Óíèâåðñèòåòñêèé êóðñ
         îáùåé ôèçèêè
Â.À.Àëåøêåâè÷, Ë.Ã.Äåäåíêî, Â.À.Êàðàâàåâ




  ÌÅÕÀÍÈÊÀ
ÒÂÅÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ

            ËÅÊÖÈÈ




           ÌÎÑÊÂÀ
   ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÌÃÓ
             1997


        ÓÄÊ 530.1




        Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. Ëåêöèè.
        (Óíèâåðñèòåòñêèé êóðñ îáùåé ôèçèêè)
        Àëåøêåâè÷ Â.À., Äåäåíêî Ë.Ã., Êàðàâàåâ Â.À.,
        èçä-âî Ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ
        (ÍÝÂÖ ÔÈÏÒ), 1997 ã., 72 ñòð., èëë.

      Ïîñîáèå ñîäåðæèò ëåêöèè ïî ìåõàíèêå òâåðäîãî òåëà, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ
ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ðàçäåëà «Ìåõàíèêà» êóðñà îáùåé ôèçèêè.
      Äëÿ ñòóäåíòîâ ôèçè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé óíèâåðñèòåòîâ è âûñøèõ
ó÷åáíûõ çàâåäåíèé.




                        Âèêòîð Àëåêñàíäðîâè÷ Àëåøêåâè÷
                           Ëåîíèä Ãðèãîðüåâè÷ Äåäåíêî
                       Âëàäèìèð Àëåêñàíäðîâè÷ Êàðàâàåâ
                       Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. Ëåêöèè.
                    (Óíèâåðñèòåòñêèé êóðñ îáùåé ôèçèêè)


        Îðèãèíàë-ìàêåò ïîäãîòîâëåí Èçäàòåëüñêîé ãðóïïîé ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà
ÌÃÓ (òåë. 939-5494). Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 06.10.1997. Ñäàíî â íàáîð 08.10.1997. Ôîðìàò
B5, ãàðíèòóðà Times, ïå÷àòü ðèçî, Îáúåì 4,5 ïå÷.ë., òèðàæ 200 ýêç, çàêàç ¹348.
        Èçäàòåëüñòâî ÍÝÂÖ ÔÈÏÒ Ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ. Ëèöåíöèÿ ËÐ-040131
îò 05.02.97. Ìîñêâà, 119899, Âîðîáüåâû ãîðû, ÌÃÓ èì. Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, ôèçè÷åñêèé
ôàêóëüòåò.

                           © Àëåøêåâè÷ Â.À., Äåäåíêî Ë.Ã., Êàðàâàåâ Â.À., 1997
                           © Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÌÃÓ, 1997


                              Ïðåäèñëîâèå

        Íà êàôåäðå îáùåé ôèçèêè âåäåòñÿ ðàáîòà ïî ïîäãîòîâêå è èçäàíèþ îðè-
ãèíàëüíîãî êóðñà «Îáùàÿ ôèçèêà», ïðåäíàçíà÷åííîãî äëÿ ñòóäåíòîâ ôèçè÷åñêèõ
ñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ.
        Êóðñ áóäåò îõâàòûâàòü ÷åòûðå ðàçäåëà: «Ìåõàíèêà», «Ìîëåêóëÿðíàÿ
ôèçèêà», «Ýëåêòðîìàãíåòèçì» è «Îïòèêà», ñîîòâåòñòâîâàòü íîâûì ó÷åáíûì
ïðîãðàììàì, ðàçðàáîòàííûì íà ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ, è îòðàæàòü ñî-
âðåìåííûå òåíäåíöèè è òåõíîëîãèè ôèçè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ.
        Îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ äàííîãî êóðñà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â íåì íàè-
áîëåå ïîñëåäîâàòåëüíî â ìåòîäè÷åñêîì îòíîøåíèè ïðîâîäèòñÿ òî÷êà çðåíèÿ î
ñóùåñòâåííîì åäèíñòâå îñíîâíûõ ôîðì îáó÷åíèÿ ôèçèêå: ëåêöèé, ëàáîðàòîðíûõ
ýêñïåðèìåíòîâ è ñåìèíàðñêèõ óïðàæíåíèé. Ëåêöèè ïî êàæäîé òåìå íà÷èíàþòñÿ
ñ äåìîíñòðàöèè îñíîâíûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ôàêòîâ, êîòîðûå çàòåì àíàëèçè-
ðóþòñÿ è îáîáùàþòñÿ â âèäå ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ è ñîîòíîøåíèé. Òàêîé «ýêñïå-
ðèìåíòàëüíûé» ïîäõîä ê èçëîæåíèþ ìàòåðèàëà çàêðåïëÿåòñÿ ïðè âûïîëíåíèè
ëàáîðàòîðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, öåëü êîòîðûõ - íàó÷èòü ñòóäåíòîâ íàâûêàì ñà-
ìîñòîÿòåëüíîé ïîñòàíîâêè è ðåøåíèÿ ôèçè÷åñêèõ ïðîáëåì, ïðîâåäåíèþ ýêñïåðè-
ìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, âêëþ÷àÿ êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå, à òàêæå ìå-
òîäàì èíòåðïðåòàöèè è àíàëèçà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ. Áîëåå ãëóáîêîå
ïîíèìàíèå îñíîâíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé è çàêîíîìåðíîñòåé äîñòèãàåòñÿ íà ñå-
ìèíàðñêèõ çàíÿòèÿõ.
         ñîîòâåòñòâèè ñ ïîñòàâëåííûìè çàäà÷àìè êàæäûé ðàçäåë êóðñà áóäåò
ñîñòîÿòü èç ÷åòûðåõ ïîñîáèé: «Ëåêöèè», «Ëåêöèîííûé ýêñïåðèìåíò», «Ëàáîðà-
òîðíûé ýêñïåðèìåíò», «Ñåìèíàðñêèå çàíÿòèÿ». Ïîñîáèÿ, íàïèñàííûå â åäèíîì
ìåòîäè÷åñêîì êëþ÷å, áóäóò êîìïëåêòîâàòüñÿ âèäåîçàïèñÿìè ëåêöèîííûõ äåìîí-
ñòðàöèé è äèñêåòàìè ñ îïèñàíèåì ìîäåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
        Ëåêöèè ïî êèíåìàòèêå è äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà ÿâëÿþòñÿ ÷àñòüþ ãî-
òîâÿùåãîñÿ ê èçäàíèþ êóðñà «Ìåõàíèêà» è ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñàìî-
ñòîÿòåëüíîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ïî äàííîé òåìå. Ëåêöèè íàïèñàíû íà îñíîâå êóðñîâ,
÷èòàåìûõ àâòîðàìè íà ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ.
        Àâòîðû âûðàæàþò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü Ì.Â.Ñåìåíîâó çà âíèìàòåëü-
íîå ïðî÷òåíèå ðóêîïèñè è öåííûå çàìå÷àíèÿ, à òàêæå Ê.Á.Áåãóí, Ì.Ï.Âèíîãðàäî-
âó è À.À.ßêóòå çà ïîäãîòîâêó ðóêîïèñè ê èçäàíèþ.


Ëåêöèÿ 1                                                                 5


                             ËÅÊÖÈß ¹1

       Êèíåìàòèêà àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà. Ñòåïåíè ñâîáîäû. Óãëû Ýéëåðà.
Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå. Âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. Ïëîñêîå äâèæå-
íèå. Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà, èìåþùåãî îäíó íåïîäâèæíóþ òî÷êó. Äâèæåíèå
ñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà.

       Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà – îäèí èç íàèáîëåå òðóäíûõ ðàçäåëîâ êóðñà.
Êàê è ìåõàíèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, îí ñîñòîèò èç äâóõ îñíîâíûõ ÷àñòåé:
êèíåìàòèêè è äèíàìèêè.
       Çàäà÷à êèíåìàòèêè – äàòü ñïîñîáû îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà
è, èñõîäÿ èç çàêîíà åãî äâèæåíèÿ, îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå, ñêîðîñòü è óñêî-
ðåíèå ëþáîé òî÷êè òåëà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè.  îáùåì ñëó÷àå ýòî äîâîëü-
íî ñëîæíàÿ çàäà÷à – â ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, ïîêðóòèâ â ðóêàõ, íàïðèìåð,
êíèãó èëè ðó÷êó. Êîíå÷íî, âñÿêîå òåëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñèñòåìó ìàòå-
ðèàëüíûõ òî÷åê è ïîïðîáîâàòü ïðèìåíèòü ê íåìó ïðèåìû, èçâåñòíûå èç êè-
íåìàòèêè òî÷êè. Íà ïåðâûé âçãëÿä, ýòî íå óïðîùàåò ñèòóàöèþ – íå âûïèñû-
âàòü æå çàêîíû äâèæåíèÿ äëÿ âñåõ ôèçè÷åñêè ìàëûõ ÷àñòåé, íà êîòîðûå ìîæ-
íî ðàçáèòü òåëî, ïóñòü äàæå èõ áóäåò è êîíå÷íîå ÷èñëî!
       Îáëåã÷àþùåå îáñòîÿòåëüñòâî êðîåòñÿ â ñàìèõ ñëîâàõ “òâåðäîå òåëî”.
Òâåðäîå – çíà÷èò ïðàêòè÷åñêè íåäåôîðìèðóåìîå. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè
íà êàêîé-ëèáî äîñòàòî÷íî òâåðäûé ïðåäìåò ïîäåéñòâîâàòü ñèëîé è çàñòàâèòü
åãî äâèãàòüñÿ, òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ëþáûìè åãî òî÷êàìè îñòàíóòñÿ íåèçìåí-
íûìè. Õîòÿ, êîíå÷íî, ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ñèë â òåëå âîçíèêíóò
âíóòðåííèå íàïðÿæåíèÿ, ïðè÷èíà êîòîðûõ – äåôîðìàöèè îòäåëüíûõ åãî ÷à-
ñòåé. Íî åñëè ìû ãîâîðèì î òâåðäîì òåëå, òî ýòè äåôîðìàöèè îêàçûâàþòñÿ
íàñòîëüêî ìàëûìè, ÷òî íåçàìåòíû äëÿ ãëàçà, è îò íèõ ìîæíî îòâëå÷üñÿ. Â
èòîãå ìû ïðèõîäèì ê èäåàëèçèðîâàííîé ìîäåëè àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà (â
äàëüíåéøåì – ïðîñòî òâåðäîãî òåëà), êîòîðîå ñîâåðøåííî íå ñïîñîáíî äå-
ôîðìèðîâàòüñÿ, õîòÿ ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë â íåì ìîãóò âîçíèêàòü îï-
ðåäåëåííûå âíóòðåííèå óñèëèÿ.
       Òàêèì îáðàçîì, òâåðäîå òåëî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó ìàòå-
ðèàëüíûõ òî÷åê, îòíîñèòåëüíûå ïîëîæåíèÿ êîòîðûõ îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè.
Äðóãèìè ñëîâàìè, âñå ìàêðîñêîïè÷åñêèå ýëåìåíòû òàêîãî òåëà íåïîäâèæíû
â ñèñòåìå êîîðäèíàò, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òåëîì. Èìåííî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî
ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü ðåøåíèå êèíåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ è êîíêðå-
òèçèðîâàòü ìíîãèå îáùèå ïîíÿòèÿ (èìïóëüñ, ìîìåíò èìïóëüñà, ýíåðãèÿ),
ââåäåííûå ðàíåå ïðè ðàññìîòðåíèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
       Ñòåïåíè ñâîáîäû. Óãëû Ýéëåðà. Äâèãàÿñü â ïðîñòðàíñòâå, òâåðäîå òåëî
îáëàäàåò îïðåäåëåííûìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
       ×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû – ýòî ÷èñëî íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí, êîòîðûå
íåîáõîäèìî çàäàòü äëÿ òîãî, ÷òîáû îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå òåëà â
ïðîñòðàíñòâå.  ðàçíûõ ñèòóàöèÿõ ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû òâåðäîãî òåëà ìî-
æåò áûòü ðàçëè÷íûì. Åñëè äèñê, íå âðàùàÿñü, ìîæåò ñêîëüçèòü âäîëü íåïîä-
âèæíîé â äàííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà îñè (ðèñ. 1.1à), òî â äàííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà
îí, î÷åâèäíî, îáëàäàåò òîëüêî îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû – ïîëîæåíèå äèñêà
îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ, ñêàæåì, êîîðäèíàòîé x åãî öåíòðà, îòñ÷èòûâàå-
ìîé âäîëü îñè. Íî åñëè äèñê, êðîìå òîãî, ìîæåò åùå è âðàùàòüñÿ (ðèñ. 1.1á),


6                                                                              Ìåõàíèêà




                   a                                á                                   â

                                          Ðèñ.1.1

òî îí ïðèîáðåòàåò åùå îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû – ê êîîðäèíàòå x äîáàâëÿåòñÿ
óãîë ϕ ïîâîðîòà äèñêà âîêðóã îñè. Åñëè îñü ñ äèñêîì çàæàòà â ðàìêå, êîòîðàÿ
ìîæåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè (ðèñ. 1.1â), òî ÷èñëî ñòåïå-
íåé ñâîáîäû ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì òðåì – ê x è ϕ äîáàâëÿåòñÿ óãîë θ ïîâîðîòà
ðàìêè.
        Êîðîáêà, êîòîðàÿ ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ïî ïîâåðõíîñòè ñòîëà (ðèñ.
1.2), òàêæå îáëàäàåò òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû – äëÿ îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëå-
íèÿ åå ïîëîæåíèÿ ìîæíî çàäàòü, íàïðèìåð, êîîðäèíàòû x, y åå öåíòðà è
                                        óãîë ϕ ìåæäó îäíèì èç ðåáåð êîðîáêè
               y                        è êðàåì ñòîëà.
                                                Êàêîâî æå ÷èñëî ñòåïåíåé ñâî-
                                        áîäû òâåðäîãî òåëà â ñàìîì îáùåì ñëó-
                                        ÷àå?
                                                Äëÿ òîãî, ÷òîáû îäíîçíà÷íî
0                                       çàäàòü ïîëîæåíèå òâåðäîãî òåëà â ïðî-
                     j          x       ñòðàíñòâå, íàäî çàôèêñèðîâàòü òðè åãî
                                        òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé.
                                        Îäíà ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà èìååò òðè
                                        ñòåïåíè ñâîáîäû (òðè äåêàðòîâû êî-
                  Ðèñ.1.2
                                        îðäèíàòû x, y, z). Äâå ìàòåðèàëüíûå
                                        òî÷êè, æåñòêî ñâÿçàííûå ìåæäó ñî-
áîé, èìåþò 3 + 3 – 1 = 5 ñòåïåíåé ñâîáîäû.  ýòîì ñëó÷àå êîîðäèíàòû òî÷åê x1,
y1, z1 è x2, y2, z2 íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè âåëè÷èíàìè, òàê êàê èìååòñÿ
óðàâíåíèå ñâÿçè

                              l 2 = (x 2 − x1 ) + (y 2 − y1 ) + (z2 − z1 ) ,
                                             2              2             2
                                                                                    (1.1)
ãäå l – ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè.
                Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå äëÿ òâåðäîãî òåëà ïîëó÷àåì
3  +   3   +   3   –   3   =   6   ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïðè ýòîì èìåþòñÿ òðè óðàâíåíèÿ ñâÿçè,
âûðàæàþùèå ïîñòîÿíñòâî ðàññòîÿíèé ìåæäó êàæäîé ïàðîé òî÷åê.
                Øåñòü ïàðàìåòðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ øåñòè ñòåïåíÿì ñâîáîäû òâåð-
äîãî òåëà, ìîæíî çàäàâàòü ïî-ðàçíîìó. Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ
òðåìÿ ðàçëè÷íûìè äåêàðòîâûìè ñèñòåìàìè êîîðäèíàò:
                1. Ëàáîðàòîðíàÿ ñèñòåìà XYZ.
                2. Ñèñòåìà x0y0z0, íà÷àëî êîòîðîé ñâÿçàíî ñ íåêîòîðîé òî÷êîé O òâåð-
äîãî òåëà, à îñè îñòàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè îñÿì ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû XYZ,


Ëåêöèÿ 1                                                                 7
òî åñòü ñèñòåìà x0y0z0 äâèæåòñÿ âìåñòå ñ òî÷êîé Î òâåðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî
ñèñòåìû XYZ ïîñòóïàòåëüíî.
        3. Ñèñòåìà xyz, íà÷àëî êîòîðîé íàõîäèòñÿ â òîé æå òî÷êå Î, ÷òî è
íà÷àëî ñèñòåìû x0y0z0, à îñè æåñòêî ñâÿçàíû ñ òâåðäûì òåëîì.
        Òîãäà øåñòè ñòåïåíÿì ñâîáîäû òåëà áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü, âî-ïåð-
âûõ, òðè êîîðäèíàòû òî÷êè Î (â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ), à âî-âòîðûõ, –
òðè óãëà ϕ, ψ, θ, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþùèå ïîëîæåíèå ñèñòåìû xyz îòíîñè-
òåëüíî x0y0z0. Ýòè óãëû íà-
çûâàþòñÿ óãëàìè Ýéëåðà.              z     θ    z0
Èõ ñìûñë ÿñåí èç ðèñ. 1.3,
ãäå ÎÀ – ëèíèÿ ïåðåñå-
÷åíèÿ ïëîñêîñòåé Ox0y0 è
Oxy, ïðè ýòîì íèæíåå îñ-
íîâàíèå òâåðäîãî òåëà
(ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå-
ëåïèïåäà) ëåæèò â ïëîñ-        Z                            y
êîñòè Oxy. Îáû÷íî èõ íà-
çûâàþò òàê: ϕ – óãîë ñîá-            Y
ñòâåííîãî âðàùåíèÿ (ñ X
èçìåíåíèåì ýòîãî óãëà                                               x
ñâÿçàí ïîâîðîò òâåðäîãî                       O
òåëà âîêðóã îñè z), ψ –                                           y0
                                                 j
óãîë ïðåöåññèè (ïîâîðîò           x0        y
âîêðóã z0 ñ ñîõðàíåíèåì
óãëà θ ìåæäó îñÿìè z0 è z),
θ – óãîë íóòàöèè (îòêëî-
                                              A
íåíèå òåëà îò îñè z0).                          Ðèñ.1.3
        Ïðèìåðû ñ äèñêîì íà îñè è êîðîáêîé (ðèñ. 1.1, 1.2) ïîêàçûâàþò, ÷òî
ñëîæíîå äâèæåíèå òîãî èëè èíîãî òåëà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê ñóïåð-
ïîçèöèÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòûõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ è
ïîâîðîòà (âðàùåíèÿ) âîêðóã îñè.  äàëüíåéøåì, ñëåäóÿ ïðèíöèïó “îò ïðî-
ñòîãî ê ñëîæíîìó”, ìû ðàññìîòðèì 5 òèïîâ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà, èñ÷åð-
ïûâàþùèõ âñå âñòðå÷àþùèåñÿ íà ïðàêòèêå ñëó÷àè:
        – ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå;
        – âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè;
        – ïëîñêîå, èëè ïëîñêî-ïàðàëëåëüíîå äâèæåíèå;
        – äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé (òàêîå äâè-
           æåíèå èíîãäà íàçûâàþò ñôåðè÷åñêèì);
        – äâèæåíèå ñâîáîäíîãî, òî åñòü íåçàêðåïëåííîãî òâåðäîãî òåëà.
        Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå – ýòî òàêîå äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì ëþáîé
âûäåëåííûé â òåëå îòðåçîê îñòàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ñàìîìó ñåáå.
        Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì íà ýòó òåìó ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå êàáèíîê êî-
ëåñà îáîçðåíèÿ (ðèñ. 1.4). Ýòîò ïðèìåð íàãëÿäíî ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîñòóïàòåëü-
íîå äâèæåíèå – ñîâñåì íå îáÿçàòåëüíî ïðÿìîëèíåéíîå. Î÷åâèäíî, ÷òî ÷èñëî
ñòåïåíåé ñâîáîäû òåëà â ýòîì ñëó÷àå ðàâíî òðåì, òàê êàê äîñòàòî÷íî îïèñàòü
äâèæåíèå êàêîé-íèáóäü îäíîé òî÷êè òåëà (íàïðèìåð, òî÷êè À íà ðèñ. 1.5).
Òðàåêòîðèè âñåõ îñòàëüíûõ òî÷åê (íàïðèìåð, òî÷êè  íà ðèñ. 1.5) ìîãóò áûòü
ïîëó÷åíû ïóòåì “ïàðàëëåëüíîãî” ïåðåíîñà.


8                                                                     Ìåõàíèêà

                                       Z                              B
                                                        B

                                                            rAB
                                             rB
                                                                            A
                                       O               rA         A

                            X
                                                                          Y
        Ðèñ. 1.4                                       Ðèñ. 1.5


       Äîïóñòèì, çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè À çàäàí â âèäå
                                           rA = rA (t ) .                  (1.2)
Òîãäà çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè  áóäåò èìåòü âèä
                             rB = rA + rAB ,                               (1.3)
ãäå rAB – âåêòîð, ïðîâåäåííûé îò òî÷êè À ê òî÷êå Â.
       Ñêîðîñòü òî÷êè À
                                        dr A
                                 vA =        ,                             (1.4)
                                         dt
ñêîðîñòü òî÷êè Â
                                       drB
                                vB =       = vA,                           (1.5)
                                       dt
òàê êàê rAB – âåêòîð, ïîñòîÿííûé ïî âåëè÷èíå (àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî) è
íàïðàâëåíèþ (ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå).
       Óñêîðåíèÿ òî÷åê À è  òàêæå ðàâíû ìåæäó ñîáîé:
                                dv A    dv B
                            aA =     =       = aB .                   (1.6)
                                 dt      dt
Òàêèì îáðàçîì, êèíåìàòèêà ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà â ïðèí-
öèïå íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò êèíåìàòèêè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
       Âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. Åñëè ïðè äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà
êàêèå-ëèáî äâå åãî òî÷êè âñå âðåìÿ îñòàþòñÿ íåïîäâèæíûìè, òî ÷åðåç ýòè
òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè ïðÿìóþ, ÿâëÿþùóþñÿ íåïîäâèæíîé îñüþ âðàùåíèÿ. Ñ
òàêèì äâèæåíèåì ìû ñòàëêèâàåìñÿ åæåäíåâíî, îòêðûâàÿ è çàêðûâàÿ äâåðü â
êîìíàòó. Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå òåëî îáëàäàåò ëèøü îäíîé ñòåïåíüþ
ñâîáîäû, ñâÿçàííîé ñ óãëîì åãî ïîâîðîòà âîêðóã îñè. Ïðè ýòîì âñå òî÷êè
òåëà äâèæóòñÿ ïî îêðóæíîñòÿì, ëåæàùèì â ïëîñêîñòÿõ, êîòîðûå ïåðïåíäè-
êóëÿðíû îñè âðàùåíèÿ; öåíòðû îêðóæíîñòåé ëåæàò íà ýòîé îñè.
       Ñóùåñòâåííî, ÷òî ëèíåéíûå ñêîðîñòè òî÷åê, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàçíîì
ðàññòîÿíèè îò îñè âðàùåíèÿ, ðàçíûå. Â ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, êàñàÿñü ñòàëü-
íîé ïðîâîëîêîé âðàùàþùåãîñÿ äèñêà òî÷èëà (ðèñ. 1.6): ÷åì äàëüøå îò îñè,
òåì äëèííåå ñíîï èñêð – òåì áîëüøå ñêîðîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êè äèñêà.


Ëåêöèÿ 1                                                                  9
Ïðè ýòîì òàêæå âèäíî, ÷òî èñ-
êðû ëåòÿò ïî êàñàòåëüíîé ê îê-
ðóæíîñòè, îïèñûâàåìîé äàííîé
òî÷êîé äèñêà.
       ßñíî, ÷òî óãëîâîå ïåðåìå-
ùåíèå âñåõ òî÷åê òâåðäîãî òåëà
çà îäíî è òî æå âðåìÿ áóäåò îäè-
íàêîâûì. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïî-
çâîëÿåò ââåñòè îáùóþ êèíåìàòè-
÷åñêóþ õàðàêòåðèñòèêó – óãëîâóþ
ñêîðîñòü
                  ∆ϕ dϕ
       ω = lim       =    ,   (1.7)                          Ðèñ. 1.6
           ∆t → 0 ∆t   dt
ãäå ∆ϕ – óãîë ïîâîðîòà òåëà çà âðåìÿ ∆t .
       Ìîæíî ââåñòè âåêòîð ýëåìåíòàðíîãî óãëîâîãî ïåðåìåùåíèÿ ∆j , íà-
ïðàâëåííûé âäîëü îñè âðàùåíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîì ïðàâîãî áóðàâ-
÷èêà: åñëè ðóêîÿòêó áóðàâ÷èêà ïîâîðà÷èâàòü â íàïðàâëåíèè âðàùåíèÿ òåëà,
òî ïîñòóïàòåëüíîå ïåðåìåùåíèå áóðàâ÷èêà äàñò íàïðàâëåíèå ∆j . Óñòðåìëÿÿ
èíòåðâàë âðåìåíè ∆t , çà êîòîðîå ïðîèçîøëî óãëîâîå ïåðåìåùåíèå ∆j , ê
íóëþ, ìû ïîëó÷èì âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè
                                           dj
                                              ,w=                    (1.8)
                                           dt
êîòîðûé îïðåäåëÿåò, âî-ïåðâûõ, ìîäóëü óãëîâîé ñêîðîñòè òåëà, âî-âòîðûõ,
– îðèåíòàöèþ îñè âðàùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå, è â-òðåòüèõ, – íàïðàâëåíèå
âðàùåíèÿ òåëà. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî w – âåêòîð ñêîëüçÿùèé â òîì ñìûñ-
ëå, ÷òî åãî íà÷àëî ìîæíî ñîâìåñòèòü ñ ëþáîé òî÷êîé, ïðèíàäëåæàùåé îñè
âðàùåíèÿ.
       Íàïðèìåð, äëÿ Çåìëè, âðàùàþùåéñÿ âîêðóã ñâîåé îñè ñ çàïàäà íà
âîñòîê, âåêòîð w èìååò íàïðàâëåíèå îò þæíîãî ïîëþñà ê ñåâåðíîìó.
Âåëè÷èíà óãëîâîé ñêîðîñòè
                               2π
                         ω Çåìëè =    ≈ 7,3 ⋅10 −5 c −1 .
                          24 ⋅ 3600 ñ
Äëÿ ñðàâíåíèÿ: óãëîâàÿ ñêîðîñòü îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ Çåìëè ñî-
ñòàâëÿåò
                                        ω Çåìëè
                              ω îðá ≈           ≈ 2,0 ⋅ 10 − 7 ñ −1 .
                                         365

Çàìåòèì, ÷òî ïåðèîä îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ íå êðàòåí ïðîäîëæèòåëüíîñòè
ñóòîê, ÷òî ñîçäàåò èçâåñòíûå òðóäíîñòè â ïîñòðîåíèè êàëåíäàðÿ (íåîáõîäè-
ìî ââîäèòü âèñîêîñíûå ãîäû è ïðî÷.).
       Çíàÿ w, ëåãêî îïðåäåëèòü ëèíåéíóþ ñêîðîñòü ëþáîé òî÷êè òâåðäîãî
òåëà. Ââåäåì ðàäèóñ-âåêòîð rA íåêîòîðîé òî÷êè À òâåðäîãî òåëà, ïîìåñòèâ
åãî íà÷àëî â òî÷êó Î íà îñè âðàùåíèÿ (ðèñ. 1.7). Âåêòîð r ïðîâåäåí â òî÷êó À
îò îñè âðàùåíèÿ, òî åñòü ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè.


10                                                                     Ìåõàíèêà

                                           Âåêòîð ñêîðîñòè v A ìîæíî ñâÿçàòü
                                 ñ âåêòîðàìè rA è w:
                                                v A = w Ч rA         (1.9)
                                 (ôîðìóëà Ýéëåðà). Ïðè ýòîì âåëè÷èíà ñêî-
                                 ðîñòè
                                        v A = ω rA ⋅ sin α = ω ρ .  (1.10)
                                 ßñíî, ÷òî òî÷êó Î íà îñè âðàùåíèÿ ìîæíî
           j                     âûáðàòü ïðîèçâîëüíî – çíà÷åíèå ρ = r A sin α
                                 áóäåò îäíèì è òåì æå.
     A                                  Óñêîðåíèå òî÷êè À

                     VA             aA =
                                           dw           dr
                                              Ч rA + w Ч A = e Ч rA + w Ч v A .
     rA                                    dt            dt

                a                                                          (1.11)
                                           dw
                                 Çäåñü e =    – óãëîâîå óñêîðåíèå òåëà. Ýòî
                    O                      dt
               Ðèñ. 1.7          àêñèàëüíûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé â òó æå
                                 ñòîðîíó, ÷òî è w, åñëè âðàùåíèå óñêîðÿåò-
                                 ñÿ, è ïðîòèâîïîëîæíî w, åñëè âðàùåíèå
                                 çàìåäëÿåòñÿ.
         Òàêèì îáðàçîì, óñêîðåíèå a A ÿâëÿåòñÿ ñóììîé äâóõ âåëè÷èí:
                                           aA = aτ + an ,                  (1.12)
(ðèñ. 1.8), ïðè÷åì âñå òðè âåêòîðà a A , a τ è a n ëåæàò â ïëîñêîñòè, ïåðïåí-
äèêóëÿðíîé îñè âðàùåíèÿ.

                                                              O2

                                                                          VB

                                                               B
                    an                                                   aB
          n                    aA
     A
                    at                                         A               VA

               e                                                         aA

                                                              O1
              Ðèñ. 1.8                                      Ðèñ. 1.9


Ëåêöèÿ 1                                                                      11

                                  a τ = e Ч rA = ερt                        (1.13)
– ýòî òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå (t – åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè v A ).
                           a n = w Ч v A = w Ч (w Ч rA ) = ω 2 ρn           (1.14)
– ýòî öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ( n – åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëå-
íèè ê îñè âðàùåíèÿ). Ýòè ñîñòàâëÿþùèå ïîëíîãî óñêîðåíèÿ õîðîøî èçâåñò-
íû èç êèíåìàòèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
       Ïëîñêîå äâèæåíèå – ýòî òàêîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà, ïðè êîòîðîì
òðàåêòîðèè âñåõ åãî òî÷åê ëåæàò â íåïîäâèæíûõ ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ.
Åñëè â òåëå ïðîâåñòè íåêîòîðóþ ïðÿìóþ O1O2, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ýòèì ïëîñ-
êîñòÿì (ðèñ. 1.9), òî âñå òî÷êè ýòîé ïðÿìîé áóäóò äâèãàòüñÿ ïî îäèíàêîâûì
òðàåêòîðèÿì ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè è óñêîðåíèÿìè; ñàìà ïðÿìàÿ áóäåò,
åñòåñòâåííî, ñîõðàíÿòü ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå. Òàêèì îáðàçîì,
ïðè ïëîñêîì, èëè, êàê åãî èíîãäà íàçûâàþò, ïëîñêî-ïàðàëëåëüíîì äâèæå-
íèè òâåðäîãî òåëà äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü äâèæåíèå îäíîãî èç ñå÷åíèé òåëà.




             O                                                 O

             B             V0                                  B

             M                     Ðèñ. 1.10
                                                               M

       Îáðàòèìñÿ ê êëàññè÷åñêîìó ïðîñòîìó ïðèìåðó ïëîñêîãî äâèæåíèÿ –
êà÷åíèþ öèëèíäðà ïî ïëîñêîñòè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ. Ðàññìàòðèâàÿ îäíî èç
ñå÷åíèé öèëèíäðà ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé åãî îñè, ìû ïðèäåì ê
èçâåñòíîé çàäà÷å î êàòÿùåìñÿ êîëåñå (ðèñ. 1.10). Öåíòð êîëåñà äâèæåòñÿ ïðÿ-
ìîëèíåéíî, òðàåêòîðèè äðóãèõ òî÷åê ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êðèâûå, íàçûâàå-
ìûå öèêëîèäàìè.
       Ïðè îòñóòñòâèè ïðîñêàëüçûâàíèÿ ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü ñàìîé íèæ-
íåé òî÷êè êîëåñà (òî÷êè M) ðàâíà íóëþ. Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü êà÷å-
íèå êîëåñà êàê ñóïåðïîçèöèþ äâóõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî ñî ñêîðîñòüþ
                                                       v0
îñè v 0 è âðàùàòåëüíîãî ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω =           , ãäå R – ðàäèóñ êîëåñà.
                                                       R
ßñíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå v M = v 0 − ωR = 0 .
        Ïîïðîáóåì îáîáùèòü ýòîò ïðèåì íà ïðîèçâîëüíîå ïëîñêîå äâèæåíèå.
        Âûäåëèì îòðåçîê ÀB â ðàññìàòðèâàåìîì ñå÷åíèè òâåðäîãî òåëà (ðèñ. 1.11).
Ïåðåâîä ñå÷åíèÿ èç ïîëîæåíèÿ 1 â ïîëîæåíèå 2 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
ñóïåðïîçèöèþ äâóõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî èç 1 â 1´ è âðàùàòåëüíîãî èç
1´ â 2 âîêðóã òî÷êè À´, íàçûâàåìîé îáû÷íî ïîëþñîì (ðèñ. 1.11à). Ñóùåñòâåí-
íî, ÷òî â êà÷åñòâå ïîëþñà ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ òî÷êó, ïðèíàäëåæàùóþ
ñå÷åíèþ èëè äàæå ëåæàùóþ â ïëîñêîñòè ñå÷åíèÿ âíå åãî. Íà ðèñ. 1.11á, ê
ïðèìåðó, â êà÷åñòâå ïîëþñà âûáðàíà òî÷êà Â. Îáðàòèòå âíèìàíèå: äëèíà ïóòè



    

Минпросвещения России

ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика»

Рособрнадзор

Федеральная университетская компьютерная сеть РФ

Федеральный портал "Российское образование"

Единое окно доступа к образовательным ресурсам