîEìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì ìàòåìàòè÷åñêîãî
ôàêóëüòåòà ÂÃÓD ïðîòîêîë  T îò ISFHIFPHHR




  ÀâòîðûX Çâÿãèí ÂFÃFD Âîðîòíèêîâ ÄFÀF




  Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî íà êàôåäðå àëãåáðû è òîïîëîE
ãè÷åñêèõ ìåòîäîâ àíàëèçà ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÂÃÓ
  Ðåêîìåíäóåòñÿ äëÿ ñòóäåíòîâ SET êóðñîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàE
êóëüòåòà


Ââåäåíèå


  Õîðîøî èçâåñòíîD ÷òî ìíîãèå ïðîáëåìû ãèäðîäèíàìèêè ÿâE
ëÿþòñÿ îáúåêòîì ïðèñòàëüíîãî èññëåäîâàíèÿ ìàòåìàòèêîâF Íà
ïóòè ðåøåíèÿ ýòèõ ïðîáëåì áûëè ñîçäàíû ìíîãèå ìàòåìàòè÷åE
ñêèå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ çàäà÷ äëÿ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéF ÎäíàêîD êàê ïðàâèëîD òðàäèöèE
îííûì îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ ìàòåìàòèêîâ ÿâëÿåòñÿ íüþòîE
íîâñêàÿ ãèäðîäèíàìèêàF Íà íàø âçãëÿäD ýòî ñâÿçàíî ñ òåì ôàêE
òîìD ÷òî îáúåêòû íåíüþòîíîâñêîé ãèäðîäèíàìèêè íåäîñòàòî÷E
íî õîðîøî èçâåñòíû â ìàòåìàòè÷åñêîé ñðåäå è èõ èññëåäîâàíèå
â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñâÿçàíî â îñíîâíîì ñ óñèëèÿìè ìåõàíèêîâF
  Íàñòîÿùåå ó÷åáíîå ïîñîáèå íàïðàâëåíî íà èñïðàâëåíèå ýòîE
ãî ïîëîæåíèÿF Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ââåäåíèå â íåíüþòîíîâE
ñêóþ ãèäðîäèíàìèêó äëÿ ìàòåìàòèêîâF Ïðè íàïèñàíèè ïîñîáèÿ
íàøåé çàäà÷åé áûëî ïðèâëå÷ü âíèìàíèå ìàòåìàòèêîâ ê ýòîé òåE
îðèè ñ öåëüþ äàëüíåéøèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé îáúE
åêòîâ ýòîé íàóêèF
  Ýòà ðàçðàáîòêà íàïèñàíà íà îñíîâå ñïåöêóðñîâ 4ÌàòåìàòèE
÷åñêèå ìîäåëè ãèäðîäèíàìèêè4è 4Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äâèE
æåíèÿ íåëèíåéíîEâÿçêîé æèäêîñòè4D ÷èòàâøèõñÿ ñòóäåíòàì ìàE
òåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà â Íàó÷íîEîáðàçîâàòåëüíîì öåíòðå
4Âîëíîâûå ïðîöåññû â íåîäíîðîäíûõ è íåëèíåéíûõ ñðåäàõ4F




                             3


1     Æèäêîñòü â ãèäðîìåõàíèêå



1.1   Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè òå÷åíèÿ æèäêîñòè


  Äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ ðåàëüíûõ æèäêîE
ñòåé â ðàçëè÷íûõ ñèòóàöèÿõ â ãèäðîìåõàíèêå îáû÷íî ïîëàãàþòD
÷òî ÷àñòèöû æèäêîñòè áåñêîíå÷íî ìàëû è íàõîäÿòñÿ â òî÷êàõ
íåêîòîðîé îáëàñòè òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâàF Ýòà îáëàñòü ñîE
îòâåòñòâóåò ñîñóäóD çàïîëíåííîìó æèäêîñòüþF Ñ òå÷åíèåì âðåE
ìåíè ÷àñòèöû äâèæóòñÿ è îïèñûâàþò íåêîòîðûå òðàåêòîðèè â
ïðîñòðàíñòâåF 4Ñîñóä4òîæå ìîæåò äâèãàòüñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåE
íèD èìåòü ýëàñòè÷íóþ ãðàíèöóD êîòîðàÿ èçìåíÿåò ôîðìó ïîä
äåéñòâèåì ïîòîêà æèäêîñòèD èìåòü îòâåðñòèÿD â êîòîðûå âòåE
êàåò èëè âûòåêàåò æèäêîñòü è òFïF
  Çàäà÷à îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ æèäêîñòè ñâîäèòñÿ ê îïèñàíèþ
äâèæåíèÿ êàæäîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè E ÷àñòèöû æèäêîñòèF
Ðàññìîòðèì êàêóþEíèáóäü òàêóþ ÷àñòèöóF Åå ïîëîæåíèå â çàE
âèñèìîñòè îò âðåìåíè îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé x(t) âðåìåíè ñî
çíà÷åíèÿìè â òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâàF
  ÏðåäïîëîæèìD ÷òî â ïðîñòðàíñòâå çàôèêñèðîâàíû íà÷àëî êîE
îðäèíàò è áàçèñF  ýòîì ñëó÷àå êîîðäèíàòû òî÷êè @èëè âåêòîðàA
áóäåì îáîçíà÷àòü êàê x = (x1 , x2 , x3 )F
  Ñêîðîñòü ÷àñòèöû ñ òðàåêòîðèåé x(t) â ìîìåíò âðåìåíè t åñòü

                         v(t) = x (t)                  @IFIFIA

@Çäåñü è äàëåå ìû ñ÷èòàåì âñå ôóíêöèè äîñòàòî÷íî ãëàäêèìèD
÷òîáû âñå òðåáóåìûå ïðîèçâîäíûå ñóùåñòâîâàëèAF
  Òåíçîðîì áóäåì íàçûâàòü ëèíåéíûé îïåðàòîðD ïåðåâîäÿùèé
@òðåõìåðíûåA âåêòîðû â âåêòîðûF Ïðè âûáðàííîì áàçèñå åãî
ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ìàòðèöåé 3 Ч 3D ýëåìåíòû êîòîðîé íàE
çûâàþòñÿ êîìïîíåíòàìè òåíçîðàF
                              4


  Îáîçíà÷èì ÷åðåç v(t, x) ñêîðîñòü ÷àñòèöûD íàõîäÿùåéñÿ â ìîE
ìåíò âðåìåíè t â òî÷êå ïðîñòðàíñòâà xF Ðàññìîòðèì ãðàäèåíò
ýòîé âåëè÷èíû E òåíçîð ñ êîìïîíåíòàìè
                                     ∂vi(t, x)
                   ( v)ij (t, x) =             .       @IFIFPA
                                       ∂xj
  Åãî ñèììåòðè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ
                         1
                      E = ( v+          vT )           @IFIFQA
                         2
íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì ñêîðîñòåé äåôîðìàöèèD à êîñîñèììåòðèE
÷åñêàÿ
                         1
                    W = ( v − vT )                 @IFIFRA
                           2
òåíçîðîì çàâèõðåííîñòèF
  Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðóþ ÷àñòèöó âíóòðè æèäêîñòèF ÌîæE
íî ñ÷èòàòüD ÷òî îíà îãðàíè÷åíà âîîáðàæàåìîé ïîâåðõíîñòüþ
ïðîèçâîëüíîé ôîðìûF Îñòàëüíàÿ ÷àñòü æèäêîñòè äåéñòâóåò íà
÷àñòèöó ÷åðåç ýòó ïîâåðõíîñòüFÐàññìîòðèì ìàëóþ ïëîñêóþ ïëîE
ùàäêó íà ýòîé ïîâåðõíîñòè ïëîùàäüþ ∆S ñ âåêòîðîì âíåøíåé
íîðìàëè nF Îáîçíà÷èì ÷åðåç Pn ñèëóD ñ êîòîðîé îñòàëüíàÿ ÷àñòü
æèäêîñòè äåéñòâóåò íà ÷àñòèöó ÷åðåç ðàññìîòðåííóþ ïëîùàäE
êóF
  Âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà
                                    Pn
                        pn = lim
                               ∆S→0 ∆S

íàçûâàåòñÿ íàïðÿæåíèåìF
  ÎêàçûâàåòñÿD ñóùåñòâóåò ñèììåòðè÷íûé òåíçîð TH (t, x) òàE
êîéD ÷òî íàïðÿæåíèå â ìîìåíò t â òî÷êå x â íàïðàâëåíèè n
ðàâíî
                     pn(t, x) = TH (t, x)n.
Ýòîò òåíçîð íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì íàïðÿæåíèéF
                                5


  Òåíçîð
                             1
                     σ = TH − T rTH I,                 @IFIFSA
                             3
ãäå I E åäèíè÷íûé òåíçîðD íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì êàñàòåëüíûõ íàE
ïðÿæåíèéF Îí õàðàêòåðèçóåò ñèëû âíóòðåííåãî òðåíèÿ â æèäE
êîñòèF

1.2   Íüþòîíîâñêàÿ æèäêîñòü


  Íàóêà î äåôîðìàöèè è òå÷åíèè ìàòåðèàëîâ íàçûâàåòñÿ ðåîE
ëîãèåéF Ðåîëîãè÷åñêîå ïîâåäåíèå êîíêðåòíîãî ìàòåðèàëà çàâèE
ñèò îò ñîîòíîøåíèé ìåæäó íàïðÿæåíèÿìèD äåôîðìàöèÿìèD ðàñE
òÿæåíèÿìè â íåìF Íàèáîëåå âàæíûì èç òàêèõ ñîîòíîøåíèé ÿâE
ëÿåòñÿ óðàâíåíèå ôîðìîèçìåíåíèÿD íàçûâàåìîå òàêæå îïðåäåE
ëÿþùèì ñîîòíîøåíèåì @™onstitutive l—wAD çàäàþùåå ñâÿçü ìåæE
äó òåíçîðîì σ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé è ðàçëè÷íûìè õàðàêE
òåðèñòèêàìè äåôîðìàöèèF
  Íàèáîëåå ïðîñòàÿ çàâèñèìîñòü òàêîãî ñîðòàD îïèñûâàþùàÿ
æèäêîñòüD èìååò âèä
                          σ = 2ηE,                   @IFPFIA
ãäå η E ÷èñëîâîé ïàðàìåòðD íàçûâàåìûé âÿçêîñòüþF
  Ïðè η = 0 æèäêîñòü íàçûâàåòñÿ èäåàëüíîéF Ïðè η > 0 ïîE
ëó÷àåòñÿ êëàññè÷åñêàÿ íüþòîíîâñêàÿ æèäêîñòüF Ýòî îñíîâíîé
îáúåêò èññëåäîâàíèÿ êëàññè÷åñêîé ãèäðîäèíàìèêèF Îäíàêî â
ýòîì ïîñîáèè íàñ êàê ðàç èíòåðåñóþò ìîäåëèD îòëè÷íûå îò íüþE
òîíîâñêîéF

1.3   Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ


  ÏðåäïîëîæèìD ÷òî íàì èçâåñòíî ïîëå ñêîðîñòåé v(t, x) âî
âñåõ ãåîìåòðè÷åñêèõ òî÷êàõ x îáëàñòè ïðîñòðàíñòâàD ãäå íàE
õîäèòñÿ æèäêîñòü â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t èç íåêîòîðîãî
                              6


âðåìåííîãî ïðîìåæóòêàF ÒîãäàD ÷òîáû îïèñàòü äâèæåíèå ÷àE
ñòèöûD íàõîäÿùåéñÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t0 â òî÷êå
x0D äîñòàòî÷íî ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè

                               x (t) = v(t, x(t)),                     @IFQFIA

                                      x(t0) = x0.                      @IFQFPA
Ïðè äîñòàòî÷íî ðåãóëÿðíîì ïîëå ñêîðîñòåé v ýòà çàäà÷à èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèåF
  Èñõîäÿ èç ýòîãîD îñíîâíûì âîïðîñîì ïðè îïèñàíèè äâèæåE
íèÿ æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå ïîëÿ ñêîðîñòåé v(t, x)F ÏîE
ëå ñêîðîñòåé è òåíçîð íàïðÿæåíèé ñâÿçàíû ñëåäóþùèì ñîîòíîE
øåíèåìD íàçûâàåìûì óðàâíåíèåì äâèæåíèÿX
                                 3
                       ∂v                  ∂v
                      ρ +ρ            vi       − DivTH = ρf.           @IFQFQA
                       ∂t       i=1
                                           ∂xi

Çäåñü f (t, x) E ïîëå âíåøíèõ ñèëD äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòèöû òåëà
@íàïðèìåðD ãðàâèòàöèîííûõ ñèëAD ρ(t, x) E ïëîòíîñòü æèäêîñòèD
à äèâåðãåíöèåé òåíçîðà DivTH (t, x) íàçûâàåòñÿ âåêòîð

                                                                  
          3                      3                      3
                  ∂TH1j (t, x)       ∂TH2j (t, x)       ∂TH3j (t, x) 
                              ,                  ,                    =
         j=1
                     ∂xj         j=1
                                        ∂xj         j=1
                                                           ∂xj

              3
                     ∂TH1j (t, x) ∂TH2j (t, x) ∂TH3j (t, x)
      =                          ,            ,                        @IFQFRA
          j=1
                        ∂xj          ∂xj          ∂xj

  Äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè èìååòñÿ íåñêîëüêî áîëüøå èíE
ôîðìàöèèF ÂîEïåðâûõD äëÿ íåå
                                            3
                                                 ∂vj (t, x)
                        div v(t, x) =                       = 0.       @IFQFSA
                                           j=1
                                                   ∂xj
                                            7


  ÂîEâòîðûõD ñëåä òåíçîðà íàïðÿæåíèé ñ÷èòàåòñÿ ïîëíîñòüþ
íåçàâèñèìûì îò õàðàêòåðèñòèê äåôîðìàöèèD è ââîäÿò åùå îäíó
íåèçâåñòíóþ ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþ p(t, x) = − 1 T rTH D íàçûâàåE
                                           3
ìóþ äàâëåíèåìF
  ÂEòðåòüèõD ïëîòíîñòü ïîñòîÿííàD è ìîæíî ñ÷èòàòü åå ðàâíîé
åäèíèöåF
  ÇàìåòèìD ÷òî Div(pI) = pF Ïîýòîìó @IFQFQA ñ ó÷åòîì @IFIFSA
äàåò
                                3
                     ∂v                   ∂v
                        +            vi       − Divσ +         p = f.         @IFQFTA
                     ∂t        i=1
                                          ∂xi
  Ýòî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòèF
  ÍàïîìíèìD ÷òî îïåðàòîð Ëàïëàñà äåéñòâóåò ñëåäóþùèì îáE
                 3
                      ∂ 2v
ðàçîìX ∆v =           ∂x2
                           F
               j=1       j

  Çàìåòèì òåïåðüD ÷òî
                                          3
                                                  ∂E1j ∂E2j ∂E3j
                2Div E = 2                            ,    ,           =
                                     j=1
                                                  ∂xj ∂xj ∂xj

       3                                           3
            ∂ 2 v1 ∂ 2 v2 ∂ 2 v3                         ∂ 2 vj   ∂ 2 vj   ∂ 2 vj
  =                ,      ,                   +                 ,        ,
      j=1
            ∂x2 ∂x2 ∂x2
                 j      j      j                  j=1
                                                        ∂xj ∂x1 ∂xj ∂x2 ∂xj ∂x3

Èç @IFQFSA ñëåäóåòD ÷òî âòîðàÿ ñóììà ðàâíà íóëþF Ïîýòîìó
                                      2Div E = ∆v                             @IFQFUA
  Òîãäà èç îïðåäåëÿþùåãî ñîîòíîøåíèÿ íüþòîíîâñêîé æèäêîE
ñòè @IFPFIA è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ @IFQFTA ïîëó÷èì óðàâíåíèå
äâèæåíèÿ íüþòîíîâñêîé æèäêîñòèD
                                3
                     ∂v                   ∂v
                        +            vi       − η∆v +         p = f,          @IFQFVA
                     ∂t        i=1
                                          ∂xi
êîòîðîå îáû÷íî íàçûâàþò óðàâíåíèåì ÍàâüåEgòîêñàF
                                                  8


2     Îäíîìåðíûå ìîäåëè âÿçêîóïðóãèõ æèäêîñòåé


2.1   Ìåòîä ìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëåé


  Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèéD îïèñûâàþùèõ
òåëà ñ áîëåå ñëîæíûìè ñâîéñòâàìèD ÷åì íüþòîíîâñêàÿ æèäE
êîñòüD â ðåîëîãèè ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä ìåõàíè÷åñêèõ ìîE
äåëåéF Îïèøåì ñóùíîñòü ýòîãî ìåòîäàF
  Îñíîâíûå ñâîéñòâà äëÿ ðåîëîãèè " óïðóãîñòüD âÿçêîñòü è
ïëàñòè÷íîñòüF Äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ óïðóãîñòè èñïîëüçóåòñÿ ñïèE
ðàëüíàÿ ïðóæèíàF Äëÿ íåå èìååò ìåñòî çàêîí ÃóêàX óäëèíåíèå
ïðóæèíû ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî ïðèëîæåííîé ê åå êîíöàì
ñèëåF Ýòó ìîäåëü áóäåì îáîçíà÷àòü áóêâîé H F Äëÿ ïðåäñòàâëåE
íèÿ âÿçêîñòè èñïîëüçóåòñÿ ìîäåëü â âèäå ïðîáèðêèD çàïîëíåíE
íîé âÿçêèì ìàñëîìD â êîòîðîé ñâîáîäíî ïåðåìåùàåòñÿ ïîðøåíüF
Ñêîðîñòü ïîðøíÿ @îòíîñèòåëüíî ìàñëàA ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüE
íà ïðèëîæåííîé ñèëåF Ýòà ìîäåëü îáîçíà÷àåòñÿ N F Ìîäåëü äëÿ
ïëàñòè÷íîñòè íàì íå ïîòðåáóåòñÿF
  Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé òåë ñî ñëîæíûìè ðåîëîãè÷åñêèìè
ñâîéñòâàìè ìîæíî ñîåäèíèòü ýòè ýëåìåíòû ïàðàëëåëüíî @îáîE
çíà÷àåòñÿ | A èëè ïîñëåäîâàòåëüíî @îáîçíà÷àåòñÿ −AF Ïðè ïàðàëE
ëåëüíîì ñîåäèíåíèè íàãðóçêèD âîñïðèíèìàåìûå êàæäûì ýëåE
ìåíòîìD ñêëàäûâàþòñÿD à ñêîðîñòè óäëèíåíèÿ êàæäîãî ýëåìåíE
òà îäèíàêîâûF Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ñêëàäûâàþòE
ñÿ ñêîðîñòè óäëèíåíèÿ ýëåìåíòîâD è êàæäûé èç íèõ ïîäâåðãàE
åòñÿ îäèíàêîâîé íàãðóçêåF
   Äëÿ ðåîëîãè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé íóæíû íå ñèëû è ñêîðîñòèD
à íàïðÿæåíèå è ñêîðîñòè äåôîðìàöèèF Çäåñü íóæíî âñïîìíèòüD
÷òî íàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ ìîäåëèðîâàíèå ðåàëüíûõ âÿçêîóïðóE
ãèõ æèäêîñòåéF Ãðóáî ãîâîðÿD ýòè æèäêîñòè ïðåäïîëàãàþòñÿ ñîE
ñòîÿùèìè èç ìèêðîêîìïëåêñîâ èç ìàëåíüêèõ ïðóæèíîê è ïðîE
                              9


áèðîê ñ ïîðøíÿìèF Ïîýòîìó ìû äîëæíû ïîíèìàòü íàïðÿæåíèå
è ñêîðîñòü äåôîðìàöèè òàêD ÷òîáû ýòî ñîãëàñîâàëîñü ñ îïðåäåE
ëåíèÿìè èç ïFIFIF Èñõîäÿ èç ýòîãîD îïðåäåëèì íàïðÿæåíèå σ @â
ïðóæèíå èëè â ïðîáèðêå ñ ïîðøíåìA êàê îòíîøåíèå ñèëû ñîïðîE
òèâëåíèÿ @êîòîðàÿ ðàâíà ïî ìîäóëþ ïðèëîæåííîé ñèëåA ê ïëîE
ùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ @ïðóæèíû èëè ïîðøíÿAD à ñêîðîñòü
äåôîðìàöèè E êàê ïîëîâèíó îòíîøåíèÿ ñêîðîñòè @ïîðøíÿ â
ìàñëå èëè èçìåíåíèÿ äëèíû ïðóæèíûA ê õàðàêòåðíîé @ñðåäE
íåéA ïðîäîëüíîé äëèíå ïðîáèðêè ñ ïîðøíåì èëè ïðóæèíûF 4ÏîE
ëîâèíà4çäåñü ïîÿâèëàñü â ñîîòâåòñòâèè ñ @IFIFQAD íî ñêîðî îíà
áóäåò 4ïîãàøåíà4ïîÿâëÿþùèìèñÿ äâîéêàìè â êîýôôèöèåíòàõ
ïðîïîðöèîíàëüíîñòèF Ýòî ñòðàííîå íà ïåðâûé âçãëÿä óìíîæåE
íèå èëè äåëåíèå íà PD êîòîðîå ìîæíî çàìåòèòü è â ôîðìóëå
@IFPFPAD îáúÿñíÿåòñÿ êàê èñòîðè÷åñêèìè ñîîáðàæåíèÿìèD òàê è
íåêîòîðûì óäîáñòâîì ïðè ïåðåõîäå ê óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿX
íàïðèìåð â @IFQFVA äâîéêà èñ÷åçëàF
  Òåïåðü íåîáõîäèìî çàïèñàòü ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íàïðÿæåíèE
åì è ñêîðîñòüþ äåôîðìàöèè äëÿ ïðóæèíû è ïðîáèðêè ñ ïîðøE
íåìF Äëÿ ïðîáèðêè ñ ïîðøíåì ýòî ñîâñåì ïðîñòîX òàê êàê ñèE
ëà ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòèD òî íàïðÿæåíèå ïðîïîðöèîíàëüE
íî ñêîðîñòè äåôîðìàöèè

                         σN = 2ηEN                     @PFIFIA

ÎòìåòèìD ÷òî @PFIFIA ñîâïàäàåò ïî ôîðìå ñ @IFPFIAD è η èìååò
ôèçè÷åñêèé ñìûñë âÿçêîñòèF
  Óñëîâèìñÿ òîëüêî äëÿ ìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëåé îáîçíà÷àòü ïðîE
èçâîäíóþ ïî âðåìåíè òî÷êîéF Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïî âðåìåíè
çàêîí Ãóêà äëÿ ïðóæèíûD ïîëó÷èìD ÷òî ïðîèçâîäíàÿ îò ñèëû
ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ äëèíû ïðóæèíûF ÏîýòîE
ìó ïðîèçâîäíàÿ îò íàïðÿæåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè äåE
                             10



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика