Механика твердого тела. Лекции
Пособие содержит лекции по механике твердого тела, которые являются составной частью раздела "Механика" курса общей физики. Москва, Физический факультет, МГУ, 1997.
Óíèâåðñèòåòñêèé êóðñ îáùåé ôèçèêè Â.À.Àëåøêåâè÷, Ë.Ã.Äåäåíêî, Â.À.Êàðàâàåâ ÌÅÕÀÍÈÊÀ ÒÂÅÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ ËÅÊÖÈÈ ÌÎÑÊÂÀ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÌÃÓ 1997 ÓÄÊ 530.1 Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. Ëåêöèè. (Óíèâåðñèòåòñêèé êóðñ îáùåé ôèçèêè) Àëåøêåâè÷ Â.À., Äåäåíêî Ë.Ã., Êàðàâàåâ Â.À., èçä-âî Ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ (ÍÝÂÖ ÔÈÏÒ), 1997 ã., 72 ñòð., èëë. Ïîñîáèå ñîäåðæèò ëåêöèè ïî ìåõàíèêå òâåðäîãî òåëà, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ðàçäåëà «Ìåõàíèêà» êóðñà îáùåé ôèçèêè. Äëÿ ñòóäåíòîâ ôèçè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé óíèâåðñèòåòîâ è âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé. Âèêòîð Àëåêñàíäðîâè÷ Àëåøêåâè÷ Ëåîíèä Ãðèãîðüåâè÷ Äåäåíêî Âëàäèìèð Àëåêñàíäðîâè÷ Êàðàâàåâ Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. Ëåêöèè. (Óíèâåðñèòåòñêèé êóðñ îáùåé ôèçèêè) Îðèãèíàë-ìàêåò ïîäãîòîâëåí Èçäàòåëüñêîé ãðóïïîé ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ (òåë. 939-5494). Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 06.10.1997. Ñäàíî â íàáîð 08.10.1997. Ôîðìàò B5, ãàðíèòóðà Times, ïå÷àòü ðèçî, Îáúåì 4,5 ïå÷.ë., òèðàæ 200 ýêç, çàêàç ¹348. Èçäàòåëüñòâî ÍÝÂÖ ÔÈÏÒ Ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ. Ëèöåíöèÿ ËÐ-040131 îò 05.02.97. Ìîñêâà, 119899, Âîðîáüåâû ãîðû, ÌÃÓ èì. Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò. © Àëåøêåâè÷ Â.À., Äåäåíêî Ë.Ã., Êàðàâàåâ Â.À., 1997 © Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÌÃÓ, 1997 Ïðåäèñëîâèå Íà êàôåäðå îáùåé ôèçèêè âåäåòñÿ ðàáîòà ïî ïîäãîòîâêå è èçäàíèþ îðè- ãèíàëüíîãî êóðñà «Îáùàÿ ôèçèêà», ïðåäíàçíà÷åííîãî äëÿ ñòóäåíòîâ ôèçè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ. Êóðñ áóäåò îõâàòûâàòü ÷åòûðå ðàçäåëà: «Ìåõàíèêà», «Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà», «Ýëåêòðîìàãíåòèçì» è «Îïòèêà», ñîîòâåòñòâîâàòü íîâûì ó÷åáíûì ïðîãðàììàì, ðàçðàáîòàííûì íà ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ, è îòðàæàòü ñî- âðåìåííûå òåíäåíöèè è òåõíîëîãèè ôèçè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ. Îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ äàííîãî êóðñà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â íåì íàè- áîëåå ïîñëåäîâàòåëüíî â ìåòîäè÷åñêîì îòíîøåíèè ïðîâîäèòñÿ òî÷êà çðåíèÿ î ñóùåñòâåííîì åäèíñòâå îñíîâíûõ ôîðì îáó÷åíèÿ ôèçèêå: ëåêöèé, ëàáîðàòîðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ è ñåìèíàðñêèõ óïðàæíåíèé. Ëåêöèè ïî êàæäîé òåìå íà÷èíàþòñÿ ñ äåìîíñòðàöèè îñíîâíûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ôàêòîâ, êîòîðûå çàòåì àíàëèçè- ðóþòñÿ è îáîáùàþòñÿ â âèäå ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ è ñîîòíîøåíèé. Òàêîé «ýêñïå- ðèìåíòàëüíûé» ïîäõîä ê èçëîæåíèþ ìàòåðèàëà çàêðåïëÿåòñÿ ïðè âûïîëíåíèè ëàáîðàòîðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, öåëü êîòîðûõ - íàó÷èòü ñòóäåíòîâ íàâûêàì ñà- ìîñòîÿòåëüíîé ïîñòàíîâêè è ðåøåíèÿ ôèçè÷åñêèõ ïðîáëåì, ïðîâåäåíèþ ýêñïåðè- ìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, âêëþ÷àÿ êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå, à òàêæå ìå- òîäàì èíòåðïðåòàöèè è àíàëèçà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ. Áîëåå ãëóáîêîå ïîíèìàíèå îñíîâíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé è çàêîíîìåðíîñòåé äîñòèãàåòñÿ íà ñå- ìèíàðñêèõ çàíÿòèÿõ.  ñîîòâåòñòâèè ñ ïîñòàâëåííûìè çàäà÷àìè êàæäûé ðàçäåë êóðñà áóäåò ñîñòîÿòü èç ÷åòûðåõ ïîñîáèé: «Ëåêöèè», «Ëåêöèîííûé ýêñïåðèìåíò», «Ëàáîðà- òîðíûé ýêñïåðèìåíò», «Ñåìèíàðñêèå çàíÿòèÿ». Ïîñîáèÿ, íàïèñàííûå â åäèíîì ìåòîäè÷åñêîì êëþ÷å, áóäóò êîìïëåêòîâàòüñÿ âèäåîçàïèñÿìè ëåêöèîííûõ äåìîí- ñòðàöèé è äèñêåòàìè ñ îïèñàíèåì ìîäåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ëåêöèè ïî êèíåìàòèêå è äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà ÿâëÿþòñÿ ÷àñòüþ ãî- òîâÿùåãîñÿ ê èçäàíèþ êóðñà «Ìåõàíèêà» è ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñàìî- ñòîÿòåëüíîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ïî äàííîé òåìå. Ëåêöèè íàïèñàíû íà îñíîâå êóðñîâ, ÷èòàåìûõ àâòîðàìè íà ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ. Àâòîðû âûðàæàþò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü Ì.Â.Ñåìåíîâó çà âíèìàòåëü- íîå ïðî÷òåíèå ðóêîïèñè è öåííûå çàìå÷àíèÿ, à òàêæå Ê.Á.Áåãóí, Ì.Ï.Âèíîãðàäî- âó è À.À.ßêóòå çà ïîäãîòîâêó ðóêîïèñè ê èçäàíèþ. Ëåêöèÿ 1 5 ËÅÊÖÈß ¹1 Êèíåìàòèêà àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà. Ñòåïåíè ñâîáîäû. Óãëû Ýéëåðà. Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå. Âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. Ïëîñêîå äâèæå- íèå. Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà, èìåþùåãî îäíó íåïîäâèæíóþ òî÷êó. Äâèæåíèå ñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà îäèí èç íàèáîëåå òðóäíûõ ðàçäåëîâ êóðñà. Êàê è ìåõàíèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, îí ñîñòîèò èç äâóõ îñíîâíûõ ÷àñòåé: êèíåìàòèêè è äèíàìèêè. Çàäà÷à êèíåìàòèêè äàòü ñïîñîáû îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà è, èñõîäÿ èç çàêîíà åãî äâèæåíèÿ, îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå, ñêîðîñòü è óñêî- ðåíèå ëþáîé òî÷êè òåëà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè.  îáùåì ñëó÷àå ýòî äîâîëü- íî ñëîæíàÿ çàäà÷à â ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, ïîêðóòèâ â ðóêàõ, íàïðèìåð, êíèãó èëè ðó÷êó. Êîíå÷íî, âñÿêîå òåëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñèñòåìó ìàòå- ðèàëüíûõ òî÷åê è ïîïðîáîâàòü ïðèìåíèòü ê íåìó ïðèåìû, èçâåñòíûå èç êè- íåìàòèêè òî÷êè. Íà ïåðâûé âçãëÿä, ýòî íå óïðîùàåò ñèòóàöèþ íå âûïèñû- âàòü æå çàêîíû äâèæåíèÿ äëÿ âñåõ ôèçè÷åñêè ìàëûõ ÷àñòåé, íà êîòîðûå ìîæ- íî ðàçáèòü òåëî, ïóñòü äàæå èõ áóäåò è êîíå÷íîå ÷èñëî! Îáëåã÷àþùåå îáñòîÿòåëüñòâî êðîåòñÿ â ñàìèõ ñëîâàõ òâåðäîå òåëî. Òâåðäîå çíà÷èò ïðàêòè÷åñêè íåäåôîðìèðóåìîå. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè íà êàêîé-ëèáî äîñòàòî÷íî òâåðäûé ïðåäìåò ïîäåéñòâîâàòü ñèëîé è çàñòàâèòü åãî äâèãàòüñÿ, òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ëþáûìè åãî òî÷êàìè îñòàíóòñÿ íåèçìåí- íûìè. Õîòÿ, êîíå÷íî, ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ñèë â òåëå âîçíèêíóò âíóòðåííèå íàïðÿæåíèÿ, ïðè÷èíà êîòîðûõ äåôîðìàöèè îòäåëüíûõ åãî ÷à- ñòåé. Íî åñëè ìû ãîâîðèì î òâåðäîì òåëå, òî ýòè äåôîðìàöèè îêàçûâàþòñÿ íàñòîëüêî ìàëûìè, ÷òî íåçàìåòíû äëÿ ãëàçà, è îò íèõ ìîæíî îòâëå÷üñÿ.  èòîãå ìû ïðèõîäèì ê èäåàëèçèðîâàííîé ìîäåëè àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà (â äàëüíåéøåì ïðîñòî òâåðäîãî òåëà), êîòîðîå ñîâåðøåííî íå ñïîñîáíî äå- ôîðìèðîâàòüñÿ, õîòÿ ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë â íåì ìîãóò âîçíèêàòü îï- ðåäåëåííûå âíóòðåííèå óñèëèÿ. Òàêèì îáðàçîì, òâåðäîå òåëî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó ìàòå- ðèàëüíûõ òî÷åê, îòíîñèòåëüíûå ïîëîæåíèÿ êîòîðûõ îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè. Äðóãèìè ñëîâàìè, âñå ìàêðîñêîïè÷åñêèå ýëåìåíòû òàêîãî òåëà íåïîäâèæíû â ñèñòåìå êîîðäèíàò, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òåëîì. Èìåííî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü ðåøåíèå êèíåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ è êîíêðå- òèçèðîâàòü ìíîãèå îáùèå ïîíÿòèÿ (èìïóëüñ, ìîìåíò èìïóëüñà, ýíåðãèÿ), ââåäåííûå ðàíåå ïðè ðàññìîòðåíèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ñòåïåíè ñâîáîäû. Óãëû Ýéëåðà. Äâèãàÿñü â ïðîñòðàíñòâå, òâåðäîå òåëî îáëàäàåò îïðåäåëåííûìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. ×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ýòî ÷èñëî íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí, êîòîðûå íåîáõîäèìî çàäàòü äëÿ òîãî, ÷òîáû îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå òåëà â ïðîñòðàíñòâå.  ðàçíûõ ñèòóàöèÿõ ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû òâåðäîãî òåëà ìî- æåò áûòü ðàçëè÷íûì. Åñëè äèñê, íå âðàùàÿñü, ìîæåò ñêîëüçèòü âäîëü íåïîä- âèæíîé â äàííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà îñè (ðèñ. 1.1à), òî â äàííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà îí, î÷åâèäíî, îáëàäàåò òîëüêî îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû ïîëîæåíèå äèñêà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ, ñêàæåì, êîîðäèíàòîé x åãî öåíòðà, îòñ÷èòûâàå- ìîé âäîëü îñè. Íî åñëè äèñê, êðîìå òîãî, ìîæåò åùå è âðàùàòüñÿ (ðèñ. 1.1á), 6 Ìåõàíèêà a á â Ðèñ.1.1 òî îí ïðèîáðåòàåò åùå îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû ê êîîðäèíàòå x äîáàâëÿåòñÿ óãîë ϕ ïîâîðîòà äèñêà âîêðóã îñè. Åñëè îñü ñ äèñêîì çàæàòà â ðàìêå, êîòîðàÿ ìîæåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè (ðèñ. 1.1â), òî ÷èñëî ñòåïå- íåé ñâîáîäû ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì òðåì ê x è ϕ äîáàâëÿåòñÿ óãîë θ ïîâîðîòà ðàìêè. Êîðîáêà, êîòîðàÿ ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ïî ïîâåðõíîñòè ñòîëà (ðèñ. 1.2), òàêæå îáëàäàåò òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû äëÿ îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëå- íèÿ åå ïîëîæåíèÿ ìîæíî çàäàòü, íàïðèìåð, êîîðäèíàòû x, y åå öåíòðà è óãîë ϕ ìåæäó îäíèì èç ðåáåð êîðîáêè y è êðàåì ñòîëà. Êàêîâî æå ÷èñëî ñòåïåíåé ñâî- áîäû òâåðäîãî òåëà â ñàìîì îáùåì ñëó- ÷àå? Äëÿ òîãî, ÷òîáû îäíîçíà÷íî 0 çàäàòü ïîëîæåíèå òâåðäîãî òåëà â ïðî- j x ñòðàíñòâå, íàäî çàôèêñèðîâàòü òðè åãî òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé. Îäíà ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà èìååò òðè ñòåïåíè ñâîáîäû (òðè äåêàðòîâû êî- Ðèñ.1.2 îðäèíàòû x, y, z). Äâå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè, æåñòêî ñâÿçàííûå ìåæäó ñî- áîé, èìåþò 3 + 3 1 = 5 ñòåïåíåé ñâîáîäû.  ýòîì ñëó÷àå êîîðäèíàòû òî÷åê x1, y1, z1 è x2, y2, z2 íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè âåëè÷èíàìè, òàê êàê èìååòñÿ óðàâíåíèå ñâÿçè l 2 = (x 2 − x1 ) + (y 2 − y1 ) + (z2 − z1 ) , 2 2 2 (1.1) ãäå l ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè. Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå äëÿ òâåðäîãî òåëà ïîëó÷àåì 3 + 3 + 3 3 = 6 ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïðè ýòîì èìåþòñÿ òðè óðàâíåíèÿ ñâÿçè, âûðàæàþùèå ïîñòîÿíñòâî ðàññòîÿíèé ìåæäó êàæäîé ïàðîé òî÷åê. Øåñòü ïàðàìåòðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ øåñòè ñòåïåíÿì ñâîáîäû òâåð- äîãî òåëà, ìîæíî çàäàâàòü ïî-ðàçíîìó.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òðåìÿ ðàçëè÷íûìè äåêàðòîâûìè ñèñòåìàìè êîîðäèíàò: 1. Ëàáîðàòîðíàÿ ñèñòåìà XYZ. 2. Ñèñòåìà x0y0z0, íà÷àëî êîòîðîé ñâÿçàíî ñ íåêîòîðîé òî÷êîé O òâåð- äîãî òåëà, à îñè îñòàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè îñÿì ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû XYZ, Ëåêöèÿ 1 7 òî åñòü ñèñòåìà x0y0z0 äâèæåòñÿ âìåñòå ñ òî÷êîé Î òâåðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû XYZ ïîñòóïàòåëüíî. 3. Ñèñòåìà xyz, íà÷àëî êîòîðîé íàõîäèòñÿ â òîé æå òî÷êå Î, ÷òî è íà÷àëî ñèñòåìû x0y0z0, à îñè æåñòêî ñâÿçàíû ñ òâåðäûì òåëîì. Òîãäà øåñòè ñòåïåíÿì ñâîáîäû òåëà áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü, âî-ïåð- âûõ, òðè êîîðäèíàòû òî÷êè Î (â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ), à âî-âòîðûõ, òðè óãëà ϕ, ψ, θ, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþùèå ïîëîæåíèå ñèñòåìû xyz îòíîñè- òåëüíî x0y0z0. Ýòè óãëû íà- çûâàþòñÿ óãëàìè Ýéëåðà. z θ z0 Èõ ñìûñë ÿñåí èç ðèñ. 1.3, ãäå ÎÀ ëèíèÿ ïåðåñå- ÷åíèÿ ïëîñêîñòåé Ox0y0 è Oxy, ïðè ýòîì íèæíåå îñ- íîâàíèå òâåðäîãî òåëà (ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå- ëåïèïåäà) ëåæèò â ïëîñ- Z y êîñòè Oxy. Îáû÷íî èõ íà- çûâàþò òàê: ϕ óãîë ñîá- Y ñòâåííîãî âðàùåíèÿ (ñ X èçìåíåíèåì ýòîãî óãëà x ñâÿçàí ïîâîðîò òâåðäîãî O òåëà âîêðóã îñè z), ψ y0 j óãîë ïðåöåññèè (ïîâîðîò x0 y âîêðóã z0 ñ ñîõðàíåíèåì óãëà θ ìåæäó îñÿìè z0 è z), θ óãîë íóòàöèè (îòêëî- A íåíèå òåëà îò îñè z0). Ðèñ.1.3 Ïðèìåðû ñ äèñêîì íà îñè è êîðîáêîé (ðèñ. 1.1, 1.2) ïîêàçûâàþò, ÷òî ñëîæíîå äâèæåíèå òîãî èëè èíîãî òåëà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê ñóïåð- ïîçèöèÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòûõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ è ïîâîðîòà (âðàùåíèÿ) âîêðóã îñè.  äàëüíåéøåì, ñëåäóÿ ïðèíöèïó îò ïðî- ñòîãî ê ñëîæíîìó, ìû ðàññìîòðèì 5 òèïîâ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà, èñ÷åð- ïûâàþùèõ âñå âñòðå÷àþùèåñÿ íà ïðàêòèêå ñëó÷àè: ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå; âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè; ïëîñêîå, èëè ïëîñêî-ïàðàëëåëüíîå äâèæåíèå; äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé (òàêîå äâè- æåíèå èíîãäà íàçûâàþò ñôåðè÷åñêèì); äâèæåíèå ñâîáîäíîãî, òî åñòü íåçàêðåïëåííîãî òâåðäîãî òåëà. Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå ýòî òàêîå äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì ëþáîé âûäåëåííûé â òåëå îòðåçîê îñòàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ñàìîìó ñåáå. Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì íà ýòó òåìó ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå êàáèíîê êî- ëåñà îáîçðåíèÿ (ðèñ. 1.4). Ýòîò ïðèìåð íàãëÿäíî ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîñòóïàòåëü- íîå äâèæåíèå ñîâñåì íå îáÿçàòåëüíî ïðÿìîëèíåéíîå. Î÷åâèäíî, ÷òî ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû òåëà â ýòîì ñëó÷àå ðàâíî òðåì, òàê êàê äîñòàòî÷íî îïèñàòü äâèæåíèå êàêîé-íèáóäü îäíîé òî÷êè òåëà (íàïðèìåð, òî÷êè À íà ðèñ. 1.5). Òðàåêòîðèè âñåõ îñòàëüíûõ òî÷åê (íàïðèìåð, òî÷êè  íà ðèñ. 1.5) ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïóòåì ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà. 8 Ìåõàíèêà Z B B rAB rB A O rA A X Y Ðèñ. 1.4 Ðèñ. 1.5 Äîïóñòèì, çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè À çàäàí â âèäå rA = rA (t ) . (1.2) Òîãäà çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè  áóäåò èìåòü âèä rB = rA + rAB , (1.3) ãäå rAB âåêòîð, ïðîâåäåííûé îò òî÷êè À ê òî÷êå Â. Ñêîðîñòü òî÷êè À dr A vA = , (1.4) dt ñêîðîñòü òî÷êè  drB vB = = vA, (1.5) dt òàê êàê rAB âåêòîð, ïîñòîÿííûé ïî âåëè÷èíå (àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî) è íàïðàâëåíèþ (ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå). Óñêîðåíèÿ òî÷åê À è  òàêæå ðàâíû ìåæäó ñîáîé: dv A dv B aA = = = aB . (1.6) dt dt Òàêèì îáðàçîì, êèíåìàòèêà ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà â ïðèí- öèïå íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò êèíåìàòèêè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. Åñëè ïðè äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà êàêèå-ëèáî äâå åãî òî÷êè âñå âðåìÿ îñòàþòñÿ íåïîäâèæíûìè, òî ÷åðåç ýòè òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè ïðÿìóþ, ÿâëÿþùóþñÿ íåïîäâèæíîé îñüþ âðàùåíèÿ. Ñ òàêèì äâèæåíèåì ìû ñòàëêèâàåìñÿ åæåäíåâíî, îòêðûâàÿ è çàêðûâàÿ äâåðü â êîìíàòó. Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå òåëî îáëàäàåò ëèøü îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû, ñâÿçàííîé ñ óãëîì åãî ïîâîðîòà âîêðóã îñè. Ïðè ýòîì âñå òî÷êè òåëà äâèæóòñÿ ïî îêðóæíîñòÿì, ëåæàùèì â ïëîñêîñòÿõ, êîòîðûå ïåðïåíäè- êóëÿðíû îñè âðàùåíèÿ; öåíòðû îêðóæíîñòåé ëåæàò íà ýòîé îñè. Ñóùåñòâåííî, ÷òî ëèíåéíûå ñêîðîñòè òî÷åê, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàçíîì ðàññòîÿíèè îò îñè âðàùåíèÿ, ðàçíûå.  ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, êàñàÿñü ñòàëü- íîé ïðîâîëîêîé âðàùàþùåãîñÿ äèñêà òî÷èëà (ðèñ. 1.6): ÷åì äàëüøå îò îñè, òåì äëèííåå ñíîï èñêð òåì áîëüøå ñêîðîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êè äèñêà. Ëåêöèÿ 1 9 Ïðè ýòîì òàêæå âèäíî, ÷òî èñ- êðû ëåòÿò ïî êàñàòåëüíîé ê îê- ðóæíîñòè, îïèñûâàåìîé äàííîé òî÷êîé äèñêà. ßñíî, ÷òî óãëîâîå ïåðåìå- ùåíèå âñåõ òî÷åê òâåðäîãî òåëà çà îäíî è òî æå âðåìÿ áóäåò îäè- íàêîâûì. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïî- çâîëÿåò ââåñòè îáùóþ êèíåìàòè- ÷åñêóþ õàðàêòåðèñòèêó óãëîâóþ ñêîðîñòü ∆ϕ dϕ ω = lim = , (1.7) Ðèñ. 1.6 ∆t → 0 ∆t dt ãäå ∆ϕ óãîë ïîâîðîòà òåëà çà âðåìÿ ∆t . Ìîæíî ââåñòè âåêòîð ýëåìåíòàðíîãî óãëîâîãî ïåðåìåùåíèÿ ∆j , íà- ïðàâëåííûé âäîëü îñè âðàùåíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîì ïðàâîãî áóðàâ- ÷èêà: åñëè ðóêîÿòêó áóðàâ÷èêà ïîâîðà÷èâàòü â íàïðàâëåíèè âðàùåíèÿ òåëà, òî ïîñòóïàòåëüíîå ïåðåìåùåíèå áóðàâ÷èêà äàñò íàïðàâëåíèå ∆j . Óñòðåìëÿÿ èíòåðâàë âðåìåíè ∆t , çà êîòîðîå ïðîèçîøëî óãëîâîå ïåðåìåùåíèå ∆j , ê íóëþ, ìû ïîëó÷èì âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè dj ,w= (1.8) dt êîòîðûé îïðåäåëÿåò, âî-ïåðâûõ, ìîäóëü óãëîâîé ñêîðîñòè òåëà, âî-âòîðûõ, îðèåíòàöèþ îñè âðàùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå, è â-òðåòüèõ, íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ òåëà. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî w âåêòîð ñêîëüçÿùèé â òîì ñìûñ- ëå, ÷òî åãî íà÷àëî ìîæíî ñîâìåñòèòü ñ ëþáîé òî÷êîé, ïðèíàäëåæàùåé îñè âðàùåíèÿ. Íàïðèìåð, äëÿ Çåìëè, âðàùàþùåéñÿ âîêðóã ñâîåé îñè ñ çàïàäà íà âîñòîê, âåêòîð w èìååò íàïðàâëåíèå îò þæíîãî ïîëþñà ê ñåâåðíîìó. Âåëè÷èíà óãëîâîé ñêîðîñòè 2π ω Çåìëè = ≈ 7,3 ⋅10 −5 c −1 . 24 ⋅ 3600 ñ Äëÿ ñðàâíåíèÿ: óãëîâàÿ ñêîðîñòü îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ Çåìëè ñî- ñòàâëÿåò ω Çåìëè ω îðá ≈ ≈ 2,0 ⋅ 10 − 7 ñ −1 . 365 Çàìåòèì, ÷òî ïåðèîä îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ íå êðàòåí ïðîäîëæèòåëüíîñòè ñóòîê, ÷òî ñîçäàåò èçâåñòíûå òðóäíîñòè â ïîñòðîåíèè êàëåíäàðÿ (íåîáõîäè- ìî ââîäèòü âèñîêîñíûå ãîäû è ïðî÷.). Çíàÿ w, ëåãêî îïðåäåëèòü ëèíåéíóþ ñêîðîñòü ëþáîé òî÷êè òâåðäîãî òåëà. Ââåäåì ðàäèóñ-âåêòîð rA íåêîòîðîé òî÷êè À òâåðäîãî òåëà, ïîìåñòèâ åãî íà÷àëî â òî÷êó Î íà îñè âðàùåíèÿ (ðèñ. 1.7). Âåêòîð r ïðîâåäåí â òî÷êó À îò îñè âðàùåíèÿ, òî åñòü ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè. 10 Ìåõàíèêà Âåêòîð ñêîðîñòè v A ìîæíî ñâÿçàòü ñ âåêòîðàìè rA è w: v A = w Ч rA (1.9) (ôîðìóëà Ýéëåðà). Ïðè ýòîì âåëè÷èíà ñêî- ðîñòè v A = ω rA ⋅ sin α = ω ρ . (1.10) ßñíî, ÷òî òî÷êó Î íà îñè âðàùåíèÿ ìîæíî j âûáðàòü ïðîèçâîëüíî çíà÷åíèå ρ = r A sin α áóäåò îäíèì è òåì æå. A Óñêîðåíèå òî÷êè À VA aA = dw dr Ч rA + w Ч A = e Ч rA + w Ч v A . rA dt dt a (1.11) dw Çäåñü e = óãëîâîå óñêîðåíèå òåëà. Ýòî O dt Ðèñ. 1.7 àêñèàëüíûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé â òó æå ñòîðîíó, ÷òî è w, åñëè âðàùåíèå óñêîðÿåò- ñÿ, è ïðîòèâîïîëîæíî w, åñëè âðàùåíèå çàìåäëÿåòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, óñêîðåíèå a A ÿâëÿåòñÿ ñóììîé äâóõ âåëè÷èí: aA = aτ + an , (1.12) (ðèñ. 1.8), ïðè÷åì âñå òðè âåêòîðà a A , a τ è a n ëåæàò â ïëîñêîñòè, ïåðïåí- äèêóëÿðíîé îñè âðàùåíèÿ. O2 VB B an aB n aA A at A VA e aA O1 Ðèñ. 1.8 Ðèñ. 1.9 Ëåêöèÿ 1 11 a τ = e Ч rA = ερt (1.13) ýòî òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå (t åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè v A ). a n = w Ч v A = w Ч (w Ч rA ) = ω 2 ρn (1.14) ýòî öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ( n åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëå- íèè ê îñè âðàùåíèÿ). Ýòè ñîñòàâëÿþùèå ïîëíîãî óñêîðåíèÿ õîðîøî èçâåñò- íû èç êèíåìàòèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Ïëîñêîå äâèæåíèå ýòî òàêîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà, ïðè êîòîðîì òðàåêòîðèè âñåõ åãî òî÷åê ëåæàò â íåïîäâèæíûõ ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ. Åñëè â òåëå ïðîâåñòè íåêîòîðóþ ïðÿìóþ O1O2, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ýòèì ïëîñ- êîñòÿì (ðèñ. 1.9), òî âñå òî÷êè ýòîé ïðÿìîé áóäóò äâèãàòüñÿ ïî îäèíàêîâûì òðàåêòîðèÿì ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè è óñêîðåíèÿìè; ñàìà ïðÿìàÿ áóäåò, åñòåñòâåííî, ñîõðàíÿòü ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïëîñêîì, èëè, êàê åãî èíîãäà íàçûâàþò, ïëîñêî-ïàðàëëåëüíîì äâèæå- íèè òâåðäîãî òåëà äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü äâèæåíèå îäíîãî èç ñå÷åíèé òåëà. O O B V0 B M Ðèñ. 1.10 M Îáðàòèìñÿ ê êëàññè÷åñêîìó ïðîñòîìó ïðèìåðó ïëîñêîãî äâèæåíèÿ êà÷åíèþ öèëèíäðà ïî ïëîñêîñòè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ. Ðàññìàòðèâàÿ îäíî èç ñå÷åíèé öèëèíäðà ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé åãî îñè, ìû ïðèäåì ê èçâåñòíîé çàäà÷å î êàòÿùåìñÿ êîëåñå (ðèñ. 1.10). Öåíòð êîëåñà äâèæåòñÿ ïðÿ- ìîëèíåéíî, òðàåêòîðèè äðóãèõ òî÷åê ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êðèâûå, íàçûâàå- ìûå öèêëîèäàìè. Ïðè îòñóòñòâèè ïðîñêàëüçûâàíèÿ ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü ñàìîé íèæ- íåé òî÷êè êîëåñà (òî÷êè M) ðàâíà íóëþ. Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü êà÷å- íèå êîëåñà êàê ñóïåðïîçèöèþ äâóõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî ñî ñêîðîñòüþ v0 îñè v 0 è âðàùàòåëüíîãî ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω = , ãäå R ðàäèóñ êîëåñà. R ßñíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå v M = v 0 − ωR = 0 . Ïîïðîáóåì îáîáùèòü ýòîò ïðèåì íà ïðîèçâîëüíîå ïëîñêîå äâèæåíèå. Âûäåëèì îòðåçîê ÀB â ðàññìàòðèâàåìîì ñå÷åíèè òâåðäîãî òåëà (ðèñ. 1.11). Ïåðåâîä ñå÷åíèÿ èç ïîëîæåíèÿ 1 â ïîëîæåíèå 2 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñóïåðïîçèöèþ äâóõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî èç 1 â 1´ è âðàùàòåëüíîãî èç 1´ â 2 âîêðóã òî÷êè À´, íàçûâàåìîé îáû÷íî ïîëþñîì (ðèñ. 1.11à). Ñóùåñòâåí- íî, ÷òî â êà÷åñòâå ïîëþñà ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ òî÷êó, ïðèíàäëåæàùóþ ñå÷åíèþ èëè äàæå ëåæàùóþ â ïëîñêîñòè ñå÷åíèÿ âíå åãî. Íà ðèñ. 1.11á, ê ïðèìåðó, â êà÷åñòâå ïîëþñà âûáðàíà òî÷êà Â. Îáðàòèòå âíèìàíèå: äëèíà ïóòè