Единое окно доступа к образовательным ресурсам

Механика твердого тела. Лекции

Голосов: 1

Пособие содержит лекции по механике твердого тела, которые являются составной частью раздела "Механика" курса общей физики. Москва, Физический факультет, МГУ, 1997.

Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
          Óíèâåðñèòåòñêèé êóðñ
         îáùåé ôèçèêè
Â.À.Àëåøêåâè÷, Ë.Ã.Äåäåíêî, Â.À.Êàðàâàåâ




  ÌÅÕÀÍÈÊÀ
ÒÂÅÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ

            ËÅÊÖÈÈ




           ÌÎÑÊÂÀ
   ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÌÃÓ
             1997


        ÓÄÊ 530.1




        Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. Ëåêöèè.
        (Óíèâåðñèòåòñêèé êóðñ îáùåé ôèçèêè)
        Àëåøêåâè÷ Â.À., Äåäåíêî Ë.Ã., Êàðàâàåâ Â.À.,
        èçä-âî Ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ
        (ÍÝÂÖ ÔÈÏÒ), 1997 ã., 72 ñòð., èëë.

      Ïîñîáèå ñîäåðæèò ëåêöèè ïî ìåõàíèêå òâåðäîãî òåëà, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ
ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ðàçäåëà «Ìåõàíèêà» êóðñà îáùåé ôèçèêè.
      Äëÿ ñòóäåíòîâ ôèçè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé óíèâåðñèòåòîâ è âûñøèõ
ó÷åáíûõ çàâåäåíèé.




                        Âèêòîð Àëåêñàíäðîâè÷ Àëåøêåâè÷
                           Ëåîíèä Ãðèãîðüåâè÷ Äåäåíêî
                       Âëàäèìèð Àëåêñàíäðîâè÷ Êàðàâàåâ
                       Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. Ëåêöèè.
                    (Óíèâåðñèòåòñêèé êóðñ îáùåé ôèçèêè)


        Îðèãèíàë-ìàêåò ïîäãîòîâëåí Èçäàòåëüñêîé ãðóïïîé ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà
ÌÃÓ (òåë. 939-5494). Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 06.10.1997. Ñäàíî â íàáîð 08.10.1997. Ôîðìàò
B5, ãàðíèòóðà Times, ïå÷àòü ðèçî, Îáúåì 4,5 ïå÷.ë., òèðàæ 200 ýêç, çàêàç ¹348.
        Èçäàòåëüñòâî ÍÝÂÖ ÔÈÏÒ Ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ. Ëèöåíöèÿ ËÐ-040131
îò 05.02.97. Ìîñêâà, 119899, Âîðîáüåâû ãîðû, ÌÃÓ èì. Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, ôèçè÷åñêèé
ôàêóëüòåò.

                           © Àëåøêåâè÷ Â.À., Äåäåíêî Ë.Ã., Êàðàâàåâ Â.À., 1997
                           © Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÌÃÓ, 1997


                              Ïðåäèñëîâèå

        Íà êàôåäðå îáùåé ôèçèêè âåäåòñÿ ðàáîòà ïî ïîäãîòîâêå è èçäàíèþ îðè-
ãèíàëüíîãî êóðñà «Îáùàÿ ôèçèêà», ïðåäíàçíà÷åííîãî äëÿ ñòóäåíòîâ ôèçè÷åñêèõ
ñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ.
        Êóðñ áóäåò îõâàòûâàòü ÷åòûðå ðàçäåëà: «Ìåõàíèêà», «Ìîëåêóëÿðíàÿ
ôèçèêà», «Ýëåêòðîìàãíåòèçì» è «Îïòèêà», ñîîòâåòñòâîâàòü íîâûì ó÷åáíûì
ïðîãðàììàì, ðàçðàáîòàííûì íà ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ, è îòðàæàòü ñî-
âðåìåííûå òåíäåíöèè è òåõíîëîãèè ôèçè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ.
        Îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ äàííîãî êóðñà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â íåì íàè-
áîëåå ïîñëåäîâàòåëüíî â ìåòîäè÷åñêîì îòíîøåíèè ïðîâîäèòñÿ òî÷êà çðåíèÿ î
ñóùåñòâåííîì åäèíñòâå îñíîâíûõ ôîðì îáó÷åíèÿ ôèçèêå: ëåêöèé, ëàáîðàòîðíûõ
ýêñïåðèìåíòîâ è ñåìèíàðñêèõ óïðàæíåíèé. Ëåêöèè ïî êàæäîé òåìå íà÷èíàþòñÿ
ñ äåìîíñòðàöèè îñíîâíûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ôàêòîâ, êîòîðûå çàòåì àíàëèçè-
ðóþòñÿ è îáîáùàþòñÿ â âèäå ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ è ñîîòíîøåíèé. Òàêîé «ýêñïå-
ðèìåíòàëüíûé» ïîäõîä ê èçëîæåíèþ ìàòåðèàëà çàêðåïëÿåòñÿ ïðè âûïîëíåíèè
ëàáîðàòîðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, öåëü êîòîðûõ - íàó÷èòü ñòóäåíòîâ íàâûêàì ñà-
ìîñòîÿòåëüíîé ïîñòàíîâêè è ðåøåíèÿ ôèçè÷åñêèõ ïðîáëåì, ïðîâåäåíèþ ýêñïåðè-
ìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, âêëþ÷àÿ êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå, à òàêæå ìå-
òîäàì èíòåðïðåòàöèè è àíàëèçà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ. Áîëåå ãëóáîêîå
ïîíèìàíèå îñíîâíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé è çàêîíîìåðíîñòåé äîñòèãàåòñÿ íà ñå-
ìèíàðñêèõ çàíÿòèÿõ.
         ñîîòâåòñòâèè ñ ïîñòàâëåííûìè çàäà÷àìè êàæäûé ðàçäåë êóðñà áóäåò
ñîñòîÿòü èç ÷åòûðåõ ïîñîáèé: «Ëåêöèè», «Ëåêöèîííûé ýêñïåðèìåíò», «Ëàáîðà-
òîðíûé ýêñïåðèìåíò», «Ñåìèíàðñêèå çàíÿòèÿ». Ïîñîáèÿ, íàïèñàííûå â åäèíîì
ìåòîäè÷åñêîì êëþ÷å, áóäóò êîìïëåêòîâàòüñÿ âèäåîçàïèñÿìè ëåêöèîííûõ äåìîí-
ñòðàöèé è äèñêåòàìè ñ îïèñàíèåì ìîäåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
        Ëåêöèè ïî êèíåìàòèêå è äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà ÿâëÿþòñÿ ÷àñòüþ ãî-
òîâÿùåãîñÿ ê èçäàíèþ êóðñà «Ìåõàíèêà» è ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñàìî-
ñòîÿòåëüíîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ïî äàííîé òåìå. Ëåêöèè íàïèñàíû íà îñíîâå êóðñîâ,
÷èòàåìûõ àâòîðàìè íà ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ.
        Àâòîðû âûðàæàþò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü Ì.Â.Ñåìåíîâó çà âíèìàòåëü-
íîå ïðî÷òåíèå ðóêîïèñè è öåííûå çàìå÷àíèÿ, à òàêæå Ê.Á.Áåãóí, Ì.Ï.Âèíîãðàäî-
âó è À.À.ßêóòå çà ïîäãîòîâêó ðóêîïèñè ê èçäàíèþ.


Ëåêöèÿ 1                                                                 5


                             ËÅÊÖÈß ¹1

       Êèíåìàòèêà àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà. Ñòåïåíè ñâîáîäû. Óãëû Ýéëåðà.
Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå. Âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. Ïëîñêîå äâèæå-
íèå. Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà, èìåþùåãî îäíó íåïîäâèæíóþ òî÷êó. Äâèæåíèå
ñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà.

       Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà – îäèí èç íàèáîëåå òðóäíûõ ðàçäåëîâ êóðñà.
Êàê è ìåõàíèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, îí ñîñòîèò èç äâóõ îñíîâíûõ ÷àñòåé:
êèíåìàòèêè è äèíàìèêè.
       Çàäà÷à êèíåìàòèêè – äàòü ñïîñîáû îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà
è, èñõîäÿ èç çàêîíà åãî äâèæåíèÿ, îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå, ñêîðîñòü è óñêî-
ðåíèå ëþáîé òî÷êè òåëà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè.  îáùåì ñëó÷àå ýòî äîâîëü-
íî ñëîæíàÿ çàäà÷à – â ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, ïîêðóòèâ â ðóêàõ, íàïðèìåð,
êíèãó èëè ðó÷êó. Êîíå÷íî, âñÿêîå òåëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñèñòåìó ìàòå-
ðèàëüíûõ òî÷åê è ïîïðîáîâàòü ïðèìåíèòü ê íåìó ïðèåìû, èçâåñòíûå èç êè-
íåìàòèêè òî÷êè. Íà ïåðâûé âçãëÿä, ýòî íå óïðîùàåò ñèòóàöèþ – íå âûïèñû-
âàòü æå çàêîíû äâèæåíèÿ äëÿ âñåõ ôèçè÷åñêè ìàëûõ ÷àñòåé, íà êîòîðûå ìîæ-
íî ðàçáèòü òåëî, ïóñòü äàæå èõ áóäåò è êîíå÷íîå ÷èñëî!
       Îáëåã÷àþùåå îáñòîÿòåëüñòâî êðîåòñÿ â ñàìèõ ñëîâàõ “òâåðäîå òåëî”.
Òâåðäîå – çíà÷èò ïðàêòè÷åñêè íåäåôîðìèðóåìîå. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè
íà êàêîé-ëèáî äîñòàòî÷íî òâåðäûé ïðåäìåò ïîäåéñòâîâàòü ñèëîé è çàñòàâèòü
åãî äâèãàòüñÿ, òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ëþáûìè åãî òî÷êàìè îñòàíóòñÿ íåèçìåí-
íûìè. Õîòÿ, êîíå÷íî, ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ñèë â òåëå âîçíèêíóò
âíóòðåííèå íàïðÿæåíèÿ, ïðè÷èíà êîòîðûõ – äåôîðìàöèè îòäåëüíûõ åãî ÷à-
ñòåé. Íî åñëè ìû ãîâîðèì î òâåðäîì òåëå, òî ýòè äåôîðìàöèè îêàçûâàþòñÿ
íàñòîëüêî ìàëûìè, ÷òî íåçàìåòíû äëÿ ãëàçà, è îò íèõ ìîæíî îòâëå÷üñÿ. Â
èòîãå ìû ïðèõîäèì ê èäåàëèçèðîâàííîé ìîäåëè àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà (â
äàëüíåéøåì – ïðîñòî òâåðäîãî òåëà), êîòîðîå ñîâåðøåííî íå ñïîñîáíî äå-
ôîðìèðîâàòüñÿ, õîòÿ ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë â íåì ìîãóò âîçíèêàòü îï-
ðåäåëåííûå âíóòðåííèå óñèëèÿ.
       Òàêèì îáðàçîì, òâåðäîå òåëî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó ìàòå-
ðèàëüíûõ òî÷åê, îòíîñèòåëüíûå ïîëîæåíèÿ êîòîðûõ îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè.
Äðóãèìè ñëîâàìè, âñå ìàêðîñêîïè÷åñêèå ýëåìåíòû òàêîãî òåëà íåïîäâèæíû
â ñèñòåìå êîîðäèíàò, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òåëîì. Èìåííî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî
ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü ðåøåíèå êèíåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ è êîíêðå-
òèçèðîâàòü ìíîãèå îáùèå ïîíÿòèÿ (èìïóëüñ, ìîìåíò èìïóëüñà, ýíåðãèÿ),
ââåäåííûå ðàíåå ïðè ðàññìîòðåíèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
       Ñòåïåíè ñâîáîäû. Óãëû Ýéëåðà. Äâèãàÿñü â ïðîñòðàíñòâå, òâåðäîå òåëî
îáëàäàåò îïðåäåëåííûìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
       ×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû – ýòî ÷èñëî íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí, êîòîðûå
íåîáõîäèìî çàäàòü äëÿ òîãî, ÷òîáû îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå òåëà â
ïðîñòðàíñòâå.  ðàçíûõ ñèòóàöèÿõ ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû òâåðäîãî òåëà ìî-
æåò áûòü ðàçëè÷íûì. Åñëè äèñê, íå âðàùàÿñü, ìîæåò ñêîëüçèòü âäîëü íåïîä-
âèæíîé â äàííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà îñè (ðèñ. 1.1à), òî â äàííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà
îí, î÷åâèäíî, îáëàäàåò òîëüêî îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû – ïîëîæåíèå äèñêà
îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ, ñêàæåì, êîîðäèíàòîé x åãî öåíòðà, îòñ÷èòûâàå-
ìîé âäîëü îñè. Íî åñëè äèñê, êðîìå òîãî, ìîæåò åùå è âðàùàòüñÿ (ðèñ. 1.1á),


6                                                                              Ìåõàíèêà




                   a                                á                                   â

                                          Ðèñ.1.1

òî îí ïðèîáðåòàåò åùå îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû – ê êîîðäèíàòå x äîáàâëÿåòñÿ
óãîë ϕ ïîâîðîòà äèñêà âîêðóã îñè. Åñëè îñü ñ äèñêîì çàæàòà â ðàìêå, êîòîðàÿ
ìîæåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè (ðèñ. 1.1â), òî ÷èñëî ñòåïå-
íåé ñâîáîäû ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì òðåì – ê x è ϕ äîáàâëÿåòñÿ óãîë θ ïîâîðîòà
ðàìêè.
        Êîðîáêà, êîòîðàÿ ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ïî ïîâåðõíîñòè ñòîëà (ðèñ.
1.2), òàêæå îáëàäàåò òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû – äëÿ îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëå-
íèÿ åå ïîëîæåíèÿ ìîæíî çàäàòü, íàïðèìåð, êîîðäèíàòû x, y åå öåíòðà è
                                        óãîë ϕ ìåæäó îäíèì èç ðåáåð êîðîáêè
               y                        è êðàåì ñòîëà.
                                                Êàêîâî æå ÷èñëî ñòåïåíåé ñâî-
                                        áîäû òâåðäîãî òåëà â ñàìîì îáùåì ñëó-
                                        ÷àå?
                                                Äëÿ òîãî, ÷òîáû îäíîçíà÷íî
0                                       çàäàòü ïîëîæåíèå òâåðäîãî òåëà â ïðî-
                     j          x       ñòðàíñòâå, íàäî çàôèêñèðîâàòü òðè åãî
                                        òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé.
                                        Îäíà ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà èìååò òðè
                                        ñòåïåíè ñâîáîäû (òðè äåêàðòîâû êî-
                  Ðèñ.1.2
                                        îðäèíàòû x, y, z). Äâå ìàòåðèàëüíûå
                                        òî÷êè, æåñòêî ñâÿçàííûå ìåæäó ñî-
áîé, èìåþò 3 + 3 – 1 = 5 ñòåïåíåé ñâîáîäû.  ýòîì ñëó÷àå êîîðäèíàòû òî÷åê x1,
y1, z1 è x2, y2, z2 íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè âåëè÷èíàìè, òàê êàê èìååòñÿ
óðàâíåíèå ñâÿçè

                              l 2 = (x 2 − x1 ) + (y 2 − y1 ) + (z2 − z1 ) ,
                                             2              2             2
                                                                                    (1.1)
ãäå l – ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè.
                Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå äëÿ òâåðäîãî òåëà ïîëó÷àåì
3  +   3   +   3   –   3   =   6   ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïðè ýòîì èìåþòñÿ òðè óðàâíåíèÿ ñâÿçè,
âûðàæàþùèå ïîñòîÿíñòâî ðàññòîÿíèé ìåæäó êàæäîé ïàðîé òî÷åê.
                Øåñòü ïàðàìåòðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ øåñòè ñòåïåíÿì ñâîáîäû òâåð-
äîãî òåëà, ìîæíî çàäàâàòü ïî-ðàçíîìó. Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ
òðåìÿ ðàçëè÷íûìè äåêàðòîâûìè ñèñòåìàìè êîîðäèíàò:
                1. Ëàáîðàòîðíàÿ ñèñòåìà XYZ.
                2. Ñèñòåìà x0y0z0, íà÷àëî êîòîðîé ñâÿçàíî ñ íåêîòîðîé òî÷êîé O òâåð-
äîãî òåëà, à îñè îñòàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè îñÿì ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû XYZ,


Ëåêöèÿ 1                                                                 7
òî åñòü ñèñòåìà x0y0z0 äâèæåòñÿ âìåñòå ñ òî÷êîé Î òâåðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî
ñèñòåìû XYZ ïîñòóïàòåëüíî.
        3. Ñèñòåìà xyz, íà÷àëî êîòîðîé íàõîäèòñÿ â òîé æå òî÷êå Î, ÷òî è
íà÷àëî ñèñòåìû x0y0z0, à îñè æåñòêî ñâÿçàíû ñ òâåðäûì òåëîì.
        Òîãäà øåñòè ñòåïåíÿì ñâîáîäû òåëà áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü, âî-ïåð-
âûõ, òðè êîîðäèíàòû òî÷êè Î (â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ), à âî-âòîðûõ, –
òðè óãëà ϕ, ψ, θ, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþùèå ïîëîæåíèå ñèñòåìû xyz îòíîñè-
òåëüíî x0y0z0. Ýòè óãëû íà-
çûâàþòñÿ óãëàìè Ýéëåðà.              z     θ    z0
Èõ ñìûñë ÿñåí èç ðèñ. 1.3,
ãäå ÎÀ – ëèíèÿ ïåðåñå-
÷åíèÿ ïëîñêîñòåé Ox0y0 è
Oxy, ïðè ýòîì íèæíåå îñ-
íîâàíèå òâåðäîãî òåëà
(ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå-
ëåïèïåäà) ëåæèò â ïëîñ-        Z                            y
êîñòè Oxy. Îáû÷íî èõ íà-
çûâàþò òàê: ϕ – óãîë ñîá-            Y
ñòâåííîãî âðàùåíèÿ (ñ X
èçìåíåíèåì ýòîãî óãëà                                               x
ñâÿçàí ïîâîðîò òâåðäîãî                       O
òåëà âîêðóã îñè z), ψ –                                           y0
                                                 j
óãîë ïðåöåññèè (ïîâîðîò           x0        y
âîêðóã z0 ñ ñîõðàíåíèåì
óãëà θ ìåæäó îñÿìè z0 è z),
θ – óãîë íóòàöèè (îòêëî-
                                              A
íåíèå òåëà îò îñè z0).                          Ðèñ.1.3
        Ïðèìåðû ñ äèñêîì íà îñè è êîðîáêîé (ðèñ. 1.1, 1.2) ïîêàçûâàþò, ÷òî
ñëîæíîå äâèæåíèå òîãî èëè èíîãî òåëà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê ñóïåð-
ïîçèöèÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòûõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ è
ïîâîðîòà (âðàùåíèÿ) âîêðóã îñè.  äàëüíåéøåì, ñëåäóÿ ïðèíöèïó “îò ïðî-
ñòîãî ê ñëîæíîìó”, ìû ðàññìîòðèì 5 òèïîâ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà, èñ÷åð-
ïûâàþùèõ âñå âñòðå÷àþùèåñÿ íà ïðàêòèêå ñëó÷àè:
        – ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå;
        – âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè;
        – ïëîñêîå, èëè ïëîñêî-ïàðàëëåëüíîå äâèæåíèå;
        – äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé (òàêîå äâè-
           æåíèå èíîãäà íàçûâàþò ñôåðè÷åñêèì);
        – äâèæåíèå ñâîáîäíîãî, òî åñòü íåçàêðåïëåííîãî òâåðäîãî òåëà.
        Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå – ýòî òàêîå äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì ëþáîé
âûäåëåííûé â òåëå îòðåçîê îñòàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ñàìîìó ñåáå.
        Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì íà ýòó òåìó ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå êàáèíîê êî-
ëåñà îáîçðåíèÿ (ðèñ. 1.4). Ýòîò ïðèìåð íàãëÿäíî ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîñòóïàòåëü-
íîå äâèæåíèå – ñîâñåì íå îáÿçàòåëüíî ïðÿìîëèíåéíîå. Î÷åâèäíî, ÷òî ÷èñëî
ñòåïåíåé ñâîáîäû òåëà â ýòîì ñëó÷àå ðàâíî òðåì, òàê êàê äîñòàòî÷íî îïèñàòü
äâèæåíèå êàêîé-íèáóäü îäíîé òî÷êè òåëà (íàïðèìåð, òî÷êè À íà ðèñ. 1.5).
Òðàåêòîðèè âñåõ îñòàëüíûõ òî÷åê (íàïðèìåð, òî÷êè  íà ðèñ. 1.5) ìîãóò áûòü
ïîëó÷åíû ïóòåì “ïàðàëëåëüíîãî” ïåðåíîñà.


8                                                                     Ìåõàíèêà

                                       Z                              B
                                                        B

                                                            rAB
                                             rB
                                                                            A
                                       O               rA         A

                            X
                                                                          Y
        Ðèñ. 1.4                                       Ðèñ. 1.5


       Äîïóñòèì, çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè À çàäàí â âèäå
                                           rA = rA (t ) .                  (1.2)
Òîãäà çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè  áóäåò èìåòü âèä
                             rB = rA + rAB ,                               (1.3)
ãäå rAB – âåêòîð, ïðîâåäåííûé îò òî÷êè À ê òî÷êå Â.
       Ñêîðîñòü òî÷êè À
                                        dr A
                                 vA =        ,                             (1.4)
                                         dt
ñêîðîñòü òî÷êè Â
                                       drB
                                vB =       = vA,                           (1.5)
                                       dt
òàê êàê rAB – âåêòîð, ïîñòîÿííûé ïî âåëè÷èíå (àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî) è
íàïðàâëåíèþ (ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå).
       Óñêîðåíèÿ òî÷åê À è  òàêæå ðàâíû ìåæäó ñîáîé:
                                dv A    dv B
                            aA =     =       = aB .                   (1.6)
                                 dt      dt
Òàêèì îáðàçîì, êèíåìàòèêà ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà â ïðèí-
öèïå íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò êèíåìàòèêè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
       Âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. Åñëè ïðè äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà
êàêèå-ëèáî äâå åãî òî÷êè âñå âðåìÿ îñòàþòñÿ íåïîäâèæíûìè, òî ÷åðåç ýòè
òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè ïðÿìóþ, ÿâëÿþùóþñÿ íåïîäâèæíîé îñüþ âðàùåíèÿ. Ñ
òàêèì äâèæåíèåì ìû ñòàëêèâàåìñÿ åæåäíåâíî, îòêðûâàÿ è çàêðûâàÿ äâåðü â
êîìíàòó. Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå òåëî îáëàäàåò ëèøü îäíîé ñòåïåíüþ
ñâîáîäû, ñâÿçàííîé ñ óãëîì åãî ïîâîðîòà âîêðóã îñè. Ïðè ýòîì âñå òî÷êè
òåëà äâèæóòñÿ ïî îêðóæíîñòÿì, ëåæàùèì â ïëîñêîñòÿõ, êîòîðûå ïåðïåíäè-
êóëÿðíû îñè âðàùåíèÿ; öåíòðû îêðóæíîñòåé ëåæàò íà ýòîé îñè.
       Ñóùåñòâåííî, ÷òî ëèíåéíûå ñêîðîñòè òî÷åê, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàçíîì
ðàññòîÿíèè îò îñè âðàùåíèÿ, ðàçíûå. Â ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, êàñàÿñü ñòàëü-
íîé ïðîâîëîêîé âðàùàþùåãîñÿ äèñêà òî÷èëà (ðèñ. 1.6): ÷åì äàëüøå îò îñè,
òåì äëèííåå ñíîï èñêð – òåì áîëüøå ñêîðîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êè äèñêà.


Ëåêöèÿ 1                                                                  9
Ïðè ýòîì òàêæå âèäíî, ÷òî èñ-
êðû ëåòÿò ïî êàñàòåëüíîé ê îê-
ðóæíîñòè, îïèñûâàåìîé äàííîé
òî÷êîé äèñêà.
       ßñíî, ÷òî óãëîâîå ïåðåìå-
ùåíèå âñåõ òî÷åê òâåðäîãî òåëà
çà îäíî è òî æå âðåìÿ áóäåò îäè-
íàêîâûì. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïî-
çâîëÿåò ââåñòè îáùóþ êèíåìàòè-
÷åñêóþ õàðàêòåðèñòèêó – óãëîâóþ
ñêîðîñòü
                  ∆ϕ dϕ
       ω = lim       =    ,   (1.7)                          Ðèñ. 1.6
           ∆t → 0 ∆t   dt
ãäå ∆ϕ – óãîë ïîâîðîòà òåëà çà âðåìÿ ∆t .
       Ìîæíî ââåñòè âåêòîð ýëåìåíòàðíîãî óãëîâîãî ïåðåìåùåíèÿ ∆j , íà-
ïðàâëåííûé âäîëü îñè âðàùåíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîì ïðàâîãî áóðàâ-
÷èêà: åñëè ðóêîÿòêó áóðàâ÷èêà ïîâîðà÷èâàòü â íàïðàâëåíèè âðàùåíèÿ òåëà,
òî ïîñòóïàòåëüíîå ïåðåìåùåíèå áóðàâ÷èêà äàñò íàïðàâëåíèå ∆j . Óñòðåìëÿÿ
èíòåðâàë âðåìåíè ∆t , çà êîòîðîå ïðîèçîøëî óãëîâîå ïåðåìåùåíèå ∆j , ê
íóëþ, ìû ïîëó÷èì âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè
                                           dj
                                              ,w=                    (1.8)
                                           dt
êîòîðûé îïðåäåëÿåò, âî-ïåðâûõ, ìîäóëü óãëîâîé ñêîðîñòè òåëà, âî-âòîðûõ,
– îðèåíòàöèþ îñè âðàùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå, è â-òðåòüèõ, – íàïðàâëåíèå
âðàùåíèÿ òåëà. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî w – âåêòîð ñêîëüçÿùèé â òîì ñìûñ-
ëå, ÷òî åãî íà÷àëî ìîæíî ñîâìåñòèòü ñ ëþáîé òî÷êîé, ïðèíàäëåæàùåé îñè
âðàùåíèÿ.
       Íàïðèìåð, äëÿ Çåìëè, âðàùàþùåéñÿ âîêðóã ñâîåé îñè ñ çàïàäà íà
âîñòîê, âåêòîð w èìååò íàïðàâëåíèå îò þæíîãî ïîëþñà ê ñåâåðíîìó.
Âåëè÷èíà óãëîâîé ñêîðîñòè
                               2π
                         ω Çåìëè =    ≈ 7,3 ⋅10 −5 c −1 .
                          24 ⋅ 3600 ñ
Äëÿ ñðàâíåíèÿ: óãëîâàÿ ñêîðîñòü îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ Çåìëè ñî-
ñòàâëÿåò
                                        ω Çåìëè
                              ω îðá ≈           ≈ 2,0 ⋅ 10 − 7 ñ −1 .
                                         365

Çàìåòèì, ÷òî ïåðèîä îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ íå êðàòåí ïðîäîëæèòåëüíîñòè
ñóòîê, ÷òî ñîçäàåò èçâåñòíûå òðóäíîñòè â ïîñòðîåíèè êàëåíäàðÿ (íåîáõîäè-
ìî ââîäèòü âèñîêîñíûå ãîäû è ïðî÷.).
       Çíàÿ w, ëåãêî îïðåäåëèòü ëèíåéíóþ ñêîðîñòü ëþáîé òî÷êè òâåðäîãî
òåëà. Ââåäåì ðàäèóñ-âåêòîð rA íåêîòîðîé òî÷êè À òâåðäîãî òåëà, ïîìåñòèâ
åãî íà÷àëî â òî÷êó Î íà îñè âðàùåíèÿ (ðèñ. 1.7). Âåêòîð r ïðîâåäåí â òî÷êó À
îò îñè âðàùåíèÿ, òî åñòü ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè.


10                                                                     Ìåõàíèêà

                                           Âåêòîð ñêîðîñòè v A ìîæíî ñâÿçàòü
                                 ñ âåêòîðàìè rA è w:
                                                v A = w Ч rA         (1.9)
                                 (ôîðìóëà Ýéëåðà). Ïðè ýòîì âåëè÷èíà ñêî-
                                 ðîñòè
                                        v A = ω rA ⋅ sin α = ω ρ .  (1.10)
                                 ßñíî, ÷òî òî÷êó Î íà îñè âðàùåíèÿ ìîæíî
           j                     âûáðàòü ïðîèçâîëüíî – çíà÷åíèå ρ = r A sin α
                                 áóäåò îäíèì è òåì æå.
     A                                  Óñêîðåíèå òî÷êè À

                     VA             aA =
                                           dw           dr
                                              Ч rA + w Ч A = e Ч rA + w Ч v A .
     rA                                    dt            dt

                a                                                          (1.11)
                                           dw
                                 Çäåñü e =    – óãëîâîå óñêîðåíèå òåëà. Ýòî
                    O                      dt
               Ðèñ. 1.7          àêñèàëüíûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé â òó æå
                                 ñòîðîíó, ÷òî è w, åñëè âðàùåíèå óñêîðÿåò-
                                 ñÿ, è ïðîòèâîïîëîæíî w, åñëè âðàùåíèå
                                 çàìåäëÿåòñÿ.
         Òàêèì îáðàçîì, óñêîðåíèå a A ÿâëÿåòñÿ ñóììîé äâóõ âåëè÷èí:
                                           aA = aτ + an ,                  (1.12)
(ðèñ. 1.8), ïðè÷åì âñå òðè âåêòîðà a A , a τ è a n ëåæàò â ïëîñêîñòè, ïåðïåí-
äèêóëÿðíîé îñè âðàùåíèÿ.

                                                              O2

                                                                          VB

                                                               B
                    an                                                   aB
          n                    aA
     A
                    at                                         A               VA

               e                                                         aA

                                                              O1
              Ðèñ. 1.8                                      Ðèñ. 1.9


Ëåêöèÿ 1                                                                      11

                                  a τ = e Ч rA = ερt                        (1.13)
– ýòî òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå (t – åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè v A ).
                           a n = w Ч v A = w Ч (w Ч rA ) = ω 2 ρn           (1.14)
– ýòî öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ( n – åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëå-
íèè ê îñè âðàùåíèÿ). Ýòè ñîñòàâëÿþùèå ïîëíîãî óñêîðåíèÿ õîðîøî èçâåñò-
íû èç êèíåìàòèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
       Ïëîñêîå äâèæåíèå – ýòî òàêîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà, ïðè êîòîðîì
òðàåêòîðèè âñåõ åãî òî÷åê ëåæàò â íåïîäâèæíûõ ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ.
Åñëè â òåëå ïðîâåñòè íåêîòîðóþ ïðÿìóþ O1O2, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ýòèì ïëîñ-
êîñòÿì (ðèñ. 1.9), òî âñå òî÷êè ýòîé ïðÿìîé áóäóò äâèãàòüñÿ ïî îäèíàêîâûì
òðàåêòîðèÿì ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè è óñêîðåíèÿìè; ñàìà ïðÿìàÿ áóäåò,
åñòåñòâåííî, ñîõðàíÿòü ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå. Òàêèì îáðàçîì,
ïðè ïëîñêîì, èëè, êàê åãî èíîãäà íàçûâàþò, ïëîñêî-ïàðàëëåëüíîì äâèæå-
íèè òâåðäîãî òåëà äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü äâèæåíèå îäíîãî èç ñå÷åíèé òåëà.




             O                                                 O

             B             V0                                  B

             M                     Ðèñ. 1.10
                                                               M

       Îáðàòèìñÿ ê êëàññè÷åñêîìó ïðîñòîìó ïðèìåðó ïëîñêîãî äâèæåíèÿ –
êà÷åíèþ öèëèíäðà ïî ïëîñêîñòè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ. Ðàññìàòðèâàÿ îäíî èç
ñå÷åíèé öèëèíäðà ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé åãî îñè, ìû ïðèäåì ê
èçâåñòíîé çàäà÷å î êàòÿùåìñÿ êîëåñå (ðèñ. 1.10). Öåíòð êîëåñà äâèæåòñÿ ïðÿ-
ìîëèíåéíî, òðàåêòîðèè äðóãèõ òî÷åê ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êðèâûå, íàçûâàå-
ìûå öèêëîèäàìè.
       Ïðè îòñóòñòâèè ïðîñêàëüçûâàíèÿ ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü ñàìîé íèæ-
íåé òî÷êè êîëåñà (òî÷êè M) ðàâíà íóëþ. Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü êà÷å-
íèå êîëåñà êàê ñóïåðïîçèöèþ äâóõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî ñî ñêîðîñòüþ
                                                       v0
îñè v 0 è âðàùàòåëüíîãî ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω =           , ãäå R – ðàäèóñ êîëåñà.
                                                       R
ßñíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå v M = v 0 − ωR = 0 .
        Ïîïðîáóåì îáîáùèòü ýòîò ïðèåì íà ïðîèçâîëüíîå ïëîñêîå äâèæåíèå.
        Âûäåëèì îòðåçîê ÀB â ðàññìàòðèâàåìîì ñå÷åíèè òâåðäîãî òåëà (ðèñ. 1.11).
Ïåðåâîä ñå÷åíèÿ èç ïîëîæåíèÿ 1 â ïîëîæåíèå 2 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
ñóïåðïîçèöèþ äâóõ äâèæåíèé: ïîñòóïàòåëüíîãî èç 1 â 1´ è âðàùàòåëüíîãî èç
1´ â 2 âîêðóã òî÷êè À´, íàçûâàåìîé îáû÷íî ïîëþñîì (ðèñ. 1.11à). Ñóùåñòâåí-
íî, ÷òî â êà÷åñòâå ïîëþñà ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ òî÷êó, ïðèíàäëåæàùóþ
ñå÷åíèþ èëè äàæå ëåæàùóþ â ïëîñêîñòè ñå÷åíèÿ âíå åãî. Íà ðèñ. 1.11á, ê
ïðèìåðó, â êà÷åñòâå ïîëþñà âûáðàíà òî÷êà Â. Îáðàòèòå âíèìàíèå: äëèíà ïóòè



    
Яндекс цитирования Яндекс.Метрика